Aplicación de la Derivadas

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación superior
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Extensión San Cristóbal (Edo. Táchira)
Alumna: Joselyn Natasha Ponce Contreras
C.I. 30092552
Asignatura: Matemáticas
Carrera: Diseño Gráfico
Profesor:
San Cristóbal, 10 de Enero del 2021

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INDICE
Contenido
ÍNTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.................................................................................. 4
Monotonía de una función.......................................................................................................... 4
Curvatura de una función........................................................................................................... 5
Puntos de inflexión.................................................................................................................... 6
Máximos y mínimos .................................................................................................................. 7
Regla de l’Hôpital ..................................................................................................................... 8
Aplicación de la regla de L’Hôpital......................................................................................... 9
Tasa de variación......................................................................................................................10
Teoremas de las derivadas.........................................................................................................10
Teorema de Rolle .................................................................................................................10
Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)..................................................................11
Teorema de Cauchy..............................................................................................................11
Optimización ...........................................................................................................................11
Otras aplicaciones ....................................................................................................................12
Conclusión...............................................................................................................................13
Referencias Bibliográficas ........................................................................................................14

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ÍNTRODUCCIÓN
A continuación trabajaremos la aplicación de derivas, para ello empezaremos por definir
que es una derivada y su origen. Se trata de una noción de la matemática que nombra al
valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la
variable independiente.
La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su
entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una
variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta
tangente al gráfico de la función en dicho punto.
El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen
en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos
figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán
Gottfried Leibniz.
Ambos resolvieron los dos problemas origen del Cálculo Infinitesimal: el del
movimiento no uniforme y el problema de encontrar la tangente a una curva en un punto de
la misma.
Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus
antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así,
por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a cometer la reestructuración de lo
que son las bases de cálculos y creó su propio método `para realizar el cálculo de las
tangentes.
Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos
magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor
máximo o mínimo
El objetivo de este trabajo es hablar acerca de la aplicación de las derivadas, sobre el
concepto de las mismas, y su aplicación en la teoría.

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.
En primer lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en
un punto.
Pero tienen muchas más utilidades.
Esta lista, siguiendo el enlace, nos lleva a las más importantes aplicaciones de las
derivadas:
Monotonía de una función
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una función en un
intervalo.

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Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el siguiente
procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la
derivada sea f’(x) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Curvatura de una función
Derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos permite
estudiar la curvatura de una función. La segunda derivada la curvatura
F `(x) es creciente => F(x) es conversa
F` (x) es constante => F(x) es lineal
F` (x) es decreciente => F(x) es cóncava
Si es un intervalo {a, b}, de una función f(x)

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En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una
función convexa a un valle.
(Hay autores que adoptan el criterio contrario, llamando cóncava a la forma de valle y
convexa a la forma de montaña).
Puntos de inflexión
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.
Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de
curvatura, donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la
primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición
necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber
punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no
hay un punto de inflexión en f(a).
Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x2.
Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un
punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en el ejercicio 2:

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Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se
verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:
- Criterio de la segunda derivada
- Criterio de la tercera derivada (o sucesivas)
Máximos y mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.
Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un
punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c debe ser
nula, f’(c) = 0.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto es un
extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:
Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de tangente
horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se denominan puntos críticos.
Criterio de la derivada primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno
inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.

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El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno
inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.
El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple
que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:
Criterio de la segunda derivada
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es
nula y su segunda derivada es negativa.
El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es
nula y su segunda derivada es positiva.
El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:
Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den
indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no
racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso
no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando
transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede
aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.

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Aplicación de la regla de L’Hôpital
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los
valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.
Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo
diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir el límite de
f/g).
El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas
funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a
límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer
la transformación:
En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1∞, 00; o ∞0, mediante
transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una
indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar la regla de
L’Hôpital.

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Tasa de variación
Estudiar las tasas de variación.
La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la recta que une los
puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α.
La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de
la tasa de variación media cuando el incremento de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada
de la función en ese punto:
Teoremas de las derivadas
Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un
intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función
en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈
(a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el
teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a)
= f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

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Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es
continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto perteneciente al intervalo
abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no
requiere que los extremos del intervalo sean iguales.
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el
intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c
perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple.
El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.
Optimización
La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de una
función determinada que recoja el objetivo a optimizar, se averigua el valor o valores de las
variables que hay que ajustar.

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Otras aplicaciones
Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o hallar
aproximadamente los valores de una función mediante la diferencial.
La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa
función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir
por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a

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Conclusión
El concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su
interpretación física. Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y el qué
puntos no admite derivada. Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la
regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y
finalmente con la derivación implícita.
En sí, fue de gran ayuda en la resolución de muchos problemas tanto matemáticos como
físicos a través de la historia, es así Como 1983 afirma “La derivada no es una aplicación
del concepto de límite sino todo lo contrario, el cálculo de derivadas es el que ha conducido
hacia este concepto”, El término infinitesimal se puede asociar a un incremento siguiendo a
Newton quién definió como “ el incremento de una variable en un intervalo de tiempo
infinitamente corto”, así mismo Leibniz consideraba los infinitesimales positivos como
números que son mayores que cero, pero menores de todos los reales positivos. Y L`
Hospital definió el incremento o decremento de una variable. Las “diferencias” como partes
infinitamente pequeñas que aumenta o disminuye dependiendo un contexto.

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Referencias Bibliográficas
 Elvis Colina (22 de Marzo 2016) Aplicaciones de la derivada, Slideshare.
https://www.slideshare.net/elviscolina21/aplicaciones-de-la-derivada-59853705
 Alexander Cristhian ( 12 de noviembre del 2018) Derivadas. Scrib.
https://es.scribd.com/document/256887623/INTRODUCCION-DERIVADAS-1
 Bernat Requena Serra (2020) Aplicaciones de Derivadas. Universo Fórmulas.
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-derivadas/
 Juan Alfonso Vega Nujica (18 de Marzo de 2016) Aplicación de Derivadas.
Slideshare. https://www.slideshare.net/juanalfonsoveganujic/aplicaciones-de-las-
derivadas-59733659