Presentación operaciones con conjuntos.

1. Corporación Universitaria
Iberoamericana
conjuntos
Operaciones con
Profesor Nicolas Gómez
Estudiantes
Jorge Armando Rincón Rincón
Eliana Marcela López Franco
Nelfer Briñez Garzón

2. Los conjuntos
Podemos decir que un conjunto es una colección de objetos, a los que llamamos
elementos, estos elementos tienen alguna característica común; Los conjuntos
pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos, personas
etc.
En otras palabras un conjunto es una colección de elementos con
características similares considerada en sí misma como un objeto. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido
de algún modo dentro de él.

3. Representación gráfica
de los conjuntos
Para representar los conjuntos gráficamente, se pueden usar los diagramas
de Venn. Este método consiste en representar los conjuntos por medio de
círculos y dibujar en su interior los elementos que lo conforman.
Por ejemplo, si el conjunto está conformado por los elementos A ,B y C
podemos representarlo como se muestra en la figura.

4. Notaciones de los
Conjuntos
Como acabas de ver, es posible representar gráficamente los conjuntos a través
de diagramas de Venn. Para trabajar con ellos es necesario poder representarlos
también con el lenguaje propio de la matemática.
Se usan los corchetes { } para representar y definir conjuntos. En el interior de
los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto separados por
comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de
diagramas de Venn.
Si por ejemplo se quiere definir un conjunto U como el conformado por los elementos
A, B Y C, se puede representar de la siguiente manera:
U: { A ,B, C }
Es equivalente a:

5. Conectivos
Disyunción y Conjunción
En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben
satisfacer más de una condición, o una de varias. En tales casos se usan los
conectivos disyunción y conjunción.
La disyunción
Observa el siguiente ejemplo: Sea:
En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que conforman el
conjunto: ser mamífero o volar. La disyunción es la letra “o” que las conecta y
esta significa que los elementos que conformen el conjunto deben satisfacer
alguna de las dos condiciones o ambas.
Para este caso, por ejemplo, la abeja cumple la condición de volar, por lo que
debe pertenecer al conjunto. El gato por su parte cumple la condición de ser
mamífero, por lo que también debe pertenecer a A. El murciélago cumple las dos
condiciones, ya que es un mamífero que vuela, así que también pertenece a A.

6. La conjunción
Definamos el conjunto P así:
En este caso también hay dos condiciones pero están unidas por la conjunción “y”.
Esto significa que los elementos que pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos
condiciones simultáneamente.
Como no hay números que satisfagan las dos condiciones a la vez, se concluye que
el conjunto P no tiene elementos.
También es posible combinar los anteriores conectivos para establecer las
condiciones que deben cumplir los elementos de un determinado conjunto. Por
ejemplo: sea

7. Como te puedes dar cuenta, en la definición de los elementos del conjunto
K hay dos condiciones: “ser mayor o igual que 4” y “ser menor que 8”, como
estas condiciones están unidas por un “y” se deben cumplir ambas. Entre
tanto, la condición “ser mayor o igual que 4” esta compuesta por dos
condiciones unidas por una disyunción, lo que significa que la cumplirán
los números que sean mayores que 4 o iguales a 4.
En el siguiente diagrama de Venn puedes ver la representación de los
anteriores conjuntos K, P y el conjunto

8. Operaciones con
Conjuntos
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo,
teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega
a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas
que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no
juegan a baloncesto, etc.
Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los conjuntos:
Unión Intersección Diferencia Diferencia simétrica
Complemento

9. Unión de Conjuntos
El símbolo del operador de esta operación es: ∪ y es llamado copa.
Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más
conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en
la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos
originales.
Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto
difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la
cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la
totalidad de los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a
todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.
Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al
conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }

10. Unión de ConjuntosEjemplos:
Si A = { 1, 2, 3, 4, 5} y B = { a, e, i, o}, entonces la unión de dichos conjuntos estará formada
por todos los elementos que estén en alguno de los dos conjuntos, esto es:
𝑨 ∪ 𝑩 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖}
Si A = { pera, manzana, banano, fresa} y B = { león, tigre, culebra, rata}, entonces la unión de
dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en alguno de los dos
conjuntos, esto es:
𝑨 ∪ 𝑩 = { 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂, 𝒑𝒆𝒓𝒂, 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂, 𝒃𝒂𝒏𝒂𝒏𝒐, 𝒓𝒂𝒕𝒂, 𝒕𝒊𝒈𝒓𝒆, 𝒄𝒖𝒍𝒆𝒃𝒓𝒂, 𝒍𝒆𝒐𝒏}

11. Intersección de
Conjuntos
El símbolo del operador de esta operación es: ∩ y es llamado capa.
La intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto
que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual
contiene los elementos que están en A y que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x
pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez, por lo tanto

12. Intersección de
Conjuntos
Ejemplos:
Si A = { 1, 2, 3, 4, 5} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará
formada por todos los elementos que estén en los dos conjuntos, esto es:
𝑨 ∩ 𝑩 = { 𝟒, 𝒖}
Si A = { pera, manzana, banano, fresa} y B = { león, tigre, culebra, rata}, entonces la
intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en los dos
conjuntos, esto es:
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒑𝒆𝒓𝒂, 𝒓𝒂𝒕𝒂}

13. Diferencia de Conjuntos
El símbolo de esta operación es: .
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede
denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y
B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto
a A.
Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si { x / x ∈ A ∧ x
∉ B }

14. Diferencia de
Conjuntos
Ejemplos:
Si A = { 1, 2, 3, 4, 5} y B = { a, e, i, o}, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará
formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:
𝑨 /𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓}
Si A = { pera, manzana, banano, fresa} y B = { león, tigre, culebra, rata}, entonces la
diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente
en A, esto es:
𝑨/𝑩 = {𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂, 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂, 𝒃𝒂𝒏𝒂𝒏𝒐}

15. Diferencia simétrica
Conjuntos
El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los
elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en
los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene
A Δ B = C
si y sólo si, o bien o bien

16. Diferencia simétrica de
Conjuntos
Ejemplos:
Si A = { 1, 2, 3, 4, 5} y B = { a, e, i, o}, entonces la diferencia simétrica de dichos conjuntos
estará formada por todos los elementos que estén en A y B, mas no en C, esto es:
𝑨Δ𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐}
Si A = { pera, manzana, banano, fresa} y B = { león, tigre, culebra, rata}, entonces la
diferencia simétrica de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en
A y B, mas no en C, esto es:
𝑨Δ𝑩 = {𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂, 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂, 𝒃𝒂𝒏𝒂𝒏𝒐, 𝒄𝒖𝒍𝒆𝒃𝒓𝒂, 𝒕𝒊𝒈𝒓𝒆, 𝒍𝒆𝒐𝒏}

17. Complemento de
un conjuntos
El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los
elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue
restando a U todos los elementos de A. A=U-A
Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si

18. Complemento de un
Conjuntos
Ejemplos:
Si el conjunto universal es U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 } y A = { 0,8,6,7,1}, entonces el
complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que
no estén en A, esto es:
Al = { 2,3,4,5,9}
Los conjuntos { 0,1,6,7,8 } y { 2,3,4,5,9 } son
complementarios
Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y A = { b, c, d }, entonces el
complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que
no estén en A, esto es:
Al = { a, e }
Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son
complementarios