CM2 - Conversion Anlogique Numérique

Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 49
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM2 : Conversion
Analogique-Numérique
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII

PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage

Conversion Analogique-Numérique
 Principe
 Echantillonnage
 Quantification
 Traitement Numérique du Signal
 Conclusion
Plan

1. Numérisation

 Oreille :
Acoustique audible
f
Sensibilité
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
Sons audibles UltrasonsInfrasons
 MP3 :
 Téléphonie fixe :
 CD :
f
22 kHz0
f
22 kHz0
f
3,4 kHz0 300 Hz
Bande passante

Acoustique audible
f (Hz)
0
50
100
150
Voix
Musique
Audible
Seuil
de perception
Seuil de douleur
pa (dB)
 Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
Seuils de perception et de douleur
 Dépendance en fréquence

Effet de masquage: "psycho-acoustique"
 Exploité par le format MP3
Acoustique audible
f (Hz)
0
50
100
150
Seuil
de perception
normal
pa (dB)
Bruit
Modification du
seuil
de perception
Son intense
 Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet

Signal analogique/numérique
 Numérisation d’un signal : x(t) → xn(tn)
 Nécessaire pour le stockage et/ou le transport
 Echantillonnage : fréquence d ’échantillonnage fe
Transducteur
acoustique
électrique
Transducteur
électrique
acoustique
U
Signal
acoustique
Signal
acoustique
Signal
électrique
 Quantification : nombre de bits Nbits
t
∆t
∆x
Pas de temps :
Pas de quantification :
1
e
t
f
∆ =
max( ) min( )
2 1bitsN
x x
x
−
∆ =
−
x(t)
xn(tn)
Acquisition d’un signal analogique :

Signal analogique/numérique
 Fréquences d'échantillonnage et quantification: Applications
Acquisition d’un signal analogique :
f200 Hz 4 kHz
A
feSpectreDomaine Quantification Débit
f40 Hz 15 kHz
A
t
64 µs
A
Téléphonie
numérique
Audio
numérique
HiFi
Vidéo
numérique
Source: "Analyse et traitement des signaux – Méthodes et application au son et à l'image", Ed. Dunod, p.52.
8 kHz
44,1 kHz
13 MHz
8 bits
16 bits (/canal)
8 bits (N&B)
24 bits (coul.)
64
kbits/s
705
kbits/s
100 à 300
Mbits/s

2. Echantillonnage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
 Une tendance linéaire se dégage.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
 La distribution de points expérimentaux est la suivante :
 Points (xk, yk) expérimentaux : k est un entier ∈ [1; 21]

 L’erreur absolue commise vaut 1, mais l’erreur relative atteint 80 %
pour le deuxième point.
Echantillonnage
 Régression linéaire: Soit x∈[0;5] et ylinéaire = a.x+b
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
Echantillonnage
 Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + sin(2π x)
 Ce modèle défini sur [0; 5] décrit bien l’évolution des points expérimentaux.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
 Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + triangle(2π x)
 Ce modèle défini sur [0; 5] convient tout autant que le précédent.
 Seul un sur-échantillonnage permettrait de déterminer le meilleur des deux.
Echantillonnage

min
max
. 2e
points e
f
N f T
f
= = ≥
Npoints = 20 points/période
0 10 20 30 40
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 10 20 30 40
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
Npoints = 4 points/période
 Condition de Shannon : fe ≥ 2.fmax
 Echantillonnage minimum :
Echantillonnage
Echantillonnage : Discrétisation en temps

Signal numérique
 CD :
 WAV :
Echantillonnage : fe = 44,1 kHz
Quantification : Nbits = 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 2 voies
Débit :
D = fe.Nbits.Nvoies= 1411 kbits/s
Echantillonnage : fe = 8, 11, 22, 44 ou 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :
D = 64 à 1536 kbits/s
 MP3, WMA, OGG... :
Echantillonnage : fe = 8 à 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :
D = 32 à 320 kbits/s (MP3)
D = 48 à 500 kbits/s (OGG)
 Téléphone mobile : Débit : D = 6,5 ou 13 kbits/s
Débit associé à un format

3. Quantification

Quantification
max( ) min( )
q
U U
U
N
−
∆ =
 Pas de quantification :
2
U
U
ε
∆
= ±
 Erreur de quantification :
 Pas de valeur discrète
pour U = 0.
 Erreur relative importante
pour les faibles valeurs de U.  Quantification uniforme sur 10 niveaux.
Quantification : Discrétisation en amplitude
2
q
U
N
∆ =soit : si U ∈[−1; +1].

Quantification
 Quantification uniforme
sur Nq = 16 niveaux.
 Calées sur le max ou le min et val. 0 :
max
1
1;q q
q
U N
U N
 − 
∈ − +  ÷
    
max
1
; 1q q
q
U N
U N
 − 
∈ − +  ÷
    
 Calées sur le max et le min et val. 0 :
[ ]
max
1; 1qU
U
 
∈ − + ÷
 
! Nq = 17 !
 En pratique, il existe de nombreuses
possibilités de quantification uniforme :

Quantification
 En pratique, il existe de nombreuses
possibilités de quantification uniforme :
 Centrée sur 0 et erreur min :
max
1 1
;q q q
q q
U N N
U N N
 − − 
∈ − +  ÷
    
[ ]
max
1; 1qU
U
 
∈ − + ÷
 
 Centrée sur 0 et val. max et min :
 Quantification uniforme
sur Nq = 16 niveaux.
C’est la quantification de référence.

Quantification
 Erreur de quantification uniforme
centrée sur 0 pour Nq = 16.
 Si U ∈ [ −Umax; +Umax ] :
max2
q
U
U
N
∆ =
 L’erreur de quantification q est
aléatoire et uniformément distribuée:
 Evaluation du bruit de quantification
en fonction de Umax et Nq :
1
( )p q
U
=
∆ 2 2
U U
q
∆ ∆
− ≤ ≤ +si
0 sinon

Dans le cas d'une quantification, on distingue le signal quantifié xout et
l'erreur de quantification ε.
 L'erreur de quantification est bornée :
 L'erreur de quantification s'écrit :
max
2
U
ε
∆
= +
xin
+∆U/2
−∆U/2
( )inx t at=
min
2
U
ε
∆
= −et
pour ;
2 2
U U
t
a a
∆ ∆ 
∈ − +  
 La valeur RMS est donnée par :
/2
2
/2
( ) .
12
U a
RMS
U a
a U
at dt
U
ε
+∆
−∆
∆
= =
∆ ∫
ε
xout
Quantification : Erreur de quantification
Quantification

Dans le cas d'une quantification d'un signal sinusoïdal, on écrit :
 L'amplitude du signal sinusoïdal :
 L'amplitude du signal d'entrée s'écrit :
t
2
2
N
U
A
∆
=
 La valeur RMS du signal d'entrée s'écrit :
,
2 2
2 2
N
in RMS
U
x
∆
=
xin(t)
Quantification
( ) sin(2 )inx t A ftπ=
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
 Le rapport signal sur bruit s'écrit :
, 2 2 12 3
. 2
2 2 2
N
in RMS N
RMS
x U
SNR
Uε
∆
= = =
∆
+A
−A
2N
∆U

2
2
2 2
max max
32
12 2
2
N
Nin in
in
RMS
P P
SNR P
U Uε
 
= = = ÷
 
Quantification
 Rapport signal sur bruit SNR (dB)
en fonction du nombre de bits de
quantification N, pour Umax = 1 V
et Pin = 1 W.
 La variance de l’erreur est :
2
2 ( )
12
RMS
U
ε
∆
=
 Dans le cas d‘une quantification binaire
sur N bits, on a :
 Le rapport signal sur bruit est lié à la
variance de l’erreur :
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
2N
qN =
2
2 max21
12
RMS
q
U
N
ε
 
=  ÷ ÷
 
 Le rapport signal sur bruit est :
et

Quantification
 Le signal est beaucoup mieux
quantifié pour les petites valeurs.
 La quantification sur une échelle
logarithmique permet de minimiser
l ’erreur sur les petites valeurs de xin.
 La loi de quantification est fixée par des
normes et protocoles. Par exemple, la loi
A (ITU-T G711) loi A, donne :
 En pratique, la quantification linéaire
n’est pas satisfaisante :
( )c x =
max
max
1 ln( / )
sgn( )
1 ln( )
A x x
x x
A
+
+
sgn( )
1 ln( )
A x
x
A+
si
sinon.
 Dans l ’exemple, on a Nq/2 pas de
quantification entre -0,1 et +0,1.
max
1x
x A
<

Quantification
 Avec la loi A, le SNR est
amélioré jusqu’à Pin = −15 dB.
 La loi de quantification appelée loi A
(ITU-T G711), avec A = 87,6 donne :
( )c x =
max
max
7,453 ln( / )
sgn( )
7,453
x x
x x
+
11,75 sgn( )x x
max
1x
x A
<si
 La loi qe quantification appelée loi µ
(ITU-T G711), avec µ = 255, donne :
max
max
ln(1 / )
( ) sgn( )
ln(1 )
µ x x
c x x x
µ
+
=
+

Quantification
 Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
 On a vu la loi de quantification dite loi A :
( )c x =
max
max
1 ln( / )
sgn( )
1 ln( )
A x x
x x
A
+
+
sgn( )
1 ln( )
A x
x
A+
si
sinon.
max
1x
x A
<
 On associe à la loi A une fonction réciproque :
1
( )c y−
=
(1 ln( ))
1
sgn( )
y A
e
y
A
+
−
si
sinon.
1
1 ln( )
y
A
<
+
1 ln( )
sgn( )
A y
y
A
+

Quantification
 Les lois de quantification ont été
standardisées par ITU-T G711.
 On a vu la loi de quantification
dite loi µ :
 On associe à la loi µ une fonction
réciproque :
ln(1 )
1 1
( ) sgn( )
y µ
e
c x y
µ
+
− −
=
max
max
ln(1 / )
( ) sgn( )
ln(1 )
µ x x
c x x x
µ
+
=
+

Quantification
(dB) 6,02 bitsSNR N=

Quantification
 Le G.711 est une norme de compression audio de l'UIT-T, basée sur les lois
de quantification A (Europe, Afrique) ou µ (Amérique du Nord, Japon).
Échantillonnage : 8 kHz pour une bande passante entre 300 et 3400 Hz
Bande passante : 64 ou 56 kbit/s
Type de codage : MIC (Modulation d'impulsion codée, PCM en anglais)
 Son principe repose sur une grille de quantification non linéaire, permettant
de diminuer le rapport signal-sur-bruit de l'erreur de quantification pour les sons
de faible amplitude. Une quantification sur 8 bits en G.711 correspond à une
quantification sur 12 bits en PCM en ce qui concerne l'erreur de quantification.
 La norme G.711 a été révisée en 2000. Elle est la base de transport de la voix
sur le réseau téléphonique commuté (RTC, PSTN en anglais) ou sur le RNIS
(ISDN en anglais) et est également utilisée pour le transport de la voix avec peu
de compression dans les réseaux IP (100 % des offres ADSL correspondantes en
France).

Quantification
 Companding (Compress Expand) :
COmpresser DECompresser
b = 8 bit
 SNR
Quantifier
)( enTx ][xQy = )( eb nTy )( eDEC nTx
piano_c3 Α 8 bit Α-1
8 bit
bitB 16=
)( enTx
)( enTy )(8 enTy
)( erec nTx
1/8
)(8 enTx
bitB 8=
bitB 8=
 Amélioration :

4. Traitement Numérique du Signal

Chaîne d'acquisition, traitement, action

Description d’un système analogique
Un système analogique peut être caractérisé dans différents domaines:
 Dans le domaine temporel, par une équation différentielle de la forme:
0 0
( ) ( )k kk d k n
k kk k
k k
d s t d e t
a b
dt dt
= =
= =
=∑ ∑
 Dans le domaine de Fourier:
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
k n
k
k
kF
F k d
kF
k
k
b j
S
T
E
a j
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
= =
∑
∑
 Par exemple, pour a = [1, τ], b = [K] et e(t) = E (entrée indicielle), on obtient:
( )
( ) .
ds t
s t K E
dt
τ + =
.
( )
1
F
K E
T
j
ω
ωτ
=
+
⇔
0
0
( )
( )
( )
k n
k
k
kL
L k d
kL
k
k
b p
S
T
E
a p
ω
ω
ω
=
=
=
=
= =
∑
∑
 Dans le domaine de Laplace:
⇔
.
( )
1
L
K E
T
p
ω
τ
=
+

Description d’un système numérique
1
0 1
1 2
1 2
( )
1
z
b b z
T z
a z a z
−
− −
+
=
+ +
Un système numérique peut être caractérisé dans différents domaines:
 Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:
0
0
( )
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
T z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
 Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence:
0 0
( ) ( )
d n
k k
k k
a s N k b e N k
= =
− = −∑ ∑
0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔
 Par exemple, pour a0 = 1, d = 2 et n = 1, on obtient:

Transformée en z
La transformée en z est un outil mathématique de traitement du signal.
 Elle est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.
 Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à
réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des
systèmes dynamiques de manière discrète.
 La transformée de Fourier discrète est un cas particulier de la
transformée en z.

Transformée en z
La transformée en z est la transformée de Fourier d’un signal
échantillonné. La transformée en Z est la généralisation de la
Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD XF(ω) peut être trouvée en
évaluant Xz(z) en z = ejω
, (en d'autres termes sur le cercle unité):
0
( ) ( ) k
z
k
X z x k z
+∞
−
=
= ∑ 0
( ) ( ) j k
F
k
X x k e ω
ω
+∞
−
=
= ∑
 C’est un outil incontournable pour l’étude des signaux numérisés.
En pratique, on utilise une table de transformées de Laplace.
0
( ) ( ) pTk
L
k
X p x k e
+∞
−
=
= ∑
 La transformée de Laplace XL(p) est obtenue en évaluant Xz(z) en z = epT
:
0
( ) ( ) k
z
k
X z x k z
+∞
−
=
= ∑ ⇔
⇔

Opérations de base du TNS
Le filtrage permet de sélectionner la partie utile du spectre:
 Les filtres IIR (Infinite Impulse Response) qui sont obtenus à partir des
fonctions analogiques (passage de s à z):
 Les filtres FIR (Finite Impulse Response) sont simples à mettre en
oeuvre et ont une phase linéaire. Ils sont obtenus en échantillonnant la
réponse impulsionnelle du filtre voulu:
1
0
( )
n
k
z k
k
H z b z
−
−
=
= ∑
1
0
1
1
( )
1
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
H z
a z
−
−
=
−
−
=
=
+
∑
∑
 Les filtres adaptatifs ont des coefficients mis à jour régulièrement en
minimisant un critère (moindres carrés). Ils peuvent être de type FIR ou IIR.

Les filtres adaptatifs permettent d’optimiser le filtrage de x(k) pour obtenir
y(k) par minimisation d ’un critère d’erreur e(k):
 Wiener, gradient, gradient stochastique, ... :

Le vecteur w(k) est mis à jour en minimisant le carré du signal d'erreur
entre le signal désiré d(k), et la sortie y(k): e(k) = d(k) - y(k).
 En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs:

Transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète DFT (Discrete Fourier Transform) est
déterminée pour un nombre N fini de points du signal x(1) à x(N).
 En pratique cette somme est calculée en utilisant des de type FFT (Fast
Fourier Transform): [Cooley&Tukey, 1965]
21
0
( ) ( )
knN j
N
F
k
X n x k e
π− −
=
= ∑
0 1k N≤ ≤ −avec
 Le nombre d’opérations et temps de
calcul sont proportionnels à:
N2
pour la DFT
2N.log2(N) pour la FFT

Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.
 La fonction d’intercorrélation traduit la similitude d’un signal temporel par
rapport à un autre signal décalé dans le temps. Pour deux signaux x(t) et
y(t) de durée infinie, on a:
Cette fonction quantifie dans quelle mesure on a :
 L’autocorrélation est l'intercorrélation d'un signal
avec lui-même:
( ) ( ) ( )xyC t x y t dτ τ τ
+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )xxC t x x t dτ τ τ
+∞
−∞
= −∫
( ) . ( )x t a y t bτ= − +

Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.
 L’intercorrélation:
1
( ) ( ) ( )
N n
xy
k
r n x k y k n
−
=
= +∑
 L’autocorrélation:
1
( ) ( ) ( )
N n
xx
k
r n x k x k n
−
=
= +∑

Distribution
Les signaux suivent une loi de distribution.
 Loi de distribution:

Signaux aléatoires
 Loi uniforme:
1
pour ( , )
( )
0 sinon
X
x a b
p x b a

∈
= −


Signaux aléatoires
 Loi gaussienne:
( )







 −
−= 2
2
2
exp
2
1
)(
σπσ
mx
xpX

Signaux aléatoires
 Loi de Rayleigh:
0
2
exp)( 2
2
2
≥





−= x
xx
xpX
σσ

Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante
utile et une composante perturbatrice: le bruit.
 Le RSB (Rapport Signal sur Bruit) ou SNR (Signal to Noise Ratio)
10
( )
( ) 10log
( )
utile
dB
bruit
P f
SNR f
P f
 
=  ÷
 
10
( )
( ) 20log
( )
utile
dB
bruit
U f
SNR f
U f
 
=  ÷
 
2
U
P
R
= La puissance P s ’exprime en fonction de la tension U:

Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante
utile et une composante perturbatrice: le bruit.
 Le SNR (Signal to Noise Ratio) est donné en dB:
( )dBSNR f
( )
( )
utile
bruit
U f
U f10 100 1000 100001
0
+20
+40
+60
+80

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