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INSTITUTO TECNOLOGICO
SUPERIOR DE LERDO
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CASTRO MURUATO MARIO OMAR
GUERRERO VALDES EDUARDO
GUTIERREZ PORTILLO JOSE MARIA
MONTELONGO CABRALES JAZMIN
Definiciones:

Z
N

Sea C una curva en el espacio definida por la
C
función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector
T
en la dirección de la tangente a C. Considerando al
B
escalar t como la longitud de arco s medida a partir
Y
0
de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector
tangente a C y que llamaremos T como se observa X
en la figura de la derecha.
La variación de T respecto de sses una medida de la curvatura de C yyviene dada
La variación de T respecto de es una medida de la curvatura de C viene dada
dT
dT
por: ds .La dirección de ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a
por:
.La dirección de
en un punto cualquiera de C es la correspondiente a
la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal
la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal
se llama normal principal a la curva.
se llama normal principal a la curva.
El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N , perpendicular al
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de
coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida
que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro
móvil.
DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua
y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar
que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.
Cálculo del vector tangente unitario
EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:
r (t ) = ti + t j cuando t = 1
Se calcula la primera derivada de
2

r ′(t )
i + 2tj
T (t ) =
=
r ′(t ) = i + 2tj por tanto el vector tangente unitario es:
r ′(t )
1 + 4t

Cuando t =1, el vector tangente unitario es: T (1) =
Ver figura de la siguiente diapositiva

i+2j
5

2
La dirección del vector tangente unitario depende de la
orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada
por:

r (t ) = −(t − 2)i + (t − 2) j
2

T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el
punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.
DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)
Cálculo del vector normal principal (unitario)
EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: r (t ) = 3ti + 2t j
2

Derivando la función dada vemos que: r ′(t ) = 3i + 4tj

y

r ′(t ) = 9 + 16t

De donde se deduce que el vector tangente unitario es:
r ′(t )
1
T (t ) =
=
(3i + 4tj )
Vector tangente unitario
r ′(t )
9 + 16t
2

Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos:
T ′(t ) =

1
9 + 16t

2

(4 j ) −

16t
(9 + 16t )

9 + 16t
12
T ′(t ) = 12
=
(9 + 16t ) 9 + 16t

2

3

2

(3i + 4tj ) =

12
(9 + 16t )
2

3

2

(−4ti + 3 j )

2

2

3

2

Por lo tanto el vector normal principal es:
N (t ) =

T ′(t )
1
=
(−4ti + 3 j )
′(t )
T
9 + 16t
2

Vector normal principal

2
Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación
Cuando t = 1, el vector normal principal es:
1
N (1) = (−4i + 3 j )
5
Tal como se muestra en la figura de la derecha:

DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL
El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N ,
plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.

perpendicular al

Cálculo del vector binormal
Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N
Vector tangente normal y
binormal ejercicio.

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VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL

  • 1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LERDO • • • • CASTRO MURUATO MARIO OMAR GUERRERO VALDES EDUARDO GUTIERREZ PORTILLO JOSE MARIA MONTELONGO CABRALES JAZMIN
  • 2. Definiciones: Z N Sea C una curva en el espacio definida por la C función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector T en la dirección de la tangente a C. Considerando al B escalar t como la longitud de arco s medida a partir Y 0 de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa X en la figura de la derecha. La variación de T respecto de sses una medida de la curvatura de C yyviene dada La variación de T respecto de es una medida de la curvatura de C viene dada dT dT por: ds .La dirección de ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva. se llama normal principal a la curva. El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.
  • 3. DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos. Cálculo del vector tangente unitario EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por: r (t ) = ti + t j cuando t = 1 Se calcula la primera derivada de 2 r ′(t ) i + 2tj T (t ) = = r ′(t ) = i + 2tj por tanto el vector tangente unitario es: r ′(t ) 1 + 4t Cuando t =1, el vector tangente unitario es: T (1) = Ver figura de la siguiente diapositiva i+2j 5 2
  • 4. La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por: r (t ) = −(t − 2)i + (t − 2) j 2 T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta. DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)
  • 5. Cálculo del vector normal principal (unitario) EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: r (t ) = 3ti + 2t j 2 Derivando la función dada vemos que: r ′(t ) = 3i + 4tj y r ′(t ) = 9 + 16t De donde se deduce que el vector tangente unitario es: r ′(t ) 1 T (t ) = = (3i + 4tj ) Vector tangente unitario r ′(t ) 9 + 16t 2 Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos: T ′(t ) = 1 9 + 16t 2 (4 j ) − 16t (9 + 16t ) 9 + 16t 12 T ′(t ) = 12 = (9 + 16t ) 9 + 16t 2 3 2 (3i + 4tj ) = 12 (9 + 16t ) 2 3 2 (−4ti + 3 j ) 2 2 3 2 Por lo tanto el vector normal principal es: N (t ) = T ′(t ) 1 = (−4ti + 3 j ) ′(t ) T 9 + 16t 2 Vector normal principal 2
  • 6. Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación Cuando t = 1, el vector normal principal es: 1 N (1) = (−4i + 3 j ) 5 Tal como se muestra en la figura de la derecha: DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL El vector unitario B definido por el producto vectorial: B = T × N , plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. perpendicular al Cálculo del vector binormal Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N
  • 7. Vector tangente normal y binormal ejercicio.