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CINEMATICA DE UNA
PARTICULA
M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO 2017-I
CINEMATICA DE UNA
PARTICULA
CINEMATICA:
0. INTRODUCCION:
- Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que
lo producen, también se puede considerar como la Geometría del
movimiento.
- Describe como varia la velocidad y la aceleración de un cuerpo con
el tiempo y con sus cambios de posición.
El movimiento de una partícula es entendido como “el cambio de
posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo”, el cual
debe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitirá
definir su posición en cualquier instante, .
MOVIMIENTO:
)(trr

=
MOVIMIENTO:
x
y
z
0
S
P
o
P
x
y
z
0
S
P
o
P
x
y
z
0
P
x
y
z
0
P
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
1º Por medio de una Ecuación Horaria: 2º Por medio de un Vector Posición:
3º Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:
S = f (t)
)(trr

=
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
r

a. Posición ( ) y desplazamiento ( )
Fig 01. Trayectoria que sigue una partícula
La partícula, en cierto instante, se hallará
en la posición P, definida por:
kzjyixrP

++=
rd

PQ rrrd

−=
La diferencia de posición de la partícula en dos
instantes recibe el nombre de desplazamiento
de dicha partícula, la cual se halla en P en el
instante “t” y en Q en el instante “t + Δt”, el
desplazamiento viene dado por:
rd

OQr /
OPr /

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
v

b. velocidad ( ) y aceleración ( )
La velocidad de una partícula es, por
definición, la variación de posición por unidad
de tiempo:
rr
dt
d
v 
== )(
a

La aceleración de una partícula es, por
definición, la variación por unidad de tiempo de
la velocidad.
kvjvivv zyx

++=
kzjyixv







++=
La dirección de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del
desplazamiento.
El módulo de la velocidad recibe el nombre de rapidez o celeridad.
vv
dt
d
a 
== )(
kajaiaa zyx

++=
kzjyixa







++=
a. Posición y desplazamiento
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
b. Velocidad media ( ):v

of
of
tt
xx
t
x
v
−
−
=
∆
∆
= tang
x
t
θ=
∆
∆
Matemáticamente: Gráficamente:
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
c. Velocidad instantànea ( ):v

∆t
P
P’
∆x
x
t
X
tO
θ
P’’
P’’’
Matemáticamente:
ó
∫+=
t
t
o
o
vdtxx )(tvv =;
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
t
x
vv
t
m
t ∆
∆
==
→∆→∆ 00
limlim
dt
dx
x
dt
d
v == )(
Tenemos:
d. Aceleraciòn media :( )a
a
v
t
v v
t t
f o
f o
= =
−
−
∆
∆
e. Aceleraciòn instantànea :( )a
dt
dv
t
v
aa
tt
=
∆
∆
==
→∆→∆ 00
limlim
v v a dto
t
t
o
= +∫ . a a t= ( );
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Tenemos:
2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):
Ejemplo 01.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):
x
0 t
x v t ato
= +
1
2
2
to = 0
v
0 t
v = vo + a t
vo
to = 0
a = constante
a
0 t
Ejemplo 02.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que
camina horizontalmente (en una dimensión, sobre el eje x). Según dicha
información, a) graficar su velocidad y aceleración en función del tiempo;
b) hacer un estudio del movimiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 04.- En el gráfico adjunto, se muestra como varía la velocidad en
función del tiempo para un cuerpo que se mueve en línea recta (eje +X). Si en el
instante t = 0 s, el móvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la
posición en t = 5 s, b) realizar los gráficos de x-t y a-t, para el movimiento del
cuerpo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 05.- En el gráfico, se muestra la dependencia de la aceleración en función
del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta. Se pide: a) analizar el
tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la
posición y velocidad que alcance dicha partícula a los 50 segundos después de
haber iniciado del reposo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 06.- Un móvil se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado
decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m
entre sí. Determine el desplazamiento “x” del móvil durante los 2 s que preceden
la llegada a “B”.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleración constante.
Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleración del rodil A,
cuando el B está a 3 m del origen y la aceleración de B es de 6 m/s2
.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
A

v
∆

r
X
0 Y
X
Z
A/
s
∆s

r /
r
t
t/
kzjyixtrr

++== )(
Posición:
kzjyixtrr

''')('' ++==
Velocidad Media ( )mv

Velocidad:
t
r
vm
∆
∆
=


ó v
x
t
i
y
t
j
z
t
k= + +
∆
∆
∆
∆
∆
∆
  
Velocidad Instantánea ( )

v
t
r
vv
t
m
t ∆
∆
==
→∆→∆


00
limlim
r
dt
rd
v 


==
kzjyixk
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v







++=++=
∆

r
v /
v //
v ///
A
A’
A’’
A’’’

v
T
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares:
( )ma

Aceleración Media
Aceleración:
t
v
am
∆
∆
=


k
t
v
j
t
v
i
t
v
a zyx
m

∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
Aceleración Instantánea ( )a

t
v
aa
t
m
t ∆
∆
==
→∆→∆


00
limlim
r
dt
vd
a 


==
kzjyixk
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a zyx









++=++==
3.1. Coordenadas Rectangulares:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 08.- Una partícula se mueve en el plano X-Y; un observador
colocado en origen cartesiano sabe que las ecuaciones paramétricas de la
trayectoria escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2
. a) Determinar la
forma explícita de la trayectoria, b) La expresión del vector de posición,
velocidad y aceleración, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d)
Distancia de la partícula al observador en t = 2 s, e) El vector desplazamiento
y el vector velocidad media entre t = 0 s y t = 3 s.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 09.- Una partícula se mueve respecto a un sistema referencial
XYZ, llevando aceleraciones de (3t2
, 6t, 0) pies/s2
. Si inicialmente
está en la posición (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s,
respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posición y la velocidad
de dicha partícula.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 10.- La bola es lanzada desde la torre con velocidad de 20
pies/s como se muestra. Determinar: a) las coordenadas (x,y) del
punto en que la bola toca la pendiente, b) la rapidez con que la bola
toca el suelo, el radio de curvatura en el punto más elevado de su
trayectoria .
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 11.- El perno P situado en el extremo de la varilla
telescópica se desliza a lo largo de la trayectoria parabólica y2
= 40x,
donde x e y se miden en milímetros. La coordenada y de P varia con
el tiempo t, según y = 4t2
+6t (mm). Cuando y = 30 mm, calcule: a) el
vector de velocidad de P , b) el vector aceleración de P.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 12.- Al pasar por una boquilla un chorro de agua tiene una
rapidez de 20 m/s. Determinar: a) el punto P donde el agua llega
incidir sobre la superficie parabólica, b) la velocidad del agua en el
punto P, c) la aceleración del agua en P, d) el radio de curvatura de la
superficie parabólica en P.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleración en Coordenadas Intrínsecas: Tangencial y Normal:
NT aaa

+=
( )
dt
ud
vu
dt
dv
dt
uvd
dt
vd
a T
T
T




+===
NT u
v
u
dt
dv
a

ρ
2
+=
dt
dv
aT =
ρ
2
v
aN =
22
NT aaa +=
Módulos:
2/3
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy














+
=ρ
rr
r


×
=
3
ρRadio de Curvatura:
ó
Ejemplo Nº 13.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de
20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su
trayectoria a los 2 segundos después de ser lanzado dicho objeto.
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 13.-
Ejemplo Nº 14.- Una caja se desliza por una guía que tiene forma de hipérbola.
Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a
razón de 0,5 m/s2
. Determine la aceleración y el radio de curvatura en dicha
posición.
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 15.- Una partícula se mueve en el plano xy y sus coordenadas están
dadas por , . Encuentre: a) la ecuación de la
trayectoria en la que se mueve la partícula su desplazamiento y graficarlo, b) para
cuando 0,25 segundos, la posición, velocidad, la aceleración y el radio de
curvatura. (Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos,
y que la cantidad angular πt está expresada en radianes).
( ) ttx πcos2= ( ) tsenty π=
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 15.-
Ejemplo Nº 16.- Un tobogán viaja por una curva que puede ser
aproximadamente la parábola y = 0,01x2
. Determine la magnitud de su
aceleración cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y está
incrementándose a razón de ./3 2
smvA =
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal:
Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.3. Coordenadas Polares:
0 x
y
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
P
-x
-y
0 x
y
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
P
-x
-y
( ) ( ) jseniur

θθ += cos
jisenu

)(cos)( θθθ +−=
( )
dt
ud
ru
dt
dr
ur
dt
d
dt
rd
v r
rr




+===
θ
θ
u
dt
d
ru
dt
dr
v r

+=
( ) ( ) θθururv r



+=
( )θθurur
dt
d
dt
vd
a r




+==
( ) ( ) θθθθ urrurra r



++−= 22
Aceleración:
Velocidad:
Vectores unitarios:
Posición:
rurr

=
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 14.- El tubo doblado que lleva agua, de sección transversal uniforme,
gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante .
Si la velocidad del agua en la porción AB del tubo es 400 mm/s (constante),
determine la magnitud de la velocidad y aceleración de una partícula de agua
inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
min/140rev=θ
Ejemplo Nº 15.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula está definido
en coordenadas polares por y
donde r esta dado en cm, θ está en radianes y t en segundo. En el instante en
que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleración y el radio
de curvatura de la trayectoria.
ttr 5833.0 3
+= 2
3.0 t=θ
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 16.- La rotación de la barra OA se define por ,
donde t se expresa en segundos. El collarín B se desliza a lo largo de la barra
de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s,
determine: a) su velocidad, b) su aceleración total y c) su aceleración relativa
a la barra.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
( ) radtt 2
34
2
1
−= πθ
mttr 32
9,025,1 −=
Ejemplo Nº 17.- Una barra ranurada, que gira alrededor de un pinto fijo A según e
indica, lleva un punto material P a lo largo de una guía circular. La velocidad
angular de la barra es de 25 rad/s en sentido horario y su aceleración angular es de
20 rad/s2
en sentido antihorario. Si todas las superficies son lisas, determinar la
velocidad y aceleración del punto material cuando θ = 60º.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como
resultado de la velocidad angular constante , conduce a la
partícula P por una breve distancia sobre la guía espiral r = 0,4 (m),
donde  se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleración de
la partícula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,
r = 0,5 m.
( )srad /3=θ
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio
OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular
constante encuentre la velocidad de P cuando .
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
srad /2=θ º60=θ
.
0
x
y
Trayectoria
P
z
Y
X
Z
0
x
y
Trayectoria
P
z
Y
X
Z ZR uZuRr

+=
jseniuR

)()(cos θθ +=
( )ZR uZuR
dt
d
dt
rd
v



+==
( ) ( ) ( ) ZR uZuRuRv

++= θθ
( )ZR uZuRuR
dt
d
dt
vd
a



++== θθ
( ) ( ) ZR uZuRRuRRa

+++−= θθθθ 22
Velocidad:
Aceleracón:
Posición:
Donde:
3.4. Coordenadas Cilíndricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 19.- Una partícula se mueve a lo largo de una espiral descrita en
coordenadas cilíndricas por R = 0,4 m y z = -0,2θ m, donde θ se expresa en
radianes. Se sabe que en cierto instante, y .
Determinar las magnitudes de la velocidad y aceleración en dicho instante
que tiene la partícula.
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
srad /7.6=θ 2
/12 srad−=θ
Ejemplo Nº 20.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hélice :
que baja 6 m en cada revolución completa.
Para un automóvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,
se pide:
a.Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 0º
b.Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 90º
c.Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando θ
= 90º
( )msenr θθ 315)( +=
( )srad /3,0=θ
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo 21.- El caudal de agua de un aspersor ordinario es 25 L/s inicialmente y
está programado para incrementarse de forma continua hasta 50 L/s. La
superficie de salida de las boquillas es de 1,86 mm2
. Determine, el área de jardín
que regará dicho aspersor, si su velocidad angular es de 2 rad/s. .
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo 22.- Un automóvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con
celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hélice de diámetro 36 m y paso
de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el módulo de la
velocidad y aceleración del auto cuando desciende por la rampa.
P
Z
0
X
Y
θ
φ
A
P
Z
0
X
Y
θ
φ
A
kjsensenisenur

)(cos)()cos( φθφθφ ++=
ksenjseniu

)()(cos)cos(cos θθφθφφ −+=
jisenu

)(cos)( θθθ +−=
Vectores unitarios:
rurr

=
( )
( )
( ) θ
φ
φθ
φ
usenr
ur
urv r





+
+=
( )
( )
( ) θ
φ
φθφφθφθ
φφθφφ
φθφ
usenrrsenr
usenrrr
usenrrra r




++
+−+
+−−=
cos22
cos2 2
222
Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:
Ejemplo 23.- La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min.
Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razón
constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando
ϕ = 30º.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo Nº 24.- El radar, esta siguiendo a un avión en pleno vuelo. En el instante
representado, la posición de éste viene dada por R=19500 m, θ=110º y Φ=60º.
Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:
Para este instante, determinar:
a.La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (R,Φ,θ).
b.La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que el
eje z corresponda al eje Φ = 0º y el eje x corresponda al eje Φ = 90º y θ = 0º
c.Determinar los módulos de la velocidad y aceleración del avión.
( )smR /5,85−= ( )2
/5,4 smR = ( )sradx /100,9 3−
=θ ( )26
/100,20 sradx −
=θ
( )26
/100,80 sradx −
=φ( )sradx /105,2 3−
=φ
3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Vectores unitarios:
rurr

=
Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

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Cinemática de una Partícula 2017

  • 1. CINEMATICA DE UNA PARTICULA M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA CICLO ACADEMICO 2017-I
  • 2. CINEMATICA DE UNA PARTICULA CINEMATICA: 0. INTRODUCCION: - Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen, también se puede considerar como la Geometría del movimiento. - Describe como varia la velocidad y la aceleración de un cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posición. El movimiento de una partícula es entendido como “el cambio de posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo”, el cual debe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitirá definir su posición en cualquier instante, . MOVIMIENTO: )(trr  =
  • 3. MOVIMIENTO: x y z 0 S P o P x y z 0 S P o P x y z 0 P x y z 0 P x y z 0 P(x,y,z) x z y x y z 0 P(x,y,z) x z y 1º Por medio de una Ecuación Horaria: 2º Por medio de un Vector Posición: 3º Por medio de sus Coordenadas Rectangulares: S = f (t) )(trr  = x = x (t) y = y (t) z = z (t)
  • 4. 1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION r  a. Posición ( ) y desplazamiento ( ) Fig 01. Trayectoria que sigue una partícula La partícula, en cierto instante, se hallará en la posición P, definida por: kzjyixrP  ++= rd  PQ rrrd  −= La diferencia de posición de la partícula en dos instantes recibe el nombre de desplazamiento de dicha partícula, la cual se halla en P en el instante “t” y en Q en el instante “t + Δt”, el desplazamiento viene dado por: rd  OQr / OPr / 
  • 5. 1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION v  b. velocidad ( ) y aceleración ( ) La velocidad de una partícula es, por definición, la variación de posición por unidad de tiempo: rr dt d v  == )( a  La aceleración de una partícula es, por definición, la variación por unidad de tiempo de la velocidad. kvjvivv zyx  ++= kzjyixv        ++= La dirección de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del desplazamiento. El módulo de la velocidad recibe el nombre de rapidez o celeridad. vv dt d a  == )( kajaiaa zyx  ++= kzjyixa        ++=
  • 6. a. Posición y desplazamiento 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 7. b. Velocidad media ( ):v  of of tt xx t x v − − = ∆ ∆ = tang x t θ= ∆ ∆ Matemáticamente: Gráficamente: 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 8. c. Velocidad instantànea ( ):v  ∆t P P’ ∆x x t X tO θ P’’ P’’’ Matemáticamente: ó ∫+= t t o o vdtxx )(tvv =; 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL t x vv t m t ∆ ∆ == →∆→∆ 00 limlim dt dx x dt d v == )( Tenemos:
  • 9. d. Aceleraciòn media :( )a a v t v v t t f o f o = = − − ∆ ∆ e. Aceleraciòn instantànea :( )a dt dv t v aa tt = ∆ ∆ == →∆→∆ 00 limlim v v a dto t t o = +∫ . a a t= ( ); 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Tenemos:
  • 10. 2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU): Ejemplo 01.- 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 11. 2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA): x 0 t x v t ato = + 1 2 2 to = 0 v 0 t v = vo + a t vo to = 0 a = constante a 0 t Ejemplo 02.- 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 12. Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que camina horizontalmente (en una dimensión, sobre el eje x). Según dicha información, a) graficar su velocidad y aceleración en función del tiempo; b) hacer un estudio del movimiento. 2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV): 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 13. Ejemplo 04.- En el gráfico adjunto, se muestra como varía la velocidad en función del tiempo para un cuerpo que se mueve en línea recta (eje +X). Si en el instante t = 0 s, el móvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la posición en t = 5 s, b) realizar los gráficos de x-t y a-t, para el movimiento del cuerpo. 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 14. Ejemplo 05.- En el gráfico, se muestra la dependencia de la aceleración en función del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta. Se pide: a) analizar el tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la posición y velocidad que alcance dicha partícula a los 50 segundos después de haber iniciado del reposo. 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 15. Ejemplo 06.- Un móvil se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m entre sí. Determine el desplazamiento “x” del móvil durante los 2 s que preceden la llegada a “B”. 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 16. Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleración constante. Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleración del rodil A, cuando el B está a 3 m del origen y la aceleración de B es de 6 m/s2 . 2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
  • 17. A  v ∆  r X 0 Y X Z A/ s ∆s  r / r t t/ kzjyixtrr  ++== )( Posición: kzjyixtrr  ''')('' ++== Velocidad Media ( )mv  Velocidad: t r vm ∆ ∆ =   ó v x t i y t j z t k= + + ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆    Velocidad Instantánea ( )  v t r vv t m t ∆ ∆ == →∆→∆   00 limlim r dt rd v    == kzjyixk dt dz j dt dy i dt dx v        ++=++= ∆  r v / v // v /// A A’ A’’ A’’’  v T 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL 3.1. Coordenadas Rectangulares:
  • 18. ( )ma  Aceleración Media Aceleración: t v am ∆ ∆ =   k t v j t v i t v a zyx m  ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = Aceleración Instantánea ( )a  t v aa t m t ∆ ∆ == →∆→∆   00 limlim r dt vd a    == kzjyixk dt dv j dt dv i dt dv dt vd a zyx          ++=++== 3.1. Coordenadas Rectangulares: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 19. 3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones Ejemplo 08.- Una partícula se mueve en el plano X-Y; un observador colocado en origen cartesiano sabe que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2 . a) Determinar la forma explícita de la trayectoria, b) La expresión del vector de posición, velocidad y aceleración, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d) Distancia de la partícula al observador en t = 2 s, e) El vector desplazamiento y el vector velocidad media entre t = 0 s y t = 3 s. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 20. 3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones Ejemplo 09.- Una partícula se mueve respecto a un sistema referencial XYZ, llevando aceleraciones de (3t2 , 6t, 0) pies/s2 . Si inicialmente está en la posición (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s, respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posición y la velocidad de dicha partícula. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 21. 3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones Ejemplo 10.- La bola es lanzada desde la torre con velocidad de 20 pies/s como se muestra. Determinar: a) las coordenadas (x,y) del punto en que la bola toca la pendiente, b) la rapidez con que la bola toca el suelo, el radio de curvatura en el punto más elevado de su trayectoria . 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 22. 3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones Ejemplo 11.- El perno P situado en el extremo de la varilla telescópica se desliza a lo largo de la trayectoria parabólica y2 = 40x, donde x e y se miden en milímetros. La coordenada y de P varia con el tiempo t, según y = 4t2 +6t (mm). Cuando y = 30 mm, calcule: a) el vector de velocidad de P , b) el vector aceleración de P. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 23. 3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones Ejemplo 12.- Al pasar por una boquilla un chorro de agua tiene una rapidez de 20 m/s. Determinar: a) el punto P donde el agua llega incidir sobre la superficie parabólica, b) la velocidad del agua en el punto P, c) la aceleración del agua en P, d) el radio de curvatura de la superficie parabólica en P. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 24. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL 3.2. Aceleración en Coordenadas Intrínsecas: Tangencial y Normal: NT aaa  += ( ) dt ud vu dt dv dt uvd dt vd a T T T     +=== NT u v u dt dv a  ρ 2 += dt dv aT = ρ 2 v aN = 22 NT aaa += Módulos: 2/3 2 2 2 1 dx yd dx dy               + =ρ rr r   × = 3 ρRadio de Curvatura: ó
  • 25. Ejemplo Nº 13.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de 20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su trayectoria a los 2 segundos después de ser lanzado dicho objeto. 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 26. 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Ejemplo Nº 13.-
  • 27. Ejemplo Nº 14.- Una caja se desliza por una guía que tiene forma de hipérbola. Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a razón de 0,5 m/s2 . Determine la aceleración y el radio de curvatura en dicha posición. 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 28. 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Ejemplo Nº 15.- Una partícula se mueve en el plano xy y sus coordenadas están dadas por , . Encuentre: a) la ecuación de la trayectoria en la que se mueve la partícula su desplazamiento y graficarlo, b) para cuando 0,25 segundos, la posición, velocidad, la aceleración y el radio de curvatura. (Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos, y que la cantidad angular πt está expresada en radianes). ( ) ttx πcos2= ( ) tsenty π=
  • 29. 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Ejemplo Nº 15.-
  • 30. Ejemplo Nº 16.- Un tobogán viaja por una curva que puede ser aproximadamente la parábola y = 0,01x2 . Determine la magnitud de su aceleración cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y está incrementándose a razón de ./3 2 smvA = 3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 31. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 32. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 33. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 34. 3.3. Coordenadas Polares: 0 x y Eje Radial (+) curva x y Eje Transversal (+) P -x -y 0 x y Eje Radial (+) curva x y Eje Transversal (+) P -x -y ( ) ( ) jseniur  θθ += cos jisenu  )(cos)( θθθ +−= ( ) dt ud ru dt dr ur dt d dt rd v r rr     +=== θ θ u dt d ru dt dr v r  += ( ) ( ) θθururv r    += ( )θθurur dt d dt vd a r     +== ( ) ( ) θθθθ urrurra r    ++−= 22 Aceleración: Velocidad: Vectores unitarios: Posición: rurr  = 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 35. Ejemplo Nº 14.- El tubo doblado que lleva agua, de sección transversal uniforme, gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante . Si la velocidad del agua en la porción AB del tubo es 400 mm/s (constante), determine la magnitud de la velocidad y aceleración de una partícula de agua inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C. 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL min/140rev=θ
  • 36. Ejemplo Nº 15.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula está definido en coordenadas polares por y donde r esta dado en cm, θ está en radianes y t en segundo. En el instante en que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria. ttr 5833.0 3 += 2 3.0 t=θ 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 37. Ejemplo Nº 16.- La rotación de la barra OA se define por , donde t se expresa en segundos. El collarín B se desliza a lo largo de la barra de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s, determine: a) su velocidad, b) su aceleración total y c) su aceleración relativa a la barra. 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL ( ) radtt 2 34 2 1 −= πθ mttr 32 9,025,1 −=
  • 38. Ejemplo Nº 17.- Una barra ranurada, que gira alrededor de un pinto fijo A según e indica, lleva un punto material P a lo largo de una guía circular. La velocidad angular de la barra es de 25 rad/s en sentido horario y su aceleración angular es de 20 rad/s2 en sentido antihorario. Si todas las superficies son lisas, determinar la velocidad y aceleración del punto material cuando θ = 60º. 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 39. Ejemplo Nº 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como resultado de la velocidad angular constante , conduce a la partícula P por una breve distancia sobre la guía espiral r = 0,4 (m), donde  se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleración de la partícula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir, r = 0,5 m. ( )srad /3=θ 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 40. Ejemplo Nº 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular constante encuentre la velocidad de P cuando . 3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL srad /2=θ º60=θ .
  • 41. 0 x y Trayectoria P z Y X Z 0 x y Trayectoria P z Y X Z ZR uZuRr  += jseniuR  )()(cos θθ += ( )ZR uZuR dt d dt rd v    +== ( ) ( ) ( ) ZR uZuRuRv  ++= θθ ( )ZR uZuRuR dt d dt vd a    ++== θθ ( ) ( ) ZR uZuRRuRRa  +++−= θθθθ 22 Velocidad: Aceleracón: Posición: Donde: 3.4. Coordenadas Cilíndricas: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 42. Ejemplo Nº 19.- Una partícula se mueve a lo largo de una espiral descrita en coordenadas cilíndricas por R = 0,4 m y z = -0,2θ m, donde θ se expresa en radianes. Se sabe que en cierto instante, y . Determinar las magnitudes de la velocidad y aceleración en dicho instante que tiene la partícula. 3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL srad /7.6=θ 2 /12 srad−=θ
  • 43. Ejemplo Nº 20.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hélice : que baja 6 m en cada revolución completa. Para un automóvil que baja por dicha rampa con velocidad constante, se pide: a.Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 0º b.Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 90º c.Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando θ = 90º ( )msenr θθ 315)( += ( )srad /3,0=θ 3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 44. 3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Ejemplo 21.- El caudal de agua de un aspersor ordinario es 25 L/s inicialmente y está programado para incrementarse de forma continua hasta 50 L/s. La superficie de salida de las boquillas es de 1,86 mm2 . Determine, el área de jardín que regará dicho aspersor, si su velocidad angular es de 2 rad/s. .
  • 45. 3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL Ejemplo 22.- Un automóvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hélice de diámetro 36 m y paso de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el módulo de la velocidad y aceleración del auto cuando desciende por la rampa.
  • 46. P Z 0 X Y θ φ A P Z 0 X Y θ φ A kjsensenisenur  )(cos)()cos( φθφθφ ++= ksenjseniu  )()(cos)cos(cos θθφθφφ −+= jisenu  )(cos)( θθθ +−= Vectores unitarios: rurr  = ( ) ( ) ( ) θ φ φθ φ usenr ur urv r      + += ( ) ( ) ( ) θ φ φθφφθφθ φφθφφ φθφ usenrrsenr usenrrr usenrrra r     ++ +−+ +−−= cos22 cos2 2 222 Posición: Velocidad: Aceleración: 3.5. Coordenadas Esféricas: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 47. 3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones: Ejemplo 23.- La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razón constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando ϕ = 30º. 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 48. Ejemplo Nº 24.- El radar, esta siguiendo a un avión en pleno vuelo. En el instante representado, la posición de éste viene dada por R=19500 m, θ=110º y Φ=60º. Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas: Para este instante, determinar: a.La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (R,Φ,θ). b.La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que el eje z corresponda al eje Φ = 0º y el eje x corresponda al eje Φ = 90º y θ = 0º c.Determinar los módulos de la velocidad y aceleración del avión. ( )smR /5,85−= ( )2 /5,4 smR = ( )sradx /100,9 3− =θ ( )26 /100,20 sradx − =θ ( )26 /100,80 sradx − =φ( )sradx /105,2 3− =φ 3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
  • 49. Vectores unitarios: rurr  = Posición: Velocidad: Aceleración: 3.5. Coordenadas Esféricas: 3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL