This document discusses continuous beams and the stiffness matrix of beams. It begins by defining the stiffness matrix of beams and demonstrating how it is obtained. It shows that the columns of the stiffness matrix represent equilibrium force states. It then gives examples of calculating the individual coefficients in the stiffness matrix columns for different displacement conditions. Finally, it presents some sample problems, showing how to assemble the overall structural stiffness matrix and solve for displacements and internal forces.

1. ANÁLISIS
ESTRUCTURAL II
MG. ING. ANDRÉS PINEDO DELGADO

2. II. VIGAS CONTINUAS
2.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGAS.
2.2 DEMOSTRACIÓN DE OBTENCIÓN DE LA MATRIZ.
2.3 VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO.
2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS.

3. 2.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGAS

4. i
j
i j
u
V M N V M
v
θ
u
v
θ
N

5. 2.2 DEMOSTRACIÓN DE OBTENCIÓN DE LA MATRIZ.
Cuando se aísla un elemento de un sistema estructural
plano, el estado de esfuerzos en cada uno de sus extremos, se
describe en términos de las tres acciones internas (una fuerza
axial, una fuerza cortante y un momento flector).
La columna “j” de la matriz de rigidez del elemento
puede interpretarse como el conjunto de fuerzas que debe
aplicarse para obtener el estado de deformaciones, en el
que todos los desplazamientos considerados son cero,
excepto uj=1.

6. Los coeficientes de cada columna de la matriz de rigidez,
representa un estado de fuerzas en equilibrio. Las columnas
“j” de la matriz de rigidez de la viga, indica las fuerzas que
deben aplicarse en correspondencia a cada grado de libertad
para obtener un estado de desplazamientos con todas las
componentes igual acero, excepto el correspondiente al
grado de libertad “j” que es igual a la unidad.
Para un análisis práctico, consideremos el comportamiento
de la estructura lineal y elástica por lo que “k” es constante
y simétrica.

7. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “1” (Corresponde
al 1° GDL)
ENUNCIADO
La columna “1” de la matriz de rigidez, será el conjunto de
fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un
desplazamiento ui=1 y el resto igual a cero.

8. Convención de signos para fuerzas y desplazamientos (positivo):

9. La 1ra. columna será:

10. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “2” (Corresponde
al 2° GDL)
ENUNCIADO
La columna “2” de la matriz de rigidez, será el conjunto de
fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un
desplazamiento vi=1 y el resto igual a cero.

11. Ecuaciones de Maney:
Mij = M0
ij +
2𝐸𝐼
𝐿
(2θi + θj - 3øij)
Mji = M0
ji +
2𝐸𝐼
𝐿
(2θ j + θi - 3øij)
Vi = Vj =
𝑀𝑖𝑗+𝑀𝑗𝑖
𝐿
Convención de signos: Todo efecto horario es positivo (para pendiente
deflexión).
Aplicando Maney para momento (Mij y Mji):
Mij = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
(0 + 0 - 3x
1
𝐿
) = -
6𝐸𝐼
𝐿2 (Antihorario)
Mji = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
(0 + 0 - 3x
1
𝐿
) = -
6𝐸𝐼
𝐿2 (Antihorario)

12. Aplicando Maney para corte (Vi y Vj):
Vi = Vj =

13. La 2da. columna será:

14. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “3”
(Corresponde al 3° GDL)
ENUNCIADO
La columna “3” de la matriz de rigidez, será el
conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en
donde existe un desplazamiento θi=1 y el resto
igual a cero.

15. Aplicando Maney para momento (Mij y Mji):
Mij = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
[2(-1) + 0 –3x0)] = -
4𝐸𝐼
𝐿2 (Antihorario)
Mji = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
(-1 + 2x0 – 3x0) = -
2𝐸𝐼
𝐿2 (Antihorario)
Aplicando Maney para corte (Vi y Vj):
Vi = -Vj =

16. La 3ra. columna será:

17. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “4”
(Corresponde al 4° GDL)
ENUNCIADO
La columna “4” de la matriz de rigidez, será el
conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en
donde existe un desplazamiento uj=1 y el resto
igual a cero

18. .

19. La 4ta. columna será:

20. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “5”
(Corresponde al 5° GDL)
ENUNCIADO
La columna “5” de la matriz de rigidez, será el
conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en
donde existe un desplazamiento vj=1 y el resto
igual a cero

21. Aplicando Maney para momento (Mij y Mji):
Mij = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
[0 + 0 - 3x(−
1
𝐿
)] =
6𝐸𝐼
𝐿2 (Horario)
Mji = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
[0 + 0 - 3x(−
1
𝐿
)] =
6𝐸𝐼
𝐿2 (Horario)
Aplicando Maney para corte (Vi y Vj):
-Vi = Vj =

22. La 5ta. columna será:

23. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “6”
(Corresponde al 6° GDL)
ENUNCIADO
La columna “6” de la matriz de rigidez, será el
conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en
donde existe un desplazamiento θj=1 y el resto
igual a cero.

24. Aplicando Maney para momento (Mij y Mji):
Mij = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
[0 + (-1) - 3x0] = -
2𝐸𝐼
𝐿
(Antihorario)
Mji = 0 +
2𝐸𝐼
𝐿
[2(-1) + 0 - 3x0] = -
4𝐸𝐼
𝐿
(Antihorario)
Aplicando Maney para corte (Vi y Vj):
Vi = -Vj =

25. La 6ta. columna será:

26. Por el principio de SUPERPOSICIÓN de causas y
efectos y siendo el sistema lineal y elástico, la fuerza
sobre los extremos del elemento será la suma:

27. 2.3 VECTOR DE FUERZAS DE
EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE CARGAS
SOBRE VIGAS f e
0.
Carga uniformemente repartida:
M0
ij =
WL2
12
V0
i =
WL
2
M0
ji = -
WL2
12
V0
j =
WL
2

28. .

29. Carga concentrada:
M0
ij =
Pab2
L2 V0
i =
Pb2
L3 (3a+b)
M0
ji = -
Pa2
b
L2 V0
j =
Pa2
L3 (a+3b)

30. Existen tablas pre calculadas para diferentes
sistemas de cargas, nosotros presentamos tan solo
dos ejemplos.

31. 2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
PROBLEMA N° 01
Hallar la matriz de rigidez del sistema de viga
con un extremo continuo, despreciar las
deformaciones axiales y por corte.

32. 1 2 3
1 2
1. Cálculo de Matriz de cada elemento
- Elemento N° 01
1 2
𝐾(1)
=
4𝐸1𝐼1
𝐿1
2𝐸1𝐼1
𝐿1
2𝐸1𝐼1
𝐿1
4𝐸1𝐼1
𝐿1
- Elemento N° 02
2 3
𝐾(2)
=
4𝐸2𝐼2
𝐿2
2𝐸2𝐼2
𝐿2
2𝐸2𝐼2
𝐿2
4𝐸2𝐼2
𝐿2
1
2
1 2
2
3
2 3

33. 2. Cálculo de Matriz de Rigidez la Estructura
1 2
𝐾(1) =
4𝐸1𝐼1
𝐿1
2𝐸1𝐼1
𝐿1
2𝐸1𝐼1
𝐿1
4𝐸1𝐼1
𝐿1
2 3
𝐾(2) =
4𝐸2𝐼2
𝐿2
2𝐸2𝐼2
𝐿2
2𝐸2𝐼2
𝐿2
4𝐸2𝐼2
𝐿2
1
2
1 2
2
3
2 3
𝐾 =
4𝐸1𝐼1
𝐿1
2𝐸1𝐼1
𝐿1
0
2𝐸1𝐼1
𝐿1
4𝐸1𝐼1
𝐿1
+
4𝐸2𝐼2
𝐿2
2𝐸2𝐼2
𝐿2
0
2𝐸2𝐼2
𝐿2
4𝐸2𝐼2
𝐿2

34. EJERCICIO PRÁCTICO: Realizar la construcción de la matriz de rigidez general para las
siguientes vigas. Despreciar las deformaciones axiales y de corte.
a) 𝐸𝐴𝐵 = 2,25𝑥1011
𝑁/𝑚2
, 𝐸𝐵𝐶 = 4,25𝑥104
𝑘𝐿𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
, 𝐸𝐶𝐷 = 3,15𝑥1011
𝑁/𝑚2

35. PROBLEMA N° 02
Para el sistema de la figura mostrada, se pide
resolver y dibujar el DFC y DMF. Considerar
EI=constante.
1
2 3
1 2
# de Elementos : 02
# GDL : 03
1. Matriz de Rigidez de cada elemento
- Elemento N° 01
1 2
𝐾(1)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(1)
= 𝐸𝐼
1
1
2
1
2
1
1
2
1 2

36. - Elemento N° 02
2 3
𝐾(2)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(2)
= 𝐸𝐼
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2 3
2. Matriz de Rigidez de la Estructura
𝐾 = 𝐸𝐼
1
1
2
5
3
0
1
3
2
3
1
2
0
1
3

37. 3. Vector de Fuerzas de la Estructura
𝑓 =
0
5
0
𝑇𝑛. 𝑚
4. Vector de Desplazamiento de la Estructura 𝑢 = 𝐾 −1 ∗ 𝑓
𝑢 = 𝐾 −1
𝑥 𝑓 𝑢 =
1
𝐸𝐼
−2
4
−2
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
1
2
3
5. Vector de Fuerzas Internas de cada elemento 𝒇(𝒆)
= 𝑲 (𝒆)
. 𝒖(𝒆)
- Elemento N° 01
𝑓(1) = 𝐸𝐼
1
1
2
1
2
1
1
𝐸𝐼
−2
4
𝑓(1)
=
0
3 𝑇𝑛. 𝑚
3 Tn.m
𝑉𝐴𝐵 = 0.75 𝑇𝑛
𝑉𝐵𝐴 = 0.75 𝑇𝑛
- Elemento N° 02
𝑓(2)
=
1
3
2
3
1
3
2
3
𝐸𝐼
1
𝐸𝐼
−2
4
𝑓(2)
=
2
0
𝑇𝑛. 𝑚
2 Tn.m
𝑉𝐵𝐶 = 0.333 𝑇𝑛
𝑉𝐶𝐵 = 0.333 𝑇𝑛

38. 6. Gráfico de Diagramas
DFC (Tn)
+
-
0.75
0.333
DMF (Tn.m)
-
+
3
-2
Se grafica neg Se grafica pos
Se grafica pos Se grafica neg

39. 6°. Gráfico de los diagramas de fuerza cortante y
momento flector:

40. PROBLEMA N° 03
Para el sistema de la figura mostrada, se pide
resolver y dibujar el DFC y DMF. Considerar
EI=constante.
1 2 3
1 2
# Elementos : 02
# GDL : 03

41. 1. Matriz de Rigidez cada elemento
- Elemento N° 01
1 2
𝐾(1)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(1)
= 𝐸𝐼
1
1
2
1
2
1
1
2
1 2
- Elemento N° 02
2 3
𝐾(2)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(2)
= 𝐸𝐼
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2 3

42. 2. Matriz de Rigidez de la Estructura
𝐾 = 𝐸𝐼
1
1
2
5
3
0
1
3
2
3
1
2
0
1
3
3. Vector de Fuerzas en los nudos de la Estructura
𝑓
𝑛 =
0
5
0
𝑇𝑛. 𝑚

43. 4. Vector de Fuerzas de Empotramiento
Perfecto de cada elemento 𝑓
0
(𝑒)
- Elemento N° 01
8
3
𝑇𝑛. 𝑚 8
3
𝑇𝑛. 𝑚
𝑓0
(1)
=
8
3
−
8
3
1
2
- Elemento N° 02
3 𝑇𝑛. 𝑚 3 𝑇𝑛. 𝑚
𝑓0
(2)
=
3
−3
2
3
5. Vector de Fuerzas de
Empotramiento Perfecto de
la Estructura 𝑓0
𝑓0 =
8
3
1
3
−3
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
6. Vector de Fuerzas de la
Estructura 𝒇 = 𝒇𝒏 − 𝒇𝟎
𝑓 =
0
5
0
−
8
3
1
3
−3
𝑓 =
−
8
3
14
3
3
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚

44. 7. Vector de Desplazamiento de la
Estructura
𝑢 = 𝐾 −1
𝑥 𝑓 𝑢 =
1
𝐸𝐼
−
67
15
18
5
27
10
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
1
2
3
8. Vector de Fuerzas Internas 𝑓(𝑒) = 𝑓0
(𝑒)
+ 𝐾 (𝑒) . 𝑢(𝑒)
- Elemento N° 01
𝑓(1) =
8
3
−
8
3
+ 𝐸𝐼
1
1
2
1
2
1
1
𝐸𝐼
−
67
15
18
5
𝑓(1)
=
0
−1.30 𝑇𝑛. 𝑚
1.30 𝑇𝑛. 𝑚
8 𝑇𝑛
𝑉𝐵𝐴 = 4.325 𝑇𝑛
𝑉𝐴𝐵 = 3.675 𝑇𝑛
−8 2 − 1.30 + 𝑉𝐵𝐴 4 = 0

45. - Elemento N° 02
𝑓(2) =
3
−3
+ 𝐸𝐼
1
3
2
3
1
3
2
3
1
𝐸𝐼
18
5
27
10
𝑓(2)
=
0
6.30 𝑇𝑛. 𝑚
6.30 𝑇𝑛. 𝑚
𝑉𝐶𝐵 = 0.95 𝑇𝑛
𝑉𝐵𝐶 = 3.05 𝑇𝑛
6.30 − 4 3 + 𝑉𝐶𝐵 6 = 0

46. 9. Gráfico de Diagramas
DFC (Tn)
+
-
3.675
- 4.325
1.8375 m
3.05
- 0.95
DMF (Tn.m)
+
- - 1.30
3.38
- 6.30
2.85

47. PROBLEMA N° 04
Analice la estructura mostrada en la figura. Para la viga EI=1.2x105 kN-m2.
Los efectos de las deformaciones axiales y de corte son poco importantes. En
“B”, la viga se apoya en un resorte de rigidez k=3x105 kN/m (y sin rigidez
flexional). Note que el nudo “B” puede desplazarse verticalmente y girar.
Diagramar fuerzas cortantes y momentos flectores.
1
2
1
2
3
# ELEM. = 03
#GDL = 02
100 kN

48. 1. Matriz de Rigidez de cada elemento
- Elemento N° 01
𝐾(1)
=
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(1)
=
11520 −28800
−28800 96000
1
2
1 2
- Elemento N° 02
𝐾(2)
=
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(2)
=
53333.333 80000
80000 160000
1
2
1 2
- Elemento N° 03
𝐾(3)
= 300000 1
1
2. Matriz de Rigidez de la Estructura
𝐾 =
364853.333
51200
51200
256000
3. Vector de Fuerzas en los nudos
𝑓
𝑛 =
0
0

49. 4. Vector de Fuerzas de
empotramiento perfecto 𝑓
0
(𝑒)
- Elemento N° 01
𝑓0
(1)
=
50
−41.6667
5. Vector de Fuerzas de
empotramiento de la Estructura
𝑓0 =
50
−41.6667
6. Vector de Fuerzas externas de la
Estructura 𝑓 = 𝑓
𝑛 − 𝑓0
𝑓 =
−50
41.6667
𝑘𝑁
𝑘𝑁 − 𝑚
7. Vector de desplazamiento de la
Estructura 𝑓 = 𝐾. 𝑢 𝑢 = 𝐾 −1. 𝑓
𝑢 =
−1.6450𝑥10−4
1.9566𝑥10−4
𝑚
𝑟𝑎𝑑
8. Vector de fuerzas internas de cada
elemento 𝑓(𝑒) = 𝑓0
(𝑒)
+ 𝐾(𝑒). 𝑢(𝑒)
- Elemento N° 01
𝑓(1) =
50
−41.6667
+
11520 −28800
−28800 96000
−1.6450𝑥10−4
1.9566𝑥10−4
𝑓(1) =
42.47
−18.15
20 𝑘𝑁/𝑚
𝐵
42.47 𝑘𝑁
18.15 𝑘𝑁 − 𝑚
100 𝑘𝑁
57.53 𝑘𝑁
𝐴
55.80 𝑘𝑁 − 𝑚
𝐷𝐹𝐶 (𝑘𝑁)
57.53
−42.47
2.877 𝑚
𝐷𝑀𝐹 (𝑘𝑁 − 𝑚)
−55.80
26.96
−18.15

50. - Elemento N° 02
𝑓(2)
=
0
0
+
53333.333 80000
80000 160000
−1.6450𝑥10−4
1.9566𝑥10−4
𝑓(2) =
6.88
18.15
𝑘𝑁
𝑘𝑁 − 𝑚
𝐵 𝐶
6.88 𝑘𝑁
18.15 𝑘𝑁 − 𝑚
6.88 𝑘𝑁
2.49 𝑘𝑁 − 𝑚
𝐷𝐹𝐶 (𝑘𝑁)
6.88
𝐷𝑀𝐹 (𝑘𝑁 − 𝑚)
−18.15
2.49

51. PROBLEMA N° 05
Para el sistema de la figura mostrada, se pide resolver y dibujar el DFC y
DMF. Considerar 𝐸𝐴𝐵 = 1,60𝑥105
𝑇𝑛/𝑚2
; 𝐸𝐵𝐶 = 2,20𝑥105
𝑇𝑛/𝑚2
;
𝐸𝐶𝐷 = 1,20𝑥105
𝑇𝑛/𝑚2
. Las vigas son de 30cm x 40cm. Despreciar las
deformaciones axiales y de corte.
10 Tn
4 Tn/m
4 m
2 m
6 m 3 m
1 2
a
b
1 2 3
# Elementos : 03
#GDL : 02

52. 1. Cálculos Previos
𝐸𝐼𝐴𝐵 = 1.60 ∗ 105
0.30𝑥0.403
12
= 256 𝑇𝑛. 𝑚2
𝐸𝐼𝐵𝐶 = 2.20𝑥105
0.30𝑥0.403
12
= 352 𝑇𝑛. 𝑚2
𝐸𝐼𝐶𝐷 = 1.20𝑥105
0.30𝑥0.403
12
= 192 𝑇𝑛. 𝑚2

53. 2. Matriz de Rigidez de cada elemento
- Elemento N° 01
4 m
a 1
𝐾(1)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(1)
=
256 128
256
128
a
1
a 1
- Elemento N° 02
6 m
1 2
𝐾(2)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(2)
=
352
3
704
3
352
3
704
3
1
2
1 2
- Elemento N° 03
3 m
2
b
𝐾(3)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(3)
=
256 128
256
128
2
b
2 b

54. 3. Matriz de Rigidez de la Estructura
𝐾 =
1472
3
352
3
1472
3
352
3
4. Vector de Fuerzas en los nudos de la Estructura
𝑓
𝑛 =
0
0
5. Vector de Fuerzas de Empotramiento
Perfecto de cada elemento 𝑓
0
(𝑒)
- Elemento N° 01
4 m
10 Tn
2 m
5 𝑇𝑛. 𝑚 5 𝑇𝑛. 𝑚
𝑓0
(1)
=
5
−5
a
1
- Elemento N° 02
4 Tn/m
6 m
4.80 𝑇𝑛. 𝑚 7.20 𝑇𝑛. 𝑚
𝑓0
(2)
=
4.80
−7.20
1
2
- Elemento N° 03
𝑓0
(3)
=
0
0
2
b

55. 6. Vector de Fuerzas de
Empotramiento Perfecto de
la Estructura 𝑓0
𝑓0 =
−0.20
−7.20
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
7. Vector de Fuerzas de la
Estructura 𝒇 = 𝒇𝒏 − 𝒇𝟎
𝑓 =
0
0
−
−0.20
−7.20
𝑓 =
0.20
7.20
𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
8. Vector de Desplazamiento de la Estructura
𝑢 = 𝐾 −1
𝑥 𝑓 𝑢 =
−3.289473684𝑥10−3
0.01546052632
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
1
2

56. 9. Vector de Fuerzas Internas 𝑓(𝑒)
= 𝑓
0
(𝑒)
+ 𝐾 (𝑒)
. 𝑢(𝑒)
- Elemento N° 01
𝑓(1) =
5
−5
+
256 128
128 256
0
−3.289473684𝑥10−3
𝑓(1)
=
4.58
−5.84 𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
10 Tn
4 m
2 m
4.58 𝑇𝑛. 𝑚 5.84 𝑇𝑛. 𝑚
𝑉𝐵𝐴 = 5.315 𝑇𝑛
𝑉𝐴𝐵 = 4. 685 𝑇𝑛
4.58 − 10 2 − 5.84 + 𝑉𝐵𝐴 4 = 0

57. - Elemento N° 02
𝑓(2) =
4.80
−7.20
+
352
3
740
3
352
3
740
3
−3.289473684𝑥10−3
0.01546052632
𝑓(2) =
5.84
−3.77 𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
6 m
4 Tn/m
12 𝑇𝑛
5.84 𝑇𝑛. 𝑚 3.77 𝑇𝑛. 𝑚
𝑉𝐶𝐵 = 7.655 𝑇𝑛
𝑉𝐵𝐶 = 4.345 𝑇𝑛
5.84 − 3.77 − 12 4 + 𝑉𝐶𝐵 6 = 0

58. - Elemento N° 03
𝑓(3) =
0
0
+
256 128
128 256
0.01546052632
0
𝑓(3) =
3.77
1.98 𝑇𝑛. 𝑚
𝑇𝑛. 𝑚
3 m
3.77 𝑇𝑛. 𝑚
1.98 𝑇𝑛. 𝑚
𝑉𝐷𝐶 = 1.917 𝑇𝑛
𝑉𝐶𝐷 = 1.917 𝑇𝑛
3.77 + 1.98 + 𝑉𝐷𝐶 3 = 0

59. 10. Gráfico de Diagramas
DFC (Tn)
4.685
- 5.315
4.345
- 7.655
1.917
-
+

60. DMF (Tn.m)
4.58
5.84 3.77
1.98
4.79
4.21
-
+

61. PROBLEMA N° 06
Si el apoyo “B” del sistema mostrado cede 0.2mm, se pide calcular las
fuerzas de reacción en los apoyos y dibujar el DFC y DMF. Considerar
EI=Constante.
4 Tn
2 Tn/m
5 Tn - m
∆ = 0.2 𝑚𝑚
4 m 3 m 3 m
EI = 1 EI = 1
1 2
3
4
1 2
# Elementos : 02
#GDL : 04

62. 1. Matriz de Rigidez de cada elemento
- Elemento N° 01
𝑖 𝑗
4 m
1 2
3
𝐾(1)
=
4𝐸𝐼
𝐿
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
−
6𝐸𝐼
𝐿2
−
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3
𝐾(1)
= 𝐸𝐼
1
1
2
1
−
3
8
−
3
8
3
16
1
2
−
3
8
−
3
8
1
2
3
1 2 3
- Elemento N° 02
𝑖 𝑗
6 m
2
3
4
𝐾(2)
=
4𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
𝐾(2)
= 𝐸𝐼
1
6
2
3
1
6
1
3
2
3
1
18
1
6
1
3
1
6
2
3
4
2 3 4
2. Matriz de Rigidez de la Estructura
𝐾 = 𝐸𝐼
1
1
2
5
3
−
3
8
−
5
24
35
144
0
1
6
2
3
1
3
1
2
−
3
8
0
−
5
24
1
3
1
6
3. Vector de Fuerzas en los nudos
𝑓𝑛 =
0
5
0
𝑅

63. 4. Vector de Fuerzas de
empotramiento perfecto 𝑓
0
(𝑒)
- Elemento N° 01
2 Tn/m
4 𝑚
8/3 Tn - m 8/3 Tn - m
8 Tn
4 Tn
4 Tn
𝑓0
(1)
=
8/3
−8/3
4
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛
1
2
3
- Elemento N° 02
6 𝑚
4 Tn
3 Tn - m 3 Tn - m
2 Tn 2 Tn
𝑓
0
(2)
=
3
2
−3
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛
2
3
4
5. Vector de Fuerzas de
empotramiento de la Estructura
𝑓0 =
8/3
1/3
6
−3
6. Vector de Fuerzas externas de la
Estructura 𝑓 = 𝑓𝑛 − 𝑓0
𝑓 =
0
5
𝑅
0
−
8/3
1/3
6
−3
𝑓 =
−8/3
14/3
𝑅 − 6
3

64. 7. Vector de desplazamiento de la
Estructura 𝑓 = 𝐾. 𝑢 𝑢 = 𝐾 −1. 𝑓
𝑢 =
𝜃𝐴
𝜃𝐵
−0.0002
𝜃𝐶
𝑚
6.4 −
8
3
+ 1.6
14
3
+ 19.2 𝑅 − 6 − 5.6 3 = −0.0002
𝑅 = 7.374989583 𝑇𝑛
𝑢 =
1
𝐸𝐼
−4.4666667
3.60
−0.0002
2.7000583
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
𝑚
𝑟𝑎𝑑
1
2
3
4
8. Vector de fuerzas internas de cada
elemento 𝑓(𝑒)
= 𝑓
0
(𝑒)
+ 𝐾(𝑒)
. 𝑢(𝑒)
- Elemento N° 01
𝑓(1)
=
8/3
−8/3
4
+ 𝐸𝐼
1
1
2
1
−
3
8
−
3
8
3
16
1
2
−
3
8
−
3
8
1
𝐸𝐼
−4.4666667
3.60
−0.0002
𝑓(1)
=
0
−1.30
4.325
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛
2 Tn/m
4 𝑚
1.30 Tn - m
4.325 Tn
8 Tn
3.675 Tn

65. - Elemento N° 02
𝑓(2)
=
3
2
−3
+ 𝐸𝐼
1
6
2
3
1
6
1
3
2
3
1
18
1
6
1
3
1
6
1
𝐸𝐼
3.60
−0.0002
2.7000583
𝑓(2)
=
6.30
3.05
0
𝑇𝑛 − 𝑚
𝑇𝑛
6 𝑚
4 Tn
6.30 Tn - m
3.05 Tn 0.95 Tn

66. 9. Gráfico de Diagramas
DFC (Tn)
+
−
3.675
−4.325
3.05
−0.95
1.838 𝑚
DMF (Tn-m)
−
+
3.377
1.30
6.30
2.85