Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció. Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra. Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.

1. Matemàtiques
INTRODUCCIÓ A LA DERIVADA
Autora : Mònica Orpí i Mañé

2. DEFINICIÓ DE DERIVADA
INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA i
CÀLCUL DE DERIVADES

3. Si una funció la tenim expressada algebraicament, és a dir, y=f(x), podem conèixer:
•Domini
•Punts de tall de la gràfica amb l’eix OX i l’eix OY
•Asímptotes ( AV, AH i AO)
•Continuïtat i en els punts de discontinuïtats ( Càlcul a partir de límits
•El seu comportament a l’infinit i ( també gràcies als límits )
Però en canvi la fórmula de f(x) és poc útil quan vull conèixer :
•Intervals de creixement i de decreixement
•Situar els Màxims i Mínims relatius

4. Després dels límits, ve una de les operacions més importants de totes les matemàtiques i una de les més potents eines de l’anàlisi i del càlcul per a les funcions : La derivada
Newton i Leibniz van començar l’estudi infinitesimal. Per a la seva difusió i ampliació van col·laborar científiques com ara Émiliedu Châtelet(1706-1749), que va traduir al francès tota l’obra newtoniana Principia
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-sobre-hombros- gigantes-newton-leibnitz/
Els orígens de la derivada :

6. La clau per a l’estudi dels dos aspectes que ens proposem (màxims, mínims i
intervals de creixement i decreixement) són les rectes tangents:
La recta tangent és la recta que talla una corba per un únic punt

7. m=0
m=0
m<0
m>0
m<0
En els punts de màxims o
mínims, la recta tangent és
horitzontal ( és a dir, el
pendent és 0)
En els trams de creixement, la
recta tangent té pendent
positiu, en els de
decreixement el té negatiu

8. Anomenem Derivada de la funció f en x=a al pendent de la
recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la funció f en a es denota amb el
símbol f’(a) que es llegeix “f prima d’a”
f’( -4,5)= -3/2 ja que la tangent en
el punt d’abscissa 4,5
té pendent -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
-4’5 -2 2 4 6 f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

9. Si coneixem el valor de la derivada en el punt x=a, és a dir, f’(a) podem calcular l’equació de la recta tangent mitjançant
y= m·x + n ( Equació de la recta)
m=f’(a) i imposant que passa pel punt de tangència A(a, f(a))
Així y= f’(a)·x + n i com que passa per A(a, f(a)) tenim que
f(a) = f’(a)·a + n n = f(a) -f’(a)·a
y = f’(a)·x + f(a) -f’(a)·a y -f(a) = f’(a)·x -f’(a)·a
y-f(a)=f’(a)·(x-a)
Equacióde la recta tangent en x=a

10. Coneguts dos punts de la recta
tangent puc calcular la seva equació
(1,-1)
(3,2) y=mx+n
Passa per (1,-1)
-1=m+n
Passa per (3,2)
2=m·3+n
Resolent el sistema:
y= 3/2 x-5/2
D’aquesta manera f’(3)=3/2

11. El que hem fet abans, és molt
llarg, doncs el que només ens
interessa saber és la “m”. Per
calcular-la hi ha una manera
molt més senzilla:
(1,-1) )=(x0,y0)
(3,2)=(x1,y1)
D’aquesta manera obtenim
igualment que f’(3)=3/2
1 0
1 0
2 ( 1) 3
3 1 2
y y
m
x x
- - -
= = =
- -

12. 1 0
1 0
y y
m
x x
-
=
-
1 0
1 0
f (x ) f (x )
m
x x
-
=
-
O el que és el mateix :

13. Però com calculem el pendent d’aquesta recta, és a dir la derivada f’(a), si només coneixem el punt de tangència ?
A(a,f(a))
Recta t

14. Ens situem sobre l’eix OX en a, l’abscissa del punt A de tangència, i ens desplacem cap a la dreta o cap a l’esquerra una distància h. Tenim així el punt x = a+h sobre l’eix OX i el seu corresponent punt de la gràfica P ((a+h), f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a
a+h
P(a+h,f(a+h))

15. A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
Calculem el pendent de la recta secant AP amb les
coordenades dels dos punts A y P.
h
f(a+h)-f(a)
f (a h) f (a) f (a h) f (a)
m
a h a h
+ - + -
= =
+ -
Si anomenem m el pendent de la
recta secant , tenim que m és :

16. Si h és molt petit, a+h està molt a prop d’a. D’aquesta forma, les rectes secants és van apropant a ser la recta tangent
A
a
a+h
P
h
0

17. A
a
a+h
P
h
0P està molt pròxim a ALa secant AP “gairebé ” es confon amb la tangent tEl pendent de la secant AP és “gairebé” el pendent de t
Ara bé, el valor d’ h no pot ser 0, tot i que sí que pot ser tan petit com es vulgui. I aquí intervé el concepte de límit

18. A
a a+h
P
P està molt pròxim a A
La secant AP “gairebé ” es confon amb la tangent t
El pendent de la secant AP és “gairebé” el pendent de t i recordem que el pendent de les
rectes secants és m on
Així doncs la derivada és un número que s’obté mitjançant un límit
f (a h) f (a) f (a h) f (a)
m
a h a h
+ - + -
= =
+ -
I... f’(a)= Pendent de la recta tangent en x = a

19. Exemple : Calcula la derivada de f(x)= x2/4 per a x=2
0
(2 ) (2)
'(2) lim
h
f h f
f
® h
+ -
=
( )2
2
2 2 4 4
(2 ) 1 0,25
4 4
(2) 1
h h h
f h h h
f
ìï + + + ïï+ = = = + + ï
í
ïïï= ïî

20. * El pendent de la recta tangent a
la funció en el punt x=2 és 1. Per
tant, la recta tangent a la meva
funció en x=2 es:
f(x)=x2/4 f '(2) = 1
y = f (a)+ f '(a)(x - a)
y = 1+ 1(x - 2)
y = x - 1
* A més, com que la derivada és
+, això ens indica que al voltant
de x=2 la funció és creixent.
(x0,y0) y=y0+m(x-x0)
y - f(a) = f’(a)·(x-a)

21. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

24. Caiguda lliure d’un cos : Velocitats mitjana i instantània. Introducció a la derivada en un punt
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/caiguda/Caigudapag.html

25. Taxa de Variació Mitjana
Observeu la relació que hi ha entre la Taxa de Variació Mitjana (TVM), el pendent de la recta secant i la tangent de l'angle que forma aquesta recta amb l'horitzontal. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvm/TVMpag.html

26. Interpretació geomètrica de la derivada en un punt
Fixat el punt (a , 0), ( en el dibuix (1,0) ). Arrossegueu el punt (x , 0), en el gràfic (5,0) cap a (1,0) i observeu que els pendents (taxes de variació mitjanes o TVM) de les successives rectes secants tendeixen al pendent de la recta tangent per a x = a, que és f'(a). Així per x=1 tenim que el pendent de la recta tangent serà f’(1)
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

27. Definició de funció derivada
Si desplaceu el punt lliscant b, es mou el punt A. Si activeu el traç del punt P, s'anirà dibuixant la funció derivada a partir dels pendents de la recta tangent en cada punt de la corba. També podeu fer visible tota la funció derivada activant la casella corresponent.
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/funderi/FuncDeripag.html

32. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/pujabaixa/BiciPujaBaixapag.html
Pujades i baixades: La relació entre la gràfica d'una funció i la de la seva derivada

37. No !!
Hi ha una taula amb la que pots trobar la derivada sense calcular límits, però aquestes expressions provenen del pas al límit anterior

39. La funció
La derivada
Regla del producte per una constant
f(x)=kg(x)
f’(x)=kg’(x)
Regla de la suma
f(x)=g(x)+h(x)
f’(x)=g’(x)+h’(x)
Regla del producte
f(x)=g(x)·h(x)
f’(x)=g’(x)·h(x)+g(x)·h’(x)
Regla del quocient
Regla de la cadena
f(x)=g(h(x))
f’(x)=g’(h(x))·h’(x)

40. Exemples :
Exemples :

41. Exemple :
Exemple:

42. Exemple :
La regla de la cadena

43. Derivem f(x)=Ln(2x)

44. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/grafunderi/funcideripag.html
Gràfiques d'una funció i de la seva derivada

45. Funcionsnoderivables:Nototeslesfuncionssónderivables,almenysnohosónentotselsseuspunts.Unexempletípicéslafuncióvalorabsolut
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/noderi/noderivablepag.html

48. Els teus DESITJOS són ordres per mi !!!

53. Encàlcul,elTeoremadeTaylornomdelmatemàticbritànicBrookTaylor,quielvaenunciaral1712.
Aquestteoremapermetaproximarunafuncióderivableenl'entornreduïtalvoltantd'unpuntamitjançantunpolinomielscoeficientsdelqualdepenendelesderivadesdelafuncióenaquestpunt.
Commésgranéselvalorden,mésbéaproximaràelpolinomideTayloralafunció.
Entermesmatemàtics:Sin≥0ésunenterifunafuncióqueésderivablenvegadesenl‘intervaltancat[a,x]in+1enl'intervalobert(a,x),llavorsescompleixque:

54. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html

55. En un entorn petit del punt a, la funció f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 següent, que serà la recta tangent de la funció en x=a