Numeros reales

1. Ricardo Figueroa
Distribución y
Logística

2. Conjunto
Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como
un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para
los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números
primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

4. Números Reales
El conjunto de los números reales
(denotado por R ) incluye tanto a
los números racionales, (positivos,
negativos y el cero) como a los
números irracionales; y en otro
enfoque, trascendentes y
algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes (1970) no se pueden
expresar mediante una fracción de
dos enteros con denominador no
nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como:
R , π, o el número real: R, cuya
trascendencia fue enunciada por
Euler en el siglo XVIII.
NUMERO RACIONALES E IRRACIONALES
Un número real puede ser un número racional
o un número irracional. Los números racionales
son aquellos que pueden expresarse como el
cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -
21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son
todos los demás. Los números racionales
también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente
periódica, mientras que los irracionales tienen
una expansión decimal aperiódica:

5. Desigualdades
Una desigualdad es una relación de
orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos (en caso
de ser iguales, lo que se tiene es una
igualdad).
Si los valores en cuestión son
elementos de un conjunto ordenado,
como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es
menor que b;
La notación a > b significa a es
mayor que b
Estas relaciones se conocen como
desigualdades estrictas, puesto que
a no puede ser igual a b; también
puede leerse como "estrictamente
menor que" o "estrictamente mayor
que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que
b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual
que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de
desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor
que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor
que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b.
Tal expresión no indica si uno es mayor que el
otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los
operadores según la posición de los elementos
que se están comparando; didácticamente se
enseña que la abertura está del lado del elemento
mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al
elemento menor.

6. Transitividad
números reales arbitrarios a, b
y c:
•Si a > b y b > c
entonces a > c.
•Si a < b y b < c
entonces a < c.
•Si a > b y b = c
entonces a > c.
•Si a < b y b = c
entonces a < c.
Adición y sustracción
•números reales arbitrarios a,b
y c:
•Si a < b
entonces a + c <
b + c y a − c < b
− c.
•Si a > b
entonces a + c >
b + c y a − c > b
− c.
Multiplicación y división
• a y b, y c diferente de cero:
•Si c es positivo y a <
b entonces ac < bc y
a/c < b/c.
•Si c es negativo y a
< b entonces ac > bc
y a/c > b/c.
Opuesto
•Para números reales
arbitrarios a y b:
•Si a < b
entonces −a >
−b.
•Si a > b
entonces −a <
−b.

7. Valor Absoluto
El valor absoluto o módulo de
un número real, denotado por X
, es el valor no negativo de sin
importar el signo, sea este
positivo o negativo. Así, 3 es el
valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado
con las nociones de magnitud,
distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y
físicos. El concepto de valor
absoluto de un número real
puede generalizarse a muchos
otros objetos matemáticos,
como son los cuaterniones ,
anillos ordenados, cuerpos o
espacios vectoriales.
Números Reales
El valor absoluto de x se escribe como | x |. Así,
|4| = 4
|–4| = 4
|54221.997| = 54221.997
|(–1/4)| = 1/4

8. Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los
símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la
recta numérica .
La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como
Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas parejas
ordenadas .
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0
es menor que 4.
Así, x > -4Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto,
hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de
estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales
a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

9. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .