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Capitulo III 
Matemática III (733) 
Objetivo 4. Aplicar el cálculo diferencial e integral en curvas dadas en 
ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. 
Ejercicio 1 
Prueba que la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones 
paramétricas: 
x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent y y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t 
Entre los puntos correspondientes a 1 t = t y 2 t = t es igual a 
f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f '' 
(t ) 
2 2 1 1 Solución 
Justificación: En el objetivo anterior se dedujo, que la longitud de arco en 
coordenadas cartesianas era: 
2 
  = +   
∫ 
1 
  b 
a 
dy 
L dx 
dx 
Si la curva esta dada en forma paramétrica: 
 = 
 < < 
 = 
1 2 
( ) 
( ) 
x f t 
t t t 
y g t 
Entonces: 
 dx = 
f ' 
( t ) 
dt 
 < < 
 = 
( ) 
t t t 
' 1 2 
dy g t dt 
Sustituyendo en la ecuación de la longitud de arco, se tiene: 
2 
∫ f ' (t) dt 
= +   = + 
1 
' 2 ' 
' 
  
' 
( ) ( ) 
1 ( ) 1 
( ) 
t 
t 
g t dt g t dt 
L f t dt 
f t dt 
  
( ) 
( ) 
2 ' 2 
2 2 
( ) 
' ' 
( ) 1 ( ) 
1 1 
' 2 
( ) 
t t 
t t 
g t 
f t dt f t dt 
f t 
  
  = + 
  
∫ ∫ 
( ) ( ) 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 
2 2 ' 2 ' 2 ' ' 
+ + 
( ) ( ) ( ) ( ) 
f t g t f t g t 
t t 
2 2 
= ∫ = ∫ 
' ' 
( ) ( ) 
L f t dt f t dt 
' 2 2 ' 
( ) ( ) 
f t f t 
t t 
1 1 
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 
= ∫ = 
1 
' 2 ' 2 ' 2 ' 2 
+ + 
( ) ( ) ( ) ( ) 
' 
( ) 
2 
∫ f t dt 
' ' 
( ) ( ) 
t 
t 
f t g t f t g t 
L f t dt 
f t f t 
1 
' ( ) 
t 
t 
( ) ( ) 2 
1 
' 2 ' 2 ( ) ( ) 
t 
L = ∫ f t + g t dt 
t
Por lo tanto, si tenemos una curva en coordenadas paramétricas su 
longitud se puede escribir de cualquiera de las formas: 
t t t 
    = + = + =   +   
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 
1 1 1 
2 2 
' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 
    ∫ ∫ ∫ 
t t t 
dx dy 
L f t g t dt x t y t dt dt 
dt dt 
Ahora bien, en nuestro caso, tenemos: 
 x = f '' ( t ) cos t + 
f ' 
( t ) 
sent 
 < < 
 = - ( ) + 
( ) cos 
t t t 
'' ' 1 2 
y f t sent f t t 
Primero debemos calcular las primeras derivadas de la función 
paramétrica dada: 
Para: x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent se tiene la derivada de 2 productos: 
( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) 
dx 
f t t f t t f t sent f t sent 
dt 
= + + + 
'' ( ) ''' ( ) cos ' ( ) cos '' ( ) 
dx 
f t sent f t t f t t f t sent 
dt 
= - + + + 
'' ( ) 
dx 
f t sent 
dt 
= - + f ''' (t) cos t + f ' (t) cos t + f '' (t)sent 
( ''' ( ) ' ( ))cos 
dx 
f t f t t 
dt 
= + 
Para: y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t se tiene la derivada de 2 productos: 
( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos 
dy 
f t sent f t sent f t t f t t 
dt 
= - - + + 
'' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) '' ( ) cos 
dy 
f t t f t sent f t sent f t t 
dt 
= - - - + 
'' ( ) cos 
dy 
f t t 
dt 
= - - f ''' (t)sent - f ' (t)sent + f '' (t) cos t 
( ''' ( ) ' ( )) 
dy 
f t f t sent 
dt 
= - + 
Ahora, según la fórmula debemos calcular: 
2 dx 
dt 
  
  
  
y 
2 dy 
dt 
  
  
  
, entonces: 
( ) ( ) 2 
  =  +  = +       
2 2 ''' ( ) ' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) cos2 
dx 
f t f t t f t f t t 
dt 
( ) ( ) 2 
  = - +  = +       
2 2 ''' ( ) ' ( ) ''' ( ) ' ( ) 2 
dy 
f t f t sent f t f t sen t 
dt
Ahora debemos sumar: 
2 2 dx dy 
dt dt 
      +   
    
: 
+       + = + 
( ) ( ) 2 2 
2 
  ''' ' ''' 
+ 
2 
f (t) f ( ) cos2 ( ) ' ( ) 2 
dx dy 
t sen t 
dt 
t t f t 
t 
f 
d 
 
   
      + = + 
   
( ) ( ) ''' 2 
2 
' 2 2 
2 
f (t) ( ) cos 
dx dy 
t sen t 
d 
t 
t dt 
f 
  + 
 
Como la identidad: cos2 t + sen2t =1, se tiene: 
( ) 2 2 
      +   = + 
    
''' ' 2 ( ) ( ) 
dx dy 
f t f t 
dt dt 
Sustituyendo en la formula de longitud de curva: 
2 2 
t t t 
dx dy 
=   +   = + =  +            ∫ ∫ ∫ 
( ) 2 2 2 
1 1 1 
''' ' 2 ''' ' ( ) ( ) ( ) ( ) 
L dt f t f t dt f t f t dt 
dt dt 
t t t 
Integrando: 
t t t 
2 2 2 
L = ∫ f ''' ( t ) + f '  ( t ) dt = ∫ f ''' ( t ) dt + ∫ f ' ( t ) 
dt 
t t t 
1 1 1 
Pero las integrales son: ∫ f ''' (t)dt = f '' (t) y ∫ f ' (t)dt = f (t) , entonces: 
'' 2 ( '' ) ( '' ) 
= + = + - + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 2 1 1 
1 
t 
L f t f t f t f t f t f t 
t 
Por lo tanto la longitud de la curva es: 
L = f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f '' 
(t ) 
2 2 1 1 l.q.q.d 
Respuesta: l.q.q.d = Lo que queríamos demostrar. 
Ejercicio 2 
Calcula el área de la superficie en revolución generada por la curva 
r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar. 
Solución 
Justificación: Vamos a comentar algunas gráficas conocidas en 
coordenadas polares, ya que su conocimiento se hace imprescindible para 
resolver algunos problemas: 
En coordenadas polares, hacemos uso de las ecuaciones: 
q 
q 
=  
 = 
x r cos 
y rsen
Donde r es la distancia del polo a un punto cualquiera de una curva y q 
el ángulo con respecto al eje polar, pero ¿Por qué estas ecuaciones? O más 
precisamente ¿De dónde salen dichas ecuaciones?, observa la siguiente 
grafica: 
Figura 
En el triángulo amarillo podemos aplicar las funciones trigonométricas 
seno y coseno, por ser un triángulo rectángulo: 
CO y 
q = = ® = q 
sen y rsen 
HIP r 
CA x 
q = = ® = q 
cos x r 
cos 
HIP r 
La deducción fue muy sencilla. 
Ahora veamos algunos gráficos: 
Rectas 
Rectas que pasan por el polo:
La ecuación de una recta que pasa por el origen en coordenadas 
cartesianas tiene la forma: 
y = mx 
Donde m es la pendiente, que sabemos vale m = tga . 
Sustituyendo las transformaciones en coordenadas polares, se tiene: 
y = mx 
rsenq = mr cosq 
r senq = m r cosq 
sen 
q sen q = m cos 
q  m = = 
tg 
q 
q 
cos 
Pero sabemos que: m = tga , por lo tanto: 
tgq = m = tga tgq = tga ⇒q =a 
Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por el polo es: 
q =a 
Circunferencias 
La ecuación general de una circunferencia de radio R y centro en el 
origen es: 
x2 + y2 = R2 
Sustituyendo las ecuaciones de transformación polar, se tiene: 
( ) ( ) x2 + y2 = R2 ® r cosq 2 + rsenq 2 = R2 ®r2 cos2q + r2sen2q = R2
r2 (cos2q + sen2q ) = R2 
La identidad fundamental de la trigonometría es: 
sen2q + cos2q =1 
Por lo que: 
r2 (1) = R2 ®r2 = R2 ® r2 = R2 ®r = R 
Por lo tanto la ecuación de la circunferencia con centro en el polo es: 
r = R 
Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro en el punto 
(R,a ). 
El siguiente grafico ilustra esta situación: 
Aplicando la ley del coseno en el triángulo extraído de la derecha, se 
tiene: 
R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a ) 
R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a ) 
0 = r2 - 2rRcos (q -a ) 
r2 = 2rRcos (q -a )
r 2 = 2 r Rcos (q -a ) 
r = 2Rcos (q -a ) 
Analicemos esta última ecuación para algunos casos especiales, que 
son los más comunes en ejercicios prácticos: 
1) Si a = 0º se tiene: 
r = 2Rcos (q - 0º)®r = 2Rcos (q ) (1) 
Escribiendo la ecuación r = 2Rcos (q ) a su forma cartesiana: 
= q ® q = (2), además, aplicando Pitágoras en el 
Como: cos cos 
x 
x r 
r 
triángulo rectángulo de la figura 1, se tiene: 
r2 = x2 + y2 (3) 
Sustituyendo (2) y (3) en (1): 
x 
= ® = ® + = ® + - = 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 
r R r Rx x y Rx x y Rx 
r 
Completando cuadrados en: ( )x2 - 2Rx = x - R 2 - R2 
Entonces: 
( ) ( ) x2 + y2 - 2Rx = 0® x - R 2 - R2 + y2 = 0® x - R 2 + y2 = R2 
Y estas es una circunferencia de radio R y centro en (R,0) 
Su gráfica es:
Haciendo un análisis muy semejante al anterior, obtenemos las 
siguientes gráficas, las cuales debes conocer para resolver ejercicios dond 
intervengan este tipo de curvas: 
2) Si a =180º =p se tiene: 
r = 2Rcos (q -p )®r = -2Rcos (q ) 
Su gráfica es: 
a = = p se tiene: 
3) Si 90º 
2 
q p q   =  - ® = 
2 cos 2 ( ) 
r R r Rsen 
2 
  
Su gráfica es:
4) Si 
a = 3 
p 270º 
= se tiene: 
2 
q p q   =  - ® = - 
( ) 3 
2 cos 2 
r R r Rsen 
2 
  
Su gráfica es: 
Caracoles 
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cosq ó de la 
forma: r = a ± bsenq . 
Consideremos 3 casos: 
1) Cuando a = b , toman el nombre de CARDIOIDE. 
1.1) r = a + a cosq
1.2) r = a - a cosq 
1.3) r = a + asenq 
1.4) r = a - asenq
2) Cuando a > b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL SIN 
RIZO. 
2.1) r = 6 + 3cosq 
2.2) r = 6 - 3cosq
2.3) r = 6 + 3senq 
2.4) r = 6 -3senq
3) Cuando a < b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL CON 
RIZO. 
3.1) r = 3+ 6cosq 
3.2) r = 3- 6cosq
3.3) r = 3+ 6senq 
3.4) r = 3- 6senq
Rosas 
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma 
r = a cos (nq ) ó r = asen(nq ) donde n es cualquier número natural mayor que 
uno. 
Consideremos 2 casos: 
1) Si n es PAR tenemos una rosa de 2n pétalos. 
1.1) r = 4sen(2q ) 
1.2) r = 4cos (2q )
2) Si n es IMPAR tenemos una rosa de n pétalos. 
2.1) r = 4cos (3q ) 
2.2) r = 4sen(3q )
Lemniscatas 
Tienen ecuación polar de la forma r2 = a cos (2q ) o de la forma 
r2 = asen(2q ) 
1) r2 = 4cos (2q ) 
2) r2 = -4cos (2q )
3) r2 = 4sen(2q ) 
4) r2 = -4sen(2q )
Espirales 
Consideremos 2 tipos: 
1) Espiral de Arquímedes: Ecuación polar de la forma: r = aq 
Ejemplo: graficar r = 3q 
2) Espiral logarítmica: Ecuación polar de la forma: r = aebq 
Ejemplo: graficar r = 2e3q
Retomando nuestro ejercicio, para calcular el área de la superficie en 
revolución generada por la curva r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar. 
En el objetivo anterior, se dedujo la formula que nos permite calcular el 
área de una superficie en revolución, a saber: 
b 
( )' 2 2 1 
S = p ∫ y + y dx 
a 
Vamos a encontrar la fórmula que nos permite calcular la superficie de 
un sólido en revolución en coordenadas polares, cuando gira alrededor del eje 
polar. 
Hagamos uso de las ecuaciones de transformación polar: 
q 
q 
=  
 = 
x r cos 
y rsen 
2 
Para convertir la expresión: + ( 2  dy 
 1 y 
' ) = 1 
+   
dx 
  
. 
Podemos tomar las ecuaciones: 
q 
q 
=  
 = 
x r cos 
y rsen 
, como una curva dada en 
forma paramétrica, donde el parámetro es q , y recordando que en el ejercicio 1 
demostramos que una curva en ecuaciones paramétricas viene dada por: 
2 2 2 
1 
dy dx dy 
dx dq dq 
      +   =   +   
      
dy dx 
dq dq 
Se procede a calcular las derivadas y 
. Sabemos que en las 
ecuaciones x = r cosq y y = rsenq , r depende de q , es decir, r = f (q ) , 
entonces, al derivar las ecuaciones polares, debemos aplicar la derivada de un 
producto: 
( ) ( ) ' ' ' cos 
dy 
r sen r sen r sen r 
d 
q q q q 
q 
= + = + 
( ) ( ) ' cos cos ' ' cos 
dx 
r r r rsen 
d 
q q q q 
q 
= + = - 
Entonces: 
( ) ( ) 2 2 
      +   = - + + 
    
' 2 ' 2 cos cos 
dx dy 
r rsen r sen r 
d d 
q q q q 
q q
(( ) ) (( ) ) 2 2 
      +   = - + + + + 
    
' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 cos 2 cos 2 cos cos 
dx dy 
r r r sen r sen r sen r r sen r 
d d 
q q q q q q q q 
q q 
 dx  2 +  dy 
 2 
    = ( ( 2 r ' ) cos 2 q - 
2 r ' r cos 
q sen 
q 
+ 2 2 q ) + ( ( ' )2 r sen r sen 2 q + 2r ' r cosq senq + r2 cos2q ) 
 d   d 
 q q 
( ) ( ) 2 2 
      +   = + + + 
    
' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 cos cos 
dx dy 
r r sen r sen r 
d d 
q q q q 
q q 
( ) ( ) ( ) 2 2 
      +   = + + + 
    
' 2 2 2 2 2 2 cos cos 
dx dy 
r sen r sen 
d d 
q q q q 
q q 
Como sen2q + cos2q =1, se tiene: 
( ) 2 2 
dx dy ' 2 2 
      +   = + 
    
r r 
dq dq 
Como y = rsenq , se tiene que la fórmula en coordenadas polares para 
calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje 
polar: 
b 
( )2 ' 2 S 2 rsen r r d 
= p ∫ q + q 
a 
Si la región gira alrededor de la recta 
q = p , que seria el eje ye en 
2 
coordenadas cartesianas, se tendría: 
b 
( )' 2 2 1 
S = p ∫ x + x dx 
a 
Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, se tendría: 
2 2 2 
1 
 + dx  =  dx   dy 
    q  +   dy   d  dq 
 
 
Es decir: ( ) 2 2 
dx dy ' 2 2 
      +   = + 
    
r r 
dq dq 
Y como x = rsenq se obtiene la fórmula en coordenadas polares para 
calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje 
q = p es: 
2 
b 
( )2 ' 2 S 2 r cos r r d 
= p ∫ q + q 
a
En este caso, la superficie a rotar es: r = 4cosq , es decir la 
circunferencia: 
Como al hacer girar la parte superior de la circunferencia, se obtiene el 
mismo sólido que hacer girar toda la circunferencia, los límites de integración, 
serán de 0 a 
p ; por otro lado la derivada en este caso de r = 4cosq , es: 
2 
r' = -4senq , sustituyendo en la fórmula, se tiene: 
( ) ( ) 
p 
2 
2 2 
= p ∫ q q q + - q q 
S 2 4cos sen 4cos 4sen d 
0 
Como ( ) ( ) 2 2 cosq + senq =1, se tiene: 
p p 
2 2 
( ) ( ) 
= p ∫ q q q 2 + q 2 
  q = p ∫ q q q 
S 2 4cos sen 16 cos sen d 2 4cos sen 16d 
0 0 
( ) 
p 
2 
= p ∫ q q q 
S 2 4cos sen 4 d 
0 
p 
2 
= p ∫ q q q 
S 32 cos sen d 
0
La primitiva se obtiene con un sencillo cambio de variable: 
 = 
® ® = = =  = 
u sen q u 2 sen 
2 
q q q q q q q 
∫ cos ∫ cos 
∫ 
sen d sen d udu 
q q 
cos 2 2 
du d 
Entonces: 
p  p 
 2 
 
  2    2 2 2 =  2 
 ( 0 )  ( 1 ) ( 0 ) 
   -  = -  1    =   =         
    p q p p p p 
32 2 32 32 32 16 
2 2 2 2 2 2 
0 
sen 
sen sen 
  
A manera de comprobación, resolveré el ejercicio en coordenadas 
cartesianas: 
b 
( )' 2 2 1 
S = p ∫ y + y dx 
a 
La ecuación de la circunferencia en este caso es: 
( )x - 2 2 + y2 = 4 
 - -  - = - - ® =   = 
( ) 
2 ' 
( ) 
( ) 
2 ' 
 x -  
4 2 2 
2 
4 2 
x 
- - 
2 4 2 
y x y 
x 
( 2) 
2 
( ) 
- ( x 
- 
2 
) 
= 
2 ( ) 2 
- - - - 
4 x 2 4 x 
2 
Sustituyendo en la fórmula del área de la superficie, se obtiene: 
 - ( x 
- ) 
 = ∫ 
- ( - ) +      - -  
S x dx 
( ) 
2 
4 
2 
2 
0 
2 
2 4 2 1 
4 x 
2 
p 
( ) ( ) 
4 2 
x 
S x dx 
( ) 
2 
2 
0 
2 
2 4 2 1 
4 x 
2 
p 
 -  
= - - +   
 - -    
∫ 
( ) - ( - ) + ( - 
) 
4 x 2 x 
2 4 
∫ ∫ 
= p - - = p 
- - 
2 4 2 2 4 2 
S x dx x dx 
( ) 
( ) 
( ) 
4 2 2 4 
2 2 
2 2 
- - - - 
4 x 2 4 x 
2 
0 0 
( ) 
∫ dx 
= p - - = p - - 
S x dx x 
( ) 
( ) 
4 
2 2 
2 
0 
4 
2 4 2 2 4 2 
- - 
4 x 
2 
∫ 
2 
( )2 
4 - x - 2 
4 
0 
4 
( ) ( ) 
S = 2p 2 ∫ dx = 4p 4 - 0 =16p 
0 
Llegamos al mismo resultado.
Evidentemente, cuando se hace girar una circunferencia sobre su 
diámetro, en este caso el eje polar, se obtiene una esfera, y el área de una 
esfera es: A = 4p r2 , como el radio es r = 2 , se tiene: 
A = 4p (22 ) = 4p (4) =16p 
Respuesta: A =16p . 
Ejercicio 3 
Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva 
dada por las ecuaciones paramétricas: 
 = + 
1 
 £ £  = 
0 2 t 
x t 
t 
y e 
Alrededor del eje OX . 
Solución 
Justificación: Vamos a deducir la fórmula que utilizaremos en 
coordenadas paramétricas para calcular el área de la superficie en revolución 
de una región alrededor del eje OX . 
 x = 
f ( t 
) 
 < <  = 
( ) 
Para las ecuaciones paramétricas: t t t 
1 2 
y g t 
, se demostró: 
b t 
  = +   = + 
( ) ( ) 2 
1 
2 
dy 
' 2 ' 2 1 ( ) ( ) 
  ∫ ∫ 
L dx f t g t dt 
dx 
a t 
b 
Por lo tanto la fórmula: ( )' 2 2 1 
S = p ∫ y + y dx , se transforma en: 
a
b 
2 ( ) ( ' ( ))2 ( ' ( ))2 
S = p ∫ g t f t + g t dt 
a 
Si la curva gira alrededor del eje ye, aplicando el análisis anterior, se 
tendría: 
b 
( ) ( ) ' 2 ' 2 2 ( ) ( ) ( ) 
S = p ∫ f t f t + g t dt 
a 
En nuestro ejercicio, se tiene: 
 = ( ) = + 
1 
 £ £  = = 
0 2 
x f t t 
( ) t 
t 
y g t e 
Derivando: 
 f ' 
( t 
) = 
1 
 £ £ 
 ' 
= 
0 2 
( ) t 
t 
g t e 
Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene: 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 
' 2 ' 2 2 2 
S = 2 p ∫ g ( t ) f ( t ) + g ( t ) dt = 2 p ∫ e 1 
+ e dt 
0 
b 
t t 
a 
Resolviendo esta integral: 
2 
S = 2p ∫ et 1+ e 2 
t dt 
0 
A través de cambio de variable: 
Como: ( ) 2 2 
2 2 
S = 2p ∫ et 1+ e t dt = 2p ∫ et 1+ et dt 
0 0 
Con el cambio: 
t 
=  
u e 
= t 
du etd 
Por lo tanto: 
( )2 2 ∫ et 1+ et dt =∫ 1+ u du 
Hemos llegado a una integral de sustitución trigonométrica, explicada en 
detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733). 
Con el cambio trigonométrico: 
a 
a a 
=  
 = 
u tg 
sec2 
du d 
Así:
∫ 1+ u2du = ∫ 1+ tg2a sec2a da 
Como: 1+ tg2a = sec2a , se tiene: 
∫ sec2a sec2a da = ∫seca sec2a da 
Esta última integral es de la forma: 
∫ sec3a da 
Y tal como se explico en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733), 
se debe aplicar el método de integración por partes: 
2 
= sec 
a 
2 
sec sec 
dv sec d 
I 
u 
a a da 
a a 
= 
= 
 
® 
∫ 
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene: 
a a a a a 
a a a 
sec sec 
sec 
u d 
u tg d du tg d 
   = 
a a  ® ® 
 dv sec 2 d dv sec2 
a d 
a  v 
= 
 
tg 
= 
= 
= 
∫ = ∫ 
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte: 
I = u.v - ∫ v.du = seca tga - ∫tga .seca tga da 
I = seca tga - ∫tg2a .seca da = seca tga - ∫(sec2a -1).seca da 
I = seca tga - ∫(sec3a - seca ).seca da = seca tga - ∫sec3a da + ∫seca da 
Pero: I = ∫ sec3a da y de la tabla de integrales: 
∫seca da = ln seca + tga +C 
Entonces: 
I = seca tga - I + ln seca + tga 
I + I = seca tga + ln seca + tga 
2I = seca tga + ln seca + tga 
3 sec ln sec 
sec 
tg tg 
2 
I d 
a a a a 
a a 
+ + 
= ∫ = 
Para devolver el cambio hacemos uso del triángulo:
De donde claramente: 
2 
tg u 
sec u 
1 
a 
a 
= 
= + 
Por lo tanto: 
2 1 ln 2 1 
u u u u 
2 
I 
+ + + + 
= 
Y como u = et , se tiene: 
+ + + + 
( ) 2 2 
2 
t t t t 
e e e e 
p p p 
= ∫ + 2 = = 2 + + 2 
+ + 
S e e dt e e e e 
0 
1 ln 1 2 
t t t t t t 
2 1 2 . 1 ln 1 
2 2 
2 
2 ( 2 2 
) 0 
2 
2 1 1 ln 1 
0 
S = p ∫ et + e t dt =p et e t + + e t + + et 
Evaluando esta integral, se tiene: 
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )-(e0 e0 +1 + ln e0 +1 + e0 ) 
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 1+1 + ln 1+1 +1 ) 
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 ) 
Respuesta: S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 )   
Ejercicio 4 
a) Dibuja la gráfica de la curva que está dada por las ecuaciones 
paramétricas: 
5cos 3 
0 2 
x t 
5 1 
t 
y sent 
p 
 = - 
 £ £  = + 
b) Calcula la longitud de la curva de la parte “a” usando integrales. 
Solución 
Justificación:
a) Cuando se nos pide graficar una curva dada en forma paramétrica, 
podemos eliminar el parámetro para tener la curva en coordenadas cartesianas 
y saber su naturaleza, por ello para eliminar el parámetro en este caso 
procedemos así: 
1) Despejamos sent y cos t de cada una de las ecuaciones: 
5cos 3 3 5cos 
 
+ 3 
= 
- = co 
1 
s 
x t x t 
y sent y sen y 
1 
5 
1 
5 
5 5 
sent 
x 
t 
t 
 
 = -  + =   ® ®  = +  - = 
Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, entonces: 
sen2t + cos2 t =1 
2 2 
1 
y  x +  
1 
5 
3 
5 
  
= 
 -  
 
  
 
+ 
 
( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( x + 3 ) 2 + ( y - 
1 
) 2 
+ = ® + = ® = 
( ) ( ) ( ) ( ) 
2 2 
1 1 1 
5 5 25 25 25 
2 2 
3 1 2 2 
1 3 1 25 
x y 
25 
x y 
+ + - 
= ® + + - = 
Hemos llegado a la ecuación general de una circunferencia explicada en 
detalle en el objetivo anterior. 
El centro de esta circunferencia es: (-3,1) y su radio es: R = 25 = 5 , por 
lo tanto su gráfica es:
b) Para calcular la longitud de esta curva, hacemos uso de la fórmula: 
( ) ( ) 2 
1 
' 2 ' 2 
t 
L = ∫ x + y dt 
t 
Porque la curva esta dada en forma paramétrica, calculemos las 
derivadas: 
' 
x sent 
' 
5 
0 2 
5cos 
t 
y t 
p 
 = - 
 £ £ 
 = 
Por lo tanto: 
p 
= ∫ - + 
( ) ( ) 
2 
2 2 
L 5sent 5cos t dt 
0 
Resolviendo la integral: 
p p 
= ∫ + = ∫ + 
2 2 
2 2 ( 2 2 
) L 25sen t 25cos tdt 25 sen t cos t dt 
0 0 
Como sen2t + cos2 t =1: 
2 p 2 p 2 
p = ∫ ( ) = ∫ = ∫ = [ ] p 
= ( p - ) = ( p ) 
= p 
0 0 0 
2 
25 1 5 5 5 5 2 0 5 2 10 
0 
L dt dt dt t 
Es fácil verificar este resultado, porque la longitud de una circunferencia 
es: 2p R y como el radio es 5, se tiene que su longitud es: 
L = 2p R = 2p (5) =10p 
Respuesta: 
a) Gráfica de 
5cos 3 
0 2 
x t 
5 1 
t 
y sent 
p 
 = - 
 £ £  = + 
b) L =10p
Ejercicio 5 
Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva 
definida por las ecuaciones 
 x = r cos 
t 
 0 
£ t 
£ p 
 y = 
rsent 
2 
, alrededor del eje OX . 
Solución 
Justificación: No es necesario dibujar la gráfica para resolver este 
ejercicio, porque se utilizaría simplemente la fórmula en coordenadas 
paramétricas para calcular el área del sólido en revolución, sin embargo, al 
dibujar la gráfica podemos conocer su naturaleza y posiblemente, si es una 
figura conocida, corroborar el resultado que se obtendrá. Para graficar 
eliminamos el parámetro t , tal como se ejecuto en el ejercicio inmediato 
anterior, así: 
cos 
x 
t 
 = r 
y 
 
sent 
=  
r 
Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, así: 
2 2 2 2 2 2 
    +   +   = ® + = ® = ® + = 
    
2 2 2 
y x y x x y 
2 2 2 1 1 1 
x y r 
r r r r r 
Hemos llegado a una circunferencia con centro en el origen y radio 
R = r2 = r , entonces su gráfica en el intervalo 0 
t 
£ £ p , es: 
2
Al rotar esta curva alrededor del eje OX , se obtiene la mitad de una 
esfera: 
Y como sabemos que el área de una esfera es: S = 4p R2 , tenemos que 
el área de la mitad de esta esfera generada es: 
p 2 
S = = p 
r 
2 4 
2 
r 
2 
Este sería el resultado esperado. 
Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el área de la superficie de 
la curva 
 x = r cos 
t 
 0 
£ t 
£ p 
 y = 
rsent 
2 
rotada alrededor del eje OX , se tiene: 
b 
( ) ( ) ' 2 ' 2 2 
S = p ∫ y x + y dt 
a 
Calculando las derivadas: 
 x ' 
= - rsent 
 0 
£ t 
£ 
p 
 y ' = 
r cos t 
2 
Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene: 
( ) ( ) 
p 
2 
2 2 
= p ∫ - + 
S 2 rsent rsent r cos t dt 
0
p p 
( ) ( ) ( ) 2 2 
= p ∫ + = p ∫ + 
2 2 2 2 2 2 2 
S 2 rsent r sen t r cos t dt 2 rsent r sen t cos t dt 
0 0 
Como sen2t + cos2 t =1 
p p p 
2 2 2 
( ) ( ) ( ) 
= p ∫ 2 2 + 2 = p ∫ 2 
= p ∫ 
S 2 rsent r sen t cos t dt 2 rsent r 1 dt 2 rsent r dt 
0 0 0 
p p 
2 
= p ∫ 
= p [ - ] = p  - p  +  = p [ + ] = p   2 2 2 2 2 
2 2 cos 2 2 cos cos0 2 0 1 2 
S r sentdt r t r r r 
0 
2 
0 
Observa que importante fue, conocer el gráfico para corroborar el 
resultado. 
Respuesta: S = 2p r2 
Ejercicio 6 
Calcula el área de la superficie que se obtiene al girar la curva definida 
en forma paramétrica por las ecuaciones: 
 x = e t 
cos 
t 
 0 
£ t 
£ 
p 
 y = 
e t 
sent 
2 
Alrededor del eje OY . 
Solución 
Justificación: Tal como se dedujo en el ejercicio 3 de esta guía, como la 
curva esta dada en forma paramétrica y gira alrededor del eje ye, se aplica la 
fórmula: 
b 
( ) ( ) ' 2 ' 2 2 
S = p ∫ x x + y dt 
a 
Calculemos las derivadas: 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
' ' ' 
cos cos 
x e t e t 
' ' ' 
0 
2 
t t 
t t 
t 
y e sent e sent 
p 
 = +  £ £  = + 
 x ' 
= - e t sent + e t 
cos 
t 
p 
 0 
£ t 
£ 
 y ' 
= e t cos t + 
e t 
sent 
2 
( ) 
( ) 
 x ' 
= e t - sent 
 £ £ 
p  
' 
= + cos 
0 
cos 2 
t 
t 
t 
y e t sent 
Sustituyendo en la formula dada, se tiene:
p 
( ( )) ( ( )) 2 
2 2 
= p ∫ - + + 
S 2 et cos t et cos t sent et cos t sent dt 
0 
( ) ( ) 
p 
2 
2 2 2 2 
= p ∫ - + + 
S 2 et cos t e t cos t sent e t cos t sent dt 
0 
( ) ( ) 
p 
2 
= p ∫ 2 - 2  + + 2 
 
S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt 
0 
( ) ( ) 
p 
2 
= p ∫ 2 - 2  + + 2 
 
S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt 
0 
p 
( ) ( ) ( ) 2 
= p ∫ 2  - + 2 + 2 + + 2 
 
S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen t dt 
0 
p 
( ) 2 
= p ∫ - + + + + 
2 2 2 2 
S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen tdt 
0 
2 
S = 2p et cos t (et ) cos2 t - 2sent cos t + sen2t + cos2 t + 2sent cos t 
2 
0 
sen tdt 
p 
∫ + 
p 
( ) 2 
= p ∫ + + + 
2 2 2 2 
S 2 et cos t et cos t sen t cos t sen tdt 
0 
Como sen2t + cos2 t =1, se tiene: 
p p p 
2 2 2 
= p ∫ + + = p ∫ = p ∫ 
2 2 
S 2 et t cos t 1 1dt 2 e t cos t 2dt 2 2 e t cos tdt 
0 0 0 
Observamos que la primitiva ∫ e2t cos tdt debemos integrar por parte, este 
tipo de integrales fue explicado en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 
(733). 
En este caso: 
2 
2 
c 
= 
cos 
t os 
u e t 
I e t 
t 
dt 
dv dt 
= ® 
 
 = 
∫ 
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene: 
= = 
 
 = 
2 t du 2 e 2 t u e ® dt ®du 2 e 2 
t 
dt    
 dv = 
cos tdt ∫ dv = ∫ 
co 
s 
tdt  v = 
sent
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte: 
I = u.v - ∫ v.du = e2t sent - ∫ sent.2e2tdt 
Esta integral se puede escribir: 
I = e2t sent - 2∫ e2t sentdt 
La integral generada, se puede resolver por partes de nuevo, así: 
= = 
= 
    ® ® 
   
2 2 2 2 2 
t t t 
u e du e dt du e dt 
dv sentdt v t 
cos 
dv sentdt 
= 
∫ = ∫ = - 
Así: 
I = e2t sent - 2 -e2t cos t - 2e2t (-cos t )dt  
 ∫ 
Desarrollando: 
I = e2t sent + 2e2t cos t + 2∫ 2e2t (-cos t )dt 
I = e2t sent + 2e2t cos t - 4∫ e2t cos tdt 
Observa como se reproduce la integral original, esto sucede en este tipo 
de integrales y se resuelven como una ecuación, recordando que 
I = ∫ e2t cos tdt : 
I = e2t sent + 2e2t cos t - 4I 
I + 4I = e2t (sent + 2cos t ) 
5I = e2t (sent + 2cos t ) 
2 ( 2cos ) 
e t sent t 
5 
I 
+ 
= 
Ahora evaluamos esta integral: 
2 ( 2cos ) 
 +  
=   
2 2 2 
5 
0 
e t sent t 
S 
p 
p 
  
 2 
        2 
   + 2cos   2  2 ( 0 
)  =      2   ( ( 0 ) + 2cos ( 0 
)) 
2 2 
-  
5 5 
e sen 
e sen 
S 
p p p 
p 
  
  
  
(1 2(0)) 0 (0 2(1)) 
= 2 2 
 -  
 e + e 
+  
5 5 
S 
p 
p 
 
(1) (2) 2 2 
 e      = 2 2  - e  = 2 2  - e 
-  = 2 2 
  
5 5 5 5 5 
S 
p p p 
p p p 
      
Respuesta: 
 = - 2 
 2 2 
  
5 
e 
S 
p 
p 
  
Ejercicio 7 
Dada la hélice r(t) = (3cos t,3sent, 4t )  , dar su parametrización en función 
de la longitud de arco. 
Solución 
Justificación: Para parametrizar la hélice por medio de la longitud de 
arco, utilizaremos la definición: 
( )' 
t 
s ( t ) = ∫  
r ( a ) 
da 0 
En este caso, para obtener la derivada de la curva dada, se deriva cada 
componente, así: 
r(t) = (3cos t,3sent, 4t )  
( ) ( ) ' 
r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt  
Ahora se usa la definición de módulo de un vector: 
( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt = -3sent + 3cos t + 4  
( )' 
r(a ) = 9sen2t + 9cos2 t +16  
( ) ( ) ' 
r(a ) = 9 sen2t + cos2 t +16  
Como: sen2t + cos2 t =1, se tiene: 
( )' 
r(a ) = 9 +16 = 25 = 5  
Sustituyendo en la definición de longitud de arco, se tiene: 
t t 
[ ] ( ) 
s ( t ) = ∫ 5 da = 5 a = 5 t - 0 = 5 
t 
0 
0 
Por lo tanto: 5 
s 
5 
s = tt = 
Finalmente la hélice parametrizada según la longitud de arco es:
   =  s   s   s  =  s   s 
 4 
               
              
( ) 3cos ,3 ,4 3cos ,3 , 
r s sen sen s 
5 5 5 5 5 5 
 
Respuesta: La curva parametrizada según la longitud de arco es: 
 =  s   s 
 4 
       
      
( ) 3cos ,3 , 
r s sen s 
5 5 5 
 
Ejercicio 8 
Calcula el área de la superficie de revolución generada por la curva 
r = 2senq al rotarla alrededor del eje polar. 
Solución 
Justificación: La curva r = 2senq viene dada por la gráfica: 
Observa en el grafico que la gráfica de la curva se da en el intervalo 
[0,p ]. 
La derivada de la curva r = 2senq , es: r' = 2cosq 
Sabemos que la fórmula para calcular la superficie de un sólido en 
revolución alrededor del eje polar es: 
b 
( )2 ' 2 S 2 rsen r r d 
= p ∫ q + q 
a 
Sustituyendo, se tiene: 
( ) ( ) 2 2 
p 
= p ∫ q q q + q q 
S 2 2sen sen 2sen 2cos d 
0
p p 
2 2 2 2 ( 2 2 ) 
= p ∫ q q + q q = p ∫ q q + q q 
S 4 sen 4sen 4cos d 4 sen 4 sen cos d 
0 0 
Como: sen2q + cos2q =1, se tiene: 
p p p 
= p ∫ 2 q q = p ∫ 2 q q = p ∫ 2 
q q 
S 4 sen 4d 4 2sen d 8 sen d 
0 0 0 
Usando la identidad: ( ) 2 1 cos 2 
2 
sen 
q 
q 
- 
= , se tiene: 
( ) ( ( )) ( ) 
p q p p p p p q q q p q q q 
 -    
1 cos 2 8 
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ( )) 2 2 2 2 0 0 0 
= 8   = 1 - cos 2 = 4  - cos 2 
 
S d d d d 
2 2 
    
0 0 0 0 
 sen   sen sen 
 =  -  =  - - +  =   - - +    
 =     4 4 0 4 0 4 
2 0 2 2 2 2 
S 
q p p 
p q p p p p p 
Respuesta: S = 4p 2 
Ejercicio 9 
Calcular el área de una superficie engendrada por el giro alrededor del 
eje y, del segmento de parábola y = x2 , que yace entre x =1 y x = 2 . 
Solución 
Justificación: para graficar el segmento parabólico y = x2 se calculan las 
ordenadas de cada abscisa, es decir: Par x =1, se tiene, y =12 =1®(1,1) y 
para x = 2 , se tiene, y = 22 = 4®(2, 4) . 
Al hacer girar esta curva alrededor del eje ye, se obtiene:
Ahora bien, para calcular el área de la superficie en revolución, podemos 
usar la fórmula: 
d 
2 1 ( ' )2 
S = p ∫ x + x dy 
c 
En este caso: 2 ' 1 
= ® = ® = , por lo tanto: 
2 
y x x y x 
y 
2 
4 
S y dy 
1 
1 
2 1 
2 
y 
p 
  
= +   
  
∫ 
4   4 + 4 + 4 
+ = +   = = = 
1 4 y 1 4 y 1 4 y 
1 
∫ ∫ ∫ ∫ 
p p p p 
2 1 2 2 2 
S y dy y dy y dy y dy 
4 4 4 2 
y y y y 
  
1 1 1 1 
4 + 4 4 
∫ = p ∫ + =p ∫ + 
S = 2p y 4 1 
2 
y 
y 
2 
4 1 4 1 
dy y dy y dy 
2 
1 1 1
Con el cambio de variable: 
1 3 
+  = + 
 ® + = = = = = =  = + 
1 1 3 3 2 2 
2 2 2 
4 1 1 1 1 1 1 2 1 
u y u u 
4 1 . . . 
y dy udu u du u u 
4 4 4 4 1 4 3 4 3 6 1 
2 2 
du dy 
∫ ∫ ∫ 
Devolviendo el cambio: 
( )3 
2 
1 
∫ y + dy = y + 
4 1 . 4 1 
6 
Evaluando la integral: 
3 4 
 = p   ( 4 +  p 1 ) 2  =  ( 4 ( 3 3  4 ) + 1 ) 2 - ( 4 ( 1 ) + p  1 ) 2  =  ( 16 + 1 ) 3 3 
 2 - ( 4 + 1 
) 2 
       
S y 
6 1 6 6 
( ) 3 ( ) 3 
17 2 5 2 
6 
S 
p   =  -    
3 3 
Respuesta: ( 17 ) 2 ( 5 ) 2 
6 
S 
p   =  -    
Ejercicio 10 
Calcula el área encerrada por la curva r =1- senq . 
Solución 
Justificación: En este caso, necesitamos deducir la fórmula para calcular 
el área de la región en coordenadas polares:
Para ello se toma un diferencial de área polar que destaque en azul, tal 
como muestra la figura inmediata anterior, y como sabemos que el área de un 
sector circular de radio R y ángulo central q es: 
A 
= q 
2 
2 
R 
Por lo tanto, si aproximamos a un segmento circular el diferencial de 
área polar, destacado en verde, se tiene: 
2 
2 
r d 
dA 
= q 
Si sumamos todos los subrectángulos típicos polares, se tiene 
finalmente que: 
b 
2 1 
2 
= ∫ q 
A r d 
a 
En nuestro caso, nos piden calcular el área encerrada por: r =1- senq 
cuyo gráfico es:
La curva esta graficada de [0, 2p ], por lo tanto el área viene dada por: 
( ) 
2 
2 
A sen d 
0 
1 
1 
2 
p 
= ∫ - q q 
p p p p 
  
( ) 2 2 2 2 
1 1 
∫ ∫ ∫ ∫ 
= 1 - 2 q + 2 q q =  q - 2 
q q + 2 
q q 
 
A sen sen d d sen d sen d 
2 2 
  
0 0 0 0 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 
p q p q p q q q q q q q 
 -    
1 1 cos 2 1 cos 2 
∫ ∫ ∫ 
=  - 2 - cos +  =  + 2cos 
+ -  
d 
A d d 
2 2 2 2 2 
    
0 0 0 
1 1 (2 ) 2 
2cos . 
sen 
2 2 2 2 0 
A 
q q p q q 
  
=  + + -  
  
1 ( ) 2 1 sen (2(2 )) ( ) (0) 1 sen 
(2(0)) 
2 2cos 2 0 2cos 0 . 
2 2 2 2 2 2 2 
A 
p p p p 
  
=  + + - - - - +  
  
( ) ( ) [ ] 1 1 0 1 0 1 
A p p p p   =  + + - - - - +  = + + - - - +   
2 2 1 . 0 2 1 0 . 2 2 0 2 0 0 
2 2 2 2 2 2 
 - +  = p = p   
= 1 
p + 1 3 
A 3 2 
- 0 - 2 [ ] 2 
0 0 3 
2 2 
Respuesta: 
A 
= p . 
3 
2 
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos, 
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu 
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura. 
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo 
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en 
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el 
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente 
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o 
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta 
a la brevedad posible. 
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, 
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás 
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante 
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre 
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS 
Ejercicio 1 
Calcula la longitud de la curva dada en coordenadas polares 
r = 2 + 2cosq . 
Ejercicio 2 
Calcula la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas: 
= + . 
, 1 t 3 
2 
x 3 t 2 
2 
y 2 t 1 
£ £ 
   
= - 
Ejercicio 3 
Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva 
dada por las ecuaciones paramétricas: x = t, y = 2 – t2 , 0 £ t £ 2 , alrededor 
del eje OY. 
Ejercicio 4 
Calcula el área de la región acotada por la gráfica de r = 2 + cosq y por 
las rectas q = 0 y q = 
p . 
2 
Ejercicio 5 
Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por 
   
= - 
x 2 cos t cos 2t 
las ecuaciones: £ £ p 
= - 
con 0 t 
y 2 sen t sen 2t 
Ejercicio 6 
Calcula la longitud de arco de la función F(t) = ( et, et sen t, et cos t ) con 
0 £ t £ 2p . 
Ejercicio 7 
Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por: 
t 2 - entre los puntos de intersección de la curva y el eje x. 
x(t) = t2 , y(t) = ( t 3 ) 
3 
Ejercicio 8 
Calcule el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva 
C alrededor del eje 0X, donde C es el menor de los arcos de la circunferencia 
x2 + y2 = 25 entre los puntos (3,4) y (5,0). 
Ejercicio 9 
Calcule el área encerrada por las curvas x = 6 cos t, y = 3 sen t. 
Ejercicio 10
Calcula el área encerrada por la curva r =1+ cosq .

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Ejercicios detallados del obj 4 mat iii 733

  • 1. Capitulo III Matemática III (733) Objetivo 4. Aplicar el cálculo diferencial e integral en curvas dadas en ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Ejercicio 1 Prueba que la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones paramétricas: x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent y y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t Entre los puntos correspondientes a 1 t = t y 2 t = t es igual a f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f '' (t ) 2 2 1 1 Solución Justificación: En el objetivo anterior se dedujo, que la longitud de arco en coordenadas cartesianas era: 2   = +   ∫ 1   b a dy L dx dx Si la curva esta dada en forma paramétrica:  =  < <  = 1 2 ( ) ( ) x f t t t t y g t Entonces:  dx = f ' ( t ) dt  < <  = ( ) t t t ' 1 2 dy g t dt Sustituyendo en la ecuación de la longitud de arco, se tiene: 2 ∫ f ' (t) dt = +   = + 1 ' 2 ' '   ' ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) t t g t dt g t dt L f t dt f t dt   ( ) ( ) 2 ' 2 2 2 ( ) ' ' ( ) 1 ( ) 1 1 ' 2 ( ) t t t t g t f t dt f t dt f t     = +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' 2 ' ' + + ( ) ( ) ( ) ( ) f t g t f t g t t t 2 2 = ∫ = ∫ ' ' ( ) ( ) L f t dt f t dt ' 2 2 ' ( ) ( ) f t f t t t 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ = 1 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 + + ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) 2 ∫ f t dt ' ' ( ) ( ) t t f t g t f t g t L f t dt f t f t 1 ' ( ) t t ( ) ( ) 2 1 ' 2 ' 2 ( ) ( ) t L = ∫ f t + g t dt t
  • 2. Por lo tanto, si tenemos una curva en coordenadas paramétricas su longitud se puede escribir de cualquiera de las formas: t t t     = + = + =   +   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( )     ∫ ∫ ∫ t t t dx dy L f t g t dt x t y t dt dt dt dt Ahora bien, en nuestro caso, tenemos:  x = f '' ( t ) cos t + f ' ( t ) sent  < <  = - ( ) + ( ) cos t t t '' ' 1 2 y f t sent f t t Primero debemos calcular las primeras derivadas de la función paramétrica dada: Para: x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent se tiene la derivada de 2 productos: ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) dx f t t f t t f t sent f t sent dt = + + + '' ( ) ''' ( ) cos ' ( ) cos '' ( ) dx f t sent f t t f t t f t sent dt = - + + + '' ( ) dx f t sent dt = - + f ''' (t) cos t + f ' (t) cos t + f '' (t)sent ( ''' ( ) ' ( ))cos dx f t f t t dt = + Para: y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t se tiene la derivada de 2 productos: ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos dy f t sent f t sent f t t f t t dt = - - + + '' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) '' ( ) cos dy f t t f t sent f t sent f t t dt = - - - + '' ( ) cos dy f t t dt = - - f ''' (t)sent - f ' (t)sent + f '' (t) cos t ( ''' ( ) ' ( )) dy f t f t sent dt = - + Ahora, según la fórmula debemos calcular: 2 dx dt       y 2 dy dt       , entonces: ( ) ( ) 2   =  +  = +       2 2 ''' ( ) ' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) cos2 dx f t f t t f t f t t dt ( ) ( ) 2   = - +  = +       2 2 ''' ( ) ' ( ) ''' ( ) ' ( ) 2 dy f t f t sent f t f t sen t dt
  • 3. Ahora debemos sumar: 2 2 dx dy dt dt       +       : +       + = + ( ) ( ) 2 2 2   ''' ' ''' + 2 f (t) f ( ) cos2 ( ) ' ( ) 2 dx dy t sen t dt t t f t t f d           + = +    ( ) ( ) ''' 2 2 ' 2 2 2 f (t) ( ) cos dx dy t sen t d t t dt f   +  Como la identidad: cos2 t + sen2t =1, se tiene: ( ) 2 2       +   = +     ''' ' 2 ( ) ( ) dx dy f t f t dt dt Sustituyendo en la formula de longitud de curva: 2 2 t t t dx dy =   +   = + =  +            ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 1 1 1 ''' ' 2 ''' ' ( ) ( ) ( ) ( ) L dt f t f t dt f t f t dt dt dt t t t Integrando: t t t 2 2 2 L = ∫ f ''' ( t ) + f '  ( t ) dt = ∫ f ''' ( t ) dt + ∫ f ' ( t ) dt t t t 1 1 1 Pero las integrales son: ∫ f ''' (t)dt = f '' (t) y ∫ f ' (t)dt = f (t) , entonces: '' 2 ( '' ) ( '' ) = + = + - + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 t L f t f t f t f t f t f t t Por lo tanto la longitud de la curva es: L = f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f '' (t ) 2 2 1 1 l.q.q.d Respuesta: l.q.q.d = Lo que queríamos demostrar. Ejercicio 2 Calcula el área de la superficie en revolución generada por la curva r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar. Solución Justificación: Vamos a comentar algunas gráficas conocidas en coordenadas polares, ya que su conocimiento se hace imprescindible para resolver algunos problemas: En coordenadas polares, hacemos uso de las ecuaciones: q q =   = x r cos y rsen
  • 4. Donde r es la distancia del polo a un punto cualquiera de una curva y q el ángulo con respecto al eje polar, pero ¿Por qué estas ecuaciones? O más precisamente ¿De dónde salen dichas ecuaciones?, observa la siguiente grafica: Figura En el triángulo amarillo podemos aplicar las funciones trigonométricas seno y coseno, por ser un triángulo rectángulo: CO y q = = ® = q sen y rsen HIP r CA x q = = ® = q cos x r cos HIP r La deducción fue muy sencilla. Ahora veamos algunos gráficos: Rectas Rectas que pasan por el polo:
  • 5. La ecuación de una recta que pasa por el origen en coordenadas cartesianas tiene la forma: y = mx Donde m es la pendiente, que sabemos vale m = tga . Sustituyendo las transformaciones en coordenadas polares, se tiene: y = mx rsenq = mr cosq r senq = m r cosq sen q sen q = m cos q m = = tg q q cos Pero sabemos que: m = tga , por lo tanto: tgq = m = tga tgq = tga ⇒q =a Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por el polo es: q =a Circunferencias La ecuación general de una circunferencia de radio R y centro en el origen es: x2 + y2 = R2 Sustituyendo las ecuaciones de transformación polar, se tiene: ( ) ( ) x2 + y2 = R2 ® r cosq 2 + rsenq 2 = R2 ®r2 cos2q + r2sen2q = R2
  • 6. r2 (cos2q + sen2q ) = R2 La identidad fundamental de la trigonometría es: sen2q + cos2q =1 Por lo que: r2 (1) = R2 ®r2 = R2 ® r2 = R2 ®r = R Por lo tanto la ecuación de la circunferencia con centro en el polo es: r = R Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro en el punto (R,a ). El siguiente grafico ilustra esta situación: Aplicando la ley del coseno en el triángulo extraído de la derecha, se tiene: R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a ) R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a ) 0 = r2 - 2rRcos (q -a ) r2 = 2rRcos (q -a )
  • 7. r 2 = 2 r Rcos (q -a ) r = 2Rcos (q -a ) Analicemos esta última ecuación para algunos casos especiales, que son los más comunes en ejercicios prácticos: 1) Si a = 0º se tiene: r = 2Rcos (q - 0º)®r = 2Rcos (q ) (1) Escribiendo la ecuación r = 2Rcos (q ) a su forma cartesiana: = q ® q = (2), además, aplicando Pitágoras en el Como: cos cos x x r r triángulo rectángulo de la figura 1, se tiene: r2 = x2 + y2 (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1): x = ® = ® + = ® + - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 r R r Rx x y Rx x y Rx r Completando cuadrados en: ( )x2 - 2Rx = x - R 2 - R2 Entonces: ( ) ( ) x2 + y2 - 2Rx = 0® x - R 2 - R2 + y2 = 0® x - R 2 + y2 = R2 Y estas es una circunferencia de radio R y centro en (R,0) Su gráfica es:
  • 8. Haciendo un análisis muy semejante al anterior, obtenemos las siguientes gráficas, las cuales debes conocer para resolver ejercicios dond intervengan este tipo de curvas: 2) Si a =180º =p se tiene: r = 2Rcos (q -p )®r = -2Rcos (q ) Su gráfica es: a = = p se tiene: 3) Si 90º 2 q p q   =  - ® = 2 cos 2 ( ) r R r Rsen 2   Su gráfica es:
  • 9. 4) Si a = 3 p 270º = se tiene: 2 q p q   =  - ® = - ( ) 3 2 cos 2 r R r Rsen 2   Su gráfica es: Caracoles Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cosq ó de la forma: r = a ± bsenq . Consideremos 3 casos: 1) Cuando a = b , toman el nombre de CARDIOIDE. 1.1) r = a + a cosq
  • 10. 1.2) r = a - a cosq 1.3) r = a + asenq 1.4) r = a - asenq
  • 11. 2) Cuando a > b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL SIN RIZO. 2.1) r = 6 + 3cosq 2.2) r = 6 - 3cosq
  • 12. 2.3) r = 6 + 3senq 2.4) r = 6 -3senq
  • 13. 3) Cuando a < b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL CON RIZO. 3.1) r = 3+ 6cosq 3.2) r = 3- 6cosq
  • 14. 3.3) r = 3+ 6senq 3.4) r = 3- 6senq
  • 15. Rosas Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma r = a cos (nq ) ó r = asen(nq ) donde n es cualquier número natural mayor que uno. Consideremos 2 casos: 1) Si n es PAR tenemos una rosa de 2n pétalos. 1.1) r = 4sen(2q ) 1.2) r = 4cos (2q )
  • 16. 2) Si n es IMPAR tenemos una rosa de n pétalos. 2.1) r = 4cos (3q ) 2.2) r = 4sen(3q )
  • 17. Lemniscatas Tienen ecuación polar de la forma r2 = a cos (2q ) o de la forma r2 = asen(2q ) 1) r2 = 4cos (2q ) 2) r2 = -4cos (2q )
  • 18. 3) r2 = 4sen(2q ) 4) r2 = -4sen(2q )
  • 19. Espirales Consideremos 2 tipos: 1) Espiral de Arquímedes: Ecuación polar de la forma: r = aq Ejemplo: graficar r = 3q 2) Espiral logarítmica: Ecuación polar de la forma: r = aebq Ejemplo: graficar r = 2e3q
  • 20. Retomando nuestro ejercicio, para calcular el área de la superficie en revolución generada por la curva r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar. En el objetivo anterior, se dedujo la formula que nos permite calcular el área de una superficie en revolución, a saber: b ( )' 2 2 1 S = p ∫ y + y dx a Vamos a encontrar la fórmula que nos permite calcular la superficie de un sólido en revolución en coordenadas polares, cuando gira alrededor del eje polar. Hagamos uso de las ecuaciones de transformación polar: q q =   = x r cos y rsen 2 Para convertir la expresión: + ( 2  dy  1 y ' ) = 1 +   dx   . Podemos tomar las ecuaciones: q q =   = x r cos y rsen , como una curva dada en forma paramétrica, donde el parámetro es q , y recordando que en el ejercicio 1 demostramos que una curva en ecuaciones paramétricas viene dada por: 2 2 2 1 dy dx dy dx dq dq       +   =   +         dy dx dq dq Se procede a calcular las derivadas y . Sabemos que en las ecuaciones x = r cosq y y = rsenq , r depende de q , es decir, r = f (q ) , entonces, al derivar las ecuaciones polares, debemos aplicar la derivada de un producto: ( ) ( ) ' ' ' cos dy r sen r sen r sen r d q q q q q = + = + ( ) ( ) ' cos cos ' ' cos dx r r r rsen d q q q q q = + = - Entonces: ( ) ( ) 2 2       +   = - + +     ' 2 ' 2 cos cos dx dy r rsen r sen r d d q q q q q q
  • 21. (( ) ) (( ) ) 2 2       +   = - + + + +     ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 cos 2 cos 2 cos cos dx dy r r r sen r sen r sen r r sen r d d q q q q q q q q q q  dx  2 +  dy  2     = ( ( 2 r ' ) cos 2 q - 2 r ' r cos q sen q + 2 2 q ) + ( ( ' )2 r sen r sen 2 q + 2r ' r cosq senq + r2 cos2q )  d   d  q q ( ) ( ) 2 2       +   = + + +     ' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 cos cos dx dy r r sen r sen r d d q q q q q q ( ) ( ) ( ) 2 2       +   = + + +     ' 2 2 2 2 2 2 cos cos dx dy r sen r sen d d q q q q q q Como sen2q + cos2q =1, se tiene: ( ) 2 2 dx dy ' 2 2       +   = +     r r dq dq Como y = rsenq , se tiene que la fórmula en coordenadas polares para calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje polar: b ( )2 ' 2 S 2 rsen r r d = p ∫ q + q a Si la región gira alrededor de la recta q = p , que seria el eje ye en 2 coordenadas cartesianas, se tendría: b ( )' 2 2 1 S = p ∫ x + x dx a Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, se tendría: 2 2 2 1  + dx  =  dx   dy     q  +   dy   d  dq   Es decir: ( ) 2 2 dx dy ' 2 2       +   = +     r r dq dq Y como x = rsenq se obtiene la fórmula en coordenadas polares para calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje q = p es: 2 b ( )2 ' 2 S 2 r cos r r d = p ∫ q + q a
  • 22. En este caso, la superficie a rotar es: r = 4cosq , es decir la circunferencia: Como al hacer girar la parte superior de la circunferencia, se obtiene el mismo sólido que hacer girar toda la circunferencia, los límites de integración, serán de 0 a p ; por otro lado la derivada en este caso de r = 4cosq , es: 2 r' = -4senq , sustituyendo en la fórmula, se tiene: ( ) ( ) p 2 2 2 = p ∫ q q q + - q q S 2 4cos sen 4cos 4sen d 0 Como ( ) ( ) 2 2 cosq + senq =1, se tiene: p p 2 2 ( ) ( ) = p ∫ q q q 2 + q 2   q = p ∫ q q q S 2 4cos sen 16 cos sen d 2 4cos sen 16d 0 0 ( ) p 2 = p ∫ q q q S 2 4cos sen 4 d 0 p 2 = p ∫ q q q S 32 cos sen d 0
  • 23. La primitiva se obtiene con un sencillo cambio de variable:  = ® ® = = =  = u sen q u 2 sen 2 q q q q q q q ∫ cos ∫ cos ∫ sen d sen d udu q q cos 2 2 du d Entonces: p  p  2    2    2 2 2 =  2  ( 0 )  ( 1 ) ( 0 )    -  = -  1    =   =             p q p p p p 32 2 32 32 32 16 2 2 2 2 2 2 0 sen sen sen   A manera de comprobación, resolveré el ejercicio en coordenadas cartesianas: b ( )' 2 2 1 S = p ∫ y + y dx a La ecuación de la circunferencia en este caso es: ( )x - 2 2 + y2 = 4  - -  - = - - ® =   = ( ) 2 ' ( ) ( ) 2 '  x -  4 2 2 2 4 2 x - - 2 4 2 y x y x ( 2) 2 ( ) - ( x - 2 ) = 2 ( ) 2 - - - - 4 x 2 4 x 2 Sustituyendo en la fórmula del área de la superficie, se obtiene:  - ( x - )  = ∫ - ( - ) +      - -  S x dx ( ) 2 4 2 2 0 2 2 4 2 1 4 x 2 p ( ) ( ) 4 2 x S x dx ( ) 2 2 0 2 2 4 2 1 4 x 2 p  -  = - - +    - -    ∫ ( ) - ( - ) + ( - ) 4 x 2 x 2 4 ∫ ∫ = p - - = p - - 2 4 2 2 4 2 S x dx x dx ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 - - - - 4 x 2 4 x 2 0 0 ( ) ∫ dx = p - - = p - - S x dx x ( ) ( ) 4 2 2 2 0 4 2 4 2 2 4 2 - - 4 x 2 ∫ 2 ( )2 4 - x - 2 4 0 4 ( ) ( ) S = 2p 2 ∫ dx = 4p 4 - 0 =16p 0 Llegamos al mismo resultado.
  • 24. Evidentemente, cuando se hace girar una circunferencia sobre su diámetro, en este caso el eje polar, se obtiene una esfera, y el área de una esfera es: A = 4p r2 , como el radio es r = 2 , se tiene: A = 4p (22 ) = 4p (4) =16p Respuesta: A =16p . Ejercicio 3 Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:  = + 1  £ £  = 0 2 t x t t y e Alrededor del eje OX . Solución Justificación: Vamos a deducir la fórmula que utilizaremos en coordenadas paramétricas para calcular el área de la superficie en revolución de una región alrededor del eje OX .  x = f ( t )  < <  = ( ) Para las ecuaciones paramétricas: t t t 1 2 y g t , se demostró: b t   = +   = + ( ) ( ) 2 1 2 dy ' 2 ' 2 1 ( ) ( )   ∫ ∫ L dx f t g t dt dx a t b Por lo tanto la fórmula: ( )' 2 2 1 S = p ∫ y + y dx , se transforma en: a
  • 25. b 2 ( ) ( ' ( ))2 ( ' ( ))2 S = p ∫ g t f t + g t dt a Si la curva gira alrededor del eje ye, aplicando el análisis anterior, se tendría: b ( ) ( ) ' 2 ' 2 2 ( ) ( ) ( ) S = p ∫ f t f t + g t dt a En nuestro ejercicio, se tiene:  = ( ) = + 1  £ £  = = 0 2 x f t t ( ) t t y g t e Derivando:  f ' ( t ) = 1  £ £  ' = 0 2 ( ) t t g t e Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 ' 2 2 2 S = 2 p ∫ g ( t ) f ( t ) + g ( t ) dt = 2 p ∫ e 1 + e dt 0 b t t a Resolviendo esta integral: 2 S = 2p ∫ et 1+ e 2 t dt 0 A través de cambio de variable: Como: ( ) 2 2 2 2 S = 2p ∫ et 1+ e t dt = 2p ∫ et 1+ et dt 0 0 Con el cambio: t =  u e = t du etd Por lo tanto: ( )2 2 ∫ et 1+ et dt =∫ 1+ u du Hemos llegado a una integral de sustitución trigonométrica, explicada en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733). Con el cambio trigonométrico: a a a =   = u tg sec2 du d Así:
  • 26. ∫ 1+ u2du = ∫ 1+ tg2a sec2a da Como: 1+ tg2a = sec2a , se tiene: ∫ sec2a sec2a da = ∫seca sec2a da Esta última integral es de la forma: ∫ sec3a da Y tal como se explico en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733), se debe aplicar el método de integración por partes: 2 = sec a 2 sec sec dv sec d I u a a da a a = =  ® ∫ Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene: a a a a a a a a sec sec sec u d u tg d du tg d    = a a  ® ®  dv sec 2 d dv sec2 a d a  v =  tg = = = ∫ = ∫ Sustituyendo en la fórmula de integración por parte: I = u.v - ∫ v.du = seca tga - ∫tga .seca tga da I = seca tga - ∫tg2a .seca da = seca tga - ∫(sec2a -1).seca da I = seca tga - ∫(sec3a - seca ).seca da = seca tga - ∫sec3a da + ∫seca da Pero: I = ∫ sec3a da y de la tabla de integrales: ∫seca da = ln seca + tga +C Entonces: I = seca tga - I + ln seca + tga I + I = seca tga + ln seca + tga 2I = seca tga + ln seca + tga 3 sec ln sec sec tg tg 2 I d a a a a a a + + = ∫ = Para devolver el cambio hacemos uso del triángulo:
  • 27. De donde claramente: 2 tg u sec u 1 a a = = + Por lo tanto: 2 1 ln 2 1 u u u u 2 I + + + + = Y como u = et , se tiene: + + + + ( ) 2 2 2 t t t t e e e e p p p = ∫ + 2 = = 2 + + 2 + + S e e dt e e e e 0 1 ln 1 2 t t t t t t 2 1 2 . 1 ln 1 2 2 2 2 ( 2 2 ) 0 2 2 1 1 ln 1 0 S = p ∫ et + e t dt =p et e t + + e t + + et Evaluando esta integral, se tiene: S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )-(e0 e0 +1 + ln e0 +1 + e0 ) S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 1+1 + ln 1+1 +1 ) S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 ) Respuesta: S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 )   Ejercicio 4 a) Dibuja la gráfica de la curva que está dada por las ecuaciones paramétricas: 5cos 3 0 2 x t 5 1 t y sent p  = -  £ £  = + b) Calcula la longitud de la curva de la parte “a” usando integrales. Solución Justificación:
  • 28. a) Cuando se nos pide graficar una curva dada en forma paramétrica, podemos eliminar el parámetro para tener la curva en coordenadas cartesianas y saber su naturaleza, por ello para eliminar el parámetro en este caso procedemos así: 1) Despejamos sent y cos t de cada una de las ecuaciones: 5cos 3 3 5cos  + 3 = - = co 1 s x t x t y sent y sen y 1 5 1 5 5 5 sent x t t   = -  + =   ® ®  = +  - = Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, entonces: sen2t + cos2 t =1 2 2 1 y  x +  1 5 3 5   =  -      +  ( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( x + 3 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + = ® + = ® = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 5 5 25 25 25 2 2 3 1 2 2 1 3 1 25 x y 25 x y + + - = ® + + - = Hemos llegado a la ecuación general de una circunferencia explicada en detalle en el objetivo anterior. El centro de esta circunferencia es: (-3,1) y su radio es: R = 25 = 5 , por lo tanto su gráfica es:
  • 29. b) Para calcular la longitud de esta curva, hacemos uso de la fórmula: ( ) ( ) 2 1 ' 2 ' 2 t L = ∫ x + y dt t Porque la curva esta dada en forma paramétrica, calculemos las derivadas: ' x sent ' 5 0 2 5cos t y t p  = -  £ £  = Por lo tanto: p = ∫ - + ( ) ( ) 2 2 2 L 5sent 5cos t dt 0 Resolviendo la integral: p p = ∫ + = ∫ + 2 2 2 2 ( 2 2 ) L 25sen t 25cos tdt 25 sen t cos t dt 0 0 Como sen2t + cos2 t =1: 2 p 2 p 2 p = ∫ ( ) = ∫ = ∫ = [ ] p = ( p - ) = ( p ) = p 0 0 0 2 25 1 5 5 5 5 2 0 5 2 10 0 L dt dt dt t Es fácil verificar este resultado, porque la longitud de una circunferencia es: 2p R y como el radio es 5, se tiene que su longitud es: L = 2p R = 2p (5) =10p Respuesta: a) Gráfica de 5cos 3 0 2 x t 5 1 t y sent p  = -  £ £  = + b) L =10p
  • 30. Ejercicio 5 Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva definida por las ecuaciones  x = r cos t  0 £ t £ p  y = rsent 2 , alrededor del eje OX . Solución Justificación: No es necesario dibujar la gráfica para resolver este ejercicio, porque se utilizaría simplemente la fórmula en coordenadas paramétricas para calcular el área del sólido en revolución, sin embargo, al dibujar la gráfica podemos conocer su naturaleza y posiblemente, si es una figura conocida, corroborar el resultado que se obtendrá. Para graficar eliminamos el parámetro t , tal como se ejecuto en el ejercicio inmediato anterior, así: cos x t  = r y  sent =  r Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, así: 2 2 2 2 2 2     +   +   = ® + = ® = ® + =     2 2 2 y x y x x y 2 2 2 1 1 1 x y r r r r r r Hemos llegado a una circunferencia con centro en el origen y radio R = r2 = r , entonces su gráfica en el intervalo 0 t £ £ p , es: 2
  • 31. Al rotar esta curva alrededor del eje OX , se obtiene la mitad de una esfera: Y como sabemos que el área de una esfera es: S = 4p R2 , tenemos que el área de la mitad de esta esfera generada es: p 2 S = = p r 2 4 2 r 2 Este sería el resultado esperado. Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el área de la superficie de la curva  x = r cos t  0 £ t £ p  y = rsent 2 rotada alrededor del eje OX , se tiene: b ( ) ( ) ' 2 ' 2 2 S = p ∫ y x + y dt a Calculando las derivadas:  x ' = - rsent  0 £ t £ p  y ' = r cos t 2 Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene: ( ) ( ) p 2 2 2 = p ∫ - + S 2 rsent rsent r cos t dt 0
  • 32. p p ( ) ( ) ( ) 2 2 = p ∫ + = p ∫ + 2 2 2 2 2 2 2 S 2 rsent r sen t r cos t dt 2 rsent r sen t cos t dt 0 0 Como sen2t + cos2 t =1 p p p 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = p ∫ 2 2 + 2 = p ∫ 2 = p ∫ S 2 rsent r sen t cos t dt 2 rsent r 1 dt 2 rsent r dt 0 0 0 p p 2 = p ∫ = p [ - ] = p  - p  +  = p [ + ] = p   2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos cos0 2 0 1 2 S r sentdt r t r r r 0 2 0 Observa que importante fue, conocer el gráfico para corroborar el resultado. Respuesta: S = 2p r2 Ejercicio 6 Calcula el área de la superficie que se obtiene al girar la curva definida en forma paramétrica por las ecuaciones:  x = e t cos t  0 £ t £ p  y = e t sent 2 Alrededor del eje OY . Solución Justificación: Tal como se dedujo en el ejercicio 3 de esta guía, como la curva esta dada en forma paramétrica y gira alrededor del eje ye, se aplica la fórmula: b ( ) ( ) ' 2 ' 2 2 S = p ∫ x x + y dt a Calculemos las derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' cos cos x e t e t ' ' ' 0 2 t t t t t y e sent e sent p  = +  £ £  = +  x ' = - e t sent + e t cos t p  0 £ t £  y ' = e t cos t + e t sent 2 ( ) ( )  x ' = e t - sent  £ £ p  ' = + cos 0 cos 2 t t t y e t sent Sustituyendo en la formula dada, se tiene:
  • 33. p ( ( )) ( ( )) 2 2 2 = p ∫ - + + S 2 et cos t et cos t sent et cos t sent dt 0 ( ) ( ) p 2 2 2 2 2 = p ∫ - + + S 2 et cos t e t cos t sent e t cos t sent dt 0 ( ) ( ) p 2 = p ∫ 2 - 2  + + 2  S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt 0 ( ) ( ) p 2 = p ∫ 2 - 2  + + 2  S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt 0 p ( ) ( ) ( ) 2 = p ∫ 2  - + 2 + 2 + + 2  S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen t dt 0 p ( ) 2 = p ∫ - + + + + 2 2 2 2 S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen tdt 0 2 S = 2p et cos t (et ) cos2 t - 2sent cos t + sen2t + cos2 t + 2sent cos t 2 0 sen tdt p ∫ + p ( ) 2 = p ∫ + + + 2 2 2 2 S 2 et cos t et cos t sen t cos t sen tdt 0 Como sen2t + cos2 t =1, se tiene: p p p 2 2 2 = p ∫ + + = p ∫ = p ∫ 2 2 S 2 et t cos t 1 1dt 2 e t cos t 2dt 2 2 e t cos tdt 0 0 0 Observamos que la primitiva ∫ e2t cos tdt debemos integrar por parte, este tipo de integrales fue explicado en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733). En este caso: 2 2 c = cos t os u e t I e t t dt dv dt = ®   = ∫ Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene: = =   = 2 t du 2 e 2 t u e ® dt ®du 2 e 2 t dt     dv = cos tdt ∫ dv = ∫ co s tdt  v = sent
  • 34. Sustituyendo en la fórmula de integración por parte: I = u.v - ∫ v.du = e2t sent - ∫ sent.2e2tdt Esta integral se puede escribir: I = e2t sent - 2∫ e2t sentdt La integral generada, se puede resolver por partes de nuevo, así: = = =     ® ®    2 2 2 2 2 t t t u e du e dt du e dt dv sentdt v t cos dv sentdt = ∫ = ∫ = - Así: I = e2t sent - 2 -e2t cos t - 2e2t (-cos t )dt   ∫ Desarrollando: I = e2t sent + 2e2t cos t + 2∫ 2e2t (-cos t )dt I = e2t sent + 2e2t cos t - 4∫ e2t cos tdt Observa como se reproduce la integral original, esto sucede en este tipo de integrales y se resuelven como una ecuación, recordando que I = ∫ e2t cos tdt : I = e2t sent + 2e2t cos t - 4I I + 4I = e2t (sent + 2cos t ) 5I = e2t (sent + 2cos t ) 2 ( 2cos ) e t sent t 5 I + = Ahora evaluamos esta integral: 2 ( 2cos )  +  =   2 2 2 5 0 e t sent t S p p    2         2    + 2cos   2  2 ( 0 )  =      2   ( ( 0 ) + 2cos ( 0 )) 2 2 -  5 5 e sen e sen S p p p p       (1 2(0)) 0 (0 2(1)) = 2 2  -   e + e +  5 5 S p p  
  • 35. (1) (2) 2 2  e      = 2 2  - e  = 2 2  - e -  = 2 2   5 5 5 5 5 S p p p p p p       Respuesta:  = - 2  2 2   5 e S p p   Ejercicio 7 Dada la hélice r(t) = (3cos t,3sent, 4t ) , dar su parametrización en función de la longitud de arco. Solución Justificación: Para parametrizar la hélice por medio de la longitud de arco, utilizaremos la definición: ( )' t s ( t ) = ∫ r ( a ) da 0 En este caso, para obtener la derivada de la curva dada, se deriva cada componente, así: r(t) = (3cos t,3sent, 4t ) ( ) ( ) ' r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt Ahora se usa la definición de módulo de un vector: ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt = -3sent + 3cos t + 4 ( )' r(a ) = 9sen2t + 9cos2 t +16 ( ) ( ) ' r(a ) = 9 sen2t + cos2 t +16 Como: sen2t + cos2 t =1, se tiene: ( )' r(a ) = 9 +16 = 25 = 5 Sustituyendo en la definición de longitud de arco, se tiene: t t [ ] ( ) s ( t ) = ∫ 5 da = 5 a = 5 t - 0 = 5 t 0 0 Por lo tanto: 5 s 5 s = tt = Finalmente la hélice parametrizada según la longitud de arco es:
  • 36.    =  s   s   s  =  s   s  4                              ( ) 3cos ,3 ,4 3cos ,3 , r s sen sen s 5 5 5 5 5 5 Respuesta: La curva parametrizada según la longitud de arco es:  =  s   s  4              ( ) 3cos ,3 , r s sen s 5 5 5 Ejercicio 8 Calcula el área de la superficie de revolución generada por la curva r = 2senq al rotarla alrededor del eje polar. Solución Justificación: La curva r = 2senq viene dada por la gráfica: Observa en el grafico que la gráfica de la curva se da en el intervalo [0,p ]. La derivada de la curva r = 2senq , es: r' = 2cosq Sabemos que la fórmula para calcular la superficie de un sólido en revolución alrededor del eje polar es: b ( )2 ' 2 S 2 rsen r r d = p ∫ q + q a Sustituyendo, se tiene: ( ) ( ) 2 2 p = p ∫ q q q + q q S 2 2sen sen 2sen 2cos d 0
  • 37. p p 2 2 2 2 ( 2 2 ) = p ∫ q q + q q = p ∫ q q + q q S 4 sen 4sen 4cos d 4 sen 4 sen cos d 0 0 Como: sen2q + cos2q =1, se tiene: p p p = p ∫ 2 q q = p ∫ 2 q q = p ∫ 2 q q S 4 sen 4d 4 2sen d 8 sen d 0 0 0 Usando la identidad: ( ) 2 1 cos 2 2 sen q q - = , se tiene: ( ) ( ( )) ( ) p q p p p p p q q q p q q q  -    1 cos 2 8 ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ( )) 2 2 2 2 0 0 0 = 8   = 1 - cos 2 = 4  - cos 2  S d d d d 2 2     0 0 0 0  sen   sen sen  =  -  =  - - +  =   - - +     =     4 4 0 4 0 4 2 0 2 2 2 2 S q p p p q p p p p p Respuesta: S = 4p 2 Ejercicio 9 Calcular el área de una superficie engendrada por el giro alrededor del eje y, del segmento de parábola y = x2 , que yace entre x =1 y x = 2 . Solución Justificación: para graficar el segmento parabólico y = x2 se calculan las ordenadas de cada abscisa, es decir: Par x =1, se tiene, y =12 =1®(1,1) y para x = 2 , se tiene, y = 22 = 4®(2, 4) . Al hacer girar esta curva alrededor del eje ye, se obtiene:
  • 38. Ahora bien, para calcular el área de la superficie en revolución, podemos usar la fórmula: d 2 1 ( ' )2 S = p ∫ x + x dy c En este caso: 2 ' 1 = ® = ® = , por lo tanto: 2 y x x y x y 2 4 S y dy 1 1 2 1 2 y p   = +     ∫ 4   4 + 4 + 4 + = +   = = = 1 4 y 1 4 y 1 4 y 1 ∫ ∫ ∫ ∫ p p p p 2 1 2 2 2 S y dy y dy y dy y dy 4 4 4 2 y y y y   1 1 1 1 4 + 4 4 ∫ = p ∫ + =p ∫ + S = 2p y 4 1 2 y y 2 4 1 4 1 dy y dy y dy 2 1 1 1
  • 39. Con el cambio de variable: 1 3 +  = +  ® + = = = = = =  = + 1 1 3 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 2 1 u y u u 4 1 . . . y dy udu u du u u 4 4 4 4 1 4 3 4 3 6 1 2 2 du dy ∫ ∫ ∫ Devolviendo el cambio: ( )3 2 1 ∫ y + dy = y + 4 1 . 4 1 6 Evaluando la integral: 3 4  = p   ( 4 +  p 1 ) 2  =  ( 4 ( 3 3  4 ) + 1 ) 2 - ( 4 ( 1 ) + p  1 ) 2  =  ( 16 + 1 ) 3 3  2 - ( 4 + 1 ) 2        S y 6 1 6 6 ( ) 3 ( ) 3 17 2 5 2 6 S p   =  -    3 3 Respuesta: ( 17 ) 2 ( 5 ) 2 6 S p   =  -    Ejercicio 10 Calcula el área encerrada por la curva r =1- senq . Solución Justificación: En este caso, necesitamos deducir la fórmula para calcular el área de la región en coordenadas polares:
  • 40. Para ello se toma un diferencial de área polar que destaque en azul, tal como muestra la figura inmediata anterior, y como sabemos que el área de un sector circular de radio R y ángulo central q es: A = q 2 2 R Por lo tanto, si aproximamos a un segmento circular el diferencial de área polar, destacado en verde, se tiene: 2 2 r d dA = q Si sumamos todos los subrectángulos típicos polares, se tiene finalmente que: b 2 1 2 = ∫ q A r d a En nuestro caso, nos piden calcular el área encerrada por: r =1- senq cuyo gráfico es:
  • 41. La curva esta graficada de [0, 2p ], por lo tanto el área viene dada por: ( ) 2 2 A sen d 0 1 1 2 p = ∫ - q q p p p p   ( ) 2 2 2 2 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 - 2 q + 2 q q =  q - 2 q q + 2 q q  A sen sen d d sen d sen d 2 2   0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 p q p q p q q q q q q q  -    1 1 cos 2 1 cos 2 ∫ ∫ ∫ =  - 2 - cos +  =  + 2cos + -  d A d d 2 2 2 2 2     0 0 0 1 1 (2 ) 2 2cos . sen 2 2 2 2 0 A q q p q q   =  + + -    1 ( ) 2 1 sen (2(2 )) ( ) (0) 1 sen (2(0)) 2 2cos 2 0 2cos 0 . 2 2 2 2 2 2 2 A p p p p   =  + + - - - - +    ( ) ( ) [ ] 1 1 0 1 0 1 A p p p p   =  + + - - - - +  = + + - - - +   2 2 1 . 0 2 1 0 . 2 2 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2  - +  = p = p   = 1 p + 1 3 A 3 2 - 0 - 2 [ ] 2 0 0 3 2 2 Respuesta: A = p . 3 2 A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos, ¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura. Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible. Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificación y luego la respuesta.
  • 42. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1 Calcula la longitud de la curva dada en coordenadas polares r = 2 + 2cosq . Ejercicio 2 Calcula la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas: = + . , 1 t 3 2 x 3 t 2 2 y 2 t 1 £ £    = - Ejercicio 3 Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva dada por las ecuaciones paramétricas: x = t, y = 2 – t2 , 0 £ t £ 2 , alrededor del eje OY. Ejercicio 4 Calcula el área de la región acotada por la gráfica de r = 2 + cosq y por las rectas q = 0 y q = p . 2 Ejercicio 5 Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por    = - x 2 cos t cos 2t las ecuaciones: £ £ p = - con 0 t y 2 sen t sen 2t Ejercicio 6 Calcula la longitud de arco de la función F(t) = ( et, et sen t, et cos t ) con 0 £ t £ 2p . Ejercicio 7 Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por: t 2 - entre los puntos de intersección de la curva y el eje x. x(t) = t2 , y(t) = ( t 3 ) 3 Ejercicio 8 Calcule el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva C alrededor del eje 0X, donde C es el menor de los arcos de la circunferencia x2 + y2 = 25 entre los puntos (3,4) y (5,0). Ejercicio 9 Calcule el área encerrada por las curvas x = 6 cos t, y = 3 sen t. Ejercicio 10
  • 43. Calcula el área encerrada por la curva r =1+ cosq .