1. Matemática Básica
Matemática
Básica
Profesor Ociel López Jara

2. Matemática Básica
Objetivo de curso:
• Podrá afrontar las exigencias del curso con
una base suficiente en la disciplina de las
matemática y estadística requeridas por los
otros ramos.
• Conocer herramientas básicas de la
aritmética, el álgebra, los conjuntos y las
proporciones.
Profesor Ociel López Jara

3. Matemática Básica
UNIDAD 1
Conjuntos numéricos
• Definición de conjunto y operaciones básicas.
• Conjunto de los números Naturales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Enteros, sus operaciones
básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Racionales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Irracionales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Reales, sus operaciones
básicas y propiedades.
Profesor Ociel López Jara

4. Matemática Básica
UNIDAD 2
Razones y proporciones
• Concepto de Razón
• Concepto de proporción
• Proporción Directa
• Proporción Inversa
• Porcentaje, aplicación.
Profesor Ociel López Jara

5. Matemática Básica
UNIDAD 3
Funciones Lineales
• Concepto de relación
• Concepto de Función
• Dominio y recorrido de una Función
• Funciones Lineales
• Representación grafica de una función lineal
• Regresión Lineal
• Correlación lineal.
Profesor Ociel López Jara

6. Matemática Básica
UNIDAD 1
Conjuntos Numéricos
Profesor Ociel López Jara

7. Matemática Básica
La idea de Conjunto…
En el lenguaje cotidiano, decimos
un curso de Algebra, un montón de
libros de matemática, un cajón de
ropa, la ciudad de Concepción , etc.,
es decir, usamos muchas palabras
para expresar una misma idea.
Los matemáticos prefieren la
palabra Conjunto para expresar lo
mismo.
Profesor Ociel López Jara

8. Matemática Básica
Conjunto es toda colección, lista, agrupación,
clasificación de objetos bien definidos.
Estos objetos se llaman elementos del conjunto.
Ejemplos:
A ={ Jugadores de la Selección chilena año 2010 }
B={ a, e, i, o, u }
C={ números naturales mayores que 2 y menores que 6 }
Profesor Ociel López Jara

9. Matemática Básica
a  {las vocales}, se lee: a pertenece al
conjunto de las vocales.
2  {3, 5, 7, 9, 11}, se lee: 2 no pertenece al
conjunto de los números impares mayores de 1 y
menores de 13.
Profesor Ociel López Jara

10. Matemática Básica
Conjunto vacío 
Es el conjunto que no tiene elementos.
El conjunto { 0 } tiene un único elemento
que es el número cero, por lo tanto no es
vacío.
{ 0 } ≠ 
Profesor Ociel López Jara

11. Matemática Básica
Conjuntos disjuntos:
Son los que NO tienen ningún elementos en común
13 15
14 17
19 11
A
B
Profesor Ociel López Jara

12. Matemática Básica
Definición de un Conjunto:
por extensión, cuando se define nombrando
todos sus elementos.
Por ejemplo: el conjunto de las vocales se
expresaría por extensión así:
A={a, e, i, o, u}
por comprensión, cuando se define indicando
una cualidad de los elementos que lo forman.
Por Ejemplo: A={las vocales}, o bien A={x| x
es vocal}
Profesor Ociel López Jara

13. Matemática Básica
Subconjunto:
Los elementos del conjunto X están (todos) en
el conjunto Y, por lo tanto X es subconjunto de
Y.
En símbolos: X  Y
A
G
A D E
G H T
V
X
Y
D H T
E V
A G
Profesor Ociel López Jara

14. Matemática Básica
Intersección de conjuntos
Profesor Ociel López Jara

15. Matemática Básica
Unión de conjuntos:
es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A o a B o a ambos (los elementos
repetidos se consideran sólo una vez).
Se simboliza A  B.
A B
A U B
1
3
5 2
4
6
1 5 3
4 2 6
Profesor Ociel López Jara

16. Matemática Básica
Conjuntos Numéricos
La idea de número ha evolucionado de la mano
con el desarrollo del hombre.
En un inicio el hombre necesitaba “contar” sus
animales: uno, dos, tres, etc.
Luego fue necesitando “mejorar” la idea de
número a medida que fue desarrollando su
conocimiento. Necesitó medir distancias, medir
el tiempo, dividir los campos, etc…
Profesor Ociel López Jara

17. Matemática Básica
Conjunto de los números naturales
Al conjunto de los números que sirven para contar {1,
2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo
notaremos con la letra N.
Están ordenados y se pueden representar:
Profesor Ociel López Jara

18. Matemática Básica
2 + 5 = 7
12 + 23 = 35
3 + 20 = 23
La suma de dos números naturales da siempre
como resultado un número natural
Operaciones en los naturales El resultado en un
número NATURAL
Profesor Ociel López Jara

19. Matemática Básica
La multiplicación
2 * 7 = 14
5 * 8 = 40
10 * 3= 30
La multiplicación de dos números naturales
da siempre como resultado un número natural
El resultado
es un número
NATURAL
Profesor Ociel López Jara

20. Matemática Básica
La resta
8 – 3 = 5
20 – 7 = 13
7 – 20 = ?
5 – 5 = ?
La resta de dos números naturales no siempre
da un número natural
Es un número Natural
Este resultado NO
es un número
NATURAL
Profesor Ociel López Jara

21. Matemática Básica
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números naturales, sus
opuestos negativos y el cero constituyen el
conjunto de los números enteros, que se
indica con la letra Z.
Se debe tener presente que N  Z, es decir, el
conjunto de los naturales es subconjunto de los
enteros.
Profesor Ociel López Jara

22. Matemática Básica
Con la definición de los números enteros
podemos redefinir la resta de dos números
naturales como la suma de dos enteros.
23 - 30= ?
23 + (-30) = - 7
Profesor Ociel López Jara

23. Matemática Básica
Orden de los números enteros
Todo número entero situado en la recta
numérica y a la derecha de otro es mayor que
él.
1 es mayor que -5
Profesor Ociel López Jara

24. Matemática Básica
La suma de números enteros
Para sumar dos números enteros de igual
signo, se suman sus valores y se conserva el
signo de ellos.
Ejemplo:
(+ 4) + (+10) = +14
(- 6) + (- 8) = - 14
Profesor Ociel López Jara

25. Matemática Básica
Para sumar dos números enteros de distinto
signo, se restan sus valores y se conserva el
signo del mayor de ellos.
Ejemplo:
(+4) + (-20)  20 – 4 = 16  16
( 12) + (+ 30)  30  12 = 18  +18
Profesor Ociel López Jara

26. Matemática Básica
La resta de números enteros
La sustracción de dos números enteros "a" y "b" es
igual a la suma de "a" y el inverso aditivo de "b", es
decir:
Ejemplo:
(+5) – (+4) = (+5) + (- 4) = +1
(- 3) – (- 15) = (- 3) + (+ 15) = + 12
Profesor Ociel López Jara

27. Matemática Básica
La multiplicación de números enteros
Para la multiplicación se debe tener presente la
siguiente regla:
Ejemplo:
(- 12) * (- 4) = +48
Profesor Ociel López Jara

28. Matemática Básica
La división de números enteros
Al dividir dos números enteros, su resultado no
siempre es otro número entero:
Z
3
5
35
Z 248
Profesor Ociel López Jara

29. Matemática Básica
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, Q, es el que
contiene todos los números que se pueden escribir de
la forma m/n, donde n≠0 y m, n  Z.
Ejemplo: el número 2,5 se puede escribir de la
siguiente forma:
Luego 2,5 es un número racional.
2
5
5,2 
Profesor Ociel López Jara

30. Matemática Básica
Sea a y b dos números enteros, entonces:
Profesor Ociel López Jara

31. Matemática Básica
Los números racionales también se pueden representar
en una recta numérica:
Por supuesto, los números enteros están incluidos en
Q. Así, el número entero 3 puede tomar la forma
racional 3/1 o bien 6/2 o 9/3 etc.
Profesor Ociel López Jara

32. Matemática Básica
Ejemplo de números racionales
• 7/5 es racional pues 7 es entero y 5 es entero.
• -4/3 es racional pues –4 es entero y 3 es entero.
• 4 es racional pues 4/1 = 4 y 4 y 1 son enteros.
• 0,3 es la expresión decimal de un número racional
porque 0,3 =3/10 con 3 y 10 enteros.
• es la expresión decimal de un número racional
porque = 5/9 y 5 y 9 son enteros.
• es la expresión decimal de un número racional
porque = (15-1)/90 = 14/90 donde 14 y 90 son
enteros.
5,0
5,0
51,0
51,0
Profesor Ociel López Jara

33. Matemática Básica
Todo número racional puede escribirse como una
expresión decimal cuya parte decimal puede ser
periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras.
Así, por ejemplo:
Profesor Ociel López Jara

34. Matemática Básica
Cuando el numerador y el denominador de una fracción
se multiplican por un mismo número se obtiene otra
fracción equivalente, esto se llama amplificar la
fracción, por ejemplo:
La fracción 2/3 amplificada por 3 es igual
9
6
3
3
*
3
2

Profesor Ociel López Jara

35. Matemática Básica
Cuando el numerador y el denominador de una fracción
se dividen por un mismo número se obtiene otra
fracción equivalente, esto se llama simplificar la
fracción, por ejemplo:
La fracción 9/24 simplificada por 3, resulta
8
3
3
3
24
9



Profesor Ociel López Jara

36. Matemática Básica
Dos fracciones son equivalentes (son iguales) si
y sólo si,
Definimos el inverso de un número a (≠ 0) como el
número racional que multiplicado por a nos dé 1, es
decir:
n
m
y
q
p
mqnp ** 
1
1

a
a
Profesor Ociel López Jara

37. Matemática Básica
Operaciones en los racionales
La suma y resta:
Si los denominadores son iguales, entonces se conserva y se
suman o restan los numeradores.
La multiplicación:
La división:
db
cbda
d
c
b
a
*
** 

db
ca
d
c
b
a
*
*
* 
1
**








d
c
b
a
c
d
b
a
d
c
b
a
Profesor Ociel López Jara

38. Matemática Básica
Conjunto de los números irracionales
El conjunto de los números Irracionales I está formado por
todos los números que no se pueden expresar en la forma
p/q, con p y q enteros.
Por ejemplo:
No existe un p y un q que permita escribir la raíz de 2 como p/q
...41421356,12 
Profesor Ociel López Jara

39. Matemática Básica
Conjunto de los números reales
El conjunto formado por los racionales y los irracionales
se llama conjunto de números reales, y se designa por
R.
Profesor Ociel López Jara

40. Matemática Básica
Potenciación, Radicación y Logaritmo en los
REALES.
Frente a esta igualdad se pueden dar tres situaciones
que dan origen a tres operaciones diferentes. A saber:
Potenciación, radicación y logaritmo.
Ca
n

Profesor Ociel López Jara

41. Matemática Básica
Potenciación
Cuando a y n son conocidas, se define la operación de
“potenciación” donde se debe encontrar el valor de c.
Si a es un número real y n es un número natural, entonces
decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es
decir:
Ca
n

Profesor Ociel López Jara

42. Matemática Básica
Propiedades de potencia
Sean a, b números reales, m, n números enteros,
Profesor Ociel López Jara

43. Matemática Básica
Radicación.
La radicación es una operación inversa de la potenciación.
Se llama raíz enésima de un número a, al número b tal que la
potencia enésima de b es igual a a. En símbolos:
Ejemplo:
ab
n

4224 22

Profesor Ociel López Jara

44. Matemática Básica
Propiedades de la radicación
Sean a, b números reales positivos y n, m naturales:
Profesor Ociel López Jara

45. Matemática Básica
Logaritmo.
ab
c
Cuando en la expresión
se necesita conocer c, que es el exponente al cual
se debe elevar b para obtener a, entonces se
define una operación llamada logaritmo.
Profesor Ociel López Jara

46. Matemática Básica
Ejemplo: ¿Cuál es el exponente qué debemos elevar 2
para que resulte 8?
8238log2
 x
x
Profesor Ociel López Jara

47. Matemática Básica
En la práctica hay dos bases de interés especial: 10 y e
= 2,7182... El logaritmo en base 10 de un número a,
llamado logaritmo vulgar, se denota log a, es decir
log10a = log a, mientras que el logaritmo en base e de
a, llamado logaritmo natural o neperiano, se denota ln
a, es decir log e a = ln a.
Profesor Ociel López Jara

48. Matemática Básica
Propiedades de los logaritmo
Cambio de base
Profesor Ociel López Jara