Cálculo de Predicados<br />Ing. César Grijalva<br />PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA<br />
Se trata de la interpretación de sentencias lógicas y de la corrección de argumentos lógicos. La interpretación está ligad...
Una interpretación de una frase debe contener información suficiente para determinar si la frase es verdadera o falsa.<br ...
2) Segundo es saber ¿Quién ha pagado y quién no?<br />Es decir se necesita alguna forma de asignación de predicado para “h...
Formalmente una interpretación lógica de una expresión lógica contiene los siguientes componentes:<br />Tiene que haber un...
Ej.∀xP(x): donde P es el predicado «ha pagado»<br />Supongamos 3 clientes María, Juan, Luis; M, J, L, se necesita una asig...
∴El valor de verdad de ∀xP(x), la frase es falsa<br />∀xP(x) solo es verdadera si P(M), P(J) y P(L) son todas verdaderas, ...
Para la interpretación, seleccionamos un dominio infinito que consta de n individuos a1, a2, a3,..an<br />∀xP(x) solo es v...
Por lo tanto se puede decir que las interpretaciones en universos finitos transforma las expresiones de Cálculo de predica...
En la interpretación anterior<br />		M	J	L<br />	P(x)	V	V	F<br />P(M)  es verdadero y esto basta para que ∃xP(x) sea verda...
La ley 1 y ley 2 permite demostrar que:<br />   ~∃xA≡ ∀x~Aes válido para todos los dominios finitos correspondientes a Mor...
Para interpretar una frase con 2 argumentos.<br />Ejemplo:<br />Hay alguien que admira a todo el mundo.<br />- El universo...
La siguiente tabla da una asignación:<br />     Las filas argumento 1 y columnas argumento 2<br />          	JUAN	   MARÍA...
De la tabla anterior se concluye:<br /><ul><li>Juan admira a María y a Juana
María solo admira a Juan
Juana admira a María y a sí misma</li></ul>Para averiguar «Hay alguien que admira a todo el mundo»<br />∃xx  admira a todo...
Y como resultado de toda la frase  «Hay alguien que admira a todo el mundo» se puede expresar:<br />∃x∀y Q(x, y )<br />Par...
Por lo tanto se puede concluir que:<br />∀y Q(x, y ) es falsa para todo x, no existe un x para el cual ∀y Q(x, y ) sea ver...
ANÁLISIS<br />∃x∀y Q(x, y) , si se intercambiaran los cuantificadores universal y existencial el valor de verdad puede cam...
Si R es cualquier proposición, es decir es o bien Verdadero o bien Falso, sea cual fuere el individuo. <br />Entonces ∀xR ...
Los argumentos lógicos tienen que ser válidos en todas las circunstancias.<br />Si un argumento ha de ser correcto, tendrá...
DEFINICIÓN 2.6: Una expresión es válida si es verdadera en todas las interpretaciones. Para expresar que una expresión A e...
DEFINICIÓN 2.7: Si B es una expresión, entonces diremos que toda interpretación que haga que B produzca V satisface a B. <...
Por tanto, una expresión A no es válida  si ~A es viable. De modo equivalente, si ~A tiene un modelo, entonces A no puede ...
Consiguientemente si A es válida entonces ~A es contradictoria.<br />La noción de validez nos permite definir la implicaci...
PROBLEMAS<br />1. Un universo contiene los tres individuos a , b, c. Para estos individuos, se define un predicado Q(x, y)...
a) ∃x~Q(a, y) ,  <br />b) ∀yQ(b, y),  y <br />c) ∀yQ(y, y)∧∃x ∀yQ(x, y)<br />PROBLEMAS<br />
2. Es válida P(x) => (P(x) v Q(x)) ? Razonesurespuesta.<br />3. Generar un modelopara:<br />(P(x) => Q(y)) ∧ ~Q(y) ∧  P(y)...
La ley siguiente se va a emplearcomoilustración. Sin embargo, esta ley en sí es muy importante.<br />∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒ ∀x...
1	∀x(V ⇒ Q(x)) ≡ V⇒ ∀xQ(x)<br />2	∀x(F ⇒ Q(x)) ≡ F⇒ ∀xQ(x)<br />Estas dos equivalencias son válidas, dado que V ⇒ Q(x)  es...
Además de 2 es válido porque ambos lados son siempre vedaderos: F ⇒ Q(x) es trivialmente verdadero, también lo es F ⇒ ∀xQ(...
Dado que la validez es muy importante, serían muy convenientes unos métodos que permitieran mostrar si una expresión es o ...
Para determinar que A no es válida, es entonces suficiente dar un único contraejemplo; esto es basta con dar una única int...
1)∃xP(x) ⇒ ∀xP(x)<br />Si P(x) esciertoparaalgún x, esto no justifica, que P(x) sea cierto para todo x. Por ejemplo, si un...
A continuación se describirá la forma de hacer derivaciones en cálculo de predicados.  En particular, se dan las reglas ne...
PARTICULARIZACIÓN  UNIVERSAL<br />A partir de ∀xP(x) debería ser posible derivar P(t) para cualquier termino t.<br />Ejemp...
Más formalmente si, x representa una variable, t representa un término y A representa una expresión, entonces la expresión...
La implicación lógica ∀xA⇒𝑆𝑡𝑥𝐴 puede convertirse en una regla de inferencia en la forma siguiente:<br />∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴<br />Esta ...
Por ejemplo, la particularización universal nos permite concluir que<br />∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴<br />∀x(rio(x) ⇒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑎𝑔𝑢𝑎(𝑥))𝑟𝑖𝑜𝐴𝑚𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠...
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C lculo de_predicados

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C lculo de_predicados

  1. 1. Cálculo de Predicados<br />Ing. César Grijalva<br />PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA<br />
  2. 2. Se trata de la interpretación de sentencias lógicas y de la corrección de argumentos lógicos. La interpretación está ligada con la validez.<br />A es válida si A es verdadera para todas las interpretaciones.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  3. 3. Una interpretación de una frase debe contener información suficiente para determinar si la frase es verdadera o falsa.<br />Por Ejemplo:<br />Han pagado todos los clientes.<br />1) Primero debo preguntarme ¿Qué necesito saber para determinar si esta frase es verdadera?<br />Saber quienes son los clientes, es decir el universo de discurso.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  4. 4. 2) Segundo es saber ¿Quién ha pagado y quién no?<br />Es decir se necesita alguna forma de asignación de predicado para “ha pagado”.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  5. 5. Formalmente una interpretación lógica de una expresión lógica contiene los siguientes componentes:<br />Tiene que haber un Universo de Discurso.<br />Para cada individuo debe haber una constante individual que se refiera solo a él.<br />A cada variable libre asignar una constante individual.<br />Tiene que haber una asignación para cada predicado que se utilice en la expresión, incluyendo los predicados de aridad cero que representan proposiciones.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  6. 6. Ej.∀xP(x): donde P es el predicado «ha pagado»<br />Supongamos 3 clientes María, Juan, Luis; M, J, L, se necesita una asignación si tanto María como Juan han pagado, pero Luis no, entonces la asignación se da de la forma siguiente:<br /> M J L<br />P(x) V V F<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  7. 7. ∴El valor de verdad de ∀xP(x), la frase es falsa<br />∀xP(x) solo es verdadera si P(M), P(J) y P(L) son todas verdaderas, lo cual no es cierto ya que Luis no ha pagado P(L) es falso.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  8. 8. Para la interpretación, seleccionamos un dominio infinito que consta de n individuos a1, a2, a3,..an<br />∀xP(x) solo es verdadero si P(a1), P(a2), P(a3),..P(an)<br /> son todos verdaderos.<br />LEY 1<br />∀xP(x) ≡ P(a1) ∧P(a2) ∧P(a3) ∧..P(an).<br /> P(a1) ∧ P(a2) ∧ P(a3) ∧..P(an), solo tiene 2 posibles valores Verdadero o Falso, esto hace que sean proposiciones.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  9. 9. Por lo tanto se puede decir que las interpretaciones en universos finitos transforma las expresiones de Cálculo de predicados en proposiciones.<br />Por otro lado para decidir si ∃xP(x) es verdadero.<br />∃xP(x), es verdadero si existe al menos un x para el cual es válido P(x)<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  10. 10. En la interpretación anterior<br /> M J L<br /> P(x) V V F<br />P(M) es verdadero y esto basta para que ∃xP(x) sea verdadero.<br />LEY 2<br />∃xP(x) ≡ P(a1) ∨P(a2) ∨P(a3) ∨...P(an).<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  11. 11. La ley 1 y ley 2 permite demostrar que:<br /> ~∃xA≡ ∀x~Aes válido para todos los dominios finitos correspondientes a Morgan. <br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  12. 12. Para interpretar una frase con 2 argumentos.<br />Ejemplo:<br />Hay alguien que admira a todo el mundo.<br />- El universo de discurso consta de 3 personas, Juan María y Juana.<br />- El predicado en cuestión es Q(x , y): x admira a y.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  13. 13. La siguiente tabla da una asignación:<br /> Las filas argumento 1 y columnas argumento 2<br /> JUAN MARÍA JUANA∀yQ(x, y)∃yQ(x, y)<br />JUAN F V V F V<br />MARIA V F F F V <br />JUANA F V VF V<br />∀xQ(x, y)F FF<br />∃xQ(x, y)V VV<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  14. 14. De la tabla anterior se concluye:<br /><ul><li>Juan admira a María y a Juana
  15. 15. María solo admira a Juan
  16. 16. Juana admira a María y a sí misma</li></ul>Para averiguar «Hay alguien que admira a todo el mundo»<br />∃xx admira a todo el mundo<br />La frase «x admira a todo el mundo» se puede traducir a la siguiente forma: ∀y Q(x, y )<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  17. 17. Y como resultado de toda la frase «Hay alguien que admira a todo el mundo» se puede expresar:<br />∃x∀y Q(x, y )<br />Para averiguar si esta frase es cierta buscaremos el valor de verdad para:<br />∀y Q(x, y ), en la interpretación dada en la tabla ésta subexpresión es FALSA. VER TABLA ANTERIOR.<br />Es falsa para Juan porque Juan no se admira así mismo.<br />Es falsa para María porque María no se admira así misma.<br />Es falsa para Juana porque Juana no admira a Juan.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  18. 18. Por lo tanto se puede concluir que:<br />∀y Q(x, y ) es falsa para todo x, no existe un x para el cual ∀y Q(x, y ) sea verdadero y consiguientemente: <br />∃x∀y Q(x, y ) es falso a efectos de la interpretación dada. Fin del ejemplo.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  19. 19. ANÁLISIS<br />∃x∀y Q(x, y) , si se intercambiaran los cuantificadores universal y existencial el valor de verdad puede cambiar,<br />Es decir no sería equivalente si pongo ∃x∀y Q(x, y) ≠∀y ∃xQ(x, y)<br />, por lo que solo se permite intercambiar entre los cuantificadores universal y existencial.<br />∀x ∀y Q(x, y ) ≡ ∀y ∀x Q(x, y ) <br />∃x ∃y Q(x, y ) ≡ ∃y ∃x Q(x, y )<br />De 1 es verdadero de ambos lados si y solo si <br />Q(x, y) = V para todos los posibles x e y.<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  20. 20. Si R es cualquier proposición, es decir es o bien Verdadero o bien Falso, sea cual fuere el individuo. <br />Entonces ∀xR y∃xRson ambas verdaderas si R es verdadero o bien ambas falsas si R es falsa, concluimos entonces que:<br />∀xR≡∃xR≡ R<br />INTERPRETACIONES Y VALIDEZ<br />
  21. 21. Los argumentos lógicos tienen que ser válidos en todas las circunstancias.<br />Si un argumento ha de ser correcto, tendrá que ser verdadero, para todas las interpretaciones.<br />Validez<br />
  22. 22. DEFINICIÓN 2.6: Una expresión es válida si es verdadera en todas las interpretaciones. Para expresar que una expresión A es válida, escribiremos |= A<br />Todaslastautologías son expresionesválidas.<br />Pordefiniciónunaexpresión A no esválidasiexisteuna sola interpretaciónquehaga A falso y ~A verdadero. <br />Validez<br />
  23. 23. DEFINICIÓN 2.7: Si B es una expresión, entonces diremos que toda interpretación que haga que B produzca V satisface a B. <br />Toda interpretación que satisface a B se denomina un modelo de B. Si B tiene un modelo, entonces se dice que B es viable.<br />Validez<br />
  24. 24. Por tanto, una expresión A no es válida si ~A es viable. De modo equivalente, si ~A tiene un modelo, entonces A no puede ser válida.<br />DEFINICIÓN 2.8: Una expresión B que no tenga ningún modelo se denomina contradictoria.<br />Validez<br />
  25. 25. Consiguientemente si A es válida entonces ~A es contradictoria.<br />La noción de validez nos permite definir la implicación lógica y la equivalencia lógica en la forma siguiente:<br />DEFINICIÓN 2.9 . Sean A y B dos expresiones. Decimos que A es lógicamente equivalente a B si A ⇔ B es válida. En este caso, escribiremos A≡B. Además, decimos que A implica lógicamente a B, o que A⇒B, si A⇒B es válida.<br />Validez<br />
  26. 26. PROBLEMAS<br />1. Un universo contiene los tres individuos a , b, c. Para estos individuos, se define un predicado Q(x, y) y susvalores de verdadestán dados por la siguiente tabla:<br />a b c<br />a V F V<br />b F V V<br />c F V V<br />Dado el universo descrito determinar los valores de verdad para:<br />PROBLEMAS<br />
  27. 27. a) ∃x~Q(a, y) , <br />b) ∀yQ(b, y), y <br />c) ∀yQ(y, y)∧∃x ∀yQ(x, y)<br />PROBLEMAS<br />
  28. 28. 2. Es válida P(x) => (P(x) v Q(x)) ? Razonesurespuesta.<br />3. Generar un modelopara:<br />(P(x) => Q(y)) ∧ ~Q(y) ∧ P(y))<br />PROBLEMAS<br />
  29. 29. La ley siguiente se va a emplearcomoilustración. Sin embargo, esta ley en sí es muy importante.<br />∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒ ∀xQ(x)<br />P esunaproposición y Q es un predicado. Para demostrar, se utiliza la ley de los casos. Dado que P es o bien verdadera o bien falsa, se puede demostrar la validez de las dos equivalencias siguientes:<br />Validez<br />
  30. 30. 1 ∀x(V ⇒ Q(x)) ≡ V⇒ ∀xQ(x)<br />2 ∀x(F ⇒ Q(x)) ≡ F⇒ ∀xQ(x)<br />Estas dos equivalencias son válidas, dado que V ⇒ Q(x) es Q(x), el ladoizquierdo de 1 se reduce a ∀x Q(x). Por una razón similar , el lado derecho de 1 se reduce a ∀xQ(x) y ∀xQ(x)⇔∀xQ(x) esevidentementeválido. <br />Validez<br />
  31. 31. Además de 2 es válido porque ambos lados son siempre vedaderos: F ⇒ Q(x) es trivialmente verdadero, también lo es F ⇒ ∀xQ(x). <br />En conclusión∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒ ∀xQ(x)<br />Esválidaindependientemente de que P sea verdadera o falsa.<br />Validez<br />
  32. 32. Dado que la validez es muy importante, serían muy convenientes unos métodos que permitieran mostrar si una expresión es o no válida. Desafortunadamente, no hay métodos que funcionen en todos los casos. De hecho, el problema es del tipo que se denomina indecidible. Los problemas indecidibles no tienen una solución general, en el sentido de que no existe un método que pueda proporcionar de modo fiable una respuesta para el problema. Si un problema es indecidible, entonces tiene uno que buscar casos especiales, o bien hay que contentarse con métodos que a veces no llegan a dar respuesta; típicamente, esto sucede porque caen en algún tipo de bucle. <br />Validez<br />
  33. 33. Para determinar que A no es válida, es entonces suficiente dar un único contraejemplo; esto es basta con dar una única interpretación para la cual A produzca el valor F. <br />Para probar que una condicional no es válida, es suficiente encontrarun modelo que haga que el antecedentesea verdadero, y el consecuentefalso.<br />Para mostrar la forma de encontrar uno de esos modelos, consideremos la siguiente expresión, que evidentemente no es válida:<br />Expresiones no validas<br />
  34. 34. 1)∃xP(x) ⇒ ∀xP(x)<br />Si P(x) esciertoparaalgún x, esto no justifica, que P(x) sea cierto para todo x. Por ejemplo, si un programa funciona para ciertos datos de entrada, esto no nos permite concluir, que el programa funciona para todos los posibles datos de entrada.<br />Expresiones no validas<br />
  35. 35. A continuación se describirá la forma de hacer derivaciones en cálculo de predicados. En particular, se dan las reglas necesarias para insertar y eliminar cuantificadores universales y particulares. <br />También se presentará un concepto nuevo, “la unificación”. La unificación goza de amplia difusión en los lenguajes de programación lógicos y funcionales.<br />DERIVACIONES<br />
  36. 36. PARTICULARIZACIÓN UNIVERSAL<br />A partir de ∀xP(x) debería ser posible derivar P(t) para cualquier termino t.<br />Ejemplo:<br />Si P(x) significa “x está domido”, entonces∀xP(x) significa todo el mundo está dormido. De aquí se puede derivar que por ej. Juan está dormido.<br />DERIVACIONES<br />
  37. 37. Más formalmente si, x representa una variable, t representa un término y A representa una expresión, entonces la expresión siguiente debería ser válida.<br />∀xA⇒𝑆𝑡𝑥𝐴<br />La validez de esta expresión deriva de la definición de ∀x: si A es cierto para todo x, entonces debe ser cierto para x=t. <br /> <br />DERIVACIONES<br />
  38. 38. La implicación lógica ∀xA⇒𝑆𝑡𝑥𝐴 puede convertirse en una regla de inferencia en la forma siguiente:<br />∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴<br />Esta regla se denomina particularización universal y se abrevia en la forma UI.<br /> <br />DERIVACIONES<br />
  39. 39. Por ejemplo, la particularización universal nos permite concluir que<br />∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴<br />∀x(rio(x) ⇒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑎𝑔𝑢𝑎(𝑥))𝑟𝑖𝑜𝐴𝑚𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠⇒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑎𝑔𝑢𝑎(𝐴𝑚𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠)<br /> <br />DERIVACIONES<br />
  40. 40. EJEMPLO<br />Ahoravamos a darunascuantasderivaciones. La primeraderivación es como sigue. Las premisas son:<br />Todos los seres humanos son mortales.<br />Sócrates es un ser humano.<br />A partir de estas premisa demostramos que<br />Sócrates es mortal.<br />Para realizar la derivación, supongamos que H(x) indicaquex eshumano, y M(x) indicaqueél es mortal.<br />DERIVACIONES<br />
  41. 41. S representa a Sócrates. Para la regla UI nos limitamos a exponer la particularización 𝑆𝑡𝑥𝐴. Demostrar:<br />∀x(H(x) ⇒𝑀𝑥), 𝐻𝑠⊢) M(S)<br /> <br />DERIVACIONES<br />

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