1. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
ANÁLISE DINÂMICA DIRECTA DO MOVIMENTO DA MARCHA
Ana Sabino*, João Tiago** e Paula Antunes***
*Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica, 4º ano
Instituto Superior Técnico
Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa
e-mail: anasabino_rm@hotmail.com
** Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica, 4º ano
Instituto Superior Técnico
Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa
e-mail: poucu@hotmail.com
*** Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica, 4º ano
Instituto Superior Técnico
Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa
e-mail: paulasoant@hotmail.com
Palavras-chave: Biomecânica, Marcha, Dinâmica, MATLAB, Modelo dos Corpos Múltiplos,
Estabilização de Baumgarte.
Resumo. Neste projecto pretendeu-se analisar a marcha humana recorrendo à análise
dinâmica do modelo de corpos múltiplos implementada no software MATLAB. Para tal,
recorreu-se ao laboratório de biomecânica para recolher dados antropométricos e
posicionais. Posteriormente os dados obtidos foram filtrados por um filtro Butterworth de 2. ª
ordem e a partir daqui calcularam-se guiamentos angulares e os comprimentos dos corpos
rígidos considerados. O programa implementado é capaz de demonstrar graficamente a
simulação da marcha humana no plano sagital ao longo de um ciclo de marcha, sendo que
determina as posições, velocidades, acelerações, forças internas e momentos por integração
das equações algébrico-diferenciais. Foi ainda implementado o método de Baumgarte de
forma a estabilizar as equações de constrangimentos. Conclui-se que este programa
apresenta resultados viáveis, conforme o esperado.
1. INTRODUÇÃO
A palavra dinâmica tem origem no termo grego dynamike que significa forte. A dinâmica é
um ramo da mecânica que estuda o movimento de um sistema tendo em consideração as
forças exteriores aplicadas e as suas características inerciais [1].
Segundo Vaughan (1980), há dois tipos de análise de dinâmica de corpos rígidos, a directa
e a inversa. Na análise dinâmica directa, as forças envolvidas num sistema mecânico são
conhecidas, e o objectivo é determinar o movimento resultante da aplicação dessas forças. Na

2. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
análise dinâmica inversa, as variáveis cinemáticas do movimento são completamente
conhecidas, sendo o objectivo encontrar as forças na origem dos movimentos [2].
Neste projecto implementou-se um programa de análise dinâmica directa para determinar
as forças internas e as reacções articulares num modelo biomecânico bidimensional durante a
marcha.
Num problema de carácter dinâmico tem-se o número de variáveis dependentes maior que
o número de equações de constrangimento que guiam o sistema. Para se estabelecer o
equilíbrio cria-se um sistema de equações do movimento. Estas equações algébrico-
diferenciais são complexas e, por isso, procede-se à sua integração pelo método directo. Para
estabilizar as equações de constrangimento recorre-se ao método de Baumgarte.
A análise dinâmica apresenta várias aplicações na biomecânica para além do contexto do
nosso trabalho, por exemplo, uma delas é no estudo da mudança do padrão da marcha em
pessoas após a amputação total ou parcial de um membro inferior [3], outra é na afectação da
marcha de pessoas portadoras de paralisia cerebral [4]. Fora do contexto da Biomecânica este
tipo de análise também é aplicável, como por exemplo, em sistemas de tubagens [5].
2. NOVA ABORDAGEM DE ANÁLISE EM BIOMECÂNICA
A análise dinâmica de sistemas multicorpo é um método de análise que tem vindo a sofrer
desenvolvimentos. Neste sentido têm surgido estudos com o intuito de optimizar este método,
um dos quais é a utilização de modelos multicorpo fléxiveis aliada a métodos de elementos
finitos. Nestas simulações são geradas equações que modelam o comportamento dinâmico do
sistema, cargas e reacções. A flexibilidade deve ser incluída nos modelos computacionais de
modo a que haja uma maior aproximação do modelo ao corpo humano, garantindo maior
precisão dos resultados. Para melhorar este modelo propõe-se a inclusão de uma estrutura
flexível criada num software de análise de sistemas multicorpos obtidos por um modelo de
elementos finitos do corpo. Utiliza-se por exemplo um software DADS® para modelação de
sistemas multicorpos e o ANSYS® para elementos finitos. Os resultados de estudos recentes
demonstram a importância de se avaliar os efeitos da flexibilidade estrutural nos esforços
desenvolvidos durante a marcha [6,7].
3. RECOLHA DE DADOS
A recolha de dados foi realizada no laboratório de mecânica equipado com uma plataforma
de pressão e 4 câmaras digitais Qualisys-ProREFLEX. Os trâmites iniciais passaram por
recolher dados do paciente, tais como, o sexo, a idade, peso e altura. Colocaram-se nos
pacientes 17 marcadores reflectores em 17 locais específicos do corpo (em cada metatarso, em
cada tornozelo, em cada calcanhar, na lateral de cada joelho, na lateral de cada anca, em cada
pulso, na lateral de cada cotovelo, em cada ombro e na zona superior da cabeça). Para
minimizar o erro, os marcadores foram colocados em pontos cuja variação relativa da posição
fosse mínima. Em seguida fizeram-se as medições dos comprimentos de cada segmento,

3. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
medindo-se a partir de cada ponto médio de um marcador para outro.
Assim, inicou-se a actividade experimental propriamente dita. As 4 câmaras de vídeo
digitais Qualisys-ProREFLEX forneceram dados da trajectória dos marcadores reflectores que
após tratados no computador podem ser reproduzidos tridimensionalmente.
É do notar que se devem recalibrar as câmaras, caso seja necessário.
Figura 1. Esquema de montagem durante a aquisição de dados no laboratorio.
4. DESCRIÇÃO DA METODOLOGIA DINÂMICA DE SISTEMAS MULTICORPO
4.1. Princípio das Potências Virtuais
Utilizando este princípio é possível formular as equações do movimento de um sistema de
coordenadas naturais n dependentes.
Estabelece-se que P* representa a potência virtual de valor nulo:
nc
P = ∑ f i qi * = 0 ⇔ P * = q*T f = 0
*
& & (1)
i =1
&*
A incógnota q representa o vector de velocidades virtuais dependentes. Já f é o vector de
forças virtuais caracterizado por um conjunto de velocidades imaginárias consistentes com a
forma homogénea das equações de velocidade dos constrangimentos cinemáticos:
Φq q * = 0 (2)
O vector das forças virtuais caracteriza-se pelo conjunto de todas as forças que produzem
potência virtual, ou seja, é constituído por todas as forças exteriores:
&&
f = Mq − g (3)
&&
onde M é a matriz de massa do sistema, q o vector das acelerações naturais e g o vector
das forças exteriores.

4. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
O vector das forças virtuais, f , não é constituído pelas forças internas, uma vez que estas
se anulam (são pares acção-reacção) e portanto, não contribuem como potência virtual. Assim,
as forças internas obtêm-se pelo método dos multiplicadores de Lagrange:
g i = ΦT λ
q (4)
g Φq
onde i é o vector das forças internas do sistema, a matriz jacobiana dos
constrangimentos e λ o vector dos multiplicadores de Lagrange, que representam a magnitude
das forças internas.
Considerando (3) e (4), a potência virtual pode escrever-se:
P * = q *T ( Mq − g + ΦT λ ) = 0
& && q (5)
4.2. Equações do movimento
Da potência virtual tiram-se as equações de movimento para sistemas de corpos múltiplos
constrangidos:
Mq + ΦT λ = g
&& q (6)
Adicionam-se mais nh equações, resultando no seguinte sistema de equações:
Mq + ΦT λ = g
 && q
 (7)
&& = γ
 Φq q

Convertendo a equação (7) na forma matricial obtém-se:
M ΦT  q  g 
q
&&

Φ   =  

(8)
 q 0  λ   γ 
&&
sendo q e λ incógnitas.
O passo seguinte, neste projecto, é aplicar o método da integração directa para resolver (8).
4.3. Dinâmica directa
Esta análise consiste na determinação do movimento de um sistema multicorpo que ocorre
devido à aplicação de forças exteriores. A partir destas, é então possível calcular a resposta
& &&
dinâmica do modelo biomecânico ( q , q , q ), bem como as forças internas λ .
O esquema seguinte representa a resolução do Problema de Valor Inicial:

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&&
Determinar q e λ
& q 
&
q 0  através das Yt =  
Y0 =   Equações do &&
 q t
&
q 0 t =t0
Movimento
t ← t+∆t q  Y=∫
t +∆t
&
Ydt
Yt +∆t =   t
&
q t +∆t Nota: ODE 45
Figura 2. Representação do Problema do Valor Inicial.
4.4. Estabilizaçao de Baumgarte
Através deste método de estabilização converte-se um sistema de equações algébrico-
diferenciais num sistema de equações diferenciais ordinárias (ODE). Assim garante-se assim
uma melhor aproximação da solução analítica à real (convergência do método).
Equações do movimento resultam em equações diferenciável instável, por isso utiliza-se de
forma a obter uma equação diferenciável mais estável usa-se a equação:
&& &
Φ + 2α Φ + β 2Φ = 0 (9)
Sabendo a primeira e segunda derivadas das equações dos constrangimentos o sistema de
equações (8) fica então estabilizado:
M ΦT  q  
q
&&  g 


 Φq   = 
 λ   (10)
 γ − 2α ( Φqq − ν ) − β Φ 
2
 0  &
 
Onde α e β são parâmetros de estabilização.
.
4.5. Matriz de massa
A matriz de massa M é generalizada para corpos planares desde que o elemento tenha dois
pontos a partir dos quais ela possa ser formulada. Esta matriz simétrica positiva e constante no
tempo contém informações de todos os momentos de inércia e massas para cada segmento
corporal considerado.
Para corpos planares, é possível definir coordenadas naturais globais (x,y) e locais ( x , y )
de um corpo rígido definido por i e j:

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ξ
P j
CM
y rg
r η i
rj
ri
x
Figura 3. Representação do referencial local e global.
A matriz de massa M é então dada por:
M = ρ ∫ CT Cd Ω (11)
Ω
sendo que ρ representa a densidade mássica.
Obtém-se então a matriz mássica:
 2mxG Ii mxG I myG I 
m − L + L 2 0 − i2 − − i2 
Lij Lij Lij Lij
 ij ij

 2mxG I myG mxG I 
 0 m− + i2 − i2 
Lij Lij Lij Lij Lij
M=  (12)
 mxG I myG Ii 
 − i2 0 
 Lij Lij Lij Lij 2 
 my mxG I Ii 
 − G − i2 0 
 Lij Lij Lij Lij 2 
 
Os coeficientes c1 e c2 de (Error! Bookmark not defined.) são representados por:
c1  1  1 0   x 
 =    (13)
c2  Lij  0 1   y 
Repare-se que Lij dá-nos o comprimento do segmento selecionado, a massa do elemento é
(x , y )
representada por m, Ii é o momento polar de inércia em relação ao ponto i e G G são as
coordenadas locais do centro de massa.

7. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
4.6. Forças de reacção
As forças internas são obtidas através da matriz de constrangimentos e dos multiplicadores
de Lagrange. Pode-se representar o vector das forças internas do sistema por:
PI PE J PI T PI PE T PE JT
 λ Jx 
 
gi = g + g
i i + g +L = Φ
i q λ +Φ q λ + Φ  J  +L
q (14)
λ y 
 
Relativamente aos constrangimentos de junta, tem-se:
 −λ x   Rx J
 −1 0     J
J
λ J   − I   λ x  
JT  x    λx  =  −λ y  =  R y 
g i = Φ q  J  =     =  1 −1       J (15)
λ y   I  λ y  
    λ y   λ x   Rx 
0 1  λ y   Ry  J
   
Quanto aos constrangimentos de produto interno:
 − ( xl − xk ) 
 
 − ( yl − yk ) 
 ( xl − xk ) 
 −rkl   
 r   ( yl − y k ) 
g iPI = Φq T λ PI = 
kl  PI
PI
λ =  − ( x j − xi )  λ PI (16)
 -rij   

 r    −( y − y )
 ij   j i

 (x − x ) 
 j i

 (y − y ) 
 j i 
Para determinar os momentos articulares M i tem-se que:
M i = f1 Lij sin (θ ( t ) ) = λ PU Lkl Lij sin (θ ( t ) ) (17)
M i = f 2 Lkl sin (θ ( t ) ) = λ PU Lkl Lij sin (θ ( t ) ) (18)
a força f exercida (constrangimentos de corpo rígido) é:
f = 2λ PI Lij (19)
5. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
Para a concretização dos objectivos propostos começou-se por avaliar o desempenho do
programa desenvolvido no trabalho anterior [1] aquando da introdução dos dados adquiridos

8. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
em laboratório. Registaram-se e analisaram-se os ângulos, as posições e as velocidades dos
pontos, do nosso modelo biomecânico, mais importantes para a análise da marcha humana
(secção lkj). Após a validação do programa de cinemática optou-se por recolher os dados
necessários ao início de uma análise dinâmica, também de sistema multicorpo, da marcha
humana.
O programa implementado permite uma análise dinâmica directa de dados recolhidos do
mesmo modo que os utilizados neste trabalho, seja qual for o movimento realizado. As
posições e velocidades iniciais, de todos os pontos que constituem o nosso modelo, são o
ponto de partida para o estudo das propriedades dinâmicas do sistema e análise das
características das forças exteriores que lhe são aplicadas ao longo da simulação. No final são
representados vários parâmetros cinemáticos e dinâmicos dos pontos relevantes do sistema de
forma a facilitar a interpretação qualitativa e quantitativa dos resultados obtidos.
A componente computacional deste projecto evolui ao longo de 4 etapas: tratamento das
coordenadas das posições de pontos de interesse ao longo de um ciclo da marcha, análise
cinemática, tratamento de dados adquiridos, em simultâneo, num tapete de pressão,
desenvolvimento do simulador de dinâmica e apresentação de resultados.
5.1 Tratamento de dados cinemáticos
Os dados obtidos no laboratório consistem em valores de coordenadas de pontos,
considerados de interesse, ao longo do intervalo de tempo equivalente à duração de um ciclo
da marcha, do aluno observado (João Tiago, 22 anos, 1.69 m e 60 kg). Os marcadores
reflectores utilizados foram colocados ao longo do corpo do aluno segundo o esquema da
figura 4.
Figura 4. Modelo multicorpo 3D adoptado pelo software de aquisição
utilizado no laboratório

9. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
O processamento destes dados permitiu a obtenção dos guiamentos dos vários ângulos
entres os segmentos do modelo 2D (Figura 5), adoptado por nós, assim como dos
comprimentos médios dos mesmos.
Figura 4.1. Esquema do modelo
implementado
Antes de extrair qualquer informação filtraram-se os dados com um filtro Butterworth,
passa baixo, de segunda ordem. Existe a necessidade de definir a frequência de amostragem,
que depende do procedimento de aquisição de sinal no laboratório, e a frequência de corte do
filtro, que é mais elevada para pontos que possuam movimentos mais rápidos. Devido à falta
de estabilidade que o filtro apresenta no início e no final de cada conjunto de dados filtrado foi
necessário adicionar dois pontos em cada extremo desses mesmos conjuntos de modo a evitar
essa situação. Após a filtragem estes são desprezados.
Uma vez que com os dados filtrados há que ter atenção com o tipo de dados que
possuímos, 3D, e com o tipo de dados que necessitamos para conseguir o nosso modelo
cinemático, em 2D. Para a determinação dos comprimentos médios de cada segmento
utilizamos a definição de norma com três coordenadas, excepto para o tronco, que de todos os
segmentos é o único que difere nos dois modelos (Figura 4 e 5). Como tal o comprimento
deste foi definido a partir do ponto médio das ancas e do ponto médio dos ombros. Para o
cálculo dos guiamentos angulares a terceira dimensão foi desprezada, e o seno e o coseno de
cada ângulo, ao longo do tempo, foram conseguidos através do produto externo 2D e do
produto interno 2D, respectivamente.
Após este tratamento, os dados foram interpolados e introduzidos na função cinemática já

10. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
pormenorizadamente explicada em [11]. Os resultados desta simulação encontram-se
discutidos mais è frente neste relatório.
Para além das matrizes de constrangimento de corpo rígido, cc, de juntas de revolução, jr,
de guiamentos angulares, ang, de translação global do sistema, tr, e de rotação global do
sistema, rot, descritas também em [11], são necessárias as matrizes pos, vel e acel que contêm,
respectivamente, as posições, velocidades e acelerações de cada ponto do modelo ao longo do
tempo de simulação. Todos estes dados são guardados no ficheiro dadoscinematica.mat que
será carregado no início do simulador de dinâmica directa.
5.2. Tratamento de dados dinâmicos
Para a análise dinâmica da marcha foi necessário conhecer a massa (20), o centro de massa
(21) e o momento de inércia (22) de cada segmento. A massa ponderada foi calcula através de:
(20)
em que K, tabelado em A1 em anexo, é a fracção contribuída pelo corpo em questão e M é
a massa total do corpo (em quilogramas). No final da distribuição do peso pelas variadas
fracções (respeitantes a cada segmento) a soma de todas as contribuições terá de ser igual ao
peso total do indivíduo. O cálculo da massa da mão foi considerado em conjunto com o
antebraço, utilizando o K correspondente a esta situação. Os centros de massa de cada
segmento foram calculados em relação ao ponto proximal de cada segmento e a partir da
seguinte expressão:
(21)
sendo R proximal o valor tabelado em A1 em anexo e Lij o comprimento do mesmo
(Tabela I). Os centros de massa foram determinados em termos de coordenadas locais. Por
último, os momentos de inércia I foram conseguidos através da expressão:
(22)
em que K próximal é o valor do raio de giração proximal de cada segmento (Tabela A1 em
anexo). Todos os resultados deste tratamento de dados estão disponíveis na tabela II.
Segmento Corpo Rígido Comprimento (mm)
Calcanhar direito - Tornozelo direito 1 102
Calcanhar direito – Metatarso direito 2 205

11. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Metatarso direito - Tornozelo direito 3 142
Tornozelo direito - Joelho direito 4 390
Joelho direito - Anca direito 5 382
Joelho esquerdo - Anca esquerdo 6 395
Tornozelo esquerdo - Joelho esquerdo 7 410
Metatarso esquerdo - Tornozelo esquerdo 8 142
Metatarso esquerdo - Calcanhar esquerdo 9 200
Calcanhar esquerdo - Tornozelo esquerdo 10 105
Mão direita - Cotovelo direito 11 255
Cotovelo direito - Ombro direito 12 280
Cotovelo esquerdo - Ombro esquerdo 13 290
Mão esquerda - Cotovelo esquerdo 14 250
Pescoço + Cabeça 15 350
Tronco 16 460
Tabela I – Dados antropométricos do modelo biomecânico implementado
Massa do Raio de Momento de
Corpo Comprimento do
Segmento Corporal Gy (mm) Segmento giração inércia
Rígido segmento (mm)
(Kg) (mm) (Kg.m2)
Pé esquerdo 4_6 128,84 64,4195 0,87 61,198525 0,015889
Pé direito 1_3 127,70 63,8515 0,87 60,658925 0,015832
Coxa esquerda 13_14 380,63 164,812357 6 122,943167 0,959961
Coxa direita 11_12 387,44 167,760654 6 125,142474 0,994613
Perna esquerda 9_10 393,73 170,483791 2,79 118,905554 0,471955
Perna direita 7_8 412,88 178,778339 2,79 124,690666 0,518996
Antebraço esquerdo 16_19 269,74 117,607512 1,32 81,731826 0,104862
Antebraço direito 16_17 268,33 116,991008 1,32 81,303384 0,103765
Braço esquerdo 19_20 237,78 162,164596 1,68 76,564516 0,104833

12. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Braço Direito 17_18 240,55 164,053054 1,68 77,456134 0,107289
209,420726 103,662761
Cabeça + Pescoço 16_21 373,14 4,86 0,728915
6 5
Tronco 15_16 466,85 233,425 29,82 - 0,924455
Tabela II. Valores de massa, centro de massa, raio de giração e momento de inércia para o modelo biomecânico
em estudo.
Para se proceder à análise dinâmica foram fornecidos dois ficheiros com dados obtidos no
laboratório: um com informação temporal do apoio das diferentes partes de cada pé na placa
de pressão e outro com o valor da força de reacção normal da placa e as respectivas
coordenadas (locais) de aplicação em cada pé, e ao longo da marcha.
Tal como na cinemática, procedeu-se primeiramente à filtragem, de modo idêntico ao da
cinemática, mas com uma frequência de corte de 8 Hz. Posteriormente, foi preciso sincronizar
as forças relativas ao pé direito pois o momento de entrada deste na placa de pressão não
coincidia com o momento inicial da marcha, captada pelas câmaras. Sabendo que a marcha é
um movimento ciclico, localizou-se o instante em que a força atinge o seu valor máximo, e
imediatamente a seguir começa a diminuir, e admitiu-se ser esse o instante em que o pé direito
começa a deixar o tapete. Esta parte final foi retirada e movida para o início do vector da
força, colmatando assim a falta de valores nesta parte. Deste modo garantiu-se a presença de
força de reacção no pé direito, ao longo de todo o ciclo da marcha.
O início da aplicação das forças foi situado na abcissa inicial do metatarso direito e na
abcissa inicial do calcanhar esquerdo. Obtidas as referências para as posições globais de
aplicação das forças, estas foram processadas para coordenadas locais, como indicado no
início desta secção.
Estes dados foram armazenados na matriz fmiR (2x2) em que a primeira linha corresponde
ao pé direito e a segunda ao pé esquerdo. Cada linha está estruturada do seguinte modo:
fmiR ={ índice do corpo rígido [110 x 4] } (23)
sendo as quatro colunas da matriz [110 x 4] preenchidas pelas posições globais e pela força
normal.
5.3. Simulador de dinâmica directa
O primeiro ficheiro a ser corrido é o ensaio.m. onde é carregado o ficheiro
dadoscinematicos.mat que contem a informação já explicitada anteriormente. Aqui é criada a
matriz mi que possui a seguinte estrutura:
mi = [índice do corpo rígido mi xi yi Ii] (24)
sendo xi e yi as coordenadas do centro de massa, que coincidem com o ponto de
aplicação de cada força em cada segmento e Ii o momento de inércia de cada segmento, já

13. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
calculado na Tabela II. Esta em conjunto com a matriz fmiR é utilizada para calcular as forças
concentradas em cada um dos segmentos bem como o ponto onde cada uma é aplicada em
cada um deles. Tanto as forças como o ponto de aplicação não variam ao longo do tempo e
ambos são armazenados na matriz fmi.
De seguida procedemos à introdução de todos estes dados na função dinâmica. Esta é
definida como:
[pos2,vel2,acel2,lam,Fh,Fu,Mg]=dinamica[qi,qpi,h,u,ipreg,ipretr,iprerot,cr,iprefcr,alfa,beta,fa,
kmax] (25)
Onde os vectores qi e qpi correspondem às aproximações iniciais para os vectores de
posições e de velocidades generalizadas do sistema, h à matriz de constrangimento de
segmento de corpo rígido, u à matriz de constrangimento de junta explícita entre dois pontos,
ipreg, ipretr e iprerot às matrizes de células de guiamento de ângulos relativos, de translação e
de rotação global, cr à matriz que, em cada linha, introduz um corpo rígido definido por um
segmento do mesmo tipo de mi, iprefcr é uma matriz de células que em cada linha introduz
uma força externa aplicada a um corpo rígido do tipo de fmi, alfa e beta são parâmetros do
método de Baumgarte, fa é a frequência de amostragem e kmax o número de instantes da
análise. Os índices pi, pj, etc. devem ser especificados em concordância com o modelo 2D e
coerentes com a ordem das coordenadas introduzidas nos vectores qi e qpi .
Tal como na cinemática os dados de entrada carecem de interpolação para cálculo das
velocidades e acelerações, com base nos guiamentos passados à função. Para tal construiu-se a
função interpola21.m que, através das funções spline e mmspder do Matlab, cria o polinómio
interpolador das variáveis de entrada e suas primeira e segunda derivadas. Para avaliar os
valores saídos da interpola21 criou-se a função interpola22 que retorna os valores interpolados
para o instante pretendido através da função ppval.
A interpolação é também aplicada à matriz das forças externas.
Após a interpolação dos dados de entrada o programa constrói a matriz de massa global
concatenando as matrizes de massa calculadas para cada corpo rígido.
De seguida são calculadas as posições e as velocidades por integração do sistema de
equações do movimento. Esta integração é feita pela função ode45 que, integrando a eqdemov
reconstrói o comportamento da solução. À eqdemov são apenas passadas as formas
interpoladas dos guiamentos e das forças e estas são processadas no instante específico dentro
da eqdemov. A ode45 integra tudo de uma só vez, para todos os instantes do intervalo de
interesse, utilizando iterativamente a equação do movimento.
As acelerações e os multiplicadores de Lagrange são obtidos recorrendo à equação do
movimento eqdemov22 à qual são fornecidas as posições e as velocidades resultantes da
interpolação da eqdemov21. Dentro de cada uma destas equações de movimento encontra-se
um conjunto de funções iguais às usadas na análise cinemática (calcpi, calcpe, clacjr, etc.) de
modo a calcular o vector de constrangimentos e a sua jacobiana.
As tensões nos segmentos, as forças de reacção nas juntas explícitas e os momentos
aplicados nas juntas são obtidos através do tratamento dos multiplicadores de Lagrange.

14. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Esta função devolve quatro matrizes: uma com as posições, outra com as velocidades, a
terceira com as acelerações e a última com os multiplicadores de Lagrange, ao longo do
movimento. Todas elas têm uma primeira linha com tantas colunas quantos os instantes de
tempo considerados, seguida de tantas linhas quanto o número de coordenadas generalizadas.
Apesar de não serem devolvidas para o exterior da função, são também calculadas as forças de
tensão nos diferentes segmentos rígidos Fh, as forças de reacção nas juntas Fu e os momentos
de binário nas juntas Mg.
Para visualização gráfica das reacções em cada pé ao longo da marcha foi criada a função
gráficos2 que consiste num ciclo principal que devolve a imagem em cada instante de tempo.
Para além do plot dos pontos do vector de posições são representadas também as forças de
reacção.
Após correr o ficheiro ensaio deverá correr abrir o ficheiro resultados e corrê-lo também.
Os gráficos obtidos foram construídos a partir das variáveis criadas na função dinâmica.
6. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
De modo a analisar os resultados da simulação da marcha foram recolhidos os gráficos
respeitantes à posição, velocidade, aceleração e ângulo de pontos considerados de interesse.
Figura 5. Gráfico da variação das posições a) da cabeça, b) dos ombros e c) da anca ao longo de um ciclo da
marcha e d) a variação da velocidade dos mesmos.
Na figura 5 observa-se que as variações da posição da cabeça, da anca e dos ombros são
muito semelhantes. Esses pontos não influenciam a marcha, dado que a postura do executante
se mantém durante um ciclo. Relativamente às velocidades, observa-se no gráfico 5 d) que
estas são sobreponíveis para a cabeça, anca e ombros, pois a variação do deslocamento ao
longo do tempo é uniforme para estes três pontos, sendo que, como referido anteriormente
estes não são pontos com influência directa na marcha.

15. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Figura 6. Gráfico a) da variação da posição dos calcanhares esquerdo e direito; b) da variação da velocidade dos
calcanhares; c) durante uma passada na posição vertical do calcanhar que ataca o solo no inicio do ciclo: d)
durante a passada da velocidade vertical e horizontal do calcanhar que ataca o solo no início do ciclo.
Comparando a figura 6.a) com a figura 6.c), mais precisamente o gráfico das posições do
calcanhar esquerdo (gráfico verde) com o gráfico retirado da literatura [8], verifica-se a
semelhança tanto da fase como na forma. Nesta mesma curva verde do gráfico 7 a) observa-se
um período entre o início e os 0.4segundos que corresponde à fase de apoio, a partir deste
período a variação da posição é muito maior atingindo-se um pico que representa a elevação
máxima da respectiva perna durante a marcha.
O gráfico de velocidades 6.b) obtido é muito semelhante ao da referência bibliográfica [8],
sendo que na figura 6.d) na fase de apoio a velocidade é exactamente zero e no gráfico b)
apesar de não ser zero, aproxima-se muito deste valor.
Figura 7. Gráfico correspondente à variação dos ângulos das juntas dos ombros esquerdo (verde) e direito (azul).
No gráfico da figura 7 verifica-se uma assimetria entre as duas curvas, isto deve-se à maior
amplitude que o braço esquerdo apresenta durante a marcha comparativamente ao braço
direito. Este facto, não se deve a um erro de programação mas indica uma característica física
do executante.

16. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Figura 8. Gráfico a) da variação da posição dos joelhos esquerdo e direito; b) da variação de velocidade dos joelhos
segundo o eixo zz; c) da variação angular dos joelhos; d) da variação de velocidade dos joelhos segundo o eixo xx.
Nos gráficos das velocidades dos joelhos na figura 8, verifica-se que a velocidade segundo
x é maior na fase de balanço, como seria de esperar. A velocidade segundo z atinge o seu
máximo nesta mesma fase.
No gráfico relativo à variação de posição do joelho segundo z (figura 8 a)) observam-se
oscilações acentuadas quando comparadas às da cabeça, ombros e anca, já que os joelhos
intervêm directamente na marcha.
A variação angular dos joelhos está de acordo com o esperado. A figura 8 b) está em fase
com a curva cinzenta da figura 9 e apresenta a mesma forma.
Figura 9. Variação padrão do ângulo do joelho segundo a
referencia [9].
As forças de reacção são medidas por uma plataforma de forças colocadas no percurso do
executante da marcha tal como referido anteriormente. O resultado da aquisição da placa tal
encontra-se na figura 10 e da sua observação depreende-se que o resultado obtido pela
simulação é satisfatório e consistente com o gráfico presente na literatura [8] (também
presente na figura 10).

17. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Figura 10. Reacções adquiridas pela placa e relação com o disponibilizado em [8].
De uma observação mais cuidada concluímos que as forças de reacção equivalentes a cada
pé se mantém durante cerca de 60% da passada e existe a sobreposição das reacções aquando
se encontram os dois pés apoiados, o que acontece em cerca de 10% da passada (caso se
procedesse a uma análise da corrida seria de prever que tal não acontece-se visto que durante
o movimento da corrida apenas é apoiado um pé no chão de cada vez).
Na figura 11 encontra-se a comparação entre os resultados para a posição, velocidade e
aceleração do calcanhar ao longo do tempo para as simulações cinemática e dinâmica.
Procedeu-se a esta comparação para verificar se se garantia a fiabilidade da simulação. Como
se pode observar na figura ambas as simulações representam satisfatoriamente o sucedido com
o calcanhar durante um ciclo da marcha e são concordantes entre si.
Figura 11 - Posições, velocidades e acelerações do calcanhar ao longo do tempo de simulação cinemática (a azul)
e dinâmica (a vermelho).
Ao utilizar-se parâmetros de Baumgarte menos rigorosos, os resultados acabam por tender

18. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
a divergir, o que é uma situação espectável, visto que a solução apresentada tem maior
liberdade para estender afastamentos em relação à solução real.
Após a conclusão da validação do simulador a nível das variáveis cinemáticas procedeu-se
ao cálculo dos multiplicadores de Lagrange para os vários instantes.
Figura 12. Convenção de Sinais no que diz respeito aos momentos medidos para as articulações ao membro
inferior.
Existem diversas patologias ou lesões que são caracterizadas pela alteração em relação aos
valores padrão de um dos tipos de forças internas mais importantes denominadas binários nas
juntas. Desta forma procedeu-se à análise dos binários na junta do tornozelo, no joelho e na
anca (figura 13) visto que são as juntas com maior relevância para o estudo da marcha e
patologias associadas. Quando comparados os resultados obtidos com os disponibilizados na
literatura [8] verifica-se que estão bastante aproximados o que revela que o individuo
executante do movimento de marcha aparenta não ter lesões nem patologias associadas a
alterações significativas neste parâmetro.
Figura 13. Relação entre os resultados para o momento do tornozelo, joelho e anca obtidos através da
implementação computacional e os resultados da referência [8] para os momentos da anca joelho e tornozelo
respectivamente.
É de notar que os momentos nas juntas de revolução não são uma medida estanque e que

19. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
existem desvios previstos e estudados para certas situações como é o caso ilustrado na figura
14 retirado da referência [8] e que mostra os desvios nos momentos das três articulações
supra-referidas para o caso da variação da velocidade de execução do movimento em estudo.
Figura 14. Desvios em relação aos momentos do tornozelo, joelho e anca causados pela execução mais rápida ou
mais lenta da marcha.
Na figura 14 está a análise das forças de reacção nas juntas correspondentes a articulações
de ambos membros inferiores (nomeadamente o tornozelo, joelho e anca) em relação ao eixo
vertical.
Figura 15. Gráfico representativo da força de reacção propagada através do corpo. A curva azul representa o
tornozelo, a verde o joelho e a magenta a anca.
Pode facilmente observar-se que o gráfico apresenta a mesma forma que o presente na
figura 10 correspondente às curvas de reacção na placa de pressão. Isto acontece devido à
propagação dessas forças para o resto do corpo. Há a dizer que esta transmissão de forças ao
longo da estrutura óssea é de extrema importância para a manutenção da vitalidade óssea
através de um fenómeno denominado por lei de Wolff [10]. Esta lei enuncia que para uma
remodelação óssea correcta é vital que ocorra solicitação mecânica do osso.
CONCLUSÃO
Tendo em conta os resultados obtidos conclui-se que o procedimento computacional foi
implementado com êxito pois, comparados com a literatura, estes são bastante aceitáveis.

20. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
Quanto à análise cinemática multicorpo implementada conseguiu-se um bom estudo da
marcha humana. Os valores finais conseguidos foram introduzidos na análise dinâmica
directa, com sucesso. No entanto, existem valores discrepantes e sem muito significado
prático, ao longo do algoritmo.
Os conceitos de análise dinâmica adquiridos nas aulas, foram todos aplicados seguindo a
estruturação proposta nas mesmas.
O tempo de execução é bastante maior que o da cinemática, sendo no entanto
compreensível. Um modo de melhoramento dos resultados seria, por exemplo: uma aquisição
laboratorial com mais câmaras ou uma maneira mais eficiente e precisa de colocação dos
marcadores.
Em relação ao trabalho anterior, esta é uma análise muito mais completa e eficaz para
estudo de todo o tipo de actividades e/ou patologias relacionadas com o movimento.
REFERÊNCIAS
[1] – http://pt.wikipedia.org/wiki/Dinâmica
[2] – Amádio, A.; Barbanti, V. “A biodinâmica do movimento humano e suas relações
interdisciplinares”, in Estação Liberdade, São Paulo, p. 45-70, 2000.
[3] – Farahmand, F.; et al., “Kinematic and Dynamic Analysis of the Gait Cycle of Above-
Knee Amputees, in Sharif University of Technology, July 2006
[4] – Filippin, N.; Bonamigo, E., “Implicações terapéuticas da análise dinámica da marcha
na paralisia cerebral – um estudo de caso, in Revista de Fisioterapia da Universidade
de Cruz Alta, Julho de 2003
[5] – Nieves, V., “Static and Dynamic Analysis of a Piping System”, University of Puerto
Rico, December 2004
[6] - Schiehlen, W., “Recent developments in multibody dynamics” in Journal of Mech.
Sci.
and Tech. Vol. 19, Sup. 1. Springer, January 2005.
[7] – Zaeh, M.; Siedl, D., “A nex method for simulation of machining performance by
integrating finite element and multi-body simulation for machine tools”, University of
München, June 2007
[8] - Winter, David A., The Biomechanics and Motor Control of Human Gait: Normal,
Elderly.
[9] – Bronzino, J.; Peterson D., “Biomechanics -Principles and Applications”. CRC Press,
2008
[10] – Wolff, J., "The Law of Bone Remodeling". Berlin Heidelberg New York: Springer,
1986 (translation of the German 1892 edition)
[11] – Sabino, A.; Tiago, J.; Antunes, P.; “Análise Cinemática do Movimento Humano”,
Portugal, 2009

21. Ana Sabino, João Tiago e Paula Antunes
ANEXOS
Tabela A1. Massa, localização do centro de massa e raio de giração de diversos segmentos