1) O documento discute potências e raízes, que são operações inversas na matemática. 2) Explica como calcular potências através da multiplicação repetida de um número e como calcular raízes através da elevação de um número a um expoente. 3) Fornece propriedades e exemplos para calcular potências e raízes.

1. POTÊNCIAS E RAÍZES
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a potenciação
e a radiciação são operações inversas na Matemática, de forma que aplicando uma delas em
um determinado número, pode-se voltar ao mesmo número (teoricamente), aplicando a
operação inversa correspondente à primeira.
-POTENCIAÇÃO- Seja um número n natural e maior que 1: potência de base a e expoente n
é o produto de n fatores iguais a a. Representando a potência pela simbologia an
, tem-se que:
an
= a . a . a . ... . a (n fatores) (n natural e maior que 1)
POTÊNCIAS DE 2 POTÊNCIAS DE 3 POTÊNCIAS DE 5
21
= 2 31
= 3 51
= 5
22
= 4 32
= 9 52
= 25
23
= 8 33
= 27 53
= 125
24
= 16 34
= 81 54
= 625
25
= 32 35
= 243 55
= 3125
26
= 64 36
= 729 POTÊNCIAS DE 6
27
= 128 61
= 6
28
= 256 62
= 36
29
= 512 63
= 216
210
= 1024
QUADRADOS PERFEITOS
02
= 0 102
= 100 202
= 400 302
= 900
12
= 1 112
= 121 212
= 441 402
= 1600
22
= 4 122
= 144 222
= 484 502
= 2500
32
= 9 132
= 169 232
= 569 602
= 3600
42
= 16 142
= 196 242
= 576 702
= 4900
52
= 25 152
= 225 252
= 625 802
= 6400
62
= 36 162
= 256 262
= 676 902
= 8100
72
= 49 172
= 289 272
= 729 1002
= 10000
82
= 64 182
= 324 ... 5002
= 250000
92
= 81 192
= 361
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
P1 ; am
. an
= am+n
exemplo: 24
. 27
= 211
P2 ; am
: an
= am - n
exemplo: 312
: 35
= 37

2. P3 ; (am
)n
= am.n
exemplo: (26
)2
= 212
P4 ; (a . b)n
= an
. bn
exemplo: 65
= (2 . 3)5
= 25
. 35
P5 ; (a : b)n
= an
: bn
exemplo: 4 : 9 = (2 : 3)2
= 22
: 32
P6 ; 1n
= 1
P7 ; a1
= a P8 ; 0n
= 0 (n  0) P9 ; a0
= 1 (a  0)
P10 ; a-n
= 1 : an
( 0
a  )
SINAIS:
(+)PAR
= (+) (+)ÍMPAR
= (+) (–)PAR
= (+) (–)ÍMPAR
= (–)
Exercícios - Calcule as potências:
a) 43
= b) (–3)4
= c) –34
= d) (–1)3
=
e) (–1)4
= f) (–1)2168
= g) –13978
= h) (–6)–3
=
i) –5–4
= j)
3
)
5
2
( 
 = l )
7
)
2
1
( = m)
2
)
3
4
( 
 =
-RADICIAÇÃO- Seja a um número natural não-nulo; um número x é chamado raiz
enésima de a, se, e somente se, elevado ao expoente n, reproduz o número a. Ou seja: x é
raiz enésima de a  xn
= a
exemplos: 7 é a raiz quadrada de 49, pois 72
= 49
3 é a raiz cúbica de 27, pois 33
= 27
Simbologia:
x
a
n
 n = índice da raiz a = radicando x = raiz enésima de a
Obs: n  2
n (A raiz quadrada de um número n desobriga a colocação do índice 2 no
radical)
Conseqüências: 



IMPAR
ou 


PAR



PAR
Sendo n, natural e n >1: 1
1
n
 1
1
ÍMPAR






PAR
1

3. PROPRIEDADES DAS RAÍZES (Obedecidas as condições de existência)
P1 ; 
n
n
b
.
a n
b
.
a exemplo: 3
3
3
14
7
.
2 
P2 ; 
n
n
b
:
a n
b
a
exemplo: 3
6
18
6
:
18 

P3 ; m n
a  n
.
m
a exemplo: 6
3
10
10 
P4 ; n
)
a
( = n
a exemplo: 5
25
5
)
5
( 2
2



P5 ; p
.
n p
.
m
n m
a
a  exemplo: 12
4
.
3 4
3
16
2
2 

P6 ; 
n
m
a
n m
a exemplo: 5 3
5
3
4
4 
Não esquecer: “ Quem está por dentro, está por cima; quem está por fora, está por baixo ”.
CUIDADOS: a) 5
3
2 

b) 12
4
3
28
7
.
4 
c) 36 = 6
d) x2
= 36  x = 6 ou x = – 6
EXTRAÇÃO INSTANTÂNEA DE RAÍZES QUADRADAS
Vamos rever os quadrados perfeitos apresentados no início da teoria das potências:
Note que a terminação (unidade) desses números aparece apenas em 6 resultados: 0, 1, 4, 5, 6
ou 9. Analisando o esquema abaixo, podemos concluir que é possível determinar o algarismo das
unidades, e em algumas vezes, o das dezenas de uma raiz quadrada de um determinado número,
de acordo com a sua terminação.
terminação em x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
terminação em x2
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
Note que só existem 6 terminações diferentes para os quadrados perfeitos, portanto é
fácil concluir que números terminados em 2 , 3 , 7 e 8 não possuem raiz quadrada exata.
Assim invertendo o raciocínio anterior temos:
QUADRADO PERFEITO TERMINADO EM: RAIZ QUADRADA TERMINADA EM:
0 0
1 1 ou 9

4. 4 2 ou 8
5 5
6 4 ou 6
9 3 ou 7
Assim podemos aplicar esses conhecimentos iniciais, para extrair rapidamente a raiz
quadrada de um número elevado como, por exemplo, 7396.
Verificando os quadrados perfeitos em intervalo de 10 unidades, encontramos 102
= 100 ,
202
= 400, 302
= 900 ... até chegarmos em 802
= 6400 e 902
= 8100. Note que 802
não
chegou no número solicitado (7396), porém 902
ultrapassou-o . Dessa forma, podemos concluir
que a raiz quadrada de 7396 será um número entre 80 e 90; porém como 7396 tem a
terminação 6, pela tabela acima, sua raiz quadrada deverá terminar em 4 ou em 6. Assim, só
existirão duas possibilidades para a raiz quadrada de 7396: 84 ou 86. Por uma simples
tentativa descobrimos que sua raiz quadrada vale 86.
E se um quadrado perfeito por maior que 10000 ? Precisamos lembrar que 1002
= 10000,
portanto, sua raiz quadrada será maior que 100.
Determine a raiz quadrada dos números:
3364
11449
29929
5625
19321
45796
71289
44944