1. GEOMETRÍA
TOMMY
DEAN

2. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
REFORZAMIENTO
• ÁNGULOS ENTRE DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA
SECANTE.
• TRIÁNGULOS I.

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE.
TEOREMAS TEOREMAS ADICIONALES:
x = Ɵ + α
Ɵ+α+β = x+y+z
𝐿1
𝐿2
X
𝐿1
𝐿2
𝐿1
𝐿2
Observación:
Si Ɵ=α
𝐿1//𝐿2
𝐿1
𝐿2
Si Ɵ=α
𝐿1//𝐿2
𝐿1
𝐿2
x = Ɵ+α+β
Si 𝐿1//𝐿2
Ɵ+α+β=180º
x =90º
Ángulos alternos Ángulos correspondientes
Ángulos conjugados
Ɵ = α
Ɵ = α
Ɵ + α= 180º
𝐿1
𝐿2
𝐿1
𝐿2
𝐿1
𝐿2
Si 𝐿1//𝐿2 Si 𝐿1//𝐿2
Si 𝐿1//𝐿2 Recordar que
estos teoremas
tienen reciproco.
𝐿1
𝐿2
X
𝐿1
𝐿2

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
TEOREMAS FUNDAMENTALES
X
X= Ɵ+α
Ɵ+α+β=180º X+Y+Z=360º
TEO. CORRESPONDENCIA
Si α<Ɵ
b < a
TEO. EXISTENCIA
Si c<b<a
a-b <c< a+b
Recordar que estos
teoremas no ayudan
ha encontrar máximos
y mínimos valores
En este problema nos pueden pedir:
a) Calcular el máximo valor entero.
b) Calcular el mínimo valor entero.
c) Calcular el numero de valores enteros.
En cualquiera de las 3 formas solicitadas, se aplica
el teorema de existencia.
8 - 4 < x < 8 + 4 𝑿𝒎𝒂𝒙𝒛 = 11
4 < x < 12 𝑿𝒎𝒊𝒏𝒛 = 5
# valores z = 7
8
4
x
Ɵ+α=x+y
x = y
En este tipo
de figuras es
importante
prolongar.
x =Ɵ+α+β
Ɵ+α=x+y
Ɵ+α=x+y
x = y
TEOREMAS ADICIONALES
TRIÁNGULO I

5. SEMANA 5
TRIÁNGULOS II

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
TRIÁNGULOS II
• CLASIFICACIÓN DE
TRIÁNGULOS.
• LINEAS NOTABLES.
• ÁNGULOS ENTRE
BISECTRICES.
Estructura de las aeronaves de guerra
Soporte de estantería
Museo de FRAM NORUEGA.
Estructura de puentes

7. CLASIFICACIÓN
DE TRIÁNGULOS

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
RECORDAR:
Cuando nos pidan calcular el máximo o mínimo valor entero de una
longitud, normalmente utilizamos el teorema de existencia o
correspondencia:
Teo. De existencia 8-4<X<8+4
4<X<12
Los posibles valores de x: 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11.
Pero cuando se conoce el tipo de Angulo del triangulo.
si α<90º (agudo)
Entonces por naturaleza:
𝑋2
<82
+42
X < 8,….
Entonces los posibles valores de x: 5, 6, 7, 8.
C U R S O D E G E O M E T R Í A TRIÁNGULOS II
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.
La clasificación de los triángulos se da según la medida de sus ángulos y la longitud de sus lados.
Según la medida de sus ángulos.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Si m<ABC=90º
Entonces ABC es ∆ rectángulo
Además: Ɵ +α = 90º
A
B C
Ɵ b
c
a
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Si θ<90º, α<90º, β<90º
Entonces el ∆ es acutángulo.
a
b
c
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Si θ>90º
Entonces el ∆ es obtusángulo.
a
b
c
Ɵ
α
β
8
4
x
Ɵ
α
β
8
4
x
Teorema de Pitágoras:
𝑏2
= 𝑐2
+ 𝑎2
Por naturaleza:
𝑎2
< 𝑏2
+ 𝑐2
Por naturaleza:
𝑏2
+ 𝑐2
< 𝑎2

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
m
P
c
A
B
C
a
c
b
• Si el ∆ABC es acutángulos
• Como se quiere determinar una relación con elementos
cuadráticos, lo mas conveniente seria aprovechar el teorema
de Pitágoras.
• Trazamos un 𝐴𝑃 perpendicular al 𝐴𝐶, tal que AP = c
• Construimos un ∆ rectángulo PAC, tal que PC = m
• Por teorema de Pitágoras:
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑚2………(1)
• Además el ∆PAB es isósceles:
m<APB=m<ABP=α+θ
• Entonces en el ∆PBC se observa:
m<CPB= θ m<CBP=α+θ+….
• Por teorema de correspondencia:
m<CPB<m<CBP
a < m elevamos al cuadrado
𝑎2
< 𝑚2
………..(2)
• Reemplazamos (1) en (2):
𝑎2
< 𝑏2
+ 𝑐2
α θ
α+θ
DEMOSTRAR:
𝑎2
< 𝑏2
+ 𝑐2

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
Según la longitud de sus lados.
TRIÁNGULO ESCALENO.
Si a ≠ b ≠ c
Entonces el ∆ es escaleno
Además: Ɵ ≠ α ≠ β
TRIÁNGULO ISOSCELES.
Si AB = BC = a
Entonces el ∆ es isósceles
Además: m<BAC = m<BCA = Ɵ
TRIÁNGULOS II
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.
𝐴𝐶: BASE
Lado de diferente longitud
TRIÁNGULO EQUILÁTERO.
a
a
a
A
B
C
Si AB = BC = AC = a
Entonces el ∆ ABC es equilátero.
Además:
m<BAC = m<BCA = m<ABC = 60º
a
a
A
B
C
60º 60º
60º
a
b
c X
2θ
c
a a
X
x+x+2θ=180º
x=90º-θ
90º-2θ
4θ
6θ
10θ
X=90º-θ
90º-5θ
90º-3θ
a a a a
a a
Como el ∆ es
isósceles:
a b
2θ
90º-θ
Si un ∆ tiene medidas
angulares de la forma
2θ y 90º-θ:
a=b
90º-θ
2θ 90º-θ
Trazar
OBSERVACIONES:
90º-θ
Se aprovecha:
∆ACP es isósceles
∆ABC es isósceles
A
C
B P
b
b
a
a
60º
a
a
Trazar
a
60º
60º
El ∆ es equilátero

11. LINEAS
NOTABLES

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E G E O M E T R Í A
LINEAS NOTABLES.
CEVIANA:
Segmento de recta que tiene por
extremos un vértice y un punto
del lado opuesto o de su
prolongación de un triángulo.
ALTURA:
BISECTRIZ INTERNA:
MEDIANA:
BISECTRIZ EXTERNA:
MEDIATRIZ:
Ceviana interior
Ceviana exterior
M
a a
A B
Si AM=MB
L es perpendicular
𝐴𝐵
M
L
C
A
B
θ θ
α
α
Si AM=MC
𝐵𝑀 es mediana
20
10
10
α
α
θ
θ
24
12
12
60º
30º30º
80º
40º
40º
X
X=90º
L es mediatriz del
𝐴𝐵
A C
B
P
𝐵𝑃 es bisectriz
interior
A
B
C Q
𝐵𝑃 es bisectriz
exterior
𝐵𝐻 es altura
B
H
Se cumple:
a a

13.