Tuần 1_matrận_Phép toán_Bđsc.pptx

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Môn học Đại số tuyến tính
Chương 2: Ma trận, định thức và hệ
phương trình tuyến tính
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh

1/ Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Giáo trình Đại số tuyến tính. NXB Đại học Quốc gia
TP Hồ Chí Minh, 2020.
2/ Đề cương: Chương 1. Số phức
Chương 2. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính
Chương 3. Không gian véctơ
Chương 4. Không gian Euclide
Chương 5. Ánh xạ tuyến tính
Chương 6. Trị riêng, véctơ riêng
Chương 7. Dạng Toàn Phương.
2/ Hình thức đánh giá:
Thi giữa kỳ 25%
Bài tập lớn 20%
Bài tập 5%
Thi cuối kỳ 50%

I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
-----------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận
Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có m
hàng và n cột .
Ví dụ.
3
2
5
0
2
1
4
3








A

Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không,
ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).
Định nghĩa ma trận không
0 0 0
0
0 0 0
 
  
 

2
3
9
3
0
1
4
2













T
A
3
2
9
0
4
3
1
2






 

A
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ
----------------------------------------------------------
Chuyển vị của là ma trận cở nXm
thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.
 
T
ji n m
A a


Định nghĩa ma trận chuyển vị
  n
m
ij
a
A


Ví dụ

----------------------------------------------------------
Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A
được gọi là ma trận vuông cấp n.
Định nghĩa ma trận vuông
2
2
2
3
1
2






 

A

----------------------------------------------------------
2 3 1 1
3 4 0 5
2 1 3 7
2 1 6 8

 
 
 

 
 

 
Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận
vuông A.

---------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm
ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j).
Định nghĩa ma trận chéo












2
0
0
0
3
0
0
0
2
D
Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là
ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).
Định nghĩa ma trận đơn vị











1
0
0
0
1
0
0
0
1
I

----------------------------------------------------------
Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu
Định nghĩa ma trận tam giác trên













2
0
0
6
3
0
3
1
2
A
 
ij n n
A a


ij 0,
a i j
  
Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới
nếu
Định nghĩa ma trận tam giác dưới
2 0 0
4 1 0
5 7 2
A
 
 

 
 

 
 
ij n n
A a


ij 0,
  
a i j

II. Các phép toán đối với ma trận
--------------------------------------------------------------------------------
Tổng A + B:
Cùng cở
Các phần tử tương ứng cộng lại
2/ Phép cộng hai ma trận





 








7
4
1
6
2
3
;
5
0
3
4
2
1
B
A 







12
4
4
10
0
2
B
A
Ví dụ
Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những
vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j).
1/ Sự bằng nhau:    
;
ij ij
m n m n
A a B b
 
 
   
;
ij ij
m n m n
A a B b
 
 

---------------------------------------------------------------------------------------
3/ Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần
tử của ma trận.







5
0
3
4
2
1
A 







10
0
6
8
4
2
2 A
Ví dụ

-----------------------------------------------------------------------------------
Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3
của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau)
4/ Phép nhân hai ma trận với nhau
( ) ; ( )
p
ij m i p
j n
A a B b
 
 
n
m
ij
c
C
AB 

 )
( với pj
ip
j
i
j
i
ij b
a
b
a
b
a
c 


 ...
2
2
1
1

-------------------------------------------









 






 

3
4
2
1
0
3
2
2
1
;
0
1
4
4
1
2
B
A
Ví dụ
Tính AB

-------------------------------------------------------------------------------------
1
1 1 0
( ) ... ; ( )
n n
n n ij m m
f x x x x A a
   

 
     
5/ Nâng ma trận lên lũy thừa: Cho A là ma trận vuông
n
n
A A A A A
  
0
A I

1
1 1 0
( ) ... .
n n
n n
f I
A A A A
   


    
2
A A A
 
3
A A A A
  

-----------------------------------------------------------------------------------
2
2 1
; ( ) 2 4 3
3 4
A f x x x

 
   
 
 
Ví dụ
Tính f(A).

Tính chất của các phép toán
1/ 2/
A B B A
      
A B C A B C
    
3/ 4/
0
A A
   T T T
A B A B
  
5/ 6/
   
A B C A B C
      T T T
AB B A

7/ 8/
 
A B C A B A C
       
A B C AC BC
  
9/ 10/
A I I A A
    A B B A
  
11/    
A B A B AB
  
   
12/ không suy ra được A = 0 hoặc B = 0.
0
A B
 

Định nghĩa: Ma trận thỏa hai điều kiện sau được gọi là ma trận
dạng bậc thang
1. Những hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng
2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng
cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái
được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.
III. Các phép biến đổi sơ cấp.
----------------------------------------------------------------------------------------------

5
4
0
0
0
0
0
5
2
1
4
0
6
2
7
0
0
2
3
0
1
2
















A
Ví dụ
Không là ma trận
bậc thang
----------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
5
4
0
0
0
0
0
5
2
0
0
0
4
1
7
0
0
2
2
0
3
1
















A
ma trận dạng bậc thang
----------------------------------------------------------------------------------------------

Giải hệ phương trình:
2 1
3 5 4
7 12 9
x y z
x y z
x y z
  


  

   

Ví dụ

II. Các phép biến đổi sơ cấp.
-------------------------------------------------------------------------------
Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
Biến đổi loại 3. Đổi chỗ hai hàng tùy ý 
i j
h h
Biến đổi loại 1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không ; 0
 
 
i i
h h
;
 
  
i i j
h h h
Biến đổi loại 2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số
tùy ý
Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
Chú ý: Không dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với cột để giải hệ
phương trình.

Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các
phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
Định lý 1

IV. Hạng của ma trận
---------------------------------------------------------------
Định nghĩa hạng của ma trận
Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang
E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác
không của ma trận bậc thang
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau
đây về ma trận dạng bậc thang.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1

 
 

 

 
 
 
 
Ví dụ
Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn
phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1

 
 

 

 
 
 
 

1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 1 0 1 1
0 2 1 1 2

 
 
 

 
 

 
4 4 1
 

h h h
2 2 1
2
 


h h h
3 3 1
3
 


h h h
4 4 3
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
 

 
 
 

 
 
 
h h h
Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của
cột.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
A

 
 

 


 
 
 
 
Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những hàng
trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại
3 3 2
4 4 2
2
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 1 1 4
 
 

 
 
 


 
 
  
 
h h h
h h h

Giải.
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
 
 

 
 
 
A
1 2 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
2 3
1 2 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0

 
 

 
 
 
h h
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
A
 
 

 
 
 
( ) 2
r A
 
2 2 1
3 3 1
2
3
 
 


h h h
h h h

Tuần 1_matrận_Phép toán_Bđsc.pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Tuần 1_matrận_Phép toán_Bđsc.pptx

Similar to Tuần 1_matrận_Phép toán_Bđsc.pptx (20)

Tuần 1_matrận_Phép toán_Bđsc.pptx