ECUACIONES
Resolución de problemas

Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la 10 + 2 = 4 + 8
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. 1er miembro 2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

Solución de una ecuación
¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada?
Platillo izquierdo: x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación:  x + 100 = 500 + 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la
incógnita para el que se verifica la igualdad.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una Ejemplo La solución de la ecuación
solución es correcta hay
que sustituir en la 2x – 2 = x + 12 es x = 14
ecuación y ver que se pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
cumple la igualdad.

Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Sustituyendo:
a) 4 + 4x = 25 – 3x 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
b) 7x + 4 = 25 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
Para resolver ecuaciones
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
es útil buscar otra
semejante a la dada pero
que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer
algunas reglas.
x + 5 = 10 + 5 x = 10
Luego: Regla de la suma
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un
número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación,
se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8
–8 –8
Restamos 8: 2x = x + 25
–x –x
Restamos x: x = 25
La solución es x = 25

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO Resuelve x – 5 = 13.
Solución En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que
deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener
el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.
x – 5 = 13 Escribe la ecuación original.
x – 5 + 5 = 13 + 5 Suma 5 a cada lado.
x = 18 Simplifica.
► La solución es 18.
 COMPROBACIÓN
x – 5 = 13 Escribe la ecuación original.
18 – 5 = 13 Sustituye x por 18.
13 = 13 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO Resuelve x + 4 = –3.
 COMPROBACIÓN
x + 4 = –3 Escribe la ecuación original.
Sustituye x por –7.
x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro.
x + 4 = –3
x = –7 Simplifica.
–7 + 4 = –3
► La solución es –7. –3 = –3
La solución es correcta.
EJEMPLO Resuelve y – 3 = –14.
y – 3 = –14 Escribe la ecuación original.
y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro.
y = –11 Simplifica.
► La solución es –11.

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
EJEMPLO Resuelve 3a = 7 + 2a.
3a = 7 + 2a Escribe la ecuación original.
3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resta 2a a cada miembro.
a=7 Simplifica.
► La solución es 7.
 COMPROBACIÓN
3a = 7 + 2a
3·7 = 7 + 2·7 Sustituye x por 7.
21 = 21 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
4x = 20 x=5
Hemos dividido por 4
Luego: Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9
Restamos 3: 4x = 2x + 6
Restamos 2x: __ = __
2x 6
2 2
Dividimos por 2 x =3
La solución es x = 3

Resolución de ecuaciones. Regla del producto
EJEMPLO Resuelve 3x = 15.
Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar
x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por
3.
3x = 15 Escribe la ecuación original.
3x = 15 Divide cada lado por 3.
3 3
x=5 Simplifica.
► La solución es 5.
 COMPROBACIÓN
3x = 15
3·5 = 15 Sustituye x por 5.
15 = 15 La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Regla del producto
EJEMPLO Resuelve 7x = –56.
 COMPROBACIÓN
7x = –56 Escribe la ecuación original. Sustituye x por –8.
7x = –56 Divide cada lado por 7. 7x = –56
7 7 7·(–8) = –56
x=–8 Simplifica.
–56 = –56
► La solución es –8. La solución es correcta.
y
EJEMPLO Resuelve  12
5
y
 12 Escribe la ecuación original.
5  COMPROBACIÓN
y
·5 = 12 · 5 Multiplica los dos miembros por 5. 60 = 12
5
y = 60 Simplifica. 5
► La solución es 60.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la
suma y el del producto.
EJEMPLO Resuelve 3x – 4 = 17.
3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original.
3x – 4 + 4 = 17 + 4 Suma 4 a cada miembro.
3x = 21 Simplifica.
3x = 21 Divide cada lado por 3.
 COMPROBACIÓN
3 3
Simplifica. 3x – 4 = 17
x=7
► La solución es 7. 3·(7) – 4 = 17
17 = 17

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
n
EJEMPLO Resuelve 3  8
5
n
3  8 Escribe la ecuación original.
5
n
3–8= +8–8 Resta 8 a cada miembro.
5
n
5  Simplifica.
5
n
5( 5 )  ( )·5 Multiplica los dos miembros por 5.
5
–25 = n Simplifica.
► La solución es –25.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
EJEMPLO Resuelve 5 – x = 7.
5–x=7 Escribe la ecuación original.
–5 + 5 – x = –5 + 7 Resta 5 a cada miembro.
–1x = 2 Simplifica.
–1x = 2 Divide por –1.
–1 –1
Simplifica.
x = –2  COMPROBACIÓN
► La solución es –2. 5–x=7
5 – (–2) = 7
7=7

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
EJEMPLO Resuelve b + 8 = 18 + 3b
b + 8 = 18 + 3b Escribe la ecuación original.
b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b Resta 3b a cada miembro.
b – 3b + 8 = 18 Simplifica.
b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8 Resta 8 a cada miembro.
b – 3b = 18 – 8 Simplifica.
–2b = 10 Agrupa.
–2b = 10 Divide por –2.
–2 –2
b = –5 Simplifica.
► La solución es –5.

Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es
eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo
los dos miembros de la ecuación por un mismo número o
expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más
rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro
miembro de forma «inversa» a como estaba:
► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba
restando, aparece sumando.
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba
dividiendo, aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.

Transposición de términos en una ecuación
EJEMPLO Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x a) Si sumamos a los dos
miembros +8, 4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8
4x – 8 = 6 + 2x Esto equivale a pasar directamente el término –8 al
segundo miembro como +8.
4x – 2x = 6 + 8 b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo
miembro lo pasamos al primero como –2x.
2x = 14
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x =
x = 14 = 7 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este
2 último paso se llama despejar la incógnita.

Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b + c) = ab + ac
4(5 + 8) = 4·5 + 4·8 = (6 + 9)2 = 6·2 + 9·2 =
= 20 + 32 = 52 = 12 + 18 = 30
Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.
2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8 Cuidado con los
signos negativos (–).
2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2 Recuerda la regla de
los signos:
(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18 +·+=+
+·–=–
4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8 –·+=–
–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6 –·–=–

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
1º. Quitar paréntesis: 3x – 21 = 5x – 5 – 4x
2º. Operar 5x – 4x: 3x – 21 = x – 5
3º. Restar x 2x – 21 = – 5
 COMPROBACIÓN
4º. Sumar 21 2x = 16
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
5º. Dividir por 2 x=8 3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8
3·1 = 5·7 – 4·8
3 = 35 – 32
3=3
La solución es correcta.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
EJEMPLO Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5) Ecuación original
Quita paréntesis.
6 – 4 – x = 8x – 6x –10
Simplifica.
–x + 2 = 2x – 10
Traspones términos.
–x – 2x = –10 – 2 Agrupa.
–3x = –12 Divide por –3.  COMPROBACIÓN
x=4 6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5)
6 – 8 = 32 – 34
–2 = –2

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
x 5 x Recuerda cómo se calcula
  5 el m.c.m.:
1º. Quitar denominadores. 4 2 6
Para ello se multiplica por 12,
4 2 6 3
que es m.c.m.(4, 2, 6): x 5 x
12·(   )(5 )·12 2 2 2 2
4 2 6 1 1
3x + 30 – 2x = 60 4 = 22
2=2
2º. Restar 30: 3x – 2x = 30 6 = 2·3
3º. Operar 3x – 2x Para el m.c.m. tomamos
x = 30 los factores comunes y los
no comunes al mayor
exponente:
m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
EJEMPLO x 1 x  3 1
 
2 4 2
1º. Quitar denominadores.
x 1 x  3 1
4(  ) ( )4 Para ello se multiplica por 4,
que es m.c.m.(2, 4):
2 4 2
x 1 x3 1
4( ) 4( ) 4( )
2 4 2
2(x + 1) + (x + 3) = 2 2º. Quitar paréntesis.
2x + 2 + x + 3 = 2 3º. Agrupar términos semejantes.
3x + 5 = 2 4º. Transponer términos.
3x = 2 – 5
5º. Despejar la incógnita.
3x = –3
3
x x = –1
3

Resolución de problemas
Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene
6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad
tiene Jorge?
1º. Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico
Edad de Jorge x
La madre de Jorge tiene 39 39 Son
y dice que tiene 6 años menos iguales
que el triple de la edad de Jorge 3x – 6
2º. Plantear la ecuación 3x – 6 = 39
3º. Resolución de la ecuación Suma 6 3x = 45
Divide por 3 x = 15
Jorge tiene 15 años
4º. Comprobación. 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39
Correcto

Resolución de problemas
PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual
a 6 veces su valor inicial?
Un número x
► 1º. Interpreta el
enunciado y El número aumentado en 55 x + 55
exprésalo Seis veces el número 6x
algebraicamente.
El número es igual 6 veces el
► 2º Plantear la ecuación.
aumentado en 55 a número
x + 55 = 6x
► 3º. Resolver la ecuación. x + 55 = 6x  55 = 6x – x
55 = 5x  55/5 = x  x = 11
El número buscado es 11
► 4º. Comprobación. Nº aumentado en 55  11 + 55 = 66
Correcto
6 veces el número  6·11 = 66

Resolución de problemas
PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el
perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.
► 1º. Interpreta el Lado menor  x 2x
enunciado y Lado mayor  2x
exprésalo
algebraicamente. Perímetro 78 x x
x + 2x + x + 2x
2x
► 2º Plantear la ecuación.x + 2x + x + 2x = 78
► 3º. Resolver la ecuación. 6x = 78
x = 78
6 x = 13 cm
x = 13
2x = 26 cm
► 4º. Comprobación. Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm