1.
TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
Los dos últimos teoremas fundamentales que se explicarán se conocen como
teoremas del valor inicial y del valor final, los cuales permiten evaluar
𝑓(0+) y 𝑓(∞) examinando los valores limites de 𝑠𝐹(𝑠). Dicha característica
puede ser de un valor incalculable; si solamente se necesitaran los valores
inicial y final para una función de interés en particular, no habría
necesidad de dedicar tiempo para llevar a cabo una operación de
transformada inversa.
Teorema del valor inicial
Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo la
transformada de Laplace de la derivada
ℒ {
𝑑𝑓
𝑑𝑡
} = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0− ) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0−
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Se permite ahora que s tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos
partes, se tiene
lim
𝑠→∞
[𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0− )] = lim
𝑠→∞
(∫ 𝑒0
0+
0−
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0+
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡)
Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el límite,
puesto que el integrando mismo tiende a cero. Además, 𝑓(0− ) no es una
función de s, así que podría eliminarse del límite de la izquierda:
−𝑓(0− ) + lim
𝑠→∞
[ 𝑠𝐹( 𝑠)] = lim
𝑠→∞
(∫ 𝑑𝑓
0+
0−
) = lim
𝑠→∞
[ 𝑓(0+ ) − 𝑓(0− )] = 𝑓(0+ ) − 𝑓(0− )
Y por ultimo
𝑓(0+) = lim
𝑠→∞
[ 𝑠𝐹( 𝑠)]
lim
𝑡→0+
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→∞
[ 𝑠𝐹( 𝑠)]
Este enunciado matemático del teorema del valor inicial establece que el
valor inicial de la función de tiempo 𝑓(𝑡) se obtiene multiplicando primero
su transformada de Laplace 𝐹(𝑠) por s y luego dejando que s tienda a
infinito. Observar que el valor inicial de 𝑓(𝑡) que se obtiene es el límite
de la derecha.
El teorema del valor inicial, junto con el teorema del valor final es útil
para verificar los resultados de una transformación o de una transformación
inversa. Por ejemplo, cuando se calcula la transformada de 𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡)𝑢(𝑡) se
obtuvo 𝑠/(𝑠2
+ 𝑤0
2
). Después de observar que 𝑓(0+ ) = 1, se tiene la posibilidad
de efectuar una revisión parcial de la validez de este resultado aplicando
el teorema del valor inicial:
lim
𝑠→∞
( 𝑠
𝑠
𝑠2 + 𝑤0
2
) = 1
Y se completa la verificación
TEOREMA DEL VALOR FINAL

2.
Este teorema no es tan útil como el del valor inicial, pues solo se usa con
cierta clase de transformadas.
Para determinar si una transformada entra en esta clase, se requiere
evaluar el denominador de 𝐹(𝑠) a fin de determinar todos los valores de s
para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se
conocen como polos de 𝐹(𝑠). Sólo aquellas transformadas 𝐹(𝑠) cuyos polos se
encuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s salvo para
el polo simple en 𝑠 = 𝑂, son adecuadas para utilizarse con el teorema del
valor final. Se considera de nuevo la transformada de Laplace para 𝑑𝑓/𝑑𝑡
∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0−
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0− )
Esta vez en el límite cuando 𝑠 tiende a cero
lim
𝑠→0
∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0−
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = lim
𝑠→0
[𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0− )] = ∫
𝑑𝑓
𝑑𝑡
∞
0−
𝑑𝑡
Se supone que tanto 𝑓(𝑡) como su primera derivada son transformables. Ahora
bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como el
límite
∫
𝑑𝑓
𝑑𝑡
∞
0−
𝑑𝑡 = lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑡
0−
𝑑𝑡 = lim
𝑡→∞
[𝑓( 𝑡) − 𝑓(0− )]
Al reconocer que 𝑓(0− ) es una constante, una comparación de las últimas dos
ecuaciones nos muestra que
lim
𝑡→∞
[ 𝑓( 𝑡)] = lim
𝑠→0
[𝑠𝐹( 𝑠)]
que es el teorema del valor final. Al aplicar este último, se requiere
saber que 𝑓(∞), el límite de 𝑓(𝑡) cuando t se vuelve infinito, existe o, l0
que equivale a la misma cosa, que todos los polos de 𝐹(𝑠) se encuentran
dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción (posiblemente) de
un polo simple en el origen. El producto 𝑠𝐹(𝑠) tiene todos sus polos dentro
del semiplano izquierdo.
Los teoremas del valor inicial y del valor final son útiles cuando solo se
desea los valores específicos de 𝑓(𝑡 = 0+
) o 𝑓(𝑡 → ∞)
• TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)
• TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)