ANALYSIS OF A STRUCTURE OF BARS FROM THE METHOD OF FINITE ELEMENTS

1. Disciplina de MECÂNICA E MOCELAÇÃO COMPUTACIONAL
Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
4º Ano, 1º Semestre 2009/10
ANÁLISE DUMA ESTRUTURA DE BARRAS A PARTIR DO MÉTODO
DE ELEMENTOS FINITOS
Paula Antunes
64407
e-mail: paulasmt@gmail.com
Ana Sabino
64416
e-mail: anasabino.rm@gmail.com
Palavras-chave: Mecânica computacional, estrutura de barras, método de elementos finitos,
deformação, tensões concentradas em nós, reacções de apoio.
Resumo. O objectivo deste trabalho é construir um programa em Matlab que resolva um
problema de estrutura de barras. O método escolhido para a sua resolução foi o método de
elementos finitos. Após a estruturação do programa procedemos a uma validação com um
problema bastante simples e de solução conhecida. A solução obtida foi concordante e daí
avançámos para a resolução do nosso problema. Através da discussão dos resultados
provamos que as soluções obtidas são fidedignas e têm um significado prático lógico.

2. Paula Antunes e Ana Sabino
1. INTRODUÇÃO
Quando temos um problema físico cuja resolução passa pela modelação matemática por
equações diferenciais nem sempre conseguimos achar a solução exacta. Perante esta situação
torna-se imprescindível a utilização de um método que nos permita determinar uma solução
aproximada. Na literatura os mais referenciados são: o método de diferenças finitas, os
métodos variacionais de Rayleigh-Ritz, Galerni e o de elementos finitos.
Numa aproximação por diferenças finitas de uma equação diferencial, a última derivada é
substituída por quocientes de diferenças (ou a função é expandida numa série de Taylor) que
envolvem a solução em pontos discretos da malha do domínio. As equações algébricas
resultantes são resolvidas, após a imposição de condições de fronteira, para os valores da
solução desses mesmos pontos.
Quando a solução nos é dada por uma equação diferencial resolvida a partir dum método
variacional é utilizada a formulação integral da equação diferencial (integral ponderado) e é
assumido que a sua solução aproximada é uma combinação linear do tipo
( ) (1)
em que ψi são funções de aproximação e ci coeficientes indeterminados. Estes coeficientes
vão ser determinados ao longo do método de modo a satisfazerem o integral. A obtenção da
solução aproximada por este processo pode ser feita por diferentes métodos, consoante a
função peso escolhida. A desvantagem deste tipo de métodos é que torna-se bastante difícil
achar as funções de aproximação para problemas com domínios arbitrários.
Este obstáculo é ultrapassado pelo método dos elementos finitos através de uma
sistematização, que consiste nos seguintes passos:
1. Divisão do domínio em partes simples (elementos finitos);
2. Construção das funções aproximadas definidas elemento a elemento com base
na ideia de que qualquer função contínua pode ser representada por uma
combinação linear de polinómios algébricos;
3. Ligação dos elementos, que é feita de forma a garantir a continuidade da
solução, e respeitando a equação de forças;
O domínio “ligado” (assemblado) e a respectiva solução correspondem a um problema
análogo ao problema matemático definido no domínio original.

3. Paula Antunes e Ana Sabino
2. ESTRUTURA DE BARRAS 2D
No nosso trabalho a estrutura de barras a resolver, através deste último método, é 2 e
2-D
apresenta a seguinte configuração:
Figura 1 . Estrutura a resolver com o programa desenvolvido em Matlab.
Sendo F = 2kN, P = 5kN, A = 0.7m e B = 1.5m
O nosso programa em Matlab deve devolver: as reacções de apoio, a deformação no ponto
D e a tensão em cada barra.
2.1. Método de elementos finitos
No método de elementos finitos as funções de aproximação são, geralmente, polinómios
algébricos e os parâmetros indeterminados representam os valores da solução dum número
finito de pontos pré-seleccionados, os nodos ou nós, na fronteira e no interior do elemento. As
seleccionados, ,
funções de aproximação são derivadas através de interpolação e por isso são chamadas de
funções interpoladoras. Verifica-se que o grau das funções interpoladoras depende do número
-se
de nós e da ordem da equação diferencial a ser resolvida.
e
Para obter a solução pelo método dos elementos finitos é necessário:
1. Obter a formulação variacional do problema;
2. Seleccionar a fórmula da solução aproximada para um elemento tipo;
apr
3. Obter o sistema de equações substituindo a solução aproximada na formulação
variacional.

4. Paula Antunes e Ana Sabino
2.2. Aplicação do MEF a uma estrutura de barras
Figura 2 - Elemento de barra para aplicação do método de elementos finitos.
Para qualquer problema de barras a equação diferencial é dada por
− ( . )= ( ) (2)
onde A corresponde à área da secção da barra, f(x) é o carregamento axial e sx é a tensão
segundo x. A tensão, pela lei de Hooke, é igual a
s= . onde = (3)
sendo E o módulo de Young, a deformação que se traduz na derivada do deslocamento axial
u em ordem a x. Deste modo a nossa equação diferencial evolui para a forma
− ( . . )= ( ) (4)
em que A.E nos informa acerca da rigidez da barra. Esta equação é válida para problemas
unidimensionais e constituídos por materiais elásticos.
Em geral, se substituirmos a aproximação do tipo
= . (5)
directamente na equação diferencial, não conseguimos obter condições que permitam
determinar os parâmetros αi. Para contornar este problema devemos utilizar a formulação
integral da equação diferencial (4) que nos leva a
− . . ′′
− ( ) . ( ). = ∀ ( ) (6)
Sendo w(x) a função peso.

5. Paula Antunes e Ana Sabino
Nas fronteiras do elemento barra são impostas condições – condições de fronteira. Estas
podem ser essenciais ou naturais. As primeiras correspondem a deslocamentos impostos em
x=0 e/ou x=L, o que faz com que nesses nós a função peso seja nula, e as segundas
correspondem a forças impostas (A.E.u’).
Figura 3 - Elemento de barra
Posto isto, chegamos à formulação fraca através da integração por partes
. . . . − ( ). ( ) − ( )− ( )= ∀ ( ) (7)
onde
− . . ( )=
− . . ( )= (8)
Uma vez que o elemento barra é um elemento linear, pois possui dois nós (Ilustração 2), a
solução aproximada é do tipo
= (9)
onde h é o comprimento da barra e dado por xb-xa. Calculando a solução aproximada em cada
nó, resolvendo-a em ordem a c1 e c2 e sabendo que
= (10)
obtemos as soluções interpoladoras que neste caso são polinómios de Lagrange de 1º grau
= − ( )
= ( ) (11)
onde x é a coordenada local.
Posto isto e pegando novamente na equação (7) sabemos que
. . . ( ) . = ( ). ( ) ( )− ( ) (12)
e escolhendo para as funções peso as próprias funções interpoladoras

6. Paula Antunes e Ana Sabino
=
( ) =
( ) = (13)
e substituindo na equação (12) obtém-se:
. = (14)
sendo k a matriz de rigidez e F o vector das forças. Para um elemento barra, cada um deles é
definido como
= . .( . )
= . (15)
que em forma matricial corresponde a
−
=
−
= (16)
Para o nosso problema, em 2D, vão existir forças e deslocamentos segundo duas direcções,
e por isso a matriz de rigidez a preencher ao longo do nosso programa será da forma
1 0 − 1 0
 0 0 0
EA  0 (17)
[ ]
Ke =
he − 1 0 1 0

 
0 0 0 0
Como existe vantagem em utilizarmos um referencial local temos que ter o cuidado de
passar de coordenadas do referencial local de cada elemento finito, para o referencial global
através da seguinte transformação
Ke = Te [ ] [K ] [T ]
T e e
(18)
 cos 2 α cos α sin α − cos 2 α − cos α sin α 
  (19)
EA  cos α sin α sin 2 α − cos α sin α − sin 2 α 
[K ]
e
=
he  − cos 2 α − cos α sin α cos α 2
cos α sin α 
 
 − cos α sin α
 − sin 2 α cos α sin α sin 2 α 


7. Paula Antunes e Ana Sabino
onde [T] é a matriz de transformação de coordenadas e α o ângulo que o referencial local faz
com o global.
Uma vez que o nosso sistema possui múltiplas barras, para montar o sistema global é
necessário utilizarmos uma matriz de conectividades que relaciona os graus de liberdade
locais com os do sistema global e nos permite construir a matriz de rigidez global de
dimensão n x n sendo n o dobro do número de nós do sistema.

8. Paula Antunes e Ana Sabino
3. ESTRUTURAÇÃO DO PROGRAMA
Aqui descreveremos todo o raciocínio utilizado para o desenvolvimento do código em
Matlab que irá resolver o nosso problema de barras 2D.
3.1. Introdução de dados
Por motivos de facilidade na introdução dos dados escolhemos que esta fosse feita através
de uma folha de Excel. Existem dois ficheiros Excel disponíveis para avaliação: o
Estrutura.xls que contem os dados que caracterizam o nosso problema e o EstruturaAvalia.xls
que corresponde à estrutura de validação que será descrita na secção 3.4. Existe um ficheiro
Excel com uma tabela de introdução de dados em branco para o caso de se querer avaliar uma
outra estrutura para além destas duas. Após o seu preenchimento há que salvar com o nome
NovaEstrutura.xls.
A tabela dos dados consiste numa tabela de treze colunas e tantas linhas quantas
necessárias para definir a estrutura de barras em questão (Figura 4).
Figura 4 - Tabela para introdução de dados. Os dados de exemplo correspondem aos do problema do
enunciado.
Como é perceptível na Figura 4, vão existir quatro subtabelas principais, que serão
introduzidas no programa como um vector de 4 matrizes:
1. Coordenadas dos pontos de interesse – indicação do índice de cada nó e das
respectivas coordenadas;
2. Elementos de barra - indicação dos dois nós que estão nos extremos de cada barra,
cada uma. No nosso caso o material é aço, cujo = .
os módulos de Young do material de que são constituídas e a área de secção de
Pa, e todas as
barras possuem a mesma área de secção m2.
3. Forças exteriores – introdução dos índices dos nós onde são aplicadas forças
exteriores e das componentes vectoriais dessa mesma força.
4. Deslocamentos impostos – indicação dos índices dos nós onde existem apoios e

9. Paula Antunes e Ana Sabino
informação acerca dos deslocamentos. Se nesse ponto de aplicação não existir
deslocamento numa ou em ambas as direcções o valor a colocar é 0. Se houver
uma direcção na qual é permitido um deslocamento então o valor a colocar é -.
A função lerdados lê o ficheiro de Excel e introduz os dados no vector de matrizes est,
com a informação acima explicitada. Salientamos ainda que o programa consegue receber os
dados por ordem arbitrária permitindo que o utilizador atribua qualquer numeração aos nós
pois essa informação só é necessária para a definição das barras.
3.2. Método dos elementos finitos
A função principal chama-se melfin e esta possui no seu corpo o método dos elementos
finitos. A ser executada ela devolve os vectores U, R e TENSÃO correspondentes aos
deslocamentos sofridos em cada nó, às reacções nos apoios e às tensões interiores de cada
barra, respectivamente. Todo o código se encontra comentado com os passos que vamos agora
descrever, e que correspondem àqueles já descritos na secção 2.2. Após a leitura de dados
inicializamos a matriz de rigidez global, KG, a zeros e o primeiro ciclo for que aparece serve
para somar as contribuições de cada barra para esta mesma matriz. Estas contribuições são
calculadas com o auxílio da matriz de rigidez de cada elemento barra, Ke, que por sua vez não
necessita do cálculo explícito dos ângulos entre as barras e os eixos do referencial global pois
os senos e os cosenos são directamente calculados a partir dos seus vectores directores.
Após esta iteração passamos à definição das condições de fronteira que é feita com base
nos dados introduzidos na terceira subtabela de Forças exteriores e na quarta subtabela
Deslocamentos Impostos. Nesta etapa ocorrem dois passos importantes:
1. Geração do vector de forças exteriores - é inicializado a zero e gerado o vector das
forças exteriores {F} a partir de um ciclo for. Este será igual a 0 nas coordenadas
dos nós onde não são aplicadas forças exteriores e diferente de 0, e igual à
componente da força em Newtons, nas coordenadas dos nós onde há forças
aplicadas.
2. Geração do vector dos deslocamentos – este será um vector coluna, com 2*n linhas,
igual a 0 nas coordenadas dos nós onde impusemos deslocamentos, ou seja, que
obrigamos a não sofrer deformação e NaN (Not a Number) naquelas que irão sofrer
deslocamento quando simularmos a aplicação das forças exteriores, e que darão
origem à estrutura deformada.
Após todas estas definições procedemos à resolução do sistema seguindo a seguinte
∆ =
expressão
(20)
onde { e} é o vector dos deslocamentos e [Q] o vector das reacções.

10. Paula Antunes e Ana Sabino
Começamos por calcular a resolução do sistema para os nós onde não conhecemos os
deslocamentos e para isso criamos o vector índices que deixa os pontos cujo deslocamento é
imposto a zero e os outros (definidos com NaN) iguala-os a um. É através deste vector que
um outro designado por Kmatriz vai buscar à matriz de rigidez (kglobal) os valores
correspondentes a estes pontos. Depois calculamos a resolução do sistema para os nós em que
tínhamos imposto o deslocamento e criamos o vector indicesinv que não é mais que o
contrário do vector índices e assim sendo revela os pontos para os quais impusemos o
deslocamento (os zeros tornam-se uns e os NaN tornam-se zeros). Criamos também a matriz
C para lidar com deslocamentos impostos diferentes de zero, caso existam.
De seguida calculámos os deslocamentos nos nós e recorrendo à equação 20 calculámos as
reacções nos apoios da estrutura.
Após a resolução do sistema podemos passar a resolver o problema das tensões em cada
barra recorrendo à variação do comprimento das mesmas. Assim, a tensão em cada barra é
dada por
δE
σ= (21)
L
onde L é o comprimento da barra, E o módulo de Young e δ a variação de comprimento da
barra.
3.3. Interface gráfica
Para o utilizador conseguir visualizar todos os parâmetros pedidos no enunciado tem que
escrever o comando guitrab no Matlab. Ao fazê-lo aparecerá um painel com opções igual ao
da Figura 5. As funções implícitas neste painel são desenhadeformada, desenhaoriginal,
plotdeform, plotorig e melfin.
Primeiro escreve-se o nome do ficheiro Excel que contem a tabela com os dados do
problema no primeiro campo de escrita, no formato Ficheiro.xls e tendo atenção às
maiúsculas. No segundo campo de escrita introduz-se um factor de multiplicação para que
seja multiplicado pelos deslocamentos melhorando bastante a percepção dos mesmos.
Aconselha-se um factor de 100.
Se se quiser visualizar a estrutura original, a função guitrab chamará a função
desenhaoriginal que após resolver o método de elementos finitos, recorre à função plotorig
para desenhar a estrutura original e colori-la. No caso em que se desejar ver a estrutura
deformada o guitrab chamará a função desenhadeformada e esta fará o mesmo que a anterior,
mas desta vez desenhará a estrutura deformada através da função plotdeform. A primeira parte
do corpo de ambas as funções desenha é igual à função melfin.

11. Paula Antunes e Ana Sabino
Figura 5 - Painel guitrab para visualização de resultados.
Para ter acesso aos valores de deformação, reacções nos apoios e força interiores das barras
tem que se seleccionar umas das opções indicadas no menu popup tabelas. As reacções
s.
aparecerão numa matriz nx2 em que a primeira coluna indica a componente x da reacção re
nesse ponto e a segunda coluna a componente y da mesma. As deformações aparecerão numa
matriz idêntica à das reacções, mas desta vez os valores numéricos corresponderam ao
deslocamento em x e em y de cada nó. A opção tensões_interiores dá um vector coluna com a
camento c
tensão em Pa que cada barra sofre. A ordem das barras deste vector coincidirá com a ordem
coincidir
pela qual foram definidas no ficheiro Excel introduzido.
Utilizamos ainda o colormap(jet) para uma percepção mais intuitiva de todo o sistema de
forças que actua na nossa estrutura de barras. Os deslocamentos são multiplicados por um
factor de escala para que o utili
utilizador se aperceba da deformação, contudo, os valores
ontudo,
apresentados são os reais.
3.4. Validação do programa
De modo a verificar se o nosso programa estava a efectuar os cálculos correctamente
rificar pr
desenvolvemos uma estrutura de baixa complexidade de modo a que pudéssemos calcular os
valores das tensões nas barras (23 e das reacções nos apoios (22). A estrutura testada foi a
(23) ).
seguinte:

12. Paula Antunes e Ana Sabino
Figura 6 - Esquema da estrutura utilizada para validar o programa
Realizam-se os cálculos para prever quais os valores das reacções nos apoios e das tensões
se
interiores das barras que o nosso programa terá que devolver para que o possamos validar.
Considerando o sistema em equilíbrio estático resolvemos o seguinte sistema:
= − ( °) = = .
= − ( °) = =
= . = =
(22)
= = = .
Visto que a área de secção é:
= = =
Podemos calcular a tensão em cada barra (σ1→2 para a barra 1 e σ2→3 para a barra 2)
odemos (
=− .
= =
=− .
(23)
Inserem-se os dados da estrutura numa folha de Excel à qual chamamos
se
EstruturaAvalia.xls (Figura 7) e executamos o guitrab obtendo o resultado da Figura 8.
) 8

13. Paula Antunes e Ana Sabino
Coordenadas dos pontos de
elementos de barra: Forças Exteriores Deslocamentos Impostos
interesse:
Ponto Ponto Modulo de Área Ponto de componente componente Ponto de componente componente
x (/m) y (/m)
inicial final Young (/Pa) (/m^2) aplicação em XX (/N) em YY (/N) aplicação em XX em YY
1
0 0 1 2 21000000000 0,0006 2 -2.121,3 2121,3 1 0 0
2
2 0 2 3 21000000000 0,0006 3 0 0
3
2 1,5
Figura 7 - Dados inseridos na folha de Excel para analisar a estrutura de validação.
Figura 8 - Estrutura de validação original (cinzento) e a respectiva estrutura deformada (colorida).
Para não inserirmos todas as imagens no relatório, de modo a demonstrar as tabelas de
valores de interesse, colectaram-se esses valores na tabela 1.
Deslocamentos / m Reacções nos apoios / N
Ponto Barra Tensão/Pa
XX YY XX YY
1 0 0 2121,3 0 1→2 - 3,3535e+007
2 -0,00036 0,00025 0 0 2→3 - 3,3535e+007
3 0 0 0 2121,3
Tabela 1 - Valores das deslocamentos e das reacções nos apoios da estrutura de validação.

14. Paula Antunes e Ana Sabino
Como se pode verificar os valores tabelados coincidem com os valores anteriormente
calculados. Pode-se então considerar que o programa é válido para resolver problemas com
estruturas de barras.

15. Paula Antunes e Ana Sabino
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
DISCUSS
Recorrendo ao guitrab introduzimos os dados visíveis na figura 9 e obtivemos a respectiva
estrutura deformada bem como os valores dos deslocamentos, das reacções e das tensões
interiores descriminados na tabela 2.
Figura 9 - Painel guitrab com a estrutura original (cinzento claro), estrutura de formada (colorida) e os valores
das deformações em cada nó.
O primeiro pormenor vantajoso, relacionado com uma análise imediata da deformação que
a estrutura sofre, é a estrutura cinzenta que aparece atrás da colorida. Decidiu-se que, quando
se
o utilizador escolhe visualizar a configuração deformada, automaticamente, a estrutura
original aparece atrás, a cinzento. Esta opção de apresentação de resultados, no nosso ponto
,
de vista, permite uma muito melhor percepção da alteração ou não da posição dos nós bem
melhor
como da alteração de inclinação de cada uma das barras.
O segundo pormenor trata-se das cores atribuídas às barras, através da função do Matlab
se
colormap(jet), em função das tensões interiores de cada uma. A escala da barra colorida
uma.
lateral vai desde o valor mínimo -2.5x107 é ao máximo 2.5x107. Uma vez que associamos esta
distribuição de cores ao valor da tensão interior que cada barra sofre, é conveniente fazer a
analogia de que a escala de cores vai do azul escuro ao verde claro (-2.5 MPa a 0 MPa)
2.5
evidenciando as barras que se encontram à compressão (tensões interiores negativas) e do
amarelo ao vermelho escuro (0 MPa a 2.5 MPa) colorindo as barras que se encontram à
tracção (tensões interiores positivas).
positiva

16. Paula Antunes e Ana Sabino
Os eixos estão escalados em metros e também fornecem informação acerca das dimensões
da estrutura.
O único ponto não realista nesta apresentação é o efeito do factor de multiplicação. Para ter
uma melhor percepção das deformações teve que se abdicar da representação dos
deslocamentos reais, que não iriam ser perceptíveis por serem muitos pequenos. Deste modo
não se pode ver a quantidade de deslocamento que os nós sofrem, olhando para os eixos x e y
tendo que se recorrer à tabela dos deslocamentos.
Deslocamentos / m Reacções nos apoios / N
Ponto Barras Tensão/Pa
XX YY XX YY
1 0 0 -2202,2483 -7593,2945 1→2 1.4495e+007
2 0,0052 0,0010 0 0 2→3 -1.8277e+007
3 0,0045 0,0001 0 0 1→3 2.6101e+007
4 0 0 -2797,7917 -648,6879 2→4 -1.5759e+007
5 0,0047 -0,0019 0 0 3→4 0.2106e+007
6 0,0016 0 0 10241,9824 4→6 1.7253e+007
3→5 0.4758e+007
3→6 -2.8142e+007
6→5 -1.0834e+007
Tabela 2- Valor dos deslocamentos (em metros), das reacções nos apoios (em Newtons) e as tensões interiores
em cada barra
4.1. Deslocamentos
Os valores positivos na direcção do eixo dos xx indicam um deslocamento do nó para a
direita e na direcção dos yy um deslocamento para cima. Por sua vez, os deslocamentos
negativos na direcção do eixo dos xx indica uma deslocamento do nós para a esquerda e na
direcção do eixo dos yy um deslocamento do nó para baixo, em relação à posição inicial.
Os deslocamentos nos pontos 1 (segundo as duas direcções), 4 (também segundo as duas
direcções) e 6 (segundo o eixo vertical) são zero. Tal deve-se ao facto termos imposto
deslocamentos precisamente nessas direcções desses pontos. Os nós 1, 4 e 6 correspondem
aos apoios da estrutura e como tal estão fixos ao referencial segundo as direcções em que o
deslocamento é igual a 0 mm.
Os valores tabelados estão de acordo com a deformação que a estrutura sofre. A força
horizontal de 5 kN aplicada no ponto 2 faz com que toda a estrutura, excepto os nós fixos, se
mova para a direita, ou seja, na direcção da força. Por outro lado, a força vertical de -2 kN
provoca um abatimento da estrutura na extremidade em que é aplicada (nó 5). Ao ser
aplicada, esta força cria tensões nas barras 4 → 5 e 4 → 6 que puxarão a estrutura para baixo
e para a direita. Os nós 3 e 3 sofrem uma elevação estão na extremidade oposta daquela em
que é aplicada a força vertical negativa de 2 kN.
No ponto D (que corresponde ao ponto 5 da nossa estrutura) houve uma deformação de 4.7
mm na horizontal e de 1.9 mm na vertical.

17. Paula Antunes e Ana Sabino
4.2. Reacções
As reacções obtidas apresentam um significado lógico. Só existem reacções nos apoios: em
ambas as direcções nos nós 1 e 4 e na direcção dos yy no nó 6. Nos dois primeiros nós ambas
as componentes das reacções vão ser negativas, ou seja, com direcção para a esquerda e para
baixo, pois as barras que estão ligadas a estes exercem tracção a estes pontos de apoio. O nó
6, apresenta uma reacção positiva na vertical pois a estrutura está a ser deformada no sentido
negativo da direcção vertical.
4.3. Tensões
Associando os valores das tensões da tabela 2 às cores das barras é fácil perceber porque é
que elas tomam esses valores. Como já foi referido, quando elas tomam valores positivos,
possuem cores entre o amarelo e o vermelho e significa que se encontram à tracção e quando
elas tomam valores negativos apresentam cores entre o azul escuro e o verde e significa que
estão à compressão. Estas apresentam valores da ordem do MPa como seria de esperar.
Podemos concluir que a estrutura está em equilíbrio estático recorrendo ao somatório das
forças segundo as várias direcções
 ∑ Fx = 0


 ∑ Fy = 0
 (24)
Como sabemos as reacções nos apoios e as componentes das forças segundo as duas
direcções (vertical e horizontal) calculamos o somatório da seguinte forma:
= (− . 8 ) (− 797.79 7) =
= (− ) (−7 9 . 9 ) (−6 8.6879) .98 =
(25)

18. Paula Antunes e Ana Sabino
5. CONCLUSÃO
Concluímos que o nosso programa se encontra preparado para resolver a generalidade dos
problemas de estruturas de barras e no algoritmo desenvolvido, todo o método de elementos
finitos foi estruturado dum modo sistemático e eficaz. A interface foi pensada para o
utilizador conseguir uma interpretação intuitiva e rápida.
Na prática este é um resultado satisfatório pois todas as barras sofrem tensões da ordem
dos MPa e os nós pelas quais elas se encontram ligadas sofrem deslocamentos reduzidos.
Apesar de não termos feito nenhum teste deste tipo, este programa resolve também
estruturas de barras que possuam módulos de Young diferentes, ou seja, que são feitas de
material diferente.

19. Paula Antunes e Ana Sabino
REFERÊNCIAS
[1] F. Beer, R. Johnston e J. DeWolf, Mecânica do Materiais, 3ª edição, McGrawHill, 2003.
[2] J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, 3ª edição, McGrawHill,
2006.
[3] P. R. Fernandes, J. Folgado e R. B. Ruben, Shape optimization of a cementless hip stem
for a minimum of interface stress and displacement, Computer Methods in Biomechanics
and Biomedical Engineering, 7, 51-61 (2004).