4. Punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento representa al punto que se
ubica exactamente en la mitad de los dos puntos extremos
del segmento. El punto medio puede ser encontrado al
dividir a la suma de las coordenadas x por 2 y dividir a la
suma de las coordenadas y por 2.
A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar
para calcular el punto medio de un segmento. Además,
usaremos esa fórmula para resolver algunos ejercicios de
práctica.
5. El diámetro de una circunferencia es el segmento de
línea que conecta a dos puntos en la circunferencia y
que pasa por el centro. El diámetro también es
definido como la cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia. La longitud del diámetro puede ser
calculada usando tanto la longitud del radio como la
longitud de la circunferencia.
A continuación, conoceremos las fórmulas que
podemos usar para calcular las longitudes de
diámetros de circunferencias. Luego, aplicaremos
estas fórmulas para resolver algunos ejercicios.
Ecuaciones y trazos de una circunferencia
7. La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las
distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de
las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un
punto cualquiera
Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto
cualquiera
Ecuaciones de eclipse
8. Ecuaciones hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la
diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre
constante.
Elementos de la hipérbola
En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación:
• Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de
la hipérbola es siempre la misma.
• Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
• Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
• Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
• Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
• Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
• Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
• Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su
longitud es a.
• Semieje imaginario (b).
9. Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de
hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra
horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos
tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada
en un punto P(x0,y0) cualquiera.
Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto
P(x0,y0) cualquiera
10. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones
entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas elipse,
parábola, hipérbola y circunferencia.
Los tres ejemplos de de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola
(3)
Representación grafica de la sección cónicas
11. En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del
cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a
saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
β = 180° : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar
que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del
cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que
se cortan en el vértice.
Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá
aumentando a medida β disminuye, cuando el plano
contenga al eje del cono (β = 0).
Tipos
12. Ejercicios
EJERCICIO 1
Determina la distancia entre los puntos (3, 2) y (6, 6) en el
plano cartesiano.
EJERCICIO 2
¿Cuál es la distancia entre los puntos (-1, -3) y (5, 7)?
EJERCICIO 3
Si es que tenemos los puntos (-4, -6) y (-1, 5), ¿cuál es su
distancia?