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1
Unidad 4 - Tema :Unidad 4 - Tema :
LA DERIVADA DELA DERIVADA DE
UNAUNA
FUNCIÓN Y SUSFUNCIÓN Y SUS
APLICACIONESAPLICACIONES
2
Competencias:
. Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de
una función.
. Determinar los puntos críticos de una función.
. Determinar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo cerrado.
. Describir el concepto de punto de inflexión de
una gráfica.
. Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
. Resolver problemas de máximos y mínimos de
una función en una variable.
3
La Pendiente de una
Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de
una curva a la pendiente de la
recta que mas se asemeja (ajusta)
a la curva.
¿y cuál es esta recta?
4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
5
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)( 0xf
)( 0 hxf +
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)( 0xf
)( 0 hxf +
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)( 0xf
)( 0 hxf +
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)( 0xf
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)( 0xf
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)( 0 hxf +
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)( 0xf
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)( 0xf
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)( 0xf
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)( 0xf
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)( 0xf )( 0 hxf +
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)( 0xf )( 0 hxf +
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0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
Tangente!!!
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x
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)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
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y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
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x
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0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
32
La Pendiente de una Curva
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
∆x
∆y
33
La Pendiente de una
Curva
h
h
h
)f(x)f(x
limm 00
0
t
−+
=
→
Es el límite de un cociente
de incrementos
x
)f(xx)f(x
limm 00
0
t
∆
∆
∆
−+
=
→x
Si h = ∆x
34
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva
que tiene por ecuación, en el punto de
abscisa
2
4 xy −=
1=x
y
x
Ejemplo
35
Definición de
Derivada
La derivada de una función f con
respecto a la variable x es la
función cuyo valor en x es:
siempre que el límite
exista
h
f(x)h)f(x
lim´(x)f
0h
−+
=
→
Nota 1: f es una función definida en
un intervalo abierto que incluye a x.
36
Observación
La derivada de una función es un
límite.
Nota 2: Para calcular ese límite se
requiere que la función esté
definida en el punto.
a-x
f(a)f(x)
lim
h
f(x)h)f(x
lim
ax0h
−
⇔
−+
→→
37
REGLAS DEREGLAS DE
DERIVACIÓNDERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se
tiene:
( )( ) ( )xfcxcf ′=
′
3. Sea f(x) = xn
, entonces:
( ) 1−
=′ n
nxxf
ℜ∈n
1. Sea f(x) = k, entonces:
( ) 0=′ xf
ℜ∈k
D (c) =
0
x
2. Sea f(x) = x, entonces:
( ) 1=′ xf
38
5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:
( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf ′+′=
′
+ βαβα
6. Si f y g son funciones derivables,
entonces la derivada del producto es:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf ′+′=
′
*
Reglas de Derivación
39
Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y
no es cero, entonces la derivada del
cociente es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf ′−′
=
′






8. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
[ ]n
xgxf )()( =
[ ] )()()(
1
xgxgnxf
n
′=′ −
ℜ∈n
40
Observación
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen,
entonces otra forma de definir la REGLA DE
LA CADENA es:
dx
du
du
dy
dx
dy
∗=
xuy →→
41
La función exponecial y=ex
y la función
logaritmo natural y= ln x
11 e
e
11
y = ex
y = ln x
x
y
42
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si ex
= y
Teorema
Si p y q son números reales, entonces
i) ii) iii)qp
q
p
e
e
e −
=qpqp
eee +
=∗ ( ) pqqp
ee =
43
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)( =′=
( ) ( )
( )xgexfexf xgxg
′=′= )(;)(
( )[ ] )(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf ′=′=
xx
exfexf =′= )(;)(
Derivadas de funciones EXP y
LOG
44
LA DERIVADALA DERIVADA
EN ELEN EL
ANALISIS DEANALISIS DE
FUNCIONESFUNCIONES
45
TEOREMATEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo
local de f, entonces
46
PUNTOS CRITICOSPUNTOS CRITICOS
Definición:Definición:
Un número c del dominio de f se
llama número crítico o punto
crítico de f si f ’(c) = 0.
47
1. Hallar todos los puntos críticos
de f en [a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico
c3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en
2 y 3 es el máximo absoluto de f
en[a,b] y el menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los
máximos o mínimos de una función
continua f en [a, b][a, b]
48
TEOREMATEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivab
en
(a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE
en [a,b]
>
49
Criterio de la primeraCriterio de la primera
derivadaderivada
c es un punto crítico de f y f es
erivable alrededor de c, entonces:
Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
ntonces c es un punto de MÁXIMO local de f
Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
ntonces c es un punto de MÍNIMO local de f
50
TEOREMATEOREMA
Sea f derivable en el intervalo
(a, b), que contiene a c, tal que
existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = carriba
>
+
51
TEOREMATEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a,
b), que contiene a c, tal que
existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = cabajo
<
-
52
Criterio de la segundaCriterio de la segunda
derivadaderivada
Sea c un punto crítico de f en el
cual f ’(c) = 0, entonces,
Si f ’’(c) > 0, c es un punto de
mínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de
máximo local
53
Punto de inflexiónPunto de inflexión
La gráfica de f tiene en el
punto
(c, f(c)) un punto de inflexión
si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el
punto
sentido en c
3 La concavidad cambia de
54
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINARPROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR
Los PUNTOS DE INFLEXIONLos PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f
’’ es cero
ii) Verificar si cada uno de estos
puntos es de inflexión. Esto
es:• Si f es
continua• Si la derivada existe o tiene
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Unidad 4 Calculo Diferencial

  • 1. 1 Unidad 4 - Tema :Unidad 4 - Tema : LA DERIVADA DELA DERIVADA DE UNAUNA FUNCIÓN Y SUSFUNCIÓN Y SUS APLICACIONESAPLICACIONES
  • 2. 2 Competencias: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de una función en una variable.
  • 3. 3 La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?
  • 4. 4 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 5. 5 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 6. 6 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 7. 7 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 8. 8 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 9. 9 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 10. 10 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 11. 11 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 12. 12 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 13. 13 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 14. 14 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 15. 15 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 16. 16 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 17. 17 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 18. 18 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 19. 19 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 20. 20 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 21. 21 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 22. 22 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 23. 23 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 24. 24 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 25. 25 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 26. 26 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 27. 27 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 28. 28 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 Tangente!!!
  • 29. 29 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0
  • 30. 30 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0
  • 31. 31 x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0
  • 32. 32 La Pendiente de una Curva x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 ∆x ∆y
  • 33. 33 La Pendiente de una Curva h h h )f(x)f(x limm 00 0 t −+ = → Es el límite de un cociente de incrementos x )f(xx)f(x limm 00 0 t ∆ ∆ ∆ −+ = →x Si h = ∆x
  • 34. 34 Determina la ecuación de la recta tangente a la curva que tiene por ecuación, en el punto de abscisa 2 4 xy −= 1=x y x Ejemplo
  • 35. 35 Definición de Derivada La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x es: siempre que el límite exista h f(x)h)f(x lim´(x)f 0h −+ = → Nota 1: f es una función definida en un intervalo abierto que incluye a x.
  • 36. 36 Observación La derivada de una función es un límite. Nota 2: Para calcular ese límite se requiere que la función esté definida en el punto. a-x f(a)f(x) lim h f(x)h)f(x lim ax0h − ⇔ −+ →→
  • 37. 37 REGLAS DEREGLAS DE DERIVACIÓNDERIVACIÓN 4. Si f es derivable y c constante, se tiene: ( )( ) ( )xfcxcf ′= ′ 3. Sea f(x) = xn , entonces: ( ) 1− =′ n nxxf ℜ∈n 1. Sea f(x) = k, entonces: ( ) 0=′ xf ℜ∈k D (c) = 0 x 2. Sea f(x) = x, entonces: ( ) 1=′ xf
  • 38. 38 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que: ( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf ′+′= ′ + βαβα 6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf ′+′= ′ * Reglas de Derivación
  • 39. 39 Reglas de Derivación 7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es: )(xg )( )()()()( )( )( 2 xg xgxfxgxf xg xf ′−′ = ′       8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por: [ ]n xgxf )()( = [ ] )()()( 1 xgxgnxf n ′=′ − ℜ∈n
  • 40. 40 Observación Sea y = f(u) donde u = g(x) Si todas las derivadas involucradas existen, entonces otra forma de definir la REGLA DE LA CADENA es: dx du du dy dx dy ∗= xuy →→
  • 41. 41 La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x 11 e e 11 y = ex y = ln x x y
  • 42. 42 Definición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si ex = y Teorema Si p y q son números reales, entonces i) ii) iii)qp q p e e e − =qpqp eee + =∗ ( ) pqqp ee =
  • 43. 43 Derivada de funciones exponenciales i) ii) Derivada de funciones logarítmicas i) ii) x xfxxf 1 )(;ln)( =′= ( ) ( ) ( )xgexfexf xgxg ′=′= )(;)( ( )[ ] )( )( 1 )(;ln)( xg xg xfxgxf ′=′= xx exfexf =′= )(;)( Derivadas de funciones EXP y LOG
  • 44. 44 LA DERIVADALA DERIVADA EN ELEN EL ANALISIS DEANALISIS DE FUNCIONESFUNCIONES
  • 45. 45 TEOREMATEOREMA f ’(c) = 0 Si c es un punto de extremo local de f, entonces
  • 46. 46 PUNTOS CRITICOSPUNTOS CRITICOS Definición:Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.
  • 47. 47 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b) 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo. Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b][a, b]
  • 48. 48 TEOREMATEOREMA Sea f continua en [a, b] y derivab en (a, b), entonces: Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] >
  • 49. 49 Criterio de la primeraCriterio de la primera derivadaderivada c es un punto crítico de f y f es erivable alrededor de c, entonces: Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c ntonces c es un punto de MÁXIMO local de f Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c ntonces c es un punto de MÍNIMO local de f
  • 50. 50 TEOREMATEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = carriba > +
  • 51. 51 TEOREMATEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = cabajo < -
  • 52. 52 Criterio de la segundaCriterio de la segunda derivadaderivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces, Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local
  • 53. 53 Punto de inflexiónPunto de inflexión La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si: 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto sentido en c 3 La concavidad cambia de
  • 54. 54 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINARPROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXIONLos PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo