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12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos 
Problema 1.1 
Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. 
600 2 2 
  ˜   
600 2 2 
F 
H 
F 
A 
Resolución: 
a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. 
b) Cálculo de las reacciones. 
Tomamos momentos respecto al punto C: 
¦Mc   0 Ÿ 6 600 3 600 2 800 0 100 
N = -33,3 N 
3 
 
RAV ˜  ˜  ˜    Ÿ RAV    
Suma de fuerzas verticales y horizontales: 
N 
600 1900 
3 
¦ FV   0 Ÿ RAV  600  RCV   0 Ÿ 100    RCV 
  3 
¦FH   0 Ÿ RAH   600 N 
600 N 
2 
600 N 
2 
  ˜   
V 
Ejes globales 
B 
C 
E 
D 
600 2 N 
45o 
3 m 3 m 2 m 
2 m 
800 Nm 
A 
B 
C 
E 
D 
600 N 
600 N 
RAV 
RAH RCV 
800 Nm
1 Diagramas de esfuerzos 13 
c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. 
( )   ˜    100 ˜      M x RAV x x M A MB 
TramoAB: 0 100 Nm 
3 
Tramo BC: 
Diagramas. 
M x R x x 
( )   ˜  600(  3)  600 ˜ 
2 
   ˜     
B 
M 
A B C D 
100 
Equilibrio del nudo B. 
6 600 3 600 2 800 Nm 
100 
100 
3 
3 0 1200 1100 Nm 
3 
   ˜  ˜  ˜    
C 
AV 
M 
600 N 
600 N 
- 
600 N 
600 N 
1900 N 
3 
B 
100/3 N 
B 
E 
+ 
A B C D 
600 N 
A B C D 
B 
E 
- 
- 
+ 
1200 N·m 
-100 N·m 
-800 N·m 
B 
E 
+ 
600 N 
1900 
3 
N 
- 
N 
T 
M 
1100 N·m 
- 
N 
3
14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos 
Problema 1.2 
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a 
una carga repartida triangular. 
A B 
Resolución: 
a) Cálculo de la reacciones. 
1600 6   
6 m 
Resultante de la carga 4800 N 
2 
˜ 
Q   . 
4800 N 
A B 
RA RB 
4 m 2 m 
R R 
   
¦ 
6 m 
0 6 4800 4 
A B 
4800 4 
1600 N 
3200 N 
6 
4800 
  
  
˜ 
  
  Ÿ ˜   ˜ 
B 
A 
A B 
R 
R 
M R 
x 
1600 N 
m 
T 
6
1 Diagramas de esfuerzos 15 
b) Cálculo de los esfuerzos de sección. 
A B 
L = 6 m 
d[ 
Sección situada a una distancia x del apoyo A: 
T: 
[ [ [ 
2 
x x 
1600 1600 1600 
   ³   ³ 
T q d d 
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1600 1600 
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1600 1600 1600
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³ ˜    ³ ˜  
M x q x d x x d 
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1600 1600 
6 6 
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2 3 
§ 
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§ 
1600 1600 
§ 
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1600 N 3200 N 
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  • 1. 12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. 600 2 2 ˜ 600 2 2 F H F A Resolución: a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Cálculo de las reacciones. Tomamos momentos respecto al punto C: ¦Mc 0 Ÿ 6 600 3 600 2 800 0 100 N = -33,3 N 3 RAV ˜ ˜ ˜ Ÿ RAV Suma de fuerzas verticales y horizontales: N 600 1900 3 ¦ FV 0 Ÿ RAV 600 RCV 0 Ÿ 100 RCV 3 ¦FH 0 Ÿ RAH 600 N 600 N 2 600 N 2 ˜ V Ejes globales B C E D 600 2 N 45o 3 m 3 m 2 m 2 m 800 Nm A B C E D 600 N 600 N RAV RAH RCV 800 Nm
  • 2. 1 Diagramas de esfuerzos 13 c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. ( ) ˜ 100 ˜ M x RAV x x M A MB TramoAB: 0 100 Nm 3 Tramo BC: Diagramas. M x R x x ( ) ˜ 600( 3) 600 ˜ 2 ˜ B M A B C D 100 Equilibrio del nudo B. 6 600 3 600 2 800 Nm 100 100 3 3 0 1200 1100 Nm 3 ˜ ˜ ˜ C AV M 600 N 600 N - 600 N 600 N 1900 N 3 B 100/3 N B E + A B C D 600 N A B C D B E - - + 1200 N·m -100 N·m -800 N·m B E + 600 N 1900 3 N - N T M 1100 N·m - N 3
  • 3. 14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular. A B Resolución: a) Cálculo de la reacciones. 1600 6 6 m Resultante de la carga 4800 N 2 ˜ Q . 4800 N A B RA RB 4 m 2 m R R ¦ 6 m 0 6 4800 4 A B 4800 4 1600 N 3200 N 6 4800 ˜ Ÿ ˜ ˜ B A A B R R M R x 1600 N m T 6
  • 4. 1 Diagramas de esfuerzos 15 b) Cálculo de los esfuerzos de sección. A B L = 6 m d[ Sección situada a una distancia x del apoyo A: T: [ [ [ 2 x x 1600 1600 1600 ³ ³ T q d d 0 0 x 0 2 1600 1600 12 ª 1600 1600 ˜ 6 2 6 º T x »¼ «¬ [ M: x x 1600 1600 1600
  • 6. ³ ˜ ³ ˜ M x q x d x x d [ [ [ [ [ 0 0 x 0 1600 1600 6 6 ª 1600 1600 2 3 § M x x ˜ 6 2 3 § 1600 1600 § ˜ 6 2 3 6 · · · º 3 3 3 M x x x x x ˜ ¸¸ ¹ ¨¨ © ¸¸¹ ¨¨© ¨¨© »»¼ ««¬ ¸¸¹ [ [ x 1600 N m 1600 N 3200 N [ x-[
  • 7. 16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos c) Diagramas. d) Punto de Mmáx A T Ÿ M T x x o 3,46 3695 Nm 0 0 1600 1600 1600 3,46 1600 12 12 3,46 m 12 2 máx 2 ˜ ˜ w w M T T x 1600 N 3695 Nm 3200 N - M + +
  • 8. 1 Diagramas de esfuerzos 17 Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. Resolución: 200 2 N 400 2 N 45q Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. F R R RAH 0 200 2 0 Ÿ V AV C F R 0 400 2 N Ÿ H AH M R R 0 4 400 2 2 200 2 2 0 300 2 N Ÿ ˜ ˜ ˜ Ÿ ¦¦¦ A C C 2 m 2 m 2 m C B A 200 2 400 2 C B A RAV RC
  • 9. 18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos por tanto, RAV 100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras, 400 2 Diagrama Diagrama Diagrama 400 400 400 400 400 2 100 100 100 100 100 2 100 2 300 300 300 300 300 2 300 2 N + - C A B 500 N -300 N T + - C A B 300 N 300 N M
  • 10. 1 Diagramas de esfuerzos 19 x + M = 300 · x 0 600 2 Nm B A M B M M = 300 · x’ 0 600 2 Nm C M B M A Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica. Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que 0 0 ¦M ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O. C B 300 N x’ + 200 2 G 400 2 C B RA RC F RA G RC F // OA // OC
  • 11. 20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. p = 600 N ml 4000 N 3000 N Resolución: Cálculo de las reacciones: M R R : 4000 2 600 6 3 6 3000 8 4467 N 6133 N : 4000 600 6 3000 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Ÿ ˜ ¦ ¦ B C C B V B C R F R R Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: M x 4000 ˜ M A MB 0 8000 Nm Tramo BC:
  • 13. M x x x 4000 6133 2 600 2 8000 Nm 6000 Nm 2 2 ˜ ˜ ˜ MB MC Tramo CD:
  • 16. M x x x x 4000 6133 2 600 6 5 4467 8 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ MC 6000 Nm MD 0 Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: 4000 N TA TB 4000 N 4000 N T P1 A B C P2 D a = 2 m L = 6 m b = 2 m
  • 17. 1 Diagramas de esfuerzos 21 Tramo BC:
  • 18. T x x ˜ TB TC 4000 6133 600 2 2133 N 1467 N Tramo CD: 4000 6133 3600 4467 TC TD 3000 N 3000 N T T El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: 0 : 4000 6133 600 ˜ 2
  • 19. 0 Ÿ 5,35m M w w T xE xE x ME = -4208 Nm D -8000 -6000 2133 -4000 -4000 3000 3000 -1467 M ( Nm ) ( N ) - - - + + E xE A B C a = 2 m L = 6 m b = 2 m
  • 20. 22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.5 En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga. Resolución: 4 KN 0,5m 5 KN/m 1 m 2 m 1 m a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: ¿¾½ 4 KN 0.5m 14 KN ˜ ˜ ˜ 4 0,5 10 2 22 KN m E M E F 4 KN 2 m 0.5m FE 10 KN ME Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga. 1 m 2 m FE ME 5 KN/m
  • 21. 1 Diagramas de esfuerzos 23 b) Diagramas 0,5 2 m 1 m Tramo AB: M = 0 T = 0 Tramo BC:
  • 23. M x M KN m 0 5 1
  • 25. ˜ 10 KN B M T x T 5 1 KN 0 0 2 2 2 ˜ ˜ B C C T 4 KN 5 KN/m 0,5 - + M T E D C B A x
  • 26. 24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Tramo CD:
  • 28. M x M 10 2 KN m 10 KN m ˜ ˜ ˜
  • 29. 15 KN m ˜ C M T T 10 KN 10 KN 10 KN C D D T Tramo DE:
  • 32. M x x M 10 2 4 3,5 KN m 15 KN m ˜ ˜ ˜ ˜
  • 33. 22 KN m ˜ D M T T 10 4 14 KN 14 KN 14 KN D E E T Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en este caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico; pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
  • 34. 26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.1 Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro ‡ 4 mm , y cuyos módulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. A B P=500 N 600 mm Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones. RA RB 'LA 'LB A B F Ÿ R R P 0 Ÿ ˜ V A B 0 ( ) 0 ¦¦ M R L P L x B A x 300 mm ‡ 4 mm ‡ 4 mm E1 E2 P=500 N
  • 35. 2 Esfuerzo normal 27 R 210000 R R R R E E 125 N 375 N L L ' ' A B R L S E R L S E 3 500 500 4 3 70000 Ley de Hooke : 2 1 1 2 Ÿ Ÿ Ÿ ˜ ˜ Ÿ ˜ ˜ ˜ ˜ B B B A A B B B A A A B B R R R R De la ecuación de los momentos obtenemos x: RA L P L x ˜ ( ) 0 x x ˜ Ÿ 375 600 500(600 ) 0 150mm
  • 36. 28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 . Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2·105 MPa. Resolución: ¦FV 0 RA+ RD = 15 T = 150000 N Ecuación de deformación El tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD está traccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior: 'LAB 'LBC 'LCD Aplicando la ley de Hooke: 'L F ˜ L A ˜ E R ˜ L D CD b R ˜ L A BC b R ˜ L A AB a E A E A E A ˜ ˜ ˜ B C 1 m 3 m 1 m 15 T A Aa=40 cm2 Ab=80 cm2 D
  • 37. 2 Esfuerzo normal 29 1000 RA ˜ 1000 RA 3000 RD ˜ ˜ 5 2 2 10 5 80 10 2 2 105 80 102 2 10 40 10 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ RA ˜ 2000 RA ˜ 3000 RD ˜1000 Resolviendo las ecuaciones, tenemos R . 25000 N 2 5T A R . 125000 N 12 5T B Cálculo de las tensiones. 25000 N 2 2 Tramo AB: 6.25MPa (COMP.) ˜ 40 10 mm V AB 25000 N 2 2 Tramo BC: 3.125MPa (COMP.) ˜ 80 10 mm V BC 125000 N 2 2 Tramo CD: 15.625MPa (TRAC.) ˜ 80 10 mm V CD Diagrama de esfuerzos normales: A B C 1 m 3 m 1 m 15 T D RA RD A B C D 2.5 T 12.5 T - +
  • 38. 30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso G del punto C, siendo D=20º. Datos: E=2,1·105 MPa. b) Resolver para D=0º. Resolución: a) Para D=20º: A B L L P C Del equilibrio del punto C se obtiene N P D D 2sen 2 sen N P Sea G (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, 'L, será C’C1 pudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es 'L . Como por otra D G sen parte: 'L NL , se tiene que: EA 1,13mm PL NL ˜ 5000 3500 sen D 2 sen 2 D 2 ˜ 2.1 ˜ 10 5 ˜ 3,14 ˜ 10 2 ˜ 0.34202 2 G EA EA b) Para D=0º: N D P N Equilibrio del punto C N N D P D L L A C B G P E C1 D C’ C1 G
  • 39. 2 Esfuerzo normal 31 De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían. A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las deformaciones en este caso. Poniendo G tg E # E (para ángulos pequeños) L el alargamiento de las barras vale AC AC 2 2 L L § 1 1 1 1 AC 2 2 2 2 ¸¹ H 1 G G E ¨© · E # L L Esta última igualdad proviene de la expresión: 1 r a 1 r a 1 2 1 r 1 a 1 a2 r 1 a3 5 a4 r
  • 40. ! 128 16 8 2 Para a1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 1 r a 1 r a . 2 El esfuerzo normal en una de las barras es: E 2 N V ˜ A E ˜H ˜ A E ˜ A˜ 2 Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce P E A 2 P N ˜ | N ˜ P Ÿ N Ÿ ˜ ˜ E E E E E 2 2 2 2 sen Resulta P ˜ 3 E A E L L P 3 E ˜ A G E ˜ ˜
  • 41. 32 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Aplicando los datos numéricos del problema: 148mm 3500 5000 3 5 2 2.1 ˜ 10 ˜ 3,14 ˜ 10 G ˜ | 148 L 0,04229 rad 2,42º 3500 E G 59116 N 5000 2 0,04229 N P 2 ˜ E 188 N/mm2 59116 A 314 V N