Índice
1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
• Método Jacobi......................................................................
CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 2
MÉTODO DE JACOBI
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = b2
a3...
CÁLCULO NUMÉRICO
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MÉTODO DE JACOBI
Ejemplo 1
Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el mé...
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MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 =...
CÁLCULO NUMÉRICO
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MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
Ejemplo 1
Resolver el sistema de ecuaciones lineales por...
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MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
F(x) = 0
x F(x)
0 -
1 -
2 -
3 -
4 +
5 +
x = ...
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MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación log(x
2
+ 2) ...
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
F(x)= 0
x F(x)
1 -
2 -
3 +
F'(x)=
a
b
xn+1 = xn - F(xn...
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación 2
x
- 4x = 0, con dos c...
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MÉTODO DE LA BISECCIÓN
f(x)= 0
m = (an + bn) / 2
Si f(an) f(m) < 0 an+1 = an r...
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MÉTODO DE LA BISECCIÓN
EJEMPLO 1
Determinar la raíz de la ecuación x3
- x - 1 ...
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MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
f(x)= 0
m = (f(bn) an - f(an) bn) / (f(bn) - f(an)...
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MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
EJEMPLO 1
Determinar la raíz de la ecuación x
3
- ...
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Interpolación de Newton
Tabla de de diferencias finitas
i X Y ∆Y ∆
2
Y ∆
3
Y ∆...
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Interpolación de Newton
Ejemplo 1
Para la función definida en la tabla, determ...
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Interpolación de Lagrange
X
i Xi Yi X-Xi X1-Xi X2-Xi X3-Xi … Xn-Xi Lk Lk x Yk
...
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Interpolación de Lagrange
Ejemplo 1
Para la función definida en la tabla, dete...
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
F(x) = y
xn yn
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
x6 y6
...
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
EJEMPLO 1
Calcular el valor de la integral definida, apli...
CÁLCULO NUMÉRICO
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MÉTODO DE EULER
y ' = f(x , y)
yn+1= yn + h f(xn , yn)
x0 : abscisa inicial
y0...
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MÉTODO DE EULER
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial...
CÁLCULO NUMÉRICO
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MÉTODO DE HEUN
y ' = f(x , y)
yn+1,p= yn + h f(xn , yn) Predictor
yn+1,c= yn +...
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MÉTODO DE HEUN
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial ...
CÁLCULO NUMÉRICO
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RUNGE - KUTTA
y ' = f(x , y)
x0=
y0=
h=
k1= f(xn , yn)
k2= f(xn+h/2 , yn + h k...
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RUNGE - KUTTA
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial d...
CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 26
MILNE
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,c= yn-1 + 1/3 h ( fn-1 + ...
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MILNE MODIFICADO
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,m= yn+1,p + 28...
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HAMMING
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,c= 1/8 (9 yn - yn-2)+ 3...
CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 29
HAMMING MODIFICADO
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,m= yn+1,p + ...
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Bibliografía
1.- Métodos Numéricos
Rodolfo Luthe – Antonio Olivera – Fernando ...
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Calculo 4 apuntes de clase

  1. 1. Índice 1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES • Método Jacobi.................................................................................................... 2 • Método de Gauss – Seidel................................................................................. 4 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES • Método de las Aproximaciones Sucesivas......................................................... 6 • Método Newton – Raphson ............................................................................... 8 • Método de la Bisección...................................................................................... 10 • Método de la Falsa Posición.............................................................................. 12 3. INTERPOLACION Y APROXIMACION • Interpolación de Newton.................................................................................... 14 • Polinomio de Lagrange...................................................................................... 16 4. INTEGRACION NUMERICA • Método de los Rectángulos................................................................................ 18 • Método de los Trapecios.................................................................................... 18 • Método de Simpson ½........................................................................................18 • Método de Simpson ¾........................................................................................18 5. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS • Método de Euler................................................................................................. 20 • Método de Heun ................................................................................................ 22 • Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden ..................................................... 24 • Método de Milne ................................................................................................ 26 • Método de Hamming ..........................................................................................27 • Método de Milne Modificado...............................................................................28 • Método de Hamming Modificado........................................................................ 29
  2. 2. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 2 MÉTODO DE JACOBI a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = b2 a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 = b3 k 0 1 x1 0,00 (b1-a12*X2 (0) -a13*X3 (0) ) / a11 x2 0,00 (b2-a21*X1 (0) -a23*X3 (0) ) / a22 x3 0,00 (b3-a31*X1 (0) -a32*X2 (0) ) / a33 La matriz A debe ser de diagonal estrictamente dominante. |a11| > |a12| + |a13| |a22| > |a21| + |a23| |a33| > |a31| + |a32|
  3. 3. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 3 MÉTODO DE JACOBI Ejemplo 1 Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Jacobi. Usar en los cálculos tres cifras decimales de aproximación 4 X1 -1 X2 0 X3 = 2 -1 X1 4 X2 -1 X3 = 6 0 X1 -1 X2 4 X3 = 2 k x1 x2 x3 0 0,000 0,000 0,000 1 0,500 1,500 0,500 2 0,875 1,750 0,875 3 0,938 1,938 0,938 4 0,984 1,969 0,984 5 0,992 1,992 0,992 6 0,998 1,996 0,998 7 0,999 1,999 0,999 8 1,000 2,000 1,000 9 1,000 2,000 1,000 k 2 x1 (2-(-1)*1,500-0*0,500) / 4 x2 (6-(-1)*0,500-(-1)*0,500) / 4 x3 (2-0*0,500-(-1)*1,500) / 4 x1 x2 x3 1,000 2,000 1,000
  4. 4. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 4 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = b2 a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 = b3 k 0 1 x1 0,00 (b1-a12*X2 (0) -a13*X3 (0) ) / a11 x2 0,00 (b2-a21*X1 (1) -a23*X3 (0) ) / a22 x3 0,00 (b3-a31*X1 (1) -a32*X2 (1) ) / a33 La matriz A debe ser de diagonal estrictamente dominante. Converge más rápido que Jacobi.
  5. 5. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 5 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL Ejemplo 1 Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Seidel. Usar en los cálculos tres cifras decimales de aproximación 4 X1 -1 X2 0 X3 = 2 -1 X1 4 X2 -1 X3 = 6 0 X1 -1 X2 4 X3 = 2 k x1 x2 x3 0 0,000 0,000 0,000 1 0,500 1,625 0,906 2 0,906 1,953 0,988 3 0,988 1,994 0,999 4 0,999 1,999 1,000 5 1,000 2,000 1,000 6 1,000 2,000 1,000 k 1 x1 (2-(-1)*0-0*0) / 4 x2 (6-(-1)*0,5-(-1)*0) / 4 x3 (2-0*0,5-(-1)*1,625) / 4 k 2 x1 (2-(-1)*1,625-0*0,906) / 4 x2 (6-(-1)*0,906-(-1)*0,906) / 4 x3 (2-0*0,906-(-1)*1,953) / 4 x1 x2 x3 1,00 2,00 1,00
  6. 6. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 6 MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS F(x) = 0 x F(x) 0 - 1 - 2 - 3 - 4 + 5 + x = x+F(x) = f(x) a b xn+1 = f(xn) x0 (a+b)/2 x1 f(xo) x2 f(x1) x3 f(x2) : xn xn+1 | f '(x) | < 1 Condición de convergencia
  7. 7. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 7 MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS EJEMPLO 1 Resolver la ecuación log(x 2 + 2) + x - 5 = 0, con tres cifras decimales de aproximación, empleando el método de Aproximaciones Sucesivas. F(x)= log(x^2 + 2) + x - 5 = 0 x F(x) 0 -4,70 1 -3,52 2 -2,22 3 -0,96 4 0,26 5 1,43 f(x)= 5 - log(x^2 + 2) = x f'(x)= - 1 / (x^2 + 2) * 2 * x * log e f'(3,5)= -0,213 a 3 b 4 xn+1 = f(xn) x0 3,500 (3+4)/2 x1 3,846 5 - log(3,500^2 + 2) x2 3,775 5 - log(3,846^2 + 2) x3 3,789 5 - log(3,775^2 + 2) x4 3,786 5 - log(3,789^2 + 2) x5 3,787 5 - log(3,786^2 + 2) x6 3,787 5 - log(3,787^2 + 2)
  8. 8. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 8 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON F(x)= 0 x F(x) 1 - 2 - 3 + F'(x)= a b xn+1 = xn - F(xn)/F'(xn) x0 =(a+b)/2 x1 = x0 - F(x0)/F'(x0) x2 = x1 - F(x1)/F'(x1) x3 = x2 - F(x2)/F'(x2) xn xn+1 x= xn+1
  9. 9. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 9 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EJEMPLO 1 Resolver la ecuación 2 x - 4x = 0, con dos cifras decimales de aproximación, empleando el método de Newton Raphson. F(x)= 2x - 4x = 0 x F(x) 0 1,00 1 -2,00 2 -4,00 F'(x) = 2x *ln2 - 4 a = 0 b = 1 xn+1 = xn - F(xn)/F'(xn) x0 0,50 = (0+1)/2 x1 0,31 =0,5-(2^0,5-4*0,5)/(2^0,5*LN(2)-4) x2 0,31 =0,31-(2^0,31-4*0,31)/(2^0,31*LN(2)-4) x = 0,31
  10. 10. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 10 MÉTODO DE LA BISECCIÓN f(x)= 0 m = (an + bn) / 2 Si f(an) f(m) < 0 an+1 = an raíz en intervalo izquierdo bn+1 = m Si f(an) f(m) > 0 bn+1 = bn raíz en intervalo derecho an+1 = m Si f(an) f(m) = 0 x = m Iteración a f(a) b f(b) m f(m) 1 2 3 n 0 x = m
  11. 11. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 11 MÉTODO DE LA BISECCIÓN EJEMPLO 1 Determinar la raíz de la ecuación x3 - x - 1 = 0 en [1 ; 2], empleando el método de la bisección. Usar en los cálculos cuatro cifras decimales de aproximación. f(x)= x^3 - x -1 = 0 (1,2) Iteración a f(a) b f(b) m f(m) 1 1,0000 -1,0000 2,0000 5,0000 1,5000 0,8750 2 1,0000 -1,0000 1,5000 0,8750 1,2500 -0,2969 3 1,2500 -0,2969 1,5000 0,8750 1,3750 0,2246 4 1,2500 -0,2969 1,3750 0,2246 1,3125 -0,0515 5 1,3125 -0,0515 1,3750 0,2246 1,3438 0,0826 6 1,3125 -0,0515 1,3438 0,0826 1,3281 0,0146 7 1,3125 -0,0515 1,3281 0,0146 1,3203 -0,0187 8 1,3203 -0,0187 1,3281 0,0146 1,3242 -0,0021 9 1,3242 -0,0021 1,3281 0,0146 1,3262 0,0062 10 1,3242 -0,0021 1,3262 0,0062 1,3252 0,0020 11 1,3242 -0,0021 1,3252 0,0020 1,3247 0,0000 x = 1,3247 a1 = 1 f(a1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 b1 = 2 f(b1) = 2^3 - 2 - 1 = 5 m = (1 + 2) / 2 = 1,5 f(m) = 1,5^3 - 1,5 - 1 = 0,8750
  12. 12. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 12 MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN f(x)= 0 m = (f(bn) an - f(an) bn) / (f(bn) - f(an)) Si f(an) f(m) < 0 an+1 = an bn+1 = m Si f(an) f(m) > 0 bn+1 = bn an+1 = m Si f(an) f(m) = 0 x = m Iteración a f(a) b f(b) m f(m) 1 2 3 n 0 x = m
  13. 13. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 13 MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN EJEMPLO 1 Determinar la raíz de la ecuación x 3 - x - 1 = 0 en [1 ; 2], empleando el método de la falsa posición. Usar en los cálculos cuatro cifras decimales de aproximación. f(x)= x^3 - x -1 Iteración a f(a) b f(b) m f(m) 1 1,0000 -1,0000 2,0000 5,0000 1,1667 -0,5787 2 1,1667 -0,5787 2,0000 5,0000 1,2531 -0,2854 3 1,2531 -0,2854 2,0000 5,0000 1,2934 -0,1295 4 1,2934 -0,1295 2,0000 5,0000 1,3113 -0,0566 5 1,3113 -0,0566 2,0000 5,0000 1,3190 -0,0243 6 1,3190 -0,0243 2,0000 5,0000 1,3223 -0,0104 7 1,3212 -0,0148 2,0000 5,0000 1,3232 -0,0063 8 1,3232 -0,0063 2,0000 5,0000 1,3241 -0,0027 9 1,3241 -0,0027 2,0000 5,0000 1,3245 -0,0011 10 1,3245 -0,0011 2,0000 5,0000 1,3246 -0,0005 11 1,3246 -0,0005 2,0000 5,0000 1,3247 -0,0002 12 1,3247 -0,0002 2,0000 5,0000 1,3247 -0,0001 13 1,3247 -0,0001 2,0000 5,0000 1,3247 0,0000 x = 1,3247 a1 = 1 f(a1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 b1 = 2 f(b1) = 2^3 - 2 - 1 = 5 m = (5 x 1 - (-1) x 2) / (5 - (-1)) = 1,6667 f(m) = 1,6667^3 - 1,6667 - 1 = -0,5787
  14. 14. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 14 Interpolación de Newton Tabla de de diferencias finitas i X Y ∆Y ∆ 2 Y ∆ 3 Y ∆ 4 Y 0 X0 Y0 1 X1 Y1 Y1-Y0 2 X2 Y2 Y2-Y1 ∆Y1-∆Y0 3 X3 Y3 Y3-Y2 ∆Y2-∆Y1 ∆Y 2 1-∆Y 2 0 4 X4 Y4 Y4-Y3 ∆Y3-∆Y2 ∆Y 2 2-∆Y 2 1 ∆Y 3 1-∆Y 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 k 0 2 n 0 h x x k x x /h k k 1 k k 1 k 2 k n 1k y y y y y 1! 2! n! −= − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⋅⋅ − + = + ⋅∆ + ⋅∆ +⋅⋅⋅+ ⋅∆
  15. 15. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 15 Interpolación de Newton Ejemplo 1 Para la función definida en la tabla, determinar el valor de Y para x=3,2 , con tres decimales de aproximación. Xi Yi 0 2 2 8 4 62 6 212 8 506 10 992 X 3,2 i Xi Yi ∆Y ∆ 2 Y ∆ 3 Y 1 0 2 2 2 8 6 3 4 62 54 48 4 6 212 150 96 48 5 8 506 294 144 48 6 10 992 486 192 48 h= 2 k= 0,6 =(3,2-2)/2 Y= 31,568 =8+0,6/1*54+0,6*(0,6-1)/2*96+0,6*(0,6-1)*(0,6-2)/6*48
  16. 16. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 16 Interpolación de Lagrange X i Xi Yi X-Xi X1-Xi X2-Xi X3-Xi … Xn-Xi Lk Lk x Yk 1 2 3 : n Π Σ n i k i 1 k i i k n k k k 1 x x L (x) x x P(x) y L = ≠ = − = − = ⋅ ∏ ∑
  17. 17. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 17 Interpolación de Lagrange Ejemplo 1 Para la función definida en la tabla, determinar el valor de Y para x=2 , con cuatro decimales de aproximación. Xi Yi 0 2 1 3 4 18 6 38 X 2 i=k Xi Yi X-Xi X1-Xi X2-Xi X3-Xi X4-Xi Lk Lk x Yk 1 0 2 2 1 4 6 -0,3333 -0,6667 2 1 3 1 -1 3 5 1,0667 3,2000 3 4 18 -2 -4 -3 2 0,3333 6,0000 4 6 38 -4 -6 -5 -2 -0,0667 -2,5333 Π 16 -24 15 -24 60 Σ 6
  18. 18. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 18 INTEGRACIÓN NUMÉRICA F(x) = y xn yn x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 n a b h =(b-a)/n TRAPECIO I1/2 =h/2*(y0+y6+2*(y1+y2+y3+y4+y5)) SIMPSON 1/3 I1/3 =h/3*(y0+y6+2*(y2+y4)+4*(y1+y3+y5)) SIMPSON 3/8 I3/8 =3h/8*(y0+y6+2*(y3)+3*(y1+y2+y4+y5))
  19. 19. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 19 INTEGRACIÓN NUMÉRICA EJEMPLO 1 Calcular el valor de la integral definida, aplicando la fórmula de los trapecios para n = 6, con cuatro decimales de aproximación. F(x)= (x3 -12*x2 -4*x+336)/48 n xn yn 0 2 6 1 4 4 2 6 2 3 8 1 4 10 2 5 12 6 6 14 14 n= 6 a= 2 b= 14 h= 2 =(14-2)/6 TRAPECIO I= 50 =2/2*(6+14+2*(4+2+1+2+6)) SIMPSON 1/3 I= 48 =2/3*(6+14+2*(2+2)+4*(4+1+6)) SIMPSON 3/8 I= 48 =2*3/8*(6+14+2*1+3*(4+2+2+6)) 14 3 2 2 x 12x 4x 336 dx 48 − − + ∫
  20. 20. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 20 MÉTODO DE EULER y ' = f(x , y) yn+1= yn + h f(xn , yn) x0 : abscisa inicial y0 : ordenada inicial h : paso n xn yn 0 x0 y0 1 x1 y1 2 x2 y2 : : : n xn yn
  21. 21. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 21 MÉTODO DE EULER Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, calcular el valor de la solución de esta ecuación para el valor de x=1 utilizando el método de EULER. yn+1= yn + h f(xn , yn) y ' = y - x h = 0,1 n xn yn 0 0 2,0000 1 0,1 2,2000 y1 =2+0,1*(2-0) 2 0,2 2,4100 y2 =2,2+0,1*(2,2-0,1) 3 0,3 2,6310 y3 =2,41+0,1*(2,41-0,2) 4 0,4 2,8641 y4 =2,631+0,1*(2,631-0,3) 5 0,5 3,1105 y5 =2,8641+0,1*(2,8641-0,4) 6 0,6 3,3716 y6 =3,1105+0,1*(3,1105-0,5) 7 0,7 3,6487 y7 =3,3716+0,1*(3,3716-0,6) 8 0,8 3,9436 y8 =3,6487+0,1*(3,6487-0,7) 9 0,9 4,2579 y9 =3,9436+0,1*(3,9436-0,8) 10 1 4,5937 y10 =4,2579+0,1*(4,2579-0,9)
  22. 22. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 22 MÉTODO DE HEUN y ' = f(x , y) yn+1,p= yn + h f(xn , yn) Predictor yn+1,c= yn + h/2 (f(xn , yn)+ f(xn+1 , yn+1,p)) Corrector yn+1= yn + h/2 (f(xn , yn) + f(xn + h , yn + h f(xn , yn)) x0 : abscisa inicial y0 : ordenada inicial h : paso n xn yn 0 x0 y0 1 x1 y1 2 x2 y2 : : : n xn yn
  23. 23. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 23 MÉTODO DE HEUN Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, calcular el valor de la solución de esta ecuación para el valor de x=1 utilizando el método de HEUN. yn+1= yn + h/2 (y'n + f(xn + h , yn + h y'n)) y ' = y - x h = 0,1 n xn yn 0 0 2,0000 1 0,1 2,2050 y1 =2+0,1/2*((2-0)+(2+0,1*(2-0)-0,1)) 2 0,2 2,4210 y2 =2,205+0,1/2*((2,205-0,1)+(2,205+0,1*(2,205-0,1)-0,2)) 3 0,3 2,6492 y3 =2,421+0,1/2*((2,421-0,2)+(2,421+0,1*(2,421-0,2)-0,3)) 4 0,4 2,8909 y4 =2,6492+0,1/2*((2,6492-0,3)+(2,6492+0,1*(2,6492-0,3)-0,4)) 5 0,5 3,1474 y5 =2,8909+0,1/2*((2,8909-0,4)+(2,8909+0,1*(2,8909-0,4)-0,5)) 6 0,6 3,4204 y6 =3,1474+0,1/2*((3,1474-0,5)+(3,1474+0,1*(3,1474-0,5)-0,6)) 7 0,7 3,7116 y7 =3,4204+0,1/2*((3,4204-0,6)+(3,4204+0,1*(3,4204-0,6)-0,7)) 8 0,8 4,0228 y8 =3,7116+0,1/2*((3,7116-0,7)+(3,7116+0,1*(3,7116-0,7)-0,8)) 9 0,9 4,3562 y9 =4,0228+0,1/2*((4,0228-0,8)+(4,0228+0,1*(4,0228-0,8)-0,9)) 10 1 4,7141 y10 =4,3562+0,1/2*((4,3562-0,9)+(4,3562+0,1*(4,3562-0,9)-1))
  24. 24. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 24 RUNGE - KUTTA y ' = f(x , y) x0= y0= h= k1= f(xn , yn) k2= f(xn+h/2 , yn + h k1/2) k3= f(xn+h/2 , yn + h k2/2) k4= f(xn+h , yn + h k3) φ= (k1 + 2 k2+2 k3 + k4)/6 yn+1= yn + h φ n xn yn k1 k2 k3 k4 φn 0 1 2 3 : n
  25. 25. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 25 RUNGE - KUTTA Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, h=0,1 , calcular el valor de la solución de esta ecuación para el valor de x=1 utilizando el método de RUNGE KUTTA, con 4 cifras decimales de aproximación. k1= f(xn , yn) k2= f(xn+h/2 , yn + h k1/2) k3= f(xn+h/2 , yn + h k2/2) k4= f(xn+h , yn + h k3) φ= (k1 + 2 k2+2 k3 + k4)/6 yn+1= yn + h φ y ' = y - x h= 0,1 n xn yn k1 k2 k3 k4 φn 0 0,00 2,0000 2,0000 2,0500 2,0525 2,1053 2,0517 1 0,10 2,2052 2,1052 2,1604 2,1632 2,2215 2,1623 2 0,20 2,4214 2,2214 2,2825 2,2855 2,3500 2,2846 3 0,30 2,6499 2,3499 2,4174 2,4207 2,4919 2,4197 4 0,40 2,8918 2,4918 2,5664 2,5701 2,6488 2,5690 5 0,50 3,1487 2,6487 2,7312 2,7353 2,8222 2,7340 6 0,60 3,4221 2,8221 2,9132 2,9178 3,0139 2,9163 7 0,70 3,7138 3,0138 3,1144 3,1195 3,2257 3,1179 8 0,80 4,0255 3,2255 3,3368 3,3424 3,4598 3,3406 9 0,90 4,3596 3,4596 3,5826 3,5887 3,7185 3,5868 10 1,00 4,7183 k1= =2-0 k2= =(2+0,1*2/2)-(0+0,1/2) k3= =(2+0,1*2,05/2)-(0+0,1/2) k4= =(2+0,1*2,0525)-(0+0,1) φ= =(2+2*2,05+2*2,0525+2,1053)/6 y1= =2+0,1*2,0517
  26. 26. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 26 MILNE yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn) yn+1,c= yn-1 + 1/3 h ( fn-1 + 4 fn+ fn+1,p) y ' = 1/2 (1 + x) y 2 = f (x,y) h= 0,1 n xn yn,p fn,p yn,c fn,c 0 0,00 1,000000 0,500000 1 0,10 1,055409 0,612638 2 0,20 1,123596 0,757481 3 0,30 1,208459 0,949243 4 0,40 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913 5 0,50 1,454015 1,585620 1,454543 y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3) y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504 f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2 f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386 y4,c= y2 + 1/3 h ( f2 + 4 f3+ f4,p) y4,c= 1,123596+1/3*0,1*(0,757481+4*0,949243+1,211386) =1,315791 f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211913 y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4) y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,211913) =1,454015 f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2 f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454015^2 =1,585620 y5,c= y3 + 1/3 h ( f3 + 4 f4 + f5,p) y5,c= 1,208459+1/3*0,1*(0,949243+4*1,211913+1,58562) =1,454543
  27. 27. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 27 MILNE MODIFICADO yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn) yn+1,m= yn+1,p + 28/29 ( yn - yn,p) yn+1,c= yn-1 + 1/3 h ( fn-1 + 4 fn+ fn+1,m) y ' = 1/2 (1 + x) y 2 h= 0,1 n xn yn,p fn,p yn,m fn,m yn,c fn,c 0 0,00 1,000000 0,500000 1 0,10 1,055409 0,612638 2 0,20 1,123596 0,757481 3 0,30 1,208459 0,949243 4 0,40 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913 5 0,50 1,454015 1,585620 1,454292 1,586223 1,454563 y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3) y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504 f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2 f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386 y4,c= y2 + 1/3 h ( f2 + 4 f3+ f4,p) y4,c= 1,123596+1/3*0,1*(0,757481+4*0,949243+1,211386) =1,315791 f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211913 y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4) y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,211913) =1,454015 f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2 f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454015^2 =1,585620 y5,m= y5,p + 28/29 ( y4 - y4,p) y5,m= 1,454015+0,96551724137931*(1,315791-1,315504) =1,454292 f5,m= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f5,m= 0,5*(1+0,5)*1,454292^2 =1,586223 y5,c= y3 + 1/3 h ( f3 + 4 f4+ f5,m) y5,c= 1,208459+1/3*0,1*(0,949243+4*1,211913+1,586223) =1,454563
  28. 28. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 28 HAMMING yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn) yn+1,c= 1/8 (9 yn - yn-2)+ 3/8 h ( fn+1,p + 2 fn - fn-1) y ' = 1/2 (1 + x) y 2 h= 0,1 n xn yn,p fn,p yn,c fn,c 0 0,00 1,000000 1,000000 0,500000 1 0,10 1,055409 1,055409 0,612638 2 0,20 1,123596 1,123596 0,757481 3 0,30 1,208459 1,208459 0,949243 4 0,40 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940 5 0,50 1,454022 1,585635 1,454591 y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3) y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504 f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2 f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386 y4,c= 1/8 (9 y3 - y1)+ 3/8 h (- f2 + 2 f3+ f4,p) y4,c= 1/8*(9*1,208459-1,055409)+3/8*0,1*(-0,757481+2*0,949243+1,211386) =1,315805 f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211940 y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4) y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,21194) =1,454022 f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2 f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454022^2 =1,585635 y5,c= 1/8 (9 y4 - y2)+ 3/8 h (- f3 + 2 f4 + f5,p) y5,c= 1/8*(9*1,315805-1,123596)+3/8*0,1*(-0,949243+2*1,21194+1,585635) =1,454591
  29. 29. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 29 HAMMING MODIFICADO yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn) yn+1,m= yn+1,p + 112/121 ( yn - yn,p) yn+1,c= 1/8(9yn - yn-2)+ 3/8 h ( fn+1,m + 2 fn - fn-1) y ' = 1/2 (1 + x) y 2 h= 0,1 n xn yn,p fn,p yn,m fn,m yn,c fn,c 0 0,00 1,000000 0,500000 1 0,10 1,055409 0,612638 2 0,20 1,123596 0,757481 3 0,30 1,208459 0,949243 4 0,40 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940 5 0,50 1,454022 1,585635 1,454300 1,586242 1,454614 y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3) y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638- 0,757481+2*0,949243) =1,315504 f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2 f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386 y4,c= 1/8 (9 y3 - y1) + 3/8 h (- f2 + 2 f3 + f4,p) y4,c= 1/8*(9*1,208459-1,055409)+3/8*0,1*(-0,757481+2*0,949243+1,211386) =1,315805 f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315805^2 =1,211940 y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4) y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,21194) =1,454022 f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2 f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454022^2 =1,585635 y5,m= y5,p + 112/121 ( y4 - y4,p) y5,m= 1,454022+112/121*(1,315805-1,315504) =1,454300 f5,m= 0,5 (1 + x4) y4,c^2 f5,m= 0,5*(1+0,5)*1,4543^2 =1,586242 y5,c= 1/8 (9 y4 - y2) + 3/8 h (- f3 + 2 f4 + f5,p) y5,c= 1/8*(9*1,315805-1,123596)+3/8*0,1*(-0,949243+2*1,21194+1,586242) =1,454614
  30. 30. CÁLCULO NUMÉRICO Ing. Rubén Zárate Rojas 30 Bibliografía 1.- Métodos Numéricos Rodolfo Luthe – Antonio Olivera – Fernando Schutz Limusa 2.- Métodos Numéricos para Ingeniería Steven Chapra – Raymond Canale Mc Graw Hill 3.- Análisis Numérico W. Allen Smith Prentice Hall 4.- Métodos Numéricos Terrence Akai Limusa Wiley 5.- Análisis Numérico con aplicaciones Curtis Gerald – Patrick Wheatley Prentice Hall 6.- Métodos Numéricos aplicados en Ingeniería. Jean Marie Ledanois – Aura López de Ramos – José Pimentel – Filipo Piranti Mc Graw Hill 7.- Métodos Numéricos con MATLAB John Mathews – Kurtis Fink Pearson Prentice Hall 8.- Problemas de Cálculo Numérico para ingenieros con aplicaciones Matlab. Sánchez – Souto Mc Graw Hill

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