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 República bolivariana de Venezuela
 Ministerio del poder popular para la educación universitaria
 Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
 Barquisimeto Edo Lara
Operaciones matemáticas
 Integrante: Darkelys C.
 C.I:30.417.473.
 Sección:0123.
Conjunto
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por
una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando
uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).
Operacionesconconjunto
 Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar
conjuntos dentro de otros:
 unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto
formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos
que se propongan para unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante
será A U B);
 intersección: su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar
los elementos que tienen en común los conjuntos dados;
 diferencia: partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el
conjunto A , formado por los elementos que solo se encuentren en A;
 complemento: si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el
complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no
pertenecen a A;
 diferencia simétrica: su símbolo es un triángulo y representa el
conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos
dados;
 producto cartesiano: el conjunto A x B es el producto cartesiano de A y
B, y se consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno
de B (a, b).
Ejemplodeoperacionesconconjunto:
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 También se puede graficar del siguiente modo:
 Ejemplo 2.
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
 Ejemplo 3.
 Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando diagramas
de Venn se tendría lo siguiente:
Númerosreales
 Qué son los números reales
 Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier
número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye
a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el
dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y
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 Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2,
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 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay
espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite
superior tiene un límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo
ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito
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 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una
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Clasificacióndelosnúmerosreales
reales
Laclasificación delo
 La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
 Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los
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 Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es
decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
 Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con
denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números
naturales y enteros.
 Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números
enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden
expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este
tipo de números.
Operacionesdelosnúmerosreales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo
ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real.
Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso
de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que
indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
 Elemento neutro y elemento opuesto
 En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0
va a dar como resultado el mismo número.
 a + 0 = a
 Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos
(e - e = 0).
 En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier
número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
 a x 1 = a
 0.453 x 1 = 0.453
 En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la
unidad:
 a x 1/a = 1
 3.4 x 1/3.4 = 1
Ejemplodenúmerosreales
 Propiedad Distributiva
 El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
 a x (b + c) = a x b + a x c
 Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
 a x b + a x c = a x (b + c)
 La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales
por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros
números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son
infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
 Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más
de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para
organizar, contar y realizar cálculos.
 Los números reales son el conjunto numérico más grande, y contienen a todos los
números con los que se pueden realizar operaciones.
 Se representa con R: { …, –1.01, –1, 0, 1, 1.01, … } e incluye los siguientes conjuntos:
 Números naturales (N): los que sirven para contar N: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }.
 Números enteros(Z): el cero y unidades completas positivas y negativas. Z: { –3, –2, –1,
0, 1, 2, 3 }.
 Números racionales: son los números que se pueden expresar como fracción a / b, en la
que a y b son números enteros y b es diferente de 0. Se puede expresar como número
decimal exacto o periódico.
 Números irracionales: son los que no se pueden expresar como fracción. Son números
decimales con demasiadas cifras, como el número π = 3.141592… o e = 2.71828…
Desiguales
 Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
 Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
 Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
 Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >

Propiedadesdeladesigualdad
matemática
 Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
 En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
 Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
 La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
 3x + 3 < 9
 La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
 Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia
de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
 Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una
inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente.
Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo
 3 < 5
 Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que
no tiene incógnitas.
valor
 Valor numérico de una expresión algebraica o fórmula matemática es el número que se obtiene al quitar
las letras o sustituir por números y realizar las operaciones indicadas.
 Valor numérico es el valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones.
valor absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un
número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5
negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en
este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo
tanto, la notación correcta es |5|.
Desigualesconvalorabsoluto
 Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
 Desigualdades de valor absoluto (<):
 La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
 Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
 Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
 La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
 En otras palabras, para cualesquiera numeros reales a y b , si | un | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
 Ejemplo 1 :
 Resuelva y grafique.
 | x -7| < 3
 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .
 x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
 –3 < x – 7 < 3
 Sume 7 en cada expresión.
 -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
 4 < x <10
 La gráfica se vería así:
 Desigualdades de valor absoluto (>):
 La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
 Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
 Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
 En otras palabras, para cualesquiera numeros reales a y b , si | un | > b ,
entonces a > b O a < - b .

Ejemplo 2 :
 Resuelva y grafique.
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Operaciones matemáticas

  • 1.  República bolivariana de Venezuela  Ministerio del poder popular para la educación universitaria  Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco  Barquisimeto Edo Lara Operaciones matemáticas  Integrante: Darkelys C.  C.I:30.417.473.  Sección:0123.
  • 2. Conjunto En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).
  • 3. Operacionesconconjunto  Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar conjuntos dentro de otros:  unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B);  intersección: su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados;  diferencia: partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A , formado por los elementos que solo se encuentren en A;  complemento: si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a A;  diferencia simétrica: su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados;  producto cartesiano: el conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b).
  • 4. Ejemplodeoperacionesconconjunto:  Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:  También se puede graficar del siguiente modo:
  • 5.  Ejemplo 2.  Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:  Ejemplo 3.  Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
  • 6. Númerosreales  Qué son los números reales  Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.  Las principales características de los números reales son:  Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …  Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.  Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.  Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.
  • 7. Clasificacióndelosnúmerosreales reales Laclasificación delo  La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.  Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.  Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.  Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.  Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.
  • 8. Operacionesdelosnúmerosreales Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades: Propiedad Interna Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real. Propiedad Asociativa El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c Propiedad Conmutativa Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado. a + b = b + a a x b = b x a
  • 9.  Elemento neutro y elemento opuesto  En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.  a + 0 = a  Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).  En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.  a x 1 = a  0.453 x 1 = 0.453  En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:  a x 1/a = 1  3.4 x 1/3.4 = 1
  • 10. Ejemplodenúmerosreales  Propiedad Distributiva  El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.  a x (b + c) = a x b + a x c  Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.  a x b + a x c = a x (b + c)  La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.  Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.
  • 11.  Los números reales son el conjunto numérico más grande, y contienen a todos los números con los que se pueden realizar operaciones.  Se representa con R: { …, –1.01, –1, 0, 1, 1.01, … } e incluye los siguientes conjuntos:  Números naturales (N): los que sirven para contar N: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }.  Números enteros(Z): el cero y unidades completas positivas y negativas. Z: { –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 }.  Números racionales: son los números que se pueden expresar como fracción a / b, en la que a y b son números enteros y b es diferente de 0. Se puede expresar como número decimal exacto o periódico.  Números irracionales: son los que no se pueden expresar como fracción. Son números decimales con demasiadas cifras, como el número π = 3.141592… o e = 2.71828…
  • 12. Desiguales  Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.  Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:  mayor que >  Menor que <  Menor o igual que ≤  Mayor o igual que ≥  Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.  Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:  Menor que <  Mayor que > 
  • 13. Propiedadesdeladesigualdad matemática  Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.  En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:  Menor o igual que ≤  Mayor o igual que ≥  Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.  La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:  3x + 3 < 9  La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.
  • 14.  Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.  Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.  Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.  Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.  Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades:  Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.  Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.  Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo  3 < 5  Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas.
  • 15. valor  Valor numérico de una expresión algebraica o fórmula matemática es el número que se obtiene al quitar las letras o sustituir por números y realizar las operaciones indicadas.  Valor numérico es el valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones. valor absoluto La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
  • 16. Desigualesconvalorabsoluto  Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.  Desigualdades de valor absoluto (<):  La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.  Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .  Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.  Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.  Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.  La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.  En otras palabras, para cualesquiera numeros reales a y b , si | un | < b , entonces a < b Y a > - b .
  • 17.  Ejemplo 1 :  Resuelva y grafique.  | x -7| < 3  Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .  x – 7 < 3 Y x – 7 > –3  –3 < x – 7 < 3  Sume 7 en cada expresión.  -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7  4 < x <10  La gráfica se vería así:
  • 18.  Desigualdades de valor absoluto (>):  La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.  Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .  Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.  Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.  Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.  En otras palabras, para cualesquiera numeros reales a y b , si | un | > b , entonces a > b O a < - b .  Ejemplo 2 :  Resuelva y grafique.