Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN                       DENGAN KOEFISIEN KONSTANBentuk umum persamaan difere...
Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disinihanyalah mencari satu solusi particular...
 Bila     𝑟(𝑥) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat   dimodifikasi seperti berikutAturan ModifikasiK...
 Solusi Umum       𝑦 = 𝑦 𝑕 + 𝑦𝑝                                2 −2𝑥       𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 +     𝑒                  ...
𝜆−1       𝜆+1 = 0       𝜆 1 = 1 dan 𝜆 2 = −1       Maka,               2        𝑦𝑕 =         𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥               𝑖=1    ...
𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥     Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝                                           𝑦 𝑝 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘0 + 𝐶𝑒 ...
Sehingga persamaan Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡 dapat ditulis dengan:                                  Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 Solusi p...
Maka solusi umumnya 𝑦 𝑕 (𝑥) pada interval terbuka I berbentuk:                                𝑦 𝑕 𝑥 = 𝑐1 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑦2 𝑥Bil...
Bila 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0, sehi...
Contoh:Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: 𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 𝑥Jawab:Misalkan 𝑦1 = cos 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦2 = sin x Mencari jaw...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan

9.032 visualizaciones

Publicado el

Mata Kuliah Persamaan Diferensial 2

Publicado en: Educación

Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan

  1. 1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANBentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)Solusi umum 𝑦(𝑥) akan didapatkan bila solusi umum 𝑦 𝑕 𝑥 dari Persamaan DiferensialHomogen diketahui, dimanaBentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0Kemudian 𝑦(𝑥) dibentuk dengan penambahan 𝑦 𝑕 𝑥 sembarang solusi 𝑦 termasuk konstantatak tetapnya.Sehingga, 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑕 (𝑥) + ỹ(𝑥)Theorema 1:𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 dan 𝑟 𝑥 merupakan fungsi kontinu pada interval l. 𝑦 𝑥 merupakan solusi dariPersamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. 𝑦 𝑥 dibentuk oleh 2konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) 𝑦 𝑕 (𝑥).Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi ỹ(𝑥), yaitu sembarang solusi PersamaanDiferensial pada interval l.Theorema 2:Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaanhomogeny 𝑦 𝑕 (𝑥) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) 𝑦 𝑝 (𝑥).Sehingga,𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑕 𝑥 + 𝑦 𝑝 (𝑥) 1
  2. 2. Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disinihanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.Terdapat tiga metode: 1. Metode koefisien tak tentu Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi 𝑦 𝑝 (solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi 𝑟 𝑥 di ruas kanan. Bentuk persamaan umum: 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)  Fungsi 𝑟(𝑥) yang merupakan bentuk solusi pertikular 𝑦 𝑝 (𝑥) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberpa fungsi  𝑟(𝑥) berisikan koefisien tak tentu  Turunkan 𝑦 𝑝 sesuai persamaan umum di atas  Subtitusikan 𝑦 𝑝 dan seluruh turunannya ke dalam persamaan Tabel Metode Koefisian Tak Tentu Aturan:  Bila 𝑟(𝑥) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk 𝑦 𝑝 yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan 𝑟(𝑥) harus bebas linier pula.  Bila 𝑟(𝑥) merupakan penjumlahan, maka pilih𝑦 𝑝 yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai. 2
  3. 3.  Bila 𝑟(𝑥) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikutAturan ModifikasiKalikan pilihan pada kolom 2 dengan 𝑥 atau 𝑥 2 tergantung dari apakah pada kolom 3berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.Contoh Soal1) Selesaikan persamaan berikut: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 10𝑒 −2𝑥 Jawab:  Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 10𝑒 −2𝑥 𝜆2 − 4𝜆 + 3 = 10𝑒 −2𝑥 𝜆−3 𝜆−1 𝜆 1 = 3 dan 𝜆 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥  Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Turunan 𝑒 −2𝑥 adalah 𝐶𝑒 −2𝑥 Maka, 𝑦 𝑝 = C𝑒 −2𝑥 𝑦 𝑝 ′ = −2C𝑒 −2𝑥 dan 𝑦 𝑝 ′′ = 4C𝑒 −2𝑥 4C𝑒 −2𝑥 − 4(−2C𝑒 −2𝑥 ) + 3(C𝑒 −2𝑥 ) = 10𝑒 −2𝑥 C𝑒 −2𝑥 4 + 8 + 3 = 10𝑒 −2𝑥 15 C𝑒 −2𝑥 = 10𝑒 −2𝑥 10𝑒 −2𝑥 C= 15𝑒 −2𝑥 2 C= 3 2 Maka, 𝑦 𝑝 = 𝑒 −2𝑥 3 3
  4. 4.  Solusi Umum 𝑦 = 𝑦 𝑕 + 𝑦𝑝 2 −2𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝑒 32) Selesaikan 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 8𝑥 2 Jawab:  Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 8𝑥 2 𝜆2 + 4 = 0 𝜆 1 = 𝑝 + 𝑗𝑞 = +𝑗2 ; 𝜆 2 = 𝑝 − 𝑗𝑞 = −𝑗2; 𝑝 = 0 Maka, solusi homogeny untuk D<0: 𝑦 𝑕 = 𝑒 𝑝𝑥 [𝐴 cos 𝑞𝑥 + 𝐵 sin 𝑞𝑥] 𝑦 𝑕 = [𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥  Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Misal 1 : 𝑦 = 𝐶𝑥 2 ; 𝑦′′ = 2𝐶 2𝐶 + 4𝐶𝑥 2 = 8𝑥 2 ; 2𝐶 = 0 ; 4𝐶 = 8 Gagal, tidak konsisten. Misal 2 : 𝑦 𝑝 = 𝐶𝑥 2 + 𝐿𝑥 + 𝑚 ; 𝑦′′ = 2𝐶 2𝐶 + 4(𝐶𝑥 2 + 𝐿𝑥 + 𝑚) = 8𝑥 2 4𝐶𝑥 2 + 4𝐿𝑥 + (2𝐶 + 4𝑚) = 8𝑥 2 Dengan metode identifikasi: 𝐶 =2; 𝐿 =0; 𝑀 =1 Maka, 𝑦 𝑝 = 2𝑥 2 + 1  Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥 + 2𝑥 2 + 13) Selesaikan 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥 Jawab:  Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥 𝜆2 − 𝑦 − 2 = 0 4
  5. 5. 𝜆−1 𝜆+1 = 0 𝜆 1 = 1 dan 𝜆 2 = −1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥  Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = 𝑘 cos 𝑥 + 𝑚 sin 𝑥 𝑦 ′𝑝 = −𝑘 sin 𝑥 + 𝑚 cos 𝑥 𝑦 ′′ = −𝑘 cos 𝑥 − 𝑚 sin 𝑥 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥 −𝑘 cos 𝑥 − 𝑚 sin 𝑥 − −𝑘 sin 𝑥 + 𝑚 cos 𝑥 − 2 𝑘 cos 𝑥 + 𝑚 sin 𝑥 = 10 cos 𝑥 −3𝑚 − 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘 − 3𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 10 𝑐𝑜𝑠𝑥 −3𝑚 − 𝑚 = 10 ; 𝑘 − 3𝑚 = 0 𝑘 = −3 ; 𝑚 = −1 𝑦 𝑝 = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥  Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥4) Selesaikan: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥 Jawab:  Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥 𝜆2 − 3𝑦 + 2 = 0 𝜆−2 𝜆−1 = 0 𝜆 1 = 2 dan 𝜆 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐶𝑖𝑒 𝑟𝑖𝑥 𝑖=1 5
  6. 6. 𝑦 𝑕 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥  Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘0 + 𝐶𝑒 3𝑥 𝑦 ′𝑝 = 𝑘1 + 3𝐶𝑒 3𝑥 𝑦 ′′ = 9𝐶𝑒 3𝑥 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥 9𝐶𝑒 3𝑥 − 3 𝑘1 + 3𝐶𝑒 3𝑥 + 2 𝑘1 𝑥 + 𝑘0 + 𝐶𝑒 3𝑥 = 4𝑥 + 𝑒 3𝑥 1 𝑘1 = 2 ; 𝑘0 = 3 ; 𝐶 = (2) 1 𝑦 𝑝 = 2𝑥 + 3 + ( )𝐶𝑒 3𝑥 2  Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 1 𝑦 = 2𝑥 + 3 + ( )𝐶𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 22. Metode Kompleks Bentuk umumnya seperti persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥). Contoh: Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡 Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh: 𝐼 𝑃 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡 Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡, 6 cos 𝑡 adalah komponen nyata (real) karena: 6𝑒 𝑖𝑡 = 6 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) 6
  7. 7. Sehingga persamaan Ϊ + İ + 2I = 6 cos 𝑡 dapat ditulis dengan: Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk: 𝐼𝑝∗ (𝑡) = 𝑘𝑒 𝑖𝑡 dan İ 𝑝∗ = 𝑖𝑘𝑒 𝑖𝑡 Ϊ 𝑝∗ = −𝑖𝑘𝑒 𝑖𝑡 bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 : (−1 + 𝐼 + 2)𝑘𝑒 𝑖𝑡 = 6𝑒 𝑖𝑡 6 𝑘= = 3 − 𝑖3 1+ 𝑖 Sehingga solusi umum persamaan Ϊ + İ + 2I = 6𝑒 𝑖𝑡 adalah: İ 𝑝∗ (𝑡) = 3 − 𝑖3 𝑒𝑖𝑡 = 3 − 𝑖3 (cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) Dan komponen nyatanya adalah: İ 𝑝 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡3. Metode Umum Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥) Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0 7
  8. 8. Maka solusi umumnya 𝑦 𝑕 (𝑥) pada interval terbuka I berbentuk: 𝑦 𝑕 𝑥 = 𝑐1 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑦2 𝑥Bila 𝑐1 dan 𝑐2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular padainterval terbuka I, sbb: 𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣(𝑥)𝑦2 𝑥Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya: ′ 𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 + 𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 + 𝑣𝑦2 ′Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti 𝑐1 dan 𝑐2 , maka: 𝑢′ 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 = 0Sehingga 𝑦 ′𝑝 menjadi: 𝑦 ′𝑝 = 𝑢𝑦1 ′ + 𝑣𝑦2 ′Bila persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 −1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥)diturunkan hasilnya: ′ ′′ 𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 + 𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 ′ + 𝑣𝑦2 ′′ ′Persamaan 𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑦2 (𝑥), 𝑦 ′𝑝 = 𝑢𝑦1 ′ + 𝑣𝑦2 ′, dan 𝑦 ′𝑝 = 𝑢′ 𝑦1 + ′′𝑢𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 ′ + 𝑣𝑦2 ′′ disubtitusikan ke dalam persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 𝑟(𝑥), dan mengumpulkan komponen yangmengandung u dan v: 8
  9. 9. Bila 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 −2 𝑦 𝑛−2 + ⋯ + 𝐴1 𝑦 ′ + 𝐴0 𝑦 = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,menjadi: Persamaan 𝑢′ 𝑦1 + 𝑣 ′ 𝑦2 = 0Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang takdiketahui.Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:W = Bilangan Wronskian dari 𝑦1 dan 𝑦2Dengan integrasi diperoleh:Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan 𝑦 𝑝 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑦2 (𝑥),sehingga didapatkan : 9
  10. 10. Contoh:Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: 𝑦 ′′ + 𝑦 = sec 𝑥Jawab:Misalkan 𝑦1 = cos 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦2 = sin x Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 Bilangan Wronskian: 𝑊 𝑦1 , 𝑦2 = cos 𝑥 cos 𝑥 − (− sin 𝑥) sin 𝑥 = 1 Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = cos 𝑥 𝐿𝑛 | cos 𝑥| + 𝑥 sin 𝑥 Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 10

×