Libro de cálculos de volumenes

1. 453
19. CÁLCULO DE VOLÚMENES: TERRAPLENES
Y DESMONTES
Sin embargo, las formas básicas, los espacios y las
apariencias, deben ser lógicas.
(Kenzo Tange)
19.1. Generalidades sobre el cálculo de volúmenes.
Centraremos la atención fundamentalmente del cálculo de
volúmenes en el cálculo de los volúmenes de movimientos de
tierras determinados por los volúmenes de desmonte y terraplén,
ya que estos son los que fundamentalmente abarca la disciplina
de la topografía de obra, aunque nos detendremos para analizar el
cálculo de volúmenes en general.
Arquímedes de Siracusa (c. 287 a.C. – c.212 a.C.), que el fue el
primer científico que buscó aplicaciones prácticas del
conocimiento, personalmente no estaba más orgulloso de haber
descubierto las leyes de la palanca o su famoso principio que de
haber resuelto matemáticamente el cálculo del volumen de una
esfera. Tomando una esfera, un cono recto y un cilindro circular
recto, de tal siendo las bases del cono y del cilindro un círculo
máximo de la esfera y su altura el radio de esta, cortó a las tres
figuras por un plano común, paralelo un plano tangente que
contuviera las bases de cilindro y cono, Figura 19.1, estudiando las
secciones que el plano producía en las tres figuras.

2. Topografía en Obras de Arquitectura
454
R
d d
R
d
Rdr
R
Figura 19.1
En la esfera la sección es un círculo de radio (r), que estará en
función del radio (R) de la esfera y de la distancia (d) entre el
plano de corte y centro de la esfera, cuya relación está
determinada por:
222
rdR +=
En el cono, el círculo que determina la sección con el plano tiene
de radio la distancia (d) al vértice, puesto que por geometría del
mismo ya que su altura es igual que el radio de su base. Y en el
cilindro el radio de cualquier sección de un plano paralelo a su
base será un círculo de radio (R) igual a la base. Calculando la
superfices de la sección de la esfera (Se), del cono (Sk) y del
cilindro (Sc) tenemos:
2
rSe π= 2
dSk π= 2
RSc π=
Y como la sección del cilindro se puede expresar también así:
2222
)( rdrdSc πππ +=+=
Podemos inferir que la sección del cilindro es igual a la suma de
las otras dos secciones:
ekc SSS +=
Extrapolando esta relación a un número infinito de secciones, es
bastante obvio que la relación entre el volumen de la semiesfera

3. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
455
(Vse), el del cilindro (Vc) y el del cono (Vk) tienen la misma
relación, en este caso:
kcse VVV −=
Expresando esta fórmula en función de los volúmenes conocidos
del cilindro y del cono, se puede escribir:
3
2
3
33
3 RR
RVse
ππ
π =−=
y por tanto, finalmente, el volumen (Ve) de la esfera es:
3
4 3
R
Ve
π
=
Arquímedes se convirtió así antes que Newton o Leibnitz en un
precursor del cálculo integral, utilizado para calcular volúmenes,
citando aquí, a modo de ejemplo y de homenaje a Arquímedes el
de la esfera, partiendo de las coordenadas esféricas de los puntos
que estén el primer octante, y multiplicando por 8 el resultado de
su cálculo:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤≤≤≤≤≤=
2
0,
2
0,0|,,
π
ϕ
π
θρϕθρ RS
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
== ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ρϕθθρϕθρθρ
π π
dddsendddsendxdydz
R
S
0
2
0
2
0
22
888
2
0
2
0
2
0
3
4
2
88 Rddd
RR
πρ
πρ
ρϕρ
π
==
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= ∫∫ ∫
Es este un ejemplo de cómo se puede deducir el volumen de un
sólido desconocido, a partir de su relación geométrica con otros
conocidos, y que nos podemos encontrar en algún momento,
aunque, ciertamente, no es muy frecuente la necesidad del

4. Topografía en Obras de Arquitectura
456
cálculo de volúmenes de figuras complicadas en trabajos de
arquitectura. Siempre podremos recurrir a las fórmulas de cálculo
de figuras geométricas, o bien a los métodos que desarrollaremos
a continuación. Las aplicaciones más importantes serán al cálculo
de los volúmenes de movimientos de tierra, aunque veremos
también algunas otras.

5. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
457
19.2. Cálculo de volúmenes de movimientos de
tierras.
Como hemos visto en el tema anterior, tanto la elaboración del
perfil longitudinal como la de los perfiles transversales del
trazado de una obra, están desde el primer momento ejecutadas
teniendo como uno de sus objetivos el cálculo de los volúmenes
de movimiento de tierras, en función del desmonte, o terreno que
hay que excavar o rebajar y del terraplén, o terreno que hay que
aportar como relleno, y que en obras de ingeniería lineales son
determinantes para la propia viabilidad de la obra, y básicos para
el cálculo económico de la misma así como para elaborar la
programación de los trabajos, mediante el denominado diagrama
de masas, que es la curva que busca el equilibrio para la
economía de los movimientos de tierra, siendo asimismo el
método que indica el sentido del movimiento de los volúmenes
excavados, la cantidad y la localización a lo largo de la traza de la
obra de cada uno de ellos.
P-A
D
T
Figura 19.2: Superficies de desmonte y terraplén en un perfil
transversal.
Si nos volvemos a fijar en la figura de un perfil transversal,
veremos que siempre se distingue entre la superficie de ese perfil
que corresponde a desmonte (D) y a terraplen (T), Figura 19.2.,

6. Topografía en Obras de Arquitectura
458
las superficies de las zonas de desmonte y terraplén, serán el
punto de partida para el cálculo del volumen entre perfiles, de
acuerdo con el sistema que se fundamente en el cálculo del
volumen del prismoide.
El prismoide, o prismatoide, es un sólido limitado por dos caras
planas y paralelas de forma cualquiera, llamadas bases, y por la
superficie reglada engendrada por una recta que se apoya en
ambas bases.
h
b
B
Figura 19.3: Prismoide.
El volumen (VP) del prismoide se determina calculando
previamente la superficie (SB) y (Sb) de ambas bases, en función
de la separación entre ellas (h) mediante la siguiente expresión:
)(
2
1
bBP SShV +⋅=
Aplicando este principio, siempre podremos establecer que entre
dos perfiles transversales existe un prismoide cuyas bases son las
superficies de desmonte (D) o terraplén (T) de cada uno de ellos,
y la distancia (d) su separación, tal como se representa en la
Figura 19.4, en la que (A1), (A2),… son las superficies de los
distintos perfiles, y (d) la distancia, en este caso igual entre ellos.

7. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
459
A1
A3
A3
A4
A5
d
d
d
d
Figura 19.4.
En ejemplo de la figura, para calcular el volumen total de la
excavación, calcularemos en primer lugar el volumen de los
prismoides que se forman entre cada par de perfiles, siendo el
volumen (Vi) de cada uno de ellos:
)(
2
1
1++⋅= iii AAdV
Sumando el volumen de todos los prismoides, tendremos el
volumen total (VT) de la excavación:
)2...22(
2
1
1321 nnT AAAAAdV +++++= − [1]

8. Topografía en Obras de Arquitectura
460
19.3. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles,
ambos con desmonte.
Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de desmonte, el
cálculo es la aplicación directa de la fórmula del volumen del
prismoide, siendo las secciones (D1) y (D2) las respectivas
superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (D) entre
ambos perfiles es:
)(
2
1
21 DDdVD +⋅=

9. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
461
19.4. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles,
ambos con terraplén.
Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de terraplén, el
cálculo es similar al anterior, aplicando la fórmula del volumen
del prismoide, siendo en este caso las secciones (T1) y (T2) las
respectivas superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (T)
entre ambos perfiles es:
)(
2
1
21 TTdVT +⋅=

10. Topografía en Obras de Arquitectura
462
19.5. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, con
desmonte y terraplén.
Para establecer la fórmula de cálculo del desmonte (D) y terraplén
(T) entre dos perfiles cuyas secciones sean una de desmonte y
otra de terraplén, Figura 19.5, estableceremos antes el valor de las
superficies de los triángulos que se representan en la misma
figura.
P-3 P-4
D
T
ht
hd
hd
ht
dt
dd
St
Sd
Figura 19.5.
Las superficies de los dos triángulos que se forman son (St) y (Sd),
y que representan esquemáticamente el desmonte y terraplén
entre los perfiles tiene el valor conocido de:
ttt dhS ⋅=
2
1
ddd dhS ⋅=
2
1
Por otro lado, podemos establecer una relación de semejanza
entre los dos triángulos, así como el que es suma de los dos,
teniendo en cuenta que la suma de (dt) y (dd) es la distancia
parcial entre los perfiles (d):
dtd
d
t
t
hh
d
h
d
h
d
+
==

11. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
463
de dónde podemos obtener los valores de (dt) y (dd), que
sustituiremos en las expresiones que determinan el área de los
triángulos:
t
dt
t h
hh
d
d ⋅
+
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=⋅
+
⋅=
dt
t
t
dt
tt
hh
h
dh
hh
d
hS
2
2
1
2
1
d
dt
d h
hh
d
d ⋅
+
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=⋅
+
⋅=
dt
d
d
dt
dd
hh
h
dh
hh
d
hS
2
2
1
2
1
Extrapolando los valores de las superficies de los triángulos, a
valores de los volúmenes homólogos de desmonte (VD) y terraplén
(VT), y considerando que las superficies respectivas de los perfiles
en desmonte y terraplén son (D) y (T), y que (d) es la distancia
parcial entre ambos perfiles, tendremos que el valor de cada uno
de ellos será:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
TD
D
dV D
2
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
TD
T
dVT
2
2
1

12. Topografía en Obras de Arquitectura
464
19.6. Cálculo de volúmenes entre perfiles mixtos.
Para calcular el volumen de desmonte (VD) y terraplén (VT) entre
dos perfiles, conteniendo al menos uno de ellos en su sección,
desmonte y terraplén, Figura 19.6, determinaremos el volumen de
desmonte y terraplén en dos partes, de acuerdo con el siguiente
método.
P-7 P-8
D a a
t 2
t'2
T 1
T 2
Figura 19.6.
En primer lugar calcularemos la distancia (a) desde el eje hasta el
punto de intersección el perfil del terreno con el plano de la
rasante de la sección tipo del perfil, en el perfil que hemos
denominado mixto, es decir que contiene desmonte y terraplén en
su sección, trasladando esta distancia al perfil con un solo tipo de
sección, en este caso de terraplén. A la distancia (a) trazaremos
una recta vertical que dividirá la sección del segundo perfil en dos
partes, cuyo valor (t2) y (t’2) calculamos independientemente,
estas dos parte sumadas suponen las sección total (T2) de
terraplén de este perfil. Siendo las superficies del primer perfil
(D) de desmonte y (T1) de terraplén, el valor de desmonte y
terraplén del perfil vendrá determinado por el cálculo
independiente de las dos partes en que divide (a) a ambos perfiles
que llamaremos, parte derecha y parte izquierda, según la figura.
El valor del volumen de desmonte (VD) nos lo dará el cálculo de
parte derecha del tramo, puesto que en la parte izquierda sólo hay
terraplén, y su valor será:

13. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
465
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
2
1
tD
D
dV D
El valor del volumen de terraplén (VT) será la suma del volumen
de la parte derecha (Vt) y el de la parte izquierda (Vt’), que cómo
sólo es de terraplén, será :
( )21
2
2
2
' '
2
1
2
1
tTd
tD
t
dVVV ttT ++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=+=
En el caso de que ambos perfiles sean mixtos, dividiremos
longitudinalmente el tramo entre perfiles, en tantas partes como
sea necesario para poder calcular por este procedimiento los
volúmenes de las partes divididas mediante las expresiones
conocidas.

14. Topografía en Obras de Arquitectura
466
19.7. Cálculo del volumen de excavación de un
solar.
Por regla general, las excavaciones de los solares corresponden al
volumen de un sólido cuya base inferior es una poligonal
contenida en un plano horizontal, sus paredes planos verticales
correspondientes a la poligonal, y la base superior una superficie
poligonal, suyos lados serán las distancias naturales
correspondientes a las distancias reducidas de los lados de la
poligonal que forma la base inferior, estando sus vértices a cotas
distintas. Siendo este caso típico, no necesitaremos utilizar el
método de perfiles longitudinales y transversales, que sí
utilizaremos, sin embargo, en movimientos de tierras de solares
que no respondan a esta morfología.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
hA
hB
hC
hD
Z
Figura 19.7.
Sea pues, un solar cuya excavación se representa en la Figura
19.7, y definido por la poligonal (ABCD) comprendida entre sus
cuatro esquinas. Conociendo la cota de fondo de excavación (Z)
determinaremos las alturas (hA), (hB), (hC) y (hD) que serán las
diferencias entre las cotas de sus vértices (ZA), (ZB), (ZC) y (ZD),
obtenidas mediante nivelación geométrica, calcularemos la altura
media (h) como media de las alturas de sus vértices:

15. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
467
4
DCBA hhhh
h
+++
=
Siendo la superficie agraria del solar (S), el volumen (V) de la
excavación será:
hSV ⋅=
Mediante este mismo sistema podemos calcular otros volúmenes
análogos que se nos puedan presentar en una obra de
arquitectura, como puede ser el de un hormigón aligerado para
formación de pendientes en una cubierta, en el que
consideraremos (Z) la cota de terminación del forjado sobre el
que se apoya y las alturas (hA), (hB), (hC)…, las de los vértices de
cada faldón, que calcularemos independientemente.

16. Topografía en Obras de Arquitectura
468
19.8. Cálculo de otros volúmenes.
Como hemos expresado al comienzo de este tema, el cálculo de
volúmenes en general consiste en la descomposición del volumen
a determinar en volúmenes cuya determinación nos sea posible,
siendo el volumen resultante la suma o diferencia de los
volúmenes considerados, siendo esta una operación frecuente en
las labores de proyecto, dirección, control y ejecución de una
obra.
Hay sin embargo un método para calcular grandes volúmenes,
que se utiliza frecuentemente como puede ser el del cálculo de la
capacidad de un embalse, considerado como el volumen de agua
contenido en un vaso topográfico, asimilable al cálculo del
volumen de una colina, volúmenes ambos que podemos calcular
sin necesidad de la elaboración de perfiles, simplemente
apoyándonos en el plano de curvas de nivel.
El método consiste en considerar la superficie que encierran las
curvas de nivel y multiplicar esta por la equidistancia. La
superficie encerrada en cada curva de nivel se determinará
mediante planímetro, método especialmente indicado para este
tipo de superficies, siendo el cálculo del volumen total el
resultado de multiplicar la superficie de cada curva de nivel por la
equidistancia, cuyo valor determinará la precisión del método,
correspondiendo una mayor precisión a una menor equidistancia.
La fórmula que se suele utilizar es la equivalentes a la que hemos
descrito para el cálculo total de un volumen de una excavación
[1], expresándola en este caso según:
)2...22(
2
1
1321 nn AAAAAeV +++++= −
Ya que hemos sustituido la distancia (d) entre perfiles por la
equidistancia (e) entre curvas de nivel, y las superficies (A1), (A2),
(A3),…, (An) corresponderán a las de todas las curvas de nivel
sumergidas. Esta fórmula se puede modificar, para obtener una
mayor precisión en el cálculo, teniendo en cuenta que según ella
nos faltará una pequeña parte de volumen que es la comprendida
entre la curva de nivel más baja y el fondo del embalse sin

17. Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.
469
cubicar. Además de esto, normalmente la superficie del agua no
coincidirá con una de las curvas de nivel, por tanto contaremos la
curva de nivel bajo el agua dos veces, no contando la
inmediatamente superior, no sumergida, como es lógico. Así pues
si añadimos una primea sección con valor nulo, y una ultima
doble, tendríamos que:
)...( 321 nAAAAeV ++++=
En cualquier caso, las cifras resultantes de estos cálculos adolecen
de precisión, y por tanto siempre se suelen dar en unidades muy
altas y redondeadas, siendo la más habitual el hectómetro cúbico
(1 Hm³=106 m³).