EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES

1. PRODUCTOS NOTABLES
Curso : Álgebra.
Docente: García Saez, Edwin Carlos

2. PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen
en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de
multiplicación. Ello por lo forma característica que presentan.

5. 1. BINOMIO AL CUADRADO
* (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
* (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
2. IDENTIDADES DE LEGENDRE
* (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
* (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
3. BINOMIO AL CUBO
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
• (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
5. DIFERENCIA DE CUADRADOS
a2 − b2 = (a + b)(a − b)

6. 6. MULTIPLICACIÓN DE DOS BINOMIOS
CON UN TÉRMINO COMÚN:
x + a x + b = x2 + a + b x + ab
7. SUMA DE CUBOS:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
8. DIFERENCIA DE CUBOS
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
9. TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

7. 10. TRINOMIO AL CUBO
* (a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b)(b + c)(a + c)
*(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc
11. IGUALDADES CONDICIONALES
Si: a + b + c = 0, entonces se verifican:
* a2 + b2 + c2 = −2(ab + bc + ac)
* 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐

8. Solución
tenemos:
Luego remplazando los valores
tenemos:
∴
1. Sean a y b dos números reales y positivos tales que
a
b
+
b
a
= 3. Halle el valor numérico de
a+b
a−b
.
A) 2 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
= 3
𝑎2 + 𝑏2 = 3𝑎𝑏
Paso I:
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 2𝑎𝑏 = 3𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 2 = 5𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 2
𝑎 + 𝑏 = 5𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 = 5𝑎𝑏
Paso II:
𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
+ 2𝑎𝑏 = 3𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 = 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
=
5𝑎𝑏
𝑎𝑏
= 5

9. Solución
tenemos:
∴
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 − 𝑏 2
=
5
3
Luego remplazando
2. Sean a > b > 0, números tales que
a2−b2
a−b 2 =
5
3
.
Halle el valor de
a
b
.
A) 8 B) 2 C) 4 D) 3 E) 9
(𝑎 + 𝑏)
𝑎 − 𝑏
=
5
3
3𝑎 + 3𝑏 = 5𝑎 − 5𝑏
8𝑏 = 2𝑎 4𝑏 = 𝑎
𝑎
𝑏
=
4𝑏
𝑏
= 4

10. Solución
tenemos:
∴
Luego reemplazando los valores
a − b a2 + ab + b2 a6 + a3b3 + b6
a18 − b18
1
513
3. Luego de reducir la expresión
a − b a2
+ ab + b2
a6
+ a3
b3
+ b6
a18 − b18
determine el valor numérico para a = 1 ∧ b = 2.
A)
1
2
B)
1
64
C)
1
512
D)
1
513
E)
1
32
(𝑎3
− 𝑏3
) a6
+ a3
b3
+ b6
a18 − b18
(𝑎9 − 𝑏9)
a18 − b18
(𝑎9−𝑏9)
(𝑎9−𝑏9)(𝑎9+𝑏9)
=
1
𝑎9+𝑏9
1
𝑎9+𝑏9 =
1
19+29 =
1
1+512
=
1
513

11. Solución
tenemos:
Luego reemplazando :
4. Si se cumple que
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= 2, determine E =
x2+y3
x3+y2
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) x + y
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= 2
𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
= 2
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥𝑦
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 0
𝑥 − 𝑦 2
= 0
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 = 𝑦
E=
𝑥2+𝑦3
𝑥3+𝑦2 =
𝑥2
+𝑥3
𝑥3+𝑥2
= 1

12. Solución
tenemos:
∴ 8x3
x2
+ 2x + 1 x2
+ 2x − 1 − x2
− 2x + 1 x2
− 2x − 1
5. Al reducir la expresión
x + 1 2
x2
+ 2x − 1 − x − 1 2
x2
− 2x − 1 , Se obtiene
A) 4x2 . B) 8x3 . C) 1 . D) 2x . E) 0.
Sea: x2 + 2x = 𝑎
x2
− 2x = 𝑏
𝑎 + 1 𝑎 − 1 − 𝑏 + 1 𝑏 − 1
𝑎2 − 12 − (𝑏2−12)
𝑎2 − 1 − 𝑏2 + 1
𝑎2 − 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
(x2 + 2x + x2 − 2x)(x2 + 2x − x2 + 2x)
(x2
+ x2
)(2x + 2x)
(2x2
)(4x)

13. Solución
tenemos:
∴
6. Dada las condiciones a2 + b2 + c2 = 2 𝑦 a + b + c 1 + ab + bc + ac = 32
calcule a + b + c .
A) 2 B) 16 C) 4 D) 64 E) 128
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
= 2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 32
Sea: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑚
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑛
𝑚2 = 2 + 2(𝑛) y 𝑚 1 + 𝑛 = 32
𝑚2 = 2(1 + 𝑛) y 𝑚 1 + 𝑛 = 32
𝑚2
= 2.
32
𝑚
𝑚3 = 2. 32
𝑚3
= 64
𝑚 = 4
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4

14. Solución
tenemos:
∴
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐
S =
𝑎3+𝑏3+𝑏3
abc
=
3𝑎3
𝑎3 = 3
7. Sean a, b y c números reales y no nulos que verifican la relación
a2 + 2b2 + c2 = 2𝑏 a + c . Calcule el valor de S =
a3+b3+c3
abc
A)3 B)5 C)abc D) 2a E) a + b + c
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑐 + 𝑐2 = 0
𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 = 0 𝑎 − 𝑏 = 0 ; 𝑏 − 𝑐 = 0
𝑎 = 𝑏 ; 𝑏 = 𝑐
𝑎 = 𝑏 = 𝑏 = 𝑐

15. Solución
8. Sean a; b, c ∈ ℝ+ y a + b = −c, determine el valor de
E =
a2
− ab + b2
a + b + c3
6abc
A) 2 B)
1
2
C) 3 D)
1
3
E) 1
𝑆 =
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
6𝑎𝑏𝑐
pero
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏c
Reemplazando tenemos
𝑆 =
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3
6𝑎𝑏𝑐
=
3𝑎𝑏𝑐
6𝑎𝑏𝑐
=
1
2

16. Solución
9. Sabiendo que a; b, c ∈ ℝ+ ; a2 + b2 + c2 = 3 y abc = 1,
Halle el valor de la expresión
3− a+b+c ab+bc+ac−3
a3+b3+c3 .
A) 1 B) 2 C) 5 D)
1
2
E)2
3
3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
(a + b + c)3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
+ 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc
Sea: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑚
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑛
𝑚2
= 3 + 2(𝑛) 𝒎𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟑(𝒎)(𝒏) − 𝟑
𝒎 𝒎𝟐 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑(𝒎)(𝒏) − 𝟑
𝒎 𝟑 + 𝟐𝒏 = 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟑 𝒎 𝒏 − 𝟑
𝟑𝒎 + 𝟐𝐦𝐧 = 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟑(𝒎)(𝒏) − 𝟑
𝟑𝒎 − 𝐦𝐧 + 𝟑 = 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
luego
3 − a + b + c ab + bc + ac − 3
a3 + b3 + c3
3 − 𝑚 n − 3
3𝑚 − 𝑚𝑛 + 3
3 − 𝑚𝑛 + 3𝑚
3𝑚 − 𝑚𝑛 + 3
= 1

17. Solución
Dividiendo por 𝑥2 :
10. Si se cumple que x4 − 3x2 + 1 = 0, Halle el valor de la expresión
E =
x8 + x6 − x4 + x2 + 1
x4
A) 4 B) 2 C) 8 D) 3 E) 1
𝑥2
− 3 +
1
𝑥2
= 0
𝑥2
+
1
𝑥2 = 3 𝑥4
+
1
𝑥4 = 7
luego
𝐸 =
𝑥8 + 𝑥6 − 𝑥4 + 𝑥2 + 1
𝑥4 = 𝑥4 + 𝑥2 − 1 +
1
𝑥2 +
1
𝑥4
𝐸 = 𝑥4 +
1
𝑥4 + 𝑥2 +
1
𝑥2 − 1
𝐸 = 7 + 3 − 1
𝐸 = 3

19. Gracias

20. Solución
❑ 𝑷 𝟐 = 𝟑. 𝟑𝟐
−𝟑 + 𝟏=25
Calculando los valores numéricos:
𝒙 − 𝟏 = 𝟐
𝒙 = 𝟑
❑ 𝑷 𝟏 = 𝟑. 𝟐𝟐
−𝟐 + 𝟏= 11
𝒙 − 𝟏 = 𝟏
𝒙 = 𝟐
Finalmente :
𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟑
𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟒𝟗=7
∴ 𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 7

21. Solución
Del las condiciones tenemos:
𝐺𝑅 𝑥 − 𝐺𝑅 𝑦 = 7
𝑛 + 3 − (𝑚 − 2) = 7
𝑛 + 3 − 𝑚 + 2 = 7
𝑛 − 𝑚 = 2
Además tenemos que :
𝐺𝐴 𝑃 = 11
𝑃 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑛+3
𝑦𝑚−2
+ 𝑥𝑛+2
𝑦𝑚−3
𝑛 + 𝑚 + 1 𝑛 + 𝑚 − 1
𝑛 + 𝑚 + 1 = 11 𝑛 + 𝑚 = 10
Luego resolvemos el sistema de ecuaciones:
𝑛 − 𝑚 = 2
𝑛 + 𝑚 = 10
𝑛 = 6
𝑚 = 4
∴ 𝒏 + 𝒎 = 𝟏𝟎

22. Solución
Utilizando la propiedad tenemos:
Recordar
𝑵𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 = 𝑮𝑨 𝑷 + 𝟏
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝐺𝐴 𝑃 + 1
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛 − 1 + 1
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛
∴ 𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛

23. Solución
Utilizando los datos del problema:
𝑷(𝒙) = 𝒙𝒂−𝟏 + 𝒙𝒂+𝒃−𝟑 + 𝒙𝒃−𝒄
0 𝟏 𝟐
𝑎 − 1 = 0 ∧ 𝑎 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 1 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 1 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 3 ∧ 3 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 3 ∧ 𝑐 = 1
∴ 𝑎𝑏𝑐 −1
= 1.3.1 −1
= 3 −1
= 1/3
Finalmente nos pide calcular:

24. Solución
Utilizando los datos del problema:
2x2+𝟓𝒙 − 𝟏 ≡ (𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙 − 𝟏) + 𝑪(𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟏)
2. 12
+ 𝟓. 𝟏 − 𝟏 = (𝑨. 𝟏 + 𝑩)(𝟏 − 𝟏) + 𝑪(𝟏𝟐
+ 𝟏 + 𝟏)
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟏
𝟔 = 𝑪(𝟑) 𝐂 = 𝟐
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟎
2. 02
+ 𝟓. 𝟎 − 𝟏 = (𝑨. 𝟎 + 𝑩)(𝟎 − 𝟏) + 𝟐(𝟎𝟐
+ 𝟎 + 𝟏)
−𝟏 = (𝑩)(−𝟏) + 𝟐 𝐁 = 𝟑
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟐
𝟐. 𝟐𝟐
+ 𝟓. 𝟐 − 𝟏 = (𝐀. 𝟐 + 𝐁)(𝟐 − 𝟏) + 𝐂(𝟐𝟐
+ 𝟐 + 𝟏)
𝟏𝟕 = 𝐀. 𝟐 + 𝟑 𝟏 + 𝟐. (𝟕)
𝟏𝟕 = 𝐀. 𝟐 + 𝟑 + 𝟏𝟒
𝟎 = 𝐀. 𝟐
∴ 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = 0 + 3 − 2 = 1
𝐀 = 𝟎

25. Solución
Utilizando la propiedad:
Recordar
SUMA DE COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
𝑺 . 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝑷(𝟏)
TERMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO
𝑻. 𝑰 = 𝑷(𝟎)
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟐. 𝟒 − 𝟕 . 𝟏𝟒
+ 𝟒. 𝟏𝟑
−𝟔. 𝟏𝟐
+𝟒𝟐
. 𝟏 + 𝟗
Por ser polinomio Mónico tenemos
𝟐𝒂 − 𝟕 = 𝟏 𝒂 = 𝟒
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟏 . 𝟏 + 𝟒 − 𝟔 + 𝟏𝟔 + 𝟗
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟏 + 𝟒 − 𝟔 + 𝟏𝟔 + 𝟗
∴ 𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟐𝟒
POLINOMIO MONICO:
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏.

26. Solución
Por ser términos semejantes, tenemos:
𝑎 + 1 = 4 ∧ 3𝑏 − 1 = 5
𝑎 = 3 ∧ 3𝑏 = 6
𝑎 = 3 ∧ 𝑏 = 2
Reduciendo los términos semejantes
8𝑥4
𝑦5
− 𝑥4
𝑦5
+ 7𝑥4
𝑦5
+ 𝑥4
𝑦5
15𝑥4𝑦5
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝟏𝟓
∴

27. Solución
𝑀 𝑥, 𝑦 = 8𝑥3𝑛+6𝑦3
𝐺𝐴 𝑀 = 36
En el monomio desarrollando la
potencia tenemos:
3𝑛 + 6 + 3 = 36
3𝑛 = 27
𝑛 = 9
𝒏 = 𝟗
∴

28. Solución
𝐺𝑅 𝑥 = 12 ∧ 𝐺𝑅 𝑦 = 10
En el monomio tenemos:
𝑎 + 𝑏 − 1 = 12 ∧ 𝑏 − 𝑎 + 3 = 10
𝑎 + 𝑏 = 13 ∧ 𝑏 − 𝑎 = 7
𝑎 = 3 ∧ 𝑏 = 10
𝐺𝑅 𝑧 = 6𝑎 − 𝑏 + 5
Nos pide calcular 𝐺𝑅 𝑧 :
𝐺𝑅 𝑧 = 6.3 − 10 + 5
𝐺𝑅 𝑧 = 18 − 10 + 5
𝐺𝑅 𝑧 = 13
∴