Excelente libro de Calculo II (Sucesiones, Derivadas, Integracion, etc.) ...

1. COMPLEMENTO DE CÁLCULO
D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

2. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
INTRODUCCION
VIRGINIO GOMEZ
Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de
recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la
fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado
nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una
formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.
Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades
productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en
los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),
transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y
mantención en sectores productivos.
Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar
fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en
mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones
escalares o vectoriales de una o varias variables.

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INDICE
VIRGINIO GOMEZ
Pág.
I SUCESIONES Y SERIES
Sucesiones ........................................................................................................... 3
Límite de una sucesión ......................................................................................... 4
Serie .................................................................................................................... 7
Serie geométrica .................................................................................................. 8
Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 9
Teoremas sobre series ........................................................................................ 11
Criterio para establecer la convergencia de serie:
criterio de comparación .................................................................. 13
criterio de la integral ..................................................................... 16
criterio de la serie alterna ............................................................... 19
criterio de la razón ....................................................................... 23
Serie de potencias ................................................................................................ 26
Serie de Taylor ................................................................................................... 30
II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Funciones de más de una variable ...................................................................... 35
Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 36
III DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales .................................................................................. 40
Derivación implícita ........................................................................................... 45
Regla de la cadena ........................................................................................... 48
Aplicaciones de las regla de cadena:
problemas con enunciado ................................................................ 55
demostraciones .............................................................................. 59
Derivada direccional ......................................................................................... 62
Gradientes ......................................................................................................... 66
Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 70
Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 73
Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 73
Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 73
Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 77
1

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IV INTEGRACION MULTIPLE
Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 82
VIRGINIO GOMEZ
planos ...................................................................................... .... 82
esfera ........................................................................................... 86
cilindro ........................................................................................... 87
cono .............................................................................................. 89
paraboloide .................................................................................... 91
Integrales dobles .................................................................................................... 92
Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 95
Aplicaciones de la integral doble:
cálculo de áreas en el plano ........................................................... 98
determinar el valor de la región ‘ ................................................. 103
cálculo de volúmenes ..................................................................... 108
Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 116
123
Coordenadas cilíndricas .....................................................................................
Coordenadas esféricas ........................................................................................ 128
V CAMPOS VECTORIALES
Campos vectoriales ............................................................................................ 136
campo vectorial conservativo ............................................................ 137
campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 137
Rotacional .......................................................................................................... 141
Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 141
Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 146
VI ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 150
Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 151
Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... 154
Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 158
VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162
VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178
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Sucesiones
VIRGINIO GOMEZ
naturales a œ ™  b
Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el
conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − 
Ejemplo:
n
1) Si , f (n) = entonces:
n+2
n 1 2 3 4 5 ... n
f (n) 1 1 3 2 5 ... n
3 2 5 3 7 n+2
Los pares ordenados serán:
 1  1  1  2  5  n 
1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ;  4 ,  ;  5 ,  ... n ,  ; ...
 3  2  3  3  7   n+ 2
Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la
notación { f (n)} = {a n } para representarla.
En el ejemplo
{ f (n)} = {a n } = {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,..., a n ,...}
{ f (n)} = 

n 
=
1 1 3 2 5
 , , , , , ...,
n 
, ...
n + 2  3 2 5 3 7 n+2 
2) 0 a8b œ œ
" si 8 es impar
$ si 8 es par
œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
3

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VIRGINIO GOMEZ
Concepto de Límite de una Sucesión
Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces
{ }
se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por :
lim a n = L
n→∞
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV.
Límite de una Sucesión
+
Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con lim f ( x) = L ,
x→∞
entonces si { a n } es una sucesión tal que f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
lim an = L
n→∞
Ejemplos À
Determinar si la sucesión es CV o DV
1) œ 
8
8#
0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö  # ×
B
B#
™ © ‘  Ö  #×
B
B B "
lim œ lim œ lim œ"
BÄ_ B# BÄ_ B # BÄ_ #
 "
B B B
8
Por lo tanto, lim œ ", luego la sucesión es CV.
8Ä_ 8#
2) œ 
"  &8$
#8$  %8
0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö! ×
"  &B$
#B$  %B
™  © ‘  Ö!×
4

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" &B$ "
"  &B $  $ & &
lim œ lim B$ B œ lim B$
VIRGINIO GOMEZ
œ
B Ä _ #B$  %B B Ä _ #B$ %B BÄ_ % #
 $ # #
B $ B B
"  &8$ &
Por lo tanto, lim œ , luego la sucesión es CV.
8 Ä _ #8$  %8 #
3) œ8 † =/8Š ‹
1
8
0 aBb œ B † =/8Š ‹ H970 aBb œ ‘  Ö! ×
1
B
™  © ‘  Ö!×
B † =/8Š ‹
1
lim œ_†!
BÄ_ B
=/8Š ‹
1
œ lim B
BÄ_ "
B
!
œ
!
-9=Š ‹
1 1
 #
œ Pw L lim B B
BÄ_ "
 #
B
1 -9=Š ‹
1
œ lim B
BÄ_ "
œ1
lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV.
1
Por lo tanto,
8Ä_ 8
5

8. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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VIRGINIO GOMEZ
Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces:
a) La sucesión {c} tiene como límite c
b) lim c ⋅ a n = c ⋅ lim an
n→∞ n→∞
c) lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
d) lim a n ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
an lim a n
lim n →∞
e) = si lim bn ≠ 0
n → ∞ bn lim bn n →∞
n →∞
Ejercicios
Determine si la sucesión CV o DV
a) œ  b) œ  c) œ 
8" #8#  " 8#  "
#8  " $8#  " 8
d) œ  e) œ  f) œ
È8#  "  8 
$8$ /8 "
#8#  8 8
Solución
a) CV b) CV
c) DV d) DV
e) DV f) DV
6

9. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Series
VIRGINIO GOMEZ
Concepto de Series Infinitas
Si {a n } es una sucesión infinita, entonces :
∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ...
n =1
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,...
se llaman términos de la serie infinita.
Sea la siguiente sucesión de sumas parciales
S1 = a1
S 2 = a1 + a 2
S 3 = a1 + a 2 + a3
M
S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n
∞
Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie ∑ an converge.
n =1
Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8  la sucesión de sumas parciales.
_
8œ"
Si lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie
8Ä_ 8
y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma.
8Ä_ 8
∞
Teorema : Si la serie ∑ an es CV, entonces lim a n = 0
n →∞
n =1
∞
Teorema : Si lim a n ≠ 0
n →∞
, entonces la serie dada ∑ an es DV.
n =1
Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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Serie Geométrica
VIRGINIO GOMEZ
La serie
Primer término
∞
∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a≠0
n =0
razón
Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón
Teorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ
_ +
si, y sólo si,
"<
¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸ "
8œ!
Ejemplos
Determine si las series son CV o DV
+Ñ " 8 œ " Œ 
_ " _ " 8 "
<œ "
# # #
8œ! 8œ!
"
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ#
"
"
#
,Ñ " Œ 
_ & 8 &
<œ "
% %
8œ!
Por lo tanto, la serie DV.
-Ñ " Œ  
_ " 8 "
<œ  "
# #
8œ!
" #
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
" $
"
#
.Ñ " # † Œ  
_ # 8 #
<œ  "
$ $
8œ!
# '
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
# &
"
$
/Ñ " $ † Œ 
_ ' 8 '
<œ " Por lo tanto, la serie DV.
& &
8œ!
8

11. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Serie p o serie Hiperarmónica
VIRGINIO GOMEZ
∞
1 1 1 1
La serie ∑ n p
= 1+
2 p
+
3 p
+L+
np
+L
n =1
se llama serie p con p>0
∞
1 1 1 1
Si p = 1 , entonces la serie ∑ n
= 1+ + +L+ +L
2 3 n
n =1
se denomina serie armónica.
Teorema À La serie : "
_ "
es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y
8:
8œ"
sólo si, !  : Ÿ "
Ejemplos
Determine si las series son CV o DV
+Ñ "
_ "
:œ" Por lo tanto, la serie DV
8
8œ"
,Ñ "
_ "
:œ$ Por lo tanto, la serie CV
8$
8œ"
-Ñ "
_ " "
"Î$
:œ Por lo tanto, la serie DV
8 $
8œ"
.Ñ "
_ "
:œ1 Por lo tanto, la serie CV
81
8œ"
/Ñ " $
_
È8%
" %
:œ Por lo tanto, la serie CV
$
8œ"
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12. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.
"Ñ " 8 #Ñ " Œ   $Ñ " #Œ 
_ % _ ( 8 _ ) 8
# $ &
8œ! 8œ! 8œ!
_ a&'b8
%Ñ " &Ñ " Ð  #&Ñ8 'Ñ "
_ $ _
Ð  ""Ñ8 $
8œ! 8œ! 8œ!
II Decida si las siguientes series : CV. o DV.
"Ñ " #Ñ " $Ñ "
_ " _ $ _ #
"&8 "& %Î*
8œ" 8 œ "8 8 œ "8
%Ñ " &Ñ " 'Ñ "
_ # _ % _ (
& &Î) "#Î&
8 œ "8 8 œ "8 8 œ "8
Solución
I
" (
1) < œ ß la serie CV 2) < œ  , la serie DV
# $
) "
3) < œ ß la serie DV 4) < œ  ß la serie CV
& ""
5) < œ  #&ß la serie DV 6) < œ &' ß la serie DV
II
1) : œ " ß la serie DV 2) : œ "& ß la serie CV
%
3) : œ ß la serie DV 4) : œ &ß la serie CV
*
& "#
5) : œ ß la serie DV 6) : œ ß la serie CV
) &
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13. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Teoremas sobre Series
VIRGINIO GOMEZ
Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número
_ _
8œ" 8œ"
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.
Ejemplo: Determine si la serie "
_ "
es CV o DV
8"
8œ"
"
_ " " " " " "
œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ y
8" # $ % & 8"
8œ"
"
_ " " " " " "
œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ
8 # $ % & 8
8œ"
La serie "
_ "
equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como
8"
8œ"
! " es DV, entonces "
_ _ "
es también DV.
8œ" 8 8"
8œ"
Teorema 2: Sea - una constante no nula:
a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su
_ _ _
8œ" 8œ" 8œ"
suma es -WÞ
b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV.
_ _
8œ" 8œ"
Ejemplo:
1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8
_ # _ " _ "
$ $ $
8œ" 8œ" 8œ"
" 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV.
_ " "
$ $
8œ"
" 8 es CV.
_ #
Así,
$
8œ"
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14. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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2) " œ "
_ _ #
$È 8 $ È8
# "
†
VIRGINIO GOMEZ
8œ" 8œ"
"
_
È8
" "
es serie : con : œ y por lo tanto DV.
#
8œ"
Así, "
_
È8
#
es DV.
$
8œ"
Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,
_ _
8œ" 8œ"
entonces:
a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B
_
8œ"
b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B
_
8œ"
Ejemplo:
" Œ 8  8 œ " 8 " 8
_ " $ _ " _ $
# & # &
8œ" 8œ" 8œ"
" 8 es CV y su suma es "
_ "
#
8œ"
" 8 es CV y su suma es
_ $ $
& %
8œ"
Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es
_ " $ (
# & %
8œ"
Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces
_ _
8œ" 8œ"
" a+8 „ ,8 b es DV.
_
8œ"
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15. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Ejemplo:
VIRGINIO GOMEZ
" Œ 8  œ " 8  "
_ & # _ & _ #
) *8 ) *8
8œ" 8œ" 8œ"
" 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV
_ & "
) )
8œ"
" † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV
_ # "
* 8
8œ"
Luego, " Œ 8   es DV.
_ & #
) *8
8œ"
Criterios para establecer la convergencia de series infinitas
A.- Criterio de comparación
∞
Sea ∑ an una serie de términos positivos:
n =1
∞
a) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces
n =1
∞
∑ an es CV.
n =1
∞
b) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces
n =1
∞
∑ an es DV
n =1
Ejemplos: Determine si la serie CV o DV.
"Ñ "
_ "
&8  "
8œ"
&8  " Ÿ '8 a8 − 
" "
&8  " '8
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16. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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" œ " † serie armónica y por lo tanto DV
_ " _ " "
'8 ' 8
VIRGINIO GOMEZ
8œ" 8œ"
Luego, "
_ "
es DV
&8  "
8œ"
#Ñ "
_ "
8#  %
8œ"
8#  % 8# a8 − 
" "
Ÿ #
8#  % 8
" # serie : con : œ # y por lo tanto CV
_ "
8
8œ"
Luego, "
_ "
#%
es CV.
8
8œ"
$Ñ " #
_ 8
8 "
8œ"
8 "
8
8# " #8
" "
"
# #
# "
#
& %
$ "
$
"! '
% "
%
"( )
& "
&
#' "!
8 "
8#  " #8
" œ " † serie armónica y por lo tanto DV
_ " _ " "
#8 # 8
8œ" 8œ"
Luego, " #
_ 8
es DV.
8 "
8œ"
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17. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
Decida si la serie CV. o DV.
"Ñ " #Ñ " 8
_ " _ "
$( % $
8œ" 8 8œ"
$Ñ " %Ñ "
_ " _ "
8œ"
8#
8œ" $8#  "
&Ñ "
_
È8  %
"
8œ"
Solución
1) CV 2) CV
3) DV 4) CV
5) DV
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18. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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B) Criterio de la Integral de Cauchy
VIRGINIO GOMEZ
Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la
∞ +∞
serie ∑ an es CV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es CV y la
n=1 1
∞ +∞
serie ∑ an es DV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es DV .
n=1 1
Ejemplos:
Determinar si la serie CV o DV.
"Ñ " 8 † /8
_
8œ"
0 aB b œ B † /  B 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
( (
_ ,
B † /B .B œ lim B † /B .B
" ,Ä_ "
( B † / .B
B
?œB Ê .? œ .B
.@ œ /B .B Ê @ œ  / B
( B † / .B œ  B/  (  / .B
B B B
œ  B/B  /B  G
B"
œ G
/B
( º
, B" ,
lim B † /B .B œ lim
,Ä_ " ,Ä_ /B "
," ""
œ lim 
,Ä_ /, /
," #
œ lim 
,Ä_ /, /
œ Pw L Œ lim , 
" #

,Ä_ / /
#
œ
/
Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV.
_
# _
B † /B .B CV a
" /
8œ"
16

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#Ñ "
_ E<->1 8
8#  "
VIRGINIO GOMEZ
8œ"
0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
E<->1 B
B#  "
( .B œ lim (
_
E<->1 B , E<->1 B
#"
.B
" B ,Ä_ " B#  "
(
E<->1 B "
.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B
B#  " "  B#
( .B œ ( ? .?
E<->1 B
B#  "
?#
œ G
#
aE<->1 Bb#
œ G
#
aE<->1 Bb# ,
( º
, E<->1 B
lim .B œ lim
,Ä_ " B#  " ,Ä_ # "
aE<->1 , b# aE<->1 "b#
œ lim 
,Ä_ # #
1# 1#
œ 
) $#
$1 #
œ
$#
Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " #
_
E<->1 B $1 # _ E<->1 8
.B CV a es CV.
" B#  " $# 8 "
8œ"
$Ñ "
_
È
"
8 œ " a8  "b 68a8  "b
0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
aB  "bÈ68aB  "b
"
( .B œ lim (
_ ,
aB  "bÈ68aB  "b " aB  "bÈ68aB  "b
" "
.B
" ,Ä_
( ? œ 68aB  "b
È68aB  "b
" "
aB  " b
.B Ê .? œ .B
B"
17

20. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
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( .B œ (
aB  "bÈ68aB  "b È?
" "
.?
VIRGINIO GOMEZ
œ ( ? # .?
"
œ # È?  G
œ # È68aB  "b  G
( .B œ lim # È68aB  "b º
, ,
aB  "bÈ68aB  "b
"
lim
,Ä_ " ,Ä_ "
œ lim #È68a,  "b  #È68#
,Ä_
œ _  #È68#
œ_
Por lo tanto, (
_
aB  "bÈ68aB  "b
"
.B DV Þ Luego la serie
"
"
_
È68a8  "b
"
a8  " b
es DV.
8œ"
Ejercicios
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ " #Ñ "
_ " _ 8#
#8  " $
8œ" 8œ" 8 #
$Ñ " %Ñ "
_ " _ /"Î8
8 œ # 8 a688b
# 8#
8œ"
&Ñ "
_
È8#  "
"
8œ"
Solución
1) DV 2) DV
3) CV 4) CV
5) DV
18

21. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Series infinitas de términos positivos y negativos
VIRGINIO GOMEZ
Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces:
∞
∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an
n =1
y
∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an
n =1
Se denominan series alternas o series alternantes.
Ejemplos:
"Ñ " a  "b8 † œ      ÞÞÞ  a  "b8 †
_ " " " " " "
8" # $ % & 8"
8œ"
#Ñ " a  "b8  " † œ "      ÞÞÞ  a  "b8  " †
_ " " " " " "
8 # $ % & 8
8œ"
C.- Criterio de la serie alterna
∞
Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas ∑ (−1) n ⋅ an y
n =1
∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an convergen si, y sólo si:
n =1
a) 0 < a n +1 < a n ∀ n ∈ 
b) lim a n = 0
n→∞
19

22. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Ejemplos:
VIRGINIO GOMEZ
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ " a  "b8 †
_ "
$8
8œ"
" "
$ a8  " b
+8  " œ +8 œ
$8
" "
+Ñ  a8 − 
$8  $ $8
"
,Ñ lim œ!
8Ä_ $8
Por lo tanto, la serie CV.
#Ñ " a  "b8  " † #
_ "
8 "
8œ"
" "
a8  " b  "
+8  " œ #
+8 œ
8# "
" "
+Ñ  # a8 − 
8#  #8  # 8 "
"
,Ñ lim œ! Por lo tanto, la serie CV.
8Ä_8#  "
Teorema:
a) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es
_ _
o
8œ" 8œ"
Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV.
_
8œ"
b) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es
_ _
o
8œ" 8œ"
Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV.
_
8œ"
20

23. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Ejemplos:
VIRGINIO GOMEZ
"Ñ " a  "b8 † 8
_ &
%
8œ"
& &
+8  " œ +8 œ 8
% 8" %
& &
+Ñ  8 a8 − 
% 8" %
&
,Ñ lim œ!
8Ä_ %8
La serie " a  "b8 † 8 es CV.
_ &
%
8œ"
" 8 œ " & † Œ  es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV
_ & _ " 8 "
% % %
8œ" 8œ"
Luego la serie " a  "b8 † 8 CVA
_ &
%
8œ"
#Ñ " a  "b8  " †
_
È8
"
8œ"
È8  " È8
" "
+8  " œ +8 œ
È8  " È8
" "
+Ñ  a8 − 
È8
"
,Ñ lim œ!
8Ä_
La serie " a  "b8  " †
_
È8
"
es CV.
8œ"
" œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV
_ " _ "
È8
"
#
8œ"8
#
8œ"
Luego la serie " a  "b8  " †
_
È8
"
CVC
8œ"
21

24. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.
"Ñ " Ð  "Ñ8  " † #Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ 1 _ 1
8" 8 #"
8œ" 8œ"
$Ñ " Ð  "Ñ8 † %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ 1 _ 1
8œ" Ð8  "Ñ# 8œ# 8$  "
&Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ 1 _ 1
8 È8 $8  "
8œ" 8œ"
Solución
1) CVC 2) CVA 3) CVA
4) CVA 5) CVA 6) CVC
22

25. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert
VIRGINIO GOMEZ
∞
Sea ∑ an una serie infinita donde : an ≠ 0
n =1
a n +1
y lim =ρ
n→∞ a n
entonces:
a) cuando ρ < 1 , la serie CVA.
b) cuando ρ > 1 , la serie DV.
c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.
Ejemplos:
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ "
_ $8  "
â 8# â
8!
â $ â
8œ"
â â
â a8  " b ! â
º ºœâ â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $
8
â 8" â
+8  "
â $ â a8  " b † 8 ! $ † $
â â
+8 8 8"
â 8! â
$
lim œ!"
8Ä_ 8"
Por lo tanto, "
_ $8  "
CV
8!
8œ"
a#8b!
#Ñ " a  "b8 †
_
â â
8
â a#8  #b! â
8œ"
â â
â â a#8  #b † a#8  "b † a#8b!
º œâ 8"
º â ✺ º
+8  " 8
a#8b! â a#8b!
â â
†
â â
+8 8"
8
%8$  '8#  #8
œ
8"
8$ 8# 8
$ #
%8  '8  #8 % ' #
lim œ lim 8 8 8
8Ä_ 8" 8Ä_ 8 "

8 8
23

26. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
œ lim %8#  '8  #
8Ä_ "
"
VIRGINIO GOMEZ
8
_
œ
"
œ_"
a#8b!
Por lo tanto, " a  "b8 †
_
DV.
8
8œ"
$Ñ " a  "b8 † $
_ #8
8
8œ"
â â
â #8  " â
â â
â â
a8  " b $
º ºœâ ✺ # †# † 8 º
8
â â
+8  " $
â â
â â
#8
#8 Š8  "‹
+8
â â
$
8$
#8$
œ $
8  $8#  $8  "
8$
#8$ #
lim œ lim 8$
8Ä_ 8$  $8#  $8  " 8Ä_ 8$ 8# 8 "
$
$ $ $ $  $
8 8 8 8
œ lim #
8Ä_ $ $ "
"  #  $
8 8 8
œ#"
Por lo tanto, " a  "b8 † $ DV.
_ #8
8
8œ"
%Ñ " a  "b8 † 8
_ 8#
&
8œ"
â â
â â
â â
â â
8$
º ºœâ ✺ 8 ºœ
+8  " 8$ &8 8$
â â
&8  "
â â
†
â â
+8 8# & †& 8# &8  "!
&8
8$ " "
lim œ Pw L lim œ "
8Ä_ &8  "! 8Ä_ & &
Por lo tanto, " a  "b8 † 8 CVA.
_ 8#
&
8œ"
24

27. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
Determine si la serie CV o DV.
_ a8  " bx
"Ñ " #Ñ " Ð  "Ñ8
_ &8
#8 a#8b x
8œ! 8œ"
a8bx
$Ñ " Ð  "Ñ8 %Ñ " 8
_ _ 8#
8 $8 $ a8  " b
8œ" 8œ"
&Ñ " Ð  "Ñ8
_ "
Ð#8  "Ñx
8œ"
Solución
1) DV 2) CVA 3) DV
4) CV 5) CVA
25

28. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Serie de Potencias
VIRGINIO GOMEZ
Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma :
∞
b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n
n =0
bi y a son números , x es variable.
Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número
∞
y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes.
n =0
Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie
∞ n 2 3 n
∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x
n =0
Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.
Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8
_
8œ!
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos.
Ejemplos:
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
# 8 † aB  " b 8
"Ñ " a  "b8  " †
_
8 † $8
8œ"
â â
â # 8  " † aB  " b 8  " â
â â
â â
â a8  " b † $ 8  " â
º º â â
+8  "
â # 8 † aB  " b 8 â
â â
œ
â â
+8
â 8 † $8 â
#8 † # † aB  "b8 † aB  "b
º º
8 † $8
a8  " b † $ # † aB  " b 8
œ 8†$ † 8
† ¸ B  "¸
# 8
Ϡ
$ 8"
† ¸ B  "¸ œ † ¸ B  "¸ lim
# 8 # 8
lim †
8Ä_ $ 8  " $ 8Ä_ 8  "
† ¸ B  "¸ lim
# "
œ Pw L
$ 8Ä_ "
† ¸ B  "¸
#
œ
$
26

29. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
† ¸ B  "¸  " Í  "  ÐB  "Ñ  "
# #
$ $
VIRGINIO GOMEZ
$ $
Í  B"
# #
& "
Í  B
# #
Análisis de los extremos
&
Para B œ 
#
#8 † Œ  
$ 8 a  " b8 a$ 8 b
#8 †
" a  " b8  " † œ " a  " b8  " †
_ _
# #8
8†$ 8 8 † $8
8œ" 8œ"
œ " a  " b# 8  " †
_ "
8
8œ"
œ "
_ "
8
8œ"
Pero, "
_ "
es la serie armónica y por lo tanto DV.
8
8œ"
"
Para B œ
#
#8 † Œ 
$ 8 $8
#8 † 8
" a  " b8  " † œ " a  " b8  " †
_ # _
#
8 † $8 8 † $8
8œ" 8œ"
œ " a  " b8  " †
_ "
8
8œ"
Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC.
_ "
8
8œ"
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie
# 8 † aB  " b 8
" a  " b8  " †
_ & "
8 es   B Ÿ
8†$ # #
8œ"
27

30. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
aB  $ b 8
#Ñ " a  "b8 †
_
8!
VIRGINIO GOMEZ
8œ"
â â
â aB  $ b 8  " â
â â
â a8  " b ! â
º º â â
â â
+8  "
â aB  $ b 8 â
œ
â â
+8
â 8! â
a B  $ b 8 † aB  $ b
º º
8!
a 8  " b † 8! aB  $ b 8
œ †
† ¸ B  $¸
"
œ
8"
† ¸ B  $¸ ¸ B  $¸ lim
" "
lim œ
8Ä_ 8" 8Ä_ 8"
œ ¸ B  $¸ † !
œ !"
aB  $ b 8
Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
_
es CVA a B − ‘
8!
8œ"
$Ñ " a  "b8 † 8 8
_ 8!
"! † B
8œ"
â a8  " b ! â
â â
â â
â â
º º â â
+8  " 8  " † B8  "
â â
"!
â â
œ
8!
â â
+8
"!8 † B8
a 8  " b † 8!
º º
"!8 † B8
œ †
"!8 † "! † B8 † B 8!
a8  " b †
"!¸B¸
"
œ
lim a8  "b †
"!¸B¸ "!¸B¸ 8Ä_
" "
œ lim Ð8  "Ñ
8Ä_
"!¸B¸
"
œ †_
œ _"
aB  $ b 8
Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
_
es DV a B − ‘
8!
8œ"
28

31. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Ejercicios
VIRGINIO GOMEZ
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
"Ñ " Ð#8Ñx † Œ  #Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ B 8 _ ÐB  &Ñ8
# 8 † &8
8œ! 8œ"
$Ñ " %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ ÐB  #Ñ8  " _ ÐB  (Ñ8
8" 8 † (8
8 œ " Ð8  "Ñ † $ 8œ"
&Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ B#8  " _ 8x ÐB  %Ñ8
Ð#8  "Ñ! $8
8œ" 8œ"
(Ñ " )Ñ " Œ  † Ð  #BÑ
_ 8x † B8 _ 8 8"
Ð#8Ñx 8"
8œ" 8œ"
*Ñ " "!Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ #8 † B8 _ ##8  " † B#8
8# Ð#8Ñx
8œ" 8œ"
Solución
"Ñ No existe intervalo de convergencia
#Ñ !  B Ÿ "!
$Ñ  " Ÿ B  &
%Ñ !  B Ÿ "%
&Ñ ‘
'Ñ No existe intervalo de convergencia
(Ñ ‘
" "
)Ñ  B
# #
" "
*Ñ  ŸBŸ
# #
"!Ñ ‘
29

32. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Serie de Taylor
VIRGINIO GOMEZ
∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n
Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de
n=0 n!
f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .
f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .
∞ f n ( 0) ⋅ x n
Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ que se conoce con el nombre de
n=0 n!
serie de Maclaurin de f .
Ejemplos
1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ
"
B
0 ! aB b œ Ê 0 ! a"b œ "
"
B
0 w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  "
"
œ  B#
B#
0 w w aB b œ Ê 0 w a"b œ #
# w
œ #B$
B$
0 w w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  '
w ' ww
œ  'B%
B%
0 3@ aBb œ Ê 0 3@ a"b œ #%
#%
œ #%B&
B&
" † aB  "b! a  "b † aB  "b # † aB  "b# a  'b † aB  "b$ #% † aB  "b%
0 aB b œ    
!! "! #x $! %!
aB  " b ! aB  "b # † aB  "b# ' † aB  "b$ #% † aB  "b%
0 aB b œ    
" " # ' #%
0 aBb œ aB  "b!  aB  "b  aB  "b#  aB  "b$  aB  "b%
Por lo tanto, 0 aBb œ œ " a  "b8 † aB  "b8
" _
B
8œ!
30

33. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B
0 ! aBb œ -9=B Ê 0 ! a!b œ "
VIRGINIO GOMEZ
0 w aBb œ  =/8B Ê 0 w a!b œ !
0 w w aBb œ  -9=B Ê 0 w a!b œ  "
w
0 w w aBb œ =/8B Ê 0 w w a!b œ !
w w
0 3@ aBb œ -9=B Ê 0 3@ a!b œ "
! † B a  "b † B#
0 aB b œ
" † B! ! † B$ " † B%
   
!! "! #x $! %!
0 aB b œ
B! B# B%
! !
!! #! %!
0 aB b œ
B! B# B%
 
!! #! %!
Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 †
_ B#8
a#8b!
8œ!
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À
+Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb
0 ! aBb œ 68a"  Bb Ê 0 ! a!b œ !
0 w aB b œ œ a "  Bb" Ê 0 w a!b œ "
"
"B
0 w w aB b œ  œ  a"  Bb# Ê 0 w a!b œ  "
"
a "  Bb
w
#
0 w w aB b œ œ # a"  Bb$ Ê 0 w a!b œ #
#
a"  B b
w ww
$
0 3@ aBb œ  œ  'a"  Bb% Ê 0 3@ a!b œ  '
'
a"  B b %
0 aB b œ
! † B! " † B " † B# # † B$ ' † B%
   
" " # ' #%
0 aB b œ !  B 
B# B$ B%
 
# $ %
Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ " a  "b8 †
_ B8  "
8"
8œ!
31

34. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Intervalo de convergencia
â â
â â
VIRGINIO GOMEZ
â â
B8  #
â â
º º œâ ✺ º œ ¸B¸ † Œ 
+8  " B8 † B # 8  " 8"
â â
8#
â â
†
B8  " 8  # B8 † B
â â
+8 8#
8"
lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ 
8" 8"
œ
8Ä_ 8# 8Ä_ 8#
œ Pw L ¸B¸ † lim
"
8Ä_ "
œ ¸B ¸
¸B¸  " Í  "  B  "
Análisis de los extremos
Para B œ  "
a  " b8  " _ a  "b#8  "
" a  " b8 † œ"
_
8" 8"
8œ! 8œ!
œ" 
_ "
8"
8œ!
œ" 
_ "
8
8œ"
Pero, "  es la serie armónica y por lo tanto DV
_ "
8
8œ"
Para B œ "
a" b 8  "
" a  " b8 † œ " a  " b8 †
_ _ "
8" 8"
8œ! 8œ!
Pero, " a  "b8 †
_ "
es una serie alterna que CVC
8"
8œ!
Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b8 †
_ B8  "
es  "  B Ÿ "
8"
8œ!
32

35. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
,Ñ 0 aBb œ /B
0 ! aB b œ / B Ê 0 ! a!b œ "
VIRGINIO GOMEZ
0 w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ "
0 w w aB b œ / B Ê 0 w w a!b œ "
0 w w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ "
w ww
0 3@ aBb œ /B Ê 0 3@ a!b œ "
0 aB b œ
" † B! " † B " † B# " † B$ " † B%
   
!! "! #! $! %!
Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ "
_ B8
8!
8œ!
Intervalo de convergencia
â â
â â
â â
B8  "
â a8  " b ! â
º º œâ ✺ º œ ¸B¸ † Œ 
+8" B8 † B 8! "
â â a 8  " b † 8! B 8
â â
†
B8
â â
+8 8"
8!
lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ 
" "
œ
8Ä_ 8" 8Ä_ 8"
œ ¸B ¸ † !
œ !"
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie "
_ B8
es ‘
8!
8œ!
Ejercicios
I Desarrollar en serie de Taylor
"Ñ 0 ÐBÑ œ ÈB
$ "
con + œ " #Ñ 0 ÐBÑ œ con + œ  "
B
$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB  "b
1
con + œ " %Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B con + œ
$
II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
$Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB  
"
"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ# #Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
#
33