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Paso 4 – Realizar transferencia del conocimiento
Por
Juan José Sánchez Winclar
Milena Del Carmen Charris Sánchez
EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMATICAS
Presentado a
Carlos Edmundo López
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
CEAD Santa Marta
Escuela De ciencias de la Educación - ECDU
Agosto-2020
Problemas de
fundamentación
Matemática a lo largo
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·El criterio de
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Agustín Louis Cauchy (1789-1857)
Por otra parte el matemático francés Agustín Louis Cauchy (1789-1857)
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propiedad característica para sus elementos.
• En 1874-1895, Georg Cantor provocó una nueva revolución en la
ciencia de matemática al crear la teoría de los conjuntos.
• Después de los trabajos de G. Cantor la teoría de conjunto ha venido a
desempeñar el papel de disciplina matemática fundamental, sobre la
cual constituye la Aritmética, el Análisis, la Geometría y la Topología.
• Para Cantor, los conjuntos son colecciones de objetos que pueden
poseer finitos o infinitos elementos. Por ejemplo, el conjunto de los
dedos de una mano tiene finitos elementos ({pulgar, índice, corazón,
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Crisis de los
fundamento
matemáticos
Cuando los esfuerzos de Cantor y el movimiento
rigorista iba por buen camino, surge una
conmoción en el mundo de la matemática cuando
se descubren ciertas contradicciones en los
fundamentos. Debido a esto surgen muchas
paradojas sobre la teoría de conjuntos.
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números cardinales, la que fue redescubierta por
Buroli-Forti en 1897.
Las paradojas fueron estudiadas exhaustivamente
por los lógicos y se crearon soluciones muy
ingeniosas para esclarecer tales, y otras, situaciones
conflictivas.
Escuelas que surgieron
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IMPORTANCIA
HISTÓRICA
La Historia de las
Matemáticas está
vinculada a la
de ciertos problemas.
Puede hacerse esta
afirmación desde
puntos de vista:
- Algunos problemas
están en el origen del
desarrollo de las
Matemáticas.
- La resolución de
ciertos problemas ha
motivado la aparición
de nuevas ramas de las
Matemáticas.
- Otros problemas han
provocado rupturas
epistemológicas.
- Hay problemas que
han abierto crisis en los
fundamentos de las
Matemáticas.
- La matemática griega debió gran parte de su
crecimiento a ciertos problemas concretos que
sirvieron como centros de atracción y estímulo
para los investigadores, polarizando muchos
de los conocimientos matemáticos de los
griegos. Así cabe interpretar el Teorema de
Pitágoras y la construcción de los poliedros
regulares, pero muy especialmente los Tres
Problemas Clásicos:
.La duplicación del cubo: construir un cubo
cuyo volumen sea doble que el de un cubo de
lado dado, utilizando únicamente regla y
compás.
.La trisección del ángulo: dividir un ángulo
cualquiera en tres partes iguales, utilizando
únicamente regla y compás.
.La cuadratura del círculo: dado un círculo,
encontrar el lado de un cuadrado cuya área
sea la misma que la del círculo inicial,
utilizando únicamente regla y compás.
1º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS EN EL
ORIGEN DEL DESARROLLO DE LAS
MATEMÁTICAS.
2º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS
MOTIVADORES DE LA APARICIÓN DE NUEVAS
RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS.
El conocido problema del recorrido por los
Puentes de Königsberg fue resuelto por Euler
1735. Su método consistía en reemplazar las
áreas de tierra por puntos y los puentes por
líneas que los conectaran. Los puntos se llaman
vértices; un vértice se llama impar o par según
sea el número de líneas que conducen a él.
la configuración es un grafo. Euler descubrió
puede recorrerse el grafo con un trazo
si contiene solamente vértices pares y un
número par de vértices impares.
El problema de estimación del volumen de los
toneles (problema del aforo), fue para Kepler
estímulo inicial para el desarrollo de los
infinitesimales y en especial en la elaboración
Cálculo Integral.
El Problema Regio de Fermat: "Es imposible
resolver la ecuación xn + yn = zn , para n>2".
Este resultado es enunciado por Fermat en el
margen de un libro y no ha sido resuelto hasta
1995 por Andrew Wiles. Hasta entonces, los
intentos para resolverlo han abierto
caminos para el Álgebra. Por ejemplo: El
de los números algebraicos y de los ideales por
Kummer.
Pierre de Fermat Andrew Wiles
3º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN PROVOCADO RUPTURAS EPISTEMOLÓGICAS.
Al considerar la historia de las Matemáticas, se debe tener en cuenta que el desarrollo de éstas no se produce por mera
acumulación de resultados, sino también por rupturas en el modo de concebir y abordar los problemas, rupturas epistemológicas.
La imposibilidad de resolver ciertos problemas en el anterior marco de conocimiento provoca la aparición de nuevas teorías. Así se
comprende que varios matemáticos, sin conexión entre sí, hayan llegado en un mismo tiempo a parecidas formulaciones.
Según señala Javier De Lorenzo en La
Matemática y el problema de su
historia, en los últimos siglos han sido
tres las rupturas epistemológicas
esenciales:
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ii) Las Geometrías No-euclídeas. Otro
problema clásico consistía en demostrar el V
Postulado de los Elementos de Euclides -
foto- ("desde un punto exterior a una recta
sólo se puede trazar una paralela a la
misma") a partir de los restantes postulados
euclídeos. Durante siglos hubo intentos
infructuosos.
El problema alcanzó su auténtica dimensión
mediante su inversión. En lugar de intentar
la demostración directa, lo que supone la
admisión del paralelismo único, se niega
éste de diversas formas
(no hay paralelas -geometría elíptica-, o, hay
infinitas paralelas -geometría hiperbólica-).
Así se alcanzan simultáneamente varias
geometrías no euclídeas lógicamente
correctas (Gauss, Lobachetvski, Bolyai,
Riemann) y, como mucho después pudo
comprobarse, también físicamente viables
4º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN ABIERTO CRISIS EN LOS
FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS.
Ya se ha comentado la crisis acerca de las relaciones entre Matemáticas
realidad que provocaron las Geometrías No Euclídeas. En el siglo XX se
producido la crisis en los fundamentos, a partir de la resolución de
problemas y que han afectado a cuestiones tan esenciales como el
concepto de verdad en Matemáticas (a propósito del Axioma de
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Epistemología de las Matemáticas

  • 1. Paso 4 – Realizar transferencia del conocimiento Por Juan José Sánchez Winclar Milena Del Carmen Charris Sánchez EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMATICAS Presentado a Carlos Edmundo López Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD CEAD Santa Marta Escuela De ciencias de la Educación - ECDU Agosto-2020
  • 3. Siglo XIX La rigorización matemática fue una componente especial de las tradiciones que condujeron al proceso matemáticofilosófico desde finales del XIX y con fuerza hasta los treinta de este siglo que se conoce como el de los Fundamentos de la Matemática. (1781-1848) Se le supone precursor al tema de clarificar el concepto de función continua al matemático Bernard Bolzano (1781- 1848) logrando aprobar rigurosamente el teorema del valor medio escrito con formulaciones de noción de límite, continuidad de funciones y convergencia de series infinitas.
  • 4. Bernard Bolsano Fue el primero en encontrar una función continua en todos los puntos de un intervalo pero no derivable en ninguno de ellos. ·El criterio de convergencia de sucesiones y series infinitas atribuido a Cauchy se le deben a él. ·Estableció correspondencia biunívoca entre un conjunto infinito y un subconjunto propio suyo ·Fijó el concepto de distancia ·Fue uno de los precursores de la teoría de conjuntos y de la lógica moderna
  • 5. Agustín Louis Cauchy (1789-1857) Por otra parte el matemático francés Agustín Louis Cauchy (1789-1857) desarrolló un trabajo riguroso del cálculo en donde caracteriza la continuidad de funciones en términos de una idea general rigurosa de infinitesimal. propone establecer el análisis matemático sobre las bases de números solamente, para aritmetizar. Por lo cual, pone orden a la expresión: ?tan cerca como se quiera? que designa a números pero que dejan de serlo al hacerse cada vez más pequeños.
  • 6. Karl Weierstrass (1815-1897) completa el destierro de la intuición espacio temporal y el infinitesimal, desde los fundamentos del análisis, para instalar el rigor lógico completo. Dió las definiciones de continuidad, límite y derivda de una función, que se siguen usando hoy en en día. Esto le permitío abordar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar de forma rigurosa, como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano- weierstrass y el teorema de Heine-Borel Richard Dedekind (1831-1916) Reconoce que la propiedad de densidad del conjunto ordenado de los números es insuficiente para garantizar la continuidad. Transforma el análisis en teoría de conjuntos. Los conceptos son aplicados a elementos de conjuntos infinitos. Un conjunto infinito no puede ser dado más que dando una propiedad característica para sus elementos.
  • 7. • En 1874-1895, Georg Cantor provocó una nueva revolución en la ciencia de matemática al crear la teoría de los conjuntos. • Después de los trabajos de G. Cantor la teoría de conjunto ha venido a desempeñar el papel de disciplina matemática fundamental, sobre la cual constituye la Aritmética, el Análisis, la Geometría y la Topología. • Para Cantor, los conjuntos son colecciones de objetos que pueden poseer finitos o infinitos elementos. Por ejemplo, el conjunto de los dedos de una mano tiene finitos elementos ({pulgar, índice, corazón, anular y meñique}), mientras que el conjunto de los números naturales (N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? }) tiene infinitos elementos. Crisis de los fundamento matemáticos
  • 8. Cuando los esfuerzos de Cantor y el movimiento rigorista iba por buen camino, surge una conmoción en el mundo de la matemática cuando se descubren ciertas contradicciones en los fundamentos. Debido a esto surgen muchas paradojas sobre la teoría de conjuntos. Cantor, en 1895, descubre una paradoja en los números cardinales, la que fue redescubierta por Buroli-Forti en 1897. Las paradojas fueron estudiadas exhaustivamente por los lógicos y se crearon soluciones muy ingeniosas para esclarecer tales, y otras, situaciones conflictivas.
  • 9. Escuelas que surgieron El logicismo (B. Russell,...) El intuicionismo (Brouwer, weyl, Borel, Kronecker, Poincaré, ...) El formalismo (Hilbert,…)
  • 10. IMPORTANCIA HISTÓRICA La Historia de las Matemáticas está vinculada a la de ciertos problemas. Puede hacerse esta afirmación desde puntos de vista: - Algunos problemas están en el origen del desarrollo de las Matemáticas. - La resolución de ciertos problemas ha motivado la aparición de nuevas ramas de las Matemáticas. - Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas. - Hay problemas que han abierto crisis en los fundamentos de las Matemáticas.
  • 11. - La matemática griega debió gran parte de su crecimiento a ciertos problemas concretos que sirvieron como centros de atracción y estímulo para los investigadores, polarizando muchos de los conocimientos matemáticos de los griegos. Así cabe interpretar el Teorema de Pitágoras y la construcción de los poliedros regulares, pero muy especialmente los Tres Problemas Clásicos: .La duplicación del cubo: construir un cubo cuyo volumen sea doble que el de un cubo de lado dado, utilizando únicamente regla y compás. .La trisección del ángulo: dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, utilizando únicamente regla y compás. .La cuadratura del círculo: dado un círculo, encontrar el lado de un cuadrado cuya área sea la misma que la del círculo inicial, utilizando únicamente regla y compás. 1º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS EN EL ORIGEN DEL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS.
  • 12. 2º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS MOTIVADORES DE LA APARICIÓN DE NUEVAS RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS. El conocido problema del recorrido por los Puentes de Königsberg fue resuelto por Euler 1735. Su método consistía en reemplazar las áreas de tierra por puntos y los puentes por líneas que los conectaran. Los puntos se llaman vértices; un vértice se llama impar o par según sea el número de líneas que conducen a él. la configuración es un grafo. Euler descubrió puede recorrerse el grafo con un trazo si contiene solamente vértices pares y un número par de vértices impares. El problema de estimación del volumen de los toneles (problema del aforo), fue para Kepler estímulo inicial para el desarrollo de los infinitesimales y en especial en la elaboración Cálculo Integral. El Problema Regio de Fermat: "Es imposible resolver la ecuación xn + yn = zn , para n>2". Este resultado es enunciado por Fermat en el margen de un libro y no ha sido resuelto hasta 1995 por Andrew Wiles. Hasta entonces, los intentos para resolverlo han abierto caminos para el Álgebra. Por ejemplo: El de los números algebraicos y de los ideales por Kummer.
  • 13. Pierre de Fermat Andrew Wiles
  • 14. 3º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN PROVOCADO RUPTURAS EPISTEMOLÓGICAS. Al considerar la historia de las Matemáticas, se debe tener en cuenta que el desarrollo de éstas no se produce por mera acumulación de resultados, sino también por rupturas en el modo de concebir y abordar los problemas, rupturas epistemológicas. La imposibilidad de resolver ciertos problemas en el anterior marco de conocimiento provoca la aparición de nuevas teorías. Así se comprende que varios matemáticos, sin conexión entre sí, hayan llegado en un mismo tiempo a parecidas formulaciones. Según señala Javier De Lorenzo en La Matemática y el problema de su historia, en los últimos siglos han sido tres las rupturas epistemológicas esenciales: La inversión (1827), la abstracción (1875) y el paso a las estructuras (1930).
  • 15. ii) Las Geometrías No-euclídeas. Otro problema clásico consistía en demostrar el V Postulado de los Elementos de Euclides - foto- ("desde un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a la misma") a partir de los restantes postulados euclídeos. Durante siglos hubo intentos infructuosos. El problema alcanzó su auténtica dimensión mediante su inversión. En lugar de intentar la demostración directa, lo que supone la admisión del paralelismo único, se niega éste de diversas formas (no hay paralelas -geometría elíptica-, o, hay infinitas paralelas -geometría hiperbólica-). Así se alcanzan simultáneamente varias geometrías no euclídeas lógicamente correctas (Gauss, Lobachetvski, Bolyai, Riemann) y, como mucho después pudo comprobarse, también físicamente viables
  • 16. 4º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN ABIERTO CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS. Ya se ha comentado la crisis acerca de las relaciones entre Matemáticas realidad que provocaron las Geometrías No Euclídeas. En el siglo XX se producido la crisis en los fundamentos, a partir de la resolución de problemas y que han afectado a cuestiones tan esenciales como el concepto de verdad en Matemáticas (a propósito del Axioma de la Hipótesis del Continuo y el Teorema de Gödel) o el concepto de demostración (a propósito del Problema de los Colores y su por ordenador).