Cours SE Le système Linux : La ligne de commande bash - IG IPSET
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1. Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs
-Anneaux noethériens-
MOHAMED ALOUAT
Encadré par: Mme. EDDAHABI Raja
Université Abdelmalek Essaadi
Faculté des Sciences Tetouan
Département de Mathématiques
Licence Mathématiques fondamentales
28 Juin 2017
SMA6-F (Université Abdelmalek EssaadiFaculté des Sciences TetouanDépartement de MathématiquesLicence Mathématiques fondamentales)
Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 1 / 39
2. Objectifs
Plan de la présentation
1 Objectifs
2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Notion d’idéal, Anneau Quotient
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Opérations sur les idéaux
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Décompositions d’un idéal
3 Modules sur anneau commutatif
Généralités
4 Les anneaux Noethériens
Généralités
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
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3. Objectifs
Objectifs
Donner des notions de base sur les anneaux commutatifs.
étudier un cas particulier très important d’anneau commutative, les anneaux
noethériens .
faire connaitre ses propriétés.
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4. Objectifs
Plan de la présentation
1 Objectifs
2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Notion d’idéal, Anneau Quotient
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Opérations sur les idéaux
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Décompositions d’un idéal
3 Modules sur anneau commutatif
Généralités
4 Les anneaux Noethériens
Généralités
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
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5. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Plan de la présentation
1 Objectifs
2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Notion d’idéal, Anneau Quotient
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Opérations sur les idéaux
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Décompositions d’un idéal
3 Modules sur anneau commutatif
Généralités
4 Les anneaux Noethériens
Généralités
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
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6. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Anneaux commutatifs
Définition
Un anneau A est un ensemble muni d’une addition (x, y) → x + y et d’une multiplication
(x, y) → x.y vérifiant
1 (A, +) est un groupe abélien.
2 La multiplication est associative. (xy)z = x(yz)
et distributive par rapport à l’addition. x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx
3 Il existe dans A un élément 1 vérifiant: x1 = 1x = x, ∀x ∈ A 1 s’appelle l’unité de
A
4 A est dit commutatif si la multiplication est commutative:
∀x, y ∈ A, xy = yx
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7. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Exemples
1 (Z, +, ·), (R, +, ·), (Q, +, ·), (C, +, ·)
2 Un ensemble A, réduit à un seul élément 0, avec 0+0=0 et 0*0=0, est un anneau
unitaire commutatif.
3 (P(E), 4, ∩); avec E Ensemble quelconque
4 Si A est un anneau et X un ensemble F(X, A) l’ensemble des fonctions de X
dans A muni de
(f, g) → f + g(x → f(x) + g(x))
(f, g) → f.g(x → f(x).g(x))
Est un anneau commutatif si A est commutatif.
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8. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Règles de calcul
1 x.0 = 0 ∀x ∈ A
2 (−1).x = −x (l’opposé de x pour +)
Remarque
Si 1 = 0 alors A = {0}
car ∀x ∈ A x = x.1 = x.0 = 0
A n’a qu’un seul élément, 0. Dans ce cas,A est l’anneau zéro, noté 0 (par abus de
notation).
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9. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Règles de calcul
1 x.0 = 0 ∀x ∈ A
2 (−1).x = −x (l’opposé de x pour +)
Remarque
Si 1 = 0 alors A = {0}
car ∀x ∈ A x = x.1 = x.0 = 0
A n’a qu’un seul élément, 0. Dans ce cas,A est l’anneau zéro, noté 0 (par abus de
notation).
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10. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Définition
Un sous anneau B de A est par définition un sous-groupe de groupe additif A, stable
pour la multiplication tel que 1A ∈ B
B muni des lois induites est alors un anneau, et l’injection canonique
i : b ∈ B → b ∈ A est un homomorphisme d’anneaux
Théorème
Pour qu’une partie non vide B d’un anneau A soit un sous-anneau de A il faut et il suffit
que :
1 ∈ B et (a ∈ B et b ∈ B) ⇒ (a − b ∈ B et ab ∈ B)
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11. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Définition
Un sous anneau B de A est par définition un sous-groupe de groupe additif A, stable
pour la multiplication tel que 1A ∈ B
B muni des lois induites est alors un anneau, et l’injection canonique
i : b ∈ B → b ∈ A est un homomorphisme d’anneaux
Théorème
Pour qu’une partie non vide B d’un anneau A soit un sous-anneau de A il faut et il suffit
que :
1 ∈ B et (a ∈ B et b ∈ B) ⇒ (a − b ∈ B et ab ∈ B)
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12. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Exemples
1 Z est un sous anneau de (R, +, ×)
2 l’ensemble des fonctions continues de R vers R forme un sous-anneau de l’anneau
de toutes les fonctions de R vers R
Attention
Dans l’anneau Z des entiers relatifs, les ensembles nZ (n 2) ne sont pas des
sous-anneaux, bien qu’ils vérifient les deux premières conditions de la définition, puisqu’il
ne contient pas 1.
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13. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Exemples
1 Z est un sous anneau de (R, +, ×)
2 l’ensemble des fonctions continues de R vers R forme un sous-anneau de l’anneau
de toutes les fonctions de R vers R
Attention
Dans l’anneau Z des entiers relatifs, les ensembles nZ (n 2) ne sont pas des
sous-anneaux, bien qu’ils vérifient les deux premières conditions de la définition, puisqu’il
ne contient pas 1.
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14. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Homomorphisme d’anneaux
Définition
un homomorphisme d’anneaux est une application f d’un anneau A dans un anneau B
telle que, ∀x, x0 ∈ A
f(x + x0
) = f(x) + f(x0
)
f(x.x0
) = f(x).f(x0
)
f(1A) = 1B
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15. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Exemples
1 L’application identité Id : A → A est un homomorphisme de l’anneau (A, +, ·) vers
lui-même.
2 l’application ϕ : k ∈ Z → k.1A ∈ A est un homomorphisme d’anneaux.
3 l’application i qui associé a un nombre complexe z son conjugué z est un
homomorphisme d’anneaux.
Règles de calcul
f(0A) = 0B
f(−x) = −f(x)
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16. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Exemples
1 L’application identité Id : A → A est un homomorphisme de l’anneau (A, +, ·) vers
lui-même.
2 l’application ϕ : k ∈ Z → k.1A ∈ A est un homomorphisme d’anneaux.
3 l’application i qui associé a un nombre complexe z son conjugué z est un
homomorphisme d’anneaux.
Règles de calcul
f(0A) = 0B
f(−x) = −f(x)
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17. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Notion d’idéal
Définition
Un Idéal a de l’anneau(commutatif) A est une partie de A qui est un sous-groupe du
groupe additif A telle que:
(a ∈ A et x ∈ a) =⇒ ax ∈ a
Exemples
1 {0A} et A sont des idéaux de (A,+,×).
2 Les seuls idéaux de Z sont les nZ, n 0
3 Le noyau d’un morphisme d’anneaux ϕ : A → A0 est un idéal de (A, +, ×)
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18. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Notion d’idéal
Définition
Un Idéal a de l’anneau(commutatif) A est une partie de A qui est un sous-groupe du
groupe additif A telle que:
(a ∈ A et x ∈ a) =⇒ ax ∈ a
Exemples
1 {0A} et A sont des idéaux de (A,+,×).
2 Les seuls idéaux de Z sont les nZ, n 0
3 Le noyau d’un morphisme d’anneaux ϕ : A → A0 est un idéal de (A, +, ×)
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19. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Remarque 1
1 L’image d’un idéal par un homomorphisme d’anneaux n’est pas toujours un idéal
2 Si l’homomorphisme est surjective alors l’image d’un idéal est un idéal.
Exemple
i : x ∈ Z → x ∈ Q
i(Z) = Z n0
est pas un idéal de Q
Remarque 2
Si a contient 1, alors a = A
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20. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Remarque 1
1 L’image d’un idéal par un homomorphisme d’anneaux n’est pas toujours un idéal
2 Si l’homomorphisme est surjective alors l’image d’un idéal est un idéal.
Exemple
i : x ∈ Z → x ∈ Q
i(Z) = Z n0
est pas un idéal de Q
Remarque 2
Si a contient 1, alors a = A
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21. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Remarque 1
1 L’image d’un idéal par un homomorphisme d’anneaux n’est pas toujours un idéal
2 Si l’homomorphisme est surjective alors l’image d’un idéal est un idéal.
Exemple
i : x ∈ Z → x ∈ Q
i(Z) = Z n0
est pas un idéal de Q
Remarque 2
Si a contient 1, alors a = A
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22. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Les anneaux quotients
Définition
Soit a un idéal de A, (x̄ + ȳ = x + y ou x̄ = {u ∈ A/u − x ∈ a})
On muni le groupe quotient A/a d’une multiplication
x y = xy
(A/a, +, ·) est alors un anneau appelé anneau quotient de l’anneau A par l’idéal a
Exemple
Z/nZ
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23. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Les anneaux quotients
Définition
Soit a un idéal de A, (x̄ + ȳ = x + y ou x̄ = {u ∈ A/u − x ∈ a})
On muni le groupe quotient A/a d’une multiplication
x y = xy
(A/a, +, ·) est alors un anneau appelé anneau quotient de l’anneau A par l’idéal a
Exemple
Z/nZ
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24. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Remarque
L’application p : x ∈ A → x ∈ A/a est un homomorphisme d’anneau surjectif.
Définition
on appelle radical d’un idéal a dans un anneau commutatif A l’ensemble des éléments de
A dont une puissance appartient à a. On le note
√
a
avec
√
a = {a ∈ A / ∃n ∈ N∗, an ∈ a }
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25. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Notion d’idéal, Anneau Quotient
Remarque
L’application p : x ∈ A → x ∈ A/a est un homomorphisme d’anneau surjectif.
Définition
on appelle radical d’un idéal a dans un anneau commutatif A l’ensemble des éléments de
A dont une puissance appartient à a. On le note
√
a
avec
√
a = {a ∈ A / ∃n ∈ N∗, an ∈ a }
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26. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Définitions
1 Un élément a ∈ A est dit diviseur de 0 s’il existe b 6= 0 dans A tel que ab = 0
2 A est dit un anneau d’intégrité si 1 6= 0 et si 0 est le seul diviseur de zéro
A intègre ⇔ 1 6= 0 et (ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0)
3 Un élément x ∈ A est dit nilpotent s’il existe n 1 tel que xn = 0 .
toute élément nilpotent est diviseur de zéro, mais pas inversement (sauf si A = 0).
Exemple
2 est nilpotent dans Z/4Z car: 2
2
= 0.
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27. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Définitions
1 Un élément a ∈ A est dit diviseur de 0 s’il existe b 6= 0 dans A tel que ab = 0
2 A est dit un anneau d’intégrité si 1 6= 0 et si 0 est le seul diviseur de zéro
A intègre ⇔ 1 6= 0 et (ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0)
3 Un élément x ∈ A est dit nilpotent s’il existe n 1 tel que xn = 0 .
toute élément nilpotent est diviseur de zéro, mais pas inversement (sauf si A = 0).
Exemple
2 est nilpotent dans Z/4Z car: 2
2
= 0.
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28. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Remarque
L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A appelé nilradical de A est noté
parfois η(A)
Définition
Un élément a ∈ A est dit une unité de A s’il existe b ∈ A tel que ab = 1.
Exemple
Les unités de Z/nZ sont les k où k
V
n = 1
Remarque
Soit a un idéal de A. si a contient une unité u, alors a = A.
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29. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Remarque
L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A appelé nilradical de A est noté
parfois η(A)
Définition
Un élément a ∈ A est dit une unité de A s’il existe b ∈ A tel que ab = 1.
Exemple
Les unités de Z/nZ sont les k où k
V
n = 1
Remarque
Soit a un idéal de A. si a contient une unité u, alors a = A.
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30. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Remarque
L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A appelé nilradical de A est noté
parfois η(A)
Définition
Un élément a ∈ A est dit une unité de A s’il existe b ∈ A tel que ab = 1.
Exemple
Les unités de Z/nZ sont les k où k
V
n = 1
Remarque
Soit a un idéal de A. si a contient une unité u, alors a = A.
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Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 18 / 39
31. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Corps
Définition
Un corps est un anneau tel que 1 6= 0 et tout non nul est une unité de A.
Théorème
Soit A un anneau, on a:
A corps ⇔ {0} et A sont les seuls idéaux de A
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32. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Corps
Définition
Un corps est un anneau tel que 1 6= 0 et tout non nul est une unité de A.
Théorème
Soit A un anneau, on a:
A corps ⇔ {0} et A sont les seuls idéaux de A
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33. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux
Somme des idéaux
soient a et b deux idéaux.
a + b = {a + b/a ∈ a et b ∈ b} est un idéal de A, appelé somme des deux idéaux.
Plus généralement
Si (ai)i∈I est une famille d’idéaux, on note:
P
i∈I
ai l’ensemble des sommes finies
P
i∈I
ai où ai ∈ ai, (les ai tous nuls sauf un nombre fini).
c’est un idéal de A.
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34. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux
Somme des idéaux
soient a et b deux idéaux.
a + b = {a + b/a ∈ a et b ∈ b} est un idéal de A, appelé somme des deux idéaux.
Plus généralement
Si (ai)i∈I est une famille d’idéaux, on note:
P
i∈I
ai l’ensemble des sommes finies
P
i∈I
ai où ai ∈ ai, (les ai tous nuls sauf un nombre fini).
c’est un idéal de A.
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35. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux
Intersection des idéaux
soit (ai)i∈I une famille d’idéaux.
T
i∈I
ai est un idéal de A.
Produit des idéaux
Le produit de deux idéaux a et b dans A est l’idéal ab engendré par tous les produits xy où
x ∈ a et y ∈ b C’est l’ensemble de toutes les sommes finies
P
i∈I
xiyi Où chaque xi ∈ a et
chaque yi ∈ b
Plus généralement:
a1a2 . . . an est l’ensemble des sommes d’élément de la forme, a1a2 . . . an où
ai ∈ ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n}
En particulier, pour n ≥ 1 an désigne les sommes d’éléments de la forme a1a2 . . . an où
ai ∈ a ∀i = {1, 2, ..., n}
Par convention a0 = A
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36. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux
Intersection des idéaux
soit (ai)i∈I une famille d’idéaux.
T
i∈I
ai est un idéal de A.
Produit des idéaux
Le produit de deux idéaux a et b dans A est l’idéal ab engendré par tous les produits xy où
x ∈ a et y ∈ b C’est l’ensemble de toutes les sommes finies
P
i∈I
xiyi Où chaque xi ∈ a et
chaque yi ∈ b
Plus généralement:
a1a2 . . . an est l’ensemble des sommes d’élément de la forme, a1a2 . . . an où
ai ∈ ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n}
En particulier, pour n ≥ 1 an désigne les sommes d’éléments de la forme a1a2 . . . an où
ai ∈ a ∀i = {1, 2, ..., n}
Par convention a0 = A
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Les notions de base de la théorie des anneaux commutatifs -Anneaux noethériens- 28 Juin 2017 21 / 39
37. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Opérations sur les idéaux
Idéal engendré par un ensemble
Soit A un anneau et S ⊂ A.
On appelle idéal engendré par S l’idéal a défini par a = {
n
P
k=1
xk sk , n ∈ N∗ xk ∈ A, sk ∈ S}
C’est le plus petit idéal contenant S.
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38. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
idéaux premiers
Définition
Dans un anneau commutatif A, un idéal P est dit premier,si
i) P est un idéal propre de A.(6= A)
ii) P vérifié l’une des conditions équivalentes suivantes:
1 ((x, y) ∈ A × A et xy ∈ P) ⇒ x ∈ P ou y ∈ P.
2 (a et b idéaux de A et ab ⊆ P) ⇒ a ⊆ P ou b ⊆ P.
Théorème
Dans un anneau commutatif A,
a est un idéal premier ⇔ A/a est intègre
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39. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
idéaux premiers
Définition
Dans un anneau commutatif A, un idéal P est dit premier,si
i) P est un idéal propre de A.(6= A)
ii) P vérifié l’une des conditions équivalentes suivantes:
1 ((x, y) ∈ A × A et xy ∈ P) ⇒ x ∈ P ou y ∈ P.
2 (a et b idéaux de A et ab ⊆ P) ⇒ a ⊆ P ou b ⊆ P.
Théorème
Dans un anneau commutatif A,
a est un idéal premier ⇔ A/a est intègre
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40. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
Corollaire
Si A est un anneau commutatif, alors A est intègre si et seulement si (0) est un idéal
premier.
Exemple
On sait que Z/nZ est intègre si et seulement si n=0 ou n est un nombre premier; on en
déduit que les idéaux premier de Z sont (0) et les pZ, pour p premier.
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41. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
Corollaire
Si A est un anneau commutatif, alors A est intègre si et seulement si (0) est un idéal
premier.
Exemple
On sait que Z/nZ est intègre si et seulement si n=0 ou n est un nombre premier; on en
déduit que les idéaux premier de Z sont (0) et les pZ, pour p premier.
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42. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
Idéaux maximaux
Définition
Un idéal maximal d’un anneau commutatif est un idéal tel qu’il existe exactement deux
idéaux le contenant, lui-même et l’anneau entier.
Exemples
1 Les idéaux maximaux de l’anneau euclidien Z des entiers relatifs sont les idéaux de
la forme pZ, pour p un nombre premier.
2 Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l’anneau K[X] sont les idéaux
engendrés par les polynômes irréductibles.
Théorème
Dans un anneau commutatif A, on a:
a est un idéal maximal ⇔ A/a est un corps.
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43. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Idéaux premiers et idéaux maximaux
Idéaux maximaux
Définition
Un idéal maximal d’un anneau commutatif est un idéal tel qu’il existe exactement deux
idéaux le contenant, lui-même et l’anneau entier.
Exemples
1 Les idéaux maximaux de l’anneau euclidien Z des entiers relatifs sont les idéaux de
la forme pZ, pour p un nombre premier.
2 Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l’anneau K[X] sont les idéaux
engendrés par les polynômes irréductibles.
Théorème
Dans un anneau commutatif A, on a:
a est un idéal maximal ⇔ A/a est un corps.
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44. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Décompositions d’un idéal
Décomposition d’un idéal en idéaux primaires, idéaux irréductibles
Définition
un idéal a est dit irréductible si
a = b ∩ c ⇒ (a = b ou a = c)
.
Définition
On définit ensuite un idéal primaire a comme un idéal propre d’un anneau commutatif A
vérifiant la propriété suivante :
pour tous a et b de A tels que ab ∈ a , si a /
∈ a alors il existe un entier naturel n tel que
bn ∈ a
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45. Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal Décompositions d’un idéal
Décomposition d’un idéal en idéaux primaires, idéaux irréductibles
Définition
un idéal a est dit irréductible si
a = b ∩ c ⇒ (a = b ou a = c)
.
Définition
On définit ensuite un idéal primaire a comme un idéal propre d’un anneau commutatif A
vérifiant la propriété suivante :
pour tous a et b de A tels que ab ∈ a , si a /
∈ a alors il existe un entier naturel n tel que
bn ∈ a
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46. Modules sur anneau commutatif
Plan de la présentation
1 Objectifs
2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Notion d’idéal, Anneau Quotient
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Opérations sur les idéaux
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Décompositions d’un idéal
3 Modules sur anneau commutatif
Généralités
4 Les anneaux Noethériens
Généralités
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
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47. Modules sur anneau commutatif Généralités
Généralités sur les modules
Définition 1
Un A-module (M, +, ·) est un ensemble équipé d’une loi interne + et d’une loi externe
A × M → M, (α, m) → αm vérifiant :
• (M, +) est un groupe abélien.
• On a en plus les quatre propriétés suivantes:
1 α(m + m0) = αm + αm0
2 (α + β)m = αm + βm
3 (αβ)m = α(βm)
4 1.m = m
pour tous α, β ∈ A et tous m, m0 ∈ M.
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48. Modules sur anneau commutatif Généralités
Définition 2
Soit M un A-module. Un sous-module N de M est un sous groupe de (M, +) qui est en
plus stable pour la multiplication externe par tout élément de A.
Autrement dit une partie N de M est un sous-module si et seulement s’il contient 0, et si
pour tous x, y de N et tout α de A on a : x + y ∈ N et αx ∈ N.
Définition 3
Un A-module M est dit de type fini s’il existe une partie finie S de M tel que M soit
engendré par S. Il est dit libre s’il admet une base, i.e. une famille (xi)i∈I telle que tout
élément x de M s’écrive de manière unique x =
P
i∈I
αixi , avec (αi)i∈I famille presque nulle
d’éléments de A.
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49. Modules sur anneau commutatif Généralités
Définition 2
Soit M un A-module. Un sous-module N de M est un sous groupe de (M, +) qui est en
plus stable pour la multiplication externe par tout élément de A.
Autrement dit une partie N de M est un sous-module si et seulement s’il contient 0, et si
pour tous x, y de N et tout α de A on a : x + y ∈ N et αx ∈ N.
Définition 3
Un A-module M est dit de type fini s’il existe une partie finie S de M tel que M soit
engendré par S. Il est dit libre s’il admet une base, i.e. une famille (xi)i∈I telle que tout
élément x de M s’écrive de manière unique x =
P
i∈I
αixi , avec (αi)i∈I famille presque nulle
d’éléments de A.
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50. Modules sur anneau commutatif Généralités
Exemples
1 A est un A-module, l’opération externe étant la multiplication dans A.
2 Tout groupe abélien M peut être considéré comme un Z-module pour la loi externe :
αm = m + m + ... + m (α termes) si α 0, αm = (−α)(−m) si α 0 et 0.m = 0.
3 Soit a une partie de A. Alors a est un sous A-module de A si et seulement si c’est un
idéal de A.
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51. Les anneaux Noethériens
Plan de la présentation
1 Objectifs
2 Les anneaux Commutatifs et Notion d’idéal
Anneaux et homomorphismes d’anneaux
Notion d’idéal, Anneau Quotient
Diviseurs de zéro; Élements nilpotents; unités d’un anneau
Opérations sur les idéaux
Idéaux premiers et idéaux maximaux
Décompositions d’un idéal
3 Modules sur anneau commutatif
Généralités
4 Les anneaux Noethériens
Généralités
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
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52. Les anneaux Noethériens Généralités
Généralités
Définition
Un anneau A est dit Noethérien s’il vérifie ces trois propriétés équivalentes:
1 Tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments.
2 Toute suite croissante (pour l’inclusion) (In)n∈N∗ d’idéaux est stationnaire.
3 Toute famille non vide d’idéaux de A a un élément maximal.
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53. Les anneaux Noethériens Généralités
Exemples
1 Tout anneau principal est noethérien.
2 L’anneau K[(Xn)n∈N∗ ] n’est pas noethérien.
3 si A est noethérien tout quotient de A l’est encore.
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54. Les anneaux Noethériens Généralités
Théorème de la base de Hilbert
La plupart des anneaux avec lesquels on travaille en algèbre sont noethériens, via le
théorème suivant:
Théorème
Soit A un anneau noethérien. Alors A[X] est noethérien.
Corollaire
Si A est noethérien, alors l’anneau A[X1; . . . ; Xn] est noethérien.
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55. Les anneaux Noethériens Généralités
Théorème de la base de Hilbert
La plupart des anneaux avec lesquels on travaille en algèbre sont noethériens, via le
théorème suivant:
Théorème
Soit A un anneau noethérien. Alors A[X] est noethérien.
Corollaire
Si A est noethérien, alors l’anneau A[X1; . . . ; Xn] est noethérien.
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56. Les anneaux Noethériens Généralités
Théorème
Soient A un anneau noethérien et M un A−module de type fini, alors tout sous-module de
M est de type fini.
Proposition
Soit A un anneau noethérien, a un idéal de A.
Alors A/a est noethérien.
Proposition
Soit B un anneau.
Si A est un anneau noethérien et ϕ : A → B est un homomorphisme bijective.
Alors B est noethérien.
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57. Les anneaux Noethériens Généralités
Théorème
Soient A un anneau noethérien et M un A−module de type fini, alors tout sous-module de
M est de type fini.
Proposition
Soit A un anneau noethérien, a un idéal de A.
Alors A/a est noethérien.
Proposition
Soit B un anneau.
Si A est un anneau noethérien et ϕ : A → B est un homomorphisme bijective.
Alors B est noethérien.
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58. Les anneaux Noethériens Généralités
Théorème
Soient A un anneau noethérien et M un A−module de type fini, alors tout sous-module de
M est de type fini.
Proposition
Soit A un anneau noethérien, a un idéal de A.
Alors A/a est noethérien.
Proposition
Soit B un anneau.
Si A est un anneau noethérien et ϕ : A → B est un homomorphisme bijective.
Alors B est noethérien.
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59. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Lemme 1
dans un anneau noethérien A tout idéal est une intersection finie d’idéaux irréductibles.
Lemme 2
Dans un anneau noethérien A tout idéal irréductible est primaire.
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60. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Lemme 1
dans un anneau noethérien A tout idéal est une intersection finie d’idéaux irréductibles.
Lemme 2
Dans un anneau noethérien A tout idéal irréductible est primaire.
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61. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Théorème
dans un anneau noethérien A, tout idéal admet un décomposition primaire.
Proposition
Dans un anneau noethérien A, tout idéal a contient une puissance de son radical.
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62. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Théorème
dans un anneau noethérien A, tout idéal admet un décomposition primaire.
Proposition
Dans un anneau noethérien A, tout idéal a contient une puissance de son radical.
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63. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Corollaire 1
Dans un anneau noethérien, le nilradical est nilpotent.
Corollaire 2
Soit A un anneau noethérien, m un idéal maximal de A, a idéal quelconque de A, alors les
assertions suivants sont équivalentes.
1
√
a = m (
√
a = rad(a))
2 mn ⊆ a ⊆ m pour certain n 0
Proposition
Soit A un anneau intègre noethérien. Alors tout élément x non nul de A s’écrit :
x = up1 . . . pr avec u ∈ A∗ et les pi irréductibles.
...
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64. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Corollaire 1
Dans un anneau noethérien, le nilradical est nilpotent.
Corollaire 2
Soit A un anneau noethérien, m un idéal maximal de A, a idéal quelconque de A, alors les
assertions suivants sont équivalentes.
1
√
a = m (
√
a = rad(a))
2 mn ⊆ a ⊆ m pour certain n 0
Proposition
Soit A un anneau intègre noethérien. Alors tout élément x non nul de A s’écrit :
x = up1 . . . pr avec u ∈ A∗ et les pi irréductibles.
...
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65. Les anneaux Noethériens Décomposition primaire dans les anneaux noethériens
Corollaire 1
Dans un anneau noethérien, le nilradical est nilpotent.
Corollaire 2
Soit A un anneau noethérien, m un idéal maximal de A, a idéal quelconque de A, alors les
assertions suivants sont équivalentes.
1
√
a = m (
√
a = rad(a))
2 mn ⊆ a ⊆ m pour certain n 0
Proposition
Soit A un anneau intègre noethérien. Alors tout élément x non nul de A s’écrit :
x = up1 . . . pr avec u ∈ A∗ et les pi irréductibles.
...
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66. Les anneaux Noethériens Fin de la présentation
Merci de votre attention!
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