Ejercicios detallados del obj 3 mat i (175 176-177) Universidad Nacianal Abierta

1. Capitulo I
Matemática I
Objetivo 3. Efectuar problemas que involucren la relación de orden en R.
Ejercicio 1
Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2
2 2 1x x+ + >
Solución
Justificación: Cuando estamos en presencia de una inecuación de este
tipo, debemos igualarla a cero, de la siguiente forma:
2 2 2
2 2 1 2 2 1 0 2 1 0x x x x x x+ + > → + + − > → + + >
Luego factorizamos la inecuación resultante, para ello podemos aplicar
la resolvente:
22
2 2 4(1)(1)4 2 4 4 2
1
2 2(1) 2 2
b b ac
x
a
− ± −− ± − − ± − −
= = = = = −
Como el polinomio es de segundo grado se dice que la raíz 1− es doble,
de manera que la factorización queda:
( )
2
1x +
(Obsérvese que se le cambia el signo a la raíz, y se eleva al cuadrado porque
es raíz doble)
Ahora la inecuación resultante es:
( )
2
1 0x + >
Analizando esta inecuación, caemos en la cuenta que todo número real
ℝ elevado al cuadrado es positivo, sin embargo, debemos excluir el número
1− de la solución, porque haría que la expresión ( )
2
1x + sea igual a cero, y
observamos en la inecuación que siempre es mayora que cero.
Respuesta: Todos los valores de x que pertenecen al conjunto { }1− −ℝ
Ejercicio 2
Entre las opciones propuestas indica la que corresponde a todos los valores
de x que hacen que la expresión 3
1x − sea un número real:
a. (−∞ , -1] b. (−∞ , -1] U [1 , + ∞) c. [1 , + ∞) d. [−1 , 1]

2. Solución
Justificación: Para que la expresión 3
1x − debemos buscar los valores
para las cuales ella existe. Cuando tenemos una raíz de índice par ( )n f x
(n=par) para que exista debemos verificar que ( ) 0f x ≥ , así:
3
1 0x − ≥
Para resolver esta inecuación debemos factorizar. En este caso haremos
uso de la fórmula de reducción:
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b− = − + +
Obsérvese como factorizamos la expresión 3
1x − , haciendo eso de esta
fórmula de reducción:
3 3 3
1 1
1
a x
x x
b
=
− = − 
=
Sustituyendo en la fórmula, tenemos:
3 3 2 2 2
1 ( 1)( (1) 1 ) ( 1)( 1)x x x x x x x− = − + + = − + +
Ya hemos factorizado, ahora tenemos la inecuación:
2
( 1)( 1) 0x x x− + + ≥
Para resolver esta inecuación estudiamos el signo de cada uno de sus
factores, es decir, tanto de ( 1)x − como de 2
( 1)x x+ + , de la siguiente forma:
Explicare a continuación como se construye el cuadro de estudio de
signos.
Primero buscamos las raíces de cada factor, igualando a cero cada uno de
ellos, de la siguiente manera:
a) 1 0 1x x− = ∴ =

3. b)
22
2 1 1 4(1)(1)4 1 1 4 1 3
1 0
2 2(1) 2 2
b b ac
x x x
a
− ± −− ± − − ± − − ± −
+ + = ∴ = = = =
Observamos que el segundo factor no tiene raíces, ya que no existe la raíz
cuadrada de un número negativo.
Por lo tanto tenemos solo una raíz, y es 1x = para el primer factor 1x −
c) Luego ponemos los factores al lado izquierdo del cuadro en cualquier orden,
en este caso coloque primero el factor 1x − y luego el factor 2
1 0x x+ + = , de
último colocamos la expresión ( )Sig I que denota el signo de la inecuación que
estamos estudiando.
d) Luego colocamos en la parte superior las raíces ordenadas, como si las
estuviéramos colocando en la recta real, así siempre colocamos a la izquierda
−∞ luego las raíces ordenadas, en este caso solo el número 1 y por ultimo
siempre colocamos ∞ .
e) Ahora analizamos el signo de cada factor, de la siguiente manera:
* 1 0 1x x− > ∴ > (Nótese que el signo de relación > no tiene nada que ver
con el signo de la inecuación original ≥, es decir, siempre al estudiar el signo
de cada factor utilizaremos el signo > independientemente del signo de la
inecuación original)
Podemos observar que obtuvimos 1x > , esto quiere decir que a la
derecha de la recta que tiene el 1 en la parte superior colocaremos signos + y a
la izquierda −, tal como se evidencia en el cuadro en la primera línea donde se
ubica el factor 1x − .
*Realizamos la misma operación con el segundo factor.
2
1 0x x+ + > , como sabemos este polinomio no tiene raíz real, esto
quiere decir que siempre es positivo o siempre es negativo, para saber cual es
el signo, observamos el signo del coeficiente del término 2
x , que en este caso
es 1 positivo, por ende el factor 2
1x x+ + siempre es positivo, en consecuencia
en su línea colocamos solo signos +.
f) Ahora multiplicamos los signos ubicados en cada columna, en este caso
Primera columna: por− + = −
Segunda columna: por+ + = +
De manera que en la ultima fila, donde se encuentra la expresión ( )Sig I ,
colocamos primero − y luego +.

4. g) Finalmente tomamos el signo que nos interesa de esta ultima línea, como
nuestra inecuación original es 2
( 1)( 1) 0x x x− + + ≥ , por ese signo de relación ≥
tomamos el signo + en la última línea. Obsérvese que este signo positivo en la
última fila se encuentra entre las líneas que tienen en su parte superior 1 y el
símbolo ∞ , por lo tanto la solución de esta inecuación es:
[ )1,∞
El corchete es porque la inecuación original es ≥ (mayor o igual), si
hubiese sido solo >, hubiésemos utilizado paréntesis para el número 1.
Respuesta: La opción correcta es la c.
Ejercicio 3
Determine la intersección de los conjuntos:
1 1
/ 1
5 5
A x R x
 
= ∈ − < 
 
y el conjunto de los números naturales
Solución
Justificación: En este caso, debemos graficar ambos conjuntos en la
recta real para visualizar la intersección de los conjuntos dados.
Para el conjunto A se tiene:
1 1
1
5 5
x − <
Procedimiento Matemático Procedimiento explicado
1
1
5 5
x
− < Porque
1 1 1
5 5 1 5 1 5
x x x
x
×
= = =
×
1
1
5
x −
<
Cuando tenemos denominador común
a c a c
b b b
+
+ = podemos sumar los
numeradores y dejar el mismo
denominador
1
1
5
x −
<
SE aplicó la propiedad del valor
absoluto, a saber:
aa
b b
=
1
1
5
x −
<
Se aplicó la operación valor absoluto,
es decir: 5 5=

5. 1 5x − <
Se multiplico por 5 en ambos
miembros, como 5 es positivo no
cambio el signo de la desigualdad, es
decir:
1 1
15 5
5 5
x x− −
× < × → 5× 55 1x< → − <
5 51x− < − <
Se aplicó la propiedad de valor
absoluto, a saber:
( ) ( )f x a a f x a< → − < <
5 51 1x− < <+ +
El 1 negativo paso positivo a ambos
miembros de la desigualdad para
despejar x
4 6x− < <
Se aplicó suma algebraica en ambos
miembros de la desigualdad, OJO
CON LOS SIGNOS, repasa la clase
teórica 2 sobre regla de los signos
Ahora procederemos a graficar ambos conjuntos para visualizar la
intersección pedida:
El intervalo rallado, representa al conjunto 4 6x− < < observándose que
son todos los números reales entre 4− y 6 excepto los extremos 4− y 6 ,
mientras que los puntos azules representan al conjunto de los números
naturales, ahora bien, donde se intersectan ambos es:

6. Es decir el conjunto: { }0,1,2,3,4,5
Nótese que 6 no es intersección, porque no pertenece al intervalo
4 6x− < < , OJO con este detalle.
Respuesta: La intersección pedida es: { }0,1,2,3,4,5
NOTA: Es importante que sepas leer e interpretar correctamente la
desigualdad doble: 4 6x− < < , por un lado tienes 4 x− < y por el otro 6x < ,
detallemos cada una:
La primera: 4 x− < , se lee, 4− es menor que x ó lo que es lo mismo, x
es mayor que 4− , es decir que la desigualdad 4 x− < , también la podemos
escribir 4x > − , y de esta última manera entendemos como graficar en la
recta real, ya que la variable equis está al lado izquierdo del valor numérico.
La segunda: 6x < , ya tiene la variable equis en el lado izquierdo de la
desigualdad, por lo tanto no hay que hacer cambio alguno. Esta desigualdad
6x < se lee: x es menor que 6.
Ejercicio 4
Determine el posible intervalo de números reales x que satisfacen la
desigualdad:
4 3
5 1
2
x−
− ≤ <
Solución
Justificación: En este caso, despejaremos x haciendo operaciones
simultaneas en ambos miembros de la inecuación de la siguiente manera:

7. 4 3
5 1
2
5(2) 4 3 1(2) (multiplicamos toda la expresion por 2)
10 4 3 2
10 4 3 2 4 (restamos 4 en toda la expresion)
14 3 2 (multiplicamos toda la expresion por 1 para que 3x quede positivo,
x
x
x
x
x
−
− ≤ <
− ≤ − <
− ≤ − <
− − ≤ − < −
− ≤ − < − −
y al hacer esta operacion los signos de la desigualdad cambian)
14 3 2 (ahora dividimos toda la expresion por 3)
14 2
3 3
x
x
≥ >
≥ >
Respuesta: La solución son los x∈ (2 14,
3 3


Nota 1: Recuerda que los signos > o < usan paréntesis ( ) y los signos ≥ o ≤
osan corchetes [ ]
Nota 2: Para hacer la gráfica debemos saber leer
14 2
3 3
x≥ > , desglosare estas
desigualdades para que la vean mejor, por un lado tenemos
2
3
x > que significa
los x mayores que
2
3
y por otro lado tenemos
14
3
x≥ , pero como estamos
acostumbrados a tener x a la izquierda, puedes escribirla así:
14
3
x ≤ OJO
MANTENIENDO LA PUNTA DEL SIMBOLO HACIA x (ver figura 1), ahora
podemos leer que son las x menores a
14
3
. Cuando tengas más práctica no
será necesario invertirla sino, leerla directamente.

8. Figura 1
Ejercicio 5
Para el logro del objetivo debes responder dos opciones correctamente.
En el cuadro que se te da al final de los siguientes enunciados están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco que hace que
dichos enunciados sean verdaderos. Complétalos.
Justifica tus respuestas.
a. La inecuación | x | ≥ 5 la resuelve la ________ de los conjuntos ________ y
________.
b. El _____________ solución de la ____________ | x | ≤ 5 es
______________.
c. El intervalo (5, +∞) es el ______________ solución de la
inecuación____________.
Cuadro de posibles respuestas:
Intersección Ecuación
unión Inecuación
( )5,5− Conjunto
[ ]5,5− 5x >
( ) ( ), 5 , 5,−∞ − ∞ 5x <
( ] [ ), 5 , 5,−∞ − ∞ 5x >
Número 5x <
Solución
Justificación:

9. a. En este caso, debemos resolver la inecuación 5x ≥ , por definición de
inecuaciones de valor absoluto, en este caso tenemos:
5 5x≤ ≤ −
Si graficamos esta solución para observar mejor la respuesta, tenemos:
Del gráfico se observa claramente que la solución es la unión de los
conjuntos ( ] [ ), 5 y 5,−∞ − ∞
Respuesta:
a. Unión, (−∞ , −5] y [5, +∞).
b. Conjunto, Inecuación, [−5, 5].
c. Conjunto, x > 5.
Ejercicio 6
Determina el intervalo solución S de:
2
1 3
3
x − > (1) y el conjunto A, de los
naturales en S.
Solución
Justificación: Una buena opción entre varias, es multiplicar (1) por
3
2
,
como es un valor positivo se mantiene la desigualdad y la solución de la nueva
inecuación
3 9
2 2
x − > (2) es la misma que para (1). (Multiplique por
3
2
para que
el coeficiente de x fuera 1, observe que
2 3 6
1
3 2 6
× = = )
Ahora bien, aplicando la definición de valor absoluto a
3 9
2 2
x − > ,
tenemos:
9 3 9
2 2 2
x< − < −
9 3 9 3
2 2 2 2
x+ < < − + (Despejando x )

10. 12 6
2 2
6 3
x
x
−
< <
< < −
Tal como se explicó en la nota 2 del problema 4, estas desigualdades se
leen, x menores que 3− y x mayores que 6, el gráfico sería:
Respuesta: S = (− ∞ , −3) ∪ (6, ∞ ) de donde los naturales en S son
mayores que 6 ⇒ A = {7, 8, 9, 10,…}
Nota: cuando sumamos o restamos fracciones con igual denominador (numero
debajo de la fracción), basta sumar o restar los numeradores (número arriba de
la fracción), en este ejercicio se efectuaron 2 operaciones de este tipo, a saber:
9 3 9 3 12
6
2 2 2 2
+
+ = = = y
9 3 9 3 6
3
2 2 2 2
− + −
− + = = = − , en esta ultima operación
recuerde que signos diferentes se restan y se coloca el signo del número de
mayor valor absoluto.
Ejercicio 7
Si
3
/ 1 10
2
A x x
 
= ∈ − ≤ 
 
ℝ y { }/B n n A= ∈ ∈ℕ ; expresa A en forma de intervalo
y B por extensión.
Solución
Justificación: Como en el problema inmediato anterior, podemos
multiplicar
3
1 10
2
x − ≤ por
2
3
, quedando
2 20
3 3
x − ≤ , aplicando la definición de
valor absoluto, tenemos:
20 2 20
3 3 3
20 2 20 2
3 3 3 3
18 22
3 3
6 7,3
x
x
x
x
∩
− ≤ − ≤
− + ≤ ≤ +
− ≤ ≤
− ≤ ≤
El número 7,3
∩
es un número con periodo 3, es decir 7,3333333333333…

11. Respuesta: A en forma de intervalo sería
22
6,
3
 
−  
ó 6,7.3
∩
 
−  
y como B
esta formado por los naturales en A se tiene { }0,1,2,3,4,5,6,7A =
Ejercicio 8
Resolver la desigualdad: 2 8 16x x− + < −
Solución
Justificación: Para dar solución a esta inecuación, observamos que se
trata de una inecuación de primer grado, de manera que la solución es muy
semejante a resolver una ecuación de primer grado, donde se despeja x , claro
NUNCA PERDIENDO DE VISTA QUE SE TRATA DE UNA INECUACIÓN.
2 8 16x x− + < −
2 16 8x x− − < − − (Se cambia el signo de 8 y x para trasladarlos a los lados
opuestos respectivamente)
3 24x− < − (Recuerda la clase teórica número 2 sobre la regla de los signos en
la suma algebraica, cuando tenemos signos iguales, se mantiene el mismo
signo y se suman los valores en cuestión)
3 24x > (Cuando la variable a despejar, en este caso x queda negativa, se
debe multiplicar ambos miembros de la desigualdad Y CAMBIA EL SIGNO DE
LA inecuación)
24
3
x > (Se despeja x )
8x > (Se dividió
24
8
3
= )
Representando esta desigualdad en el eje real, se tiene:
Por lo tanto:
Respuesta: La solución es ( )8,∞ .

12. NOTA: El 8 no pertenece a la solución, porque son todos los números
mayores que 8, más NO mayores e iguales a 8.
Ejercicio 9
El conjunto de números reales que satisface la solución de la inecuación:
2 1 3x − <
es:
( ) ( )) , 1 2,a −∞ − ∪ ∞ ( )) , 1b −∞ −
( )) 2,c ∞ ( )) 1,2d −
Solución
Justificación: Para dar solución a esta inecuación con modulo o valor
absoluto, debemos aplicar la teoría de este tipo de inecuaciones, en este caso
se aplica:
( ) ( )f x a a f x a< → − < <
En este caso, tenemos:
2 1 3 3 2 1 3x x− < → − < − <
Ahora procederemos a despejar x simultáneamente, de la manera
siguiente:
13 2 3x −− < <
Procedimiento Matemático Procedimiento explicado
3 2 31 1x+− < +<
Se pasó el 1− a ambos miembros de
la desigualdad cambiándole el signo
2 2 4x− < <
Se efectuaron las sumas algebraicas,
CUIDADO con los signos, si aún
tienes problemas repasa la clase
teórica número 2 sobre la regla de los
signos
2 4
2 2
x
−
< <
Se despejo x pasando a dividir a
AMBOS MIEMBROS el 2
1 2x− < <
Porque se efectuaron las divisiones:
2 4
1 y 2
2 2
−
= − =

13. Representando 1 2x− < < en el eje real, se tiene:
Por lo tanto:
Respuesta: La opción correcta es la d , es decir: ( )1,2− .
NOTA: Es importante que sepas leer la desigualdad doble: 1 2x− < < ,
por un lado tienes 1 x− < y por el otro 2x < , detallemos cada una:
La primera: 1 x− < , se lee, 1− es menor que x ó lo que es lo mismo, x
es mayor que 1− , es decir que la desigualdad 1 x− < , también la podemos
escribir 1x > − , y de esta última manera entendemos como graficar en la
recta real, ya que la variable equis está al lado izquierdo del valor numérico.
La segunda: 2x < , ya tiene la variable equis en el lado izquierdo del
valor numérico, por lo tanto no hay que hacer cambio alguno. Esta desigualdad
2x < se lee: x es menor que 2.
Ejercicio 10
El ingreso (en bolívares) obtenido en cierto negocio basado en la venta de x
unidades de un producto está dado por: 4 200x + .
¿Cuántas unidades deben venderse para que los ingresos excedan a 13.000
bolívares?
Solución
Justificación: Vamos a representar el enunciado en forma de
desigualdad, en este caso se tiene:
4 200 13000x + >
Ahora procedemos a resolver esta inecuación:
Procedimiento Matemático Procedimiento explicado
4 13000 200x > −
Se pasó 200 con signo contrario
porque se está despejando x
4 12800x > Se restó: 13000 200 12800− =
12800
4
x >
Se dividió entre 4 en ambos miembros
OJO PORQUE ES POSITIVO. Es
decir:

14. 4 128 4
4 4
00x
> →
4
x
4
12800 12800
4
x> → >
3200x > Se dividió:
12800
3200
4
=
Respuesta: Se deben vender más de 3200 unidades.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Halle el conjunto solución de la inecuación 10 6x − < .
Ejercicio 2
Halle el conjunto solución de la inecuación 2
10 6x − < .
Ejercicio 3
Calcule los posibles números reales x que satisfacen la desigualdad:
1
2
x34
5 <
−
≤−
Ejercicio 4
Resuelva la siguiente inecuación 2
11 30 0x x− + ≥ .
Ejercicio 5

15. Halle los números reales que verifican la inecuación:
( )
1
3 2 32
2 1 2 1
x x
x x
− −
− ≥
− −
Ejercicio 6
Resuelve la siguiente desigualdad:
1 1
3 2
2
x
x
+
> −
−
Ejercicio 7
Determina los valores de k de manera que las raíces de la ecuación
2
3 12 0x kx+ + = , sean números reales.
Ejercicio 8
Calcular los posibles números reales x que satisfacen la inecuación:
1
2
3x
> −
−
Ejercicio 9
Indica los números naturales que están en el conjunto:
1 1
/ 1
5 5
A x R x
 
= ∈ − < 
 
Ejercicio 10
Expresa los conjuntos { }/ 3 2A x R x= ∈ − ≤ < y { }/ 1B x R x= ∈ > − en forma de
intervalos y haz la representación gráfica de ambos conjuntos sobre una misma
recta e indica según el dibujo cuál intervalo forma la parte común.