CM4 - Transformée en z

Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 60
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM4 : Transformée en z
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII

PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage

Conversion Analogique-Numérique
 Principe
 Propriétés
 Tables
 Filtrage numérique
 Transformée en z
 Filtres RII
 Filtres RIF
Plan

1. Principe

Transformée en z
Principe: Description de système discrets
 Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence de la forme:
0 0
( ) ( )k kk d k n
k kk k
k k
d s t d e t
a b
dt dt
= =
= =
=∑ ∑
 Une fonction de transfert d’un système discret est donné par:
1
0 1
1 2
0 1 2
( )z
b b z
T z
a a z a z
−
− −
+
=
+ +
 Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:
0
0
( )
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
T z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔
 Par exemple, pour n = 1 et d = 2, on obtient:
0 0
( ) ( )
d n
k k
k k
a s N k b e N k
= =
− = −∑ ∑⇔

Transformée en z
 Dans le domaine de la transformée en z, on a:
0
( ) ( ). epkT
L e
k
X p x kT e
+∞
−
=
= ∑
 Un signal discret xk est modélisé mathématiquement par pondération d’une
distribution peigne de Dirac de période Te par les échantillons xk = x(k.Te):
0
( ) ( ). ( )d e e
k
x t x kT t kTδ
+∞
=
= −∑
 Dans le domaine de Laplace, la transformée donne: { }( ) p
TL t e τ
δ τ −
− =
{ }( ) k
eTZ t kT zδ −
− =
0
( ) ( ). k
z e
k
X z x kT z
+∞
−
=
= ∑

Transformée en z
 La transformée en z se calcule simplement pour certains signaux:
 Pour la fonction Heavyside atténué x(t) = H(t > 0).e−αt
(α > 0), on obtient:
 Pour la fonction échelon (Heavyside) H(t > 0) = 1, on obtient:
0 0
( ) ( ).
1
k k
z e
k k
z
H z H kT z z
z
+∞ +∞
− −
= =
= = =
−
∑ ∑
1
0
1
( ) .
1
e
e e
kT k
z T T
k
z
X z e z
e z z e
α
α α
+∞
− −
− −−
=
= = =
− −
∑
 Pour la fonction cosinus x(t) = cos(ωt) = (e+jωt
+e−jωt
)/2, on obtient:
2
21 1
0
cos( )1 1
( ) .
2 2 cos( ) 11 1
e e
e e
j kT j kT
k e
z j T j T
k e
z z Te e
X z z
z z Te z e z
ω ω
ω ω
ω
ω
+ −+∞
−
+ −− −
=
−+
= = + =
− +− −
∑

2. Propriétés

Transformée en z
Propriétés: Linéarité et translation temporelle
 La transformée en z est une transformée linéaire:
 Le retard temporel de nT (> 0) échantillons s’écrit:
 Le principe de superposition est vérifié:
{ } { } { }. ( ) . ( ) . ( ) . ( )TZ x t y t TZ x t TZ y tα β α β+ = +
( ){ } ( ){ }( ) .Tn
T e eTZ x k n T z TZ x kT− =
 L’avance temporelle de nT (< 0) échantillons s’écrit:
( ){ } ( ){ }( ) .Tn
T e eTZ x k n T z TZ x kT− =

3. Tables

( )tδ 1
( )et kTδ − k
z−
{ }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1
( ) ( )d zx t TZ X z−
=
( )H t
Transformée en z
1
z
z −
( ). t
H t e α−
eT
z
z e α−
−
t 2
( 1)
z
z −
2
t 3
( 1)
( 1)
z z
z
+
−
/ et T
a
z
z a−

( ) cos( )t
H t e tα
ω−
Transformée en z
cos( )tω
sin( )tω
2
2
cos( )
2 cos( ) 1
e
e
z z T
z z T
ω
ω
−
− +
2
sin( )
2 cos( ) 1
e
e
z T
z z T
ω
ω− +
( ) sin( )t
H t e tα
ω−
2
22
cos( )
2 cos( )
e
e e
T
e
T T
e
z ze T
z ze T e
α
α α
ω
ω
−
− −
−
− +
22
sin( )
2 cos( )
e
e e
T
e
T T
e
ze T
z ze T e
α
α α
ω
ω
−
− −
− +
2
( )
T ek T
t∏
( ).(1 )t
H t e α−
−
(1 )
1 ( 1)( )
e
e e
T
T T
z z z e
z z e z z e
α
α α
−
− −
−
− =
− − − −
( )1 1 1
T e T e T e T ek T k T k T k Tz z z
z z z z
z z z
+ − + −
− = −
− − −
{ }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1
( ) ( )d zx t TZ X z−
=

4. Transformée en z

Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Conception de filtre numérique dans le domaine de la transformée en z:
 La fonction de transfert d’un filtre numérique s’écrit:
1
0 1
1
1
( )
( )
( ) 1
n
n
d
d
b b z b zB z
G z
A z a z a z
− −
− −
+ + +
= =
+ + +
L
L
 La formulation factorisée fait apparaître les zéros zk et les pôles pk du filtre:
1
1
1
1
(1 )
( ) (0)
(1 )
n
k
k
d
k
k
z z
G z b
p z
−
=
−
=
−
=
−
∏
∏
Les coefficients
ak et bk sont réels.
Les coefficients zk et pk sont réels ou en
paires complexes conjuguées.

Transformée en z
 La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie: n fini) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître uniquement des zéros zk:
1
0 1
( )
( )
( )
n
n
B z
G z b b z b z
A z
− −
= = + + +L
1
1
( ) (0) (1 )
n
k
k
G z b z z−
=
= −∏
Attention: G(z) possède n zéros et n pôles situés à l’origine, en z = 0.
 Exemples: Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).
 Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:

1 1
1 1 1 1
( )
1 ( 1)
N N
N
z z
G z
N Nz z z
−
− −
− −
= =
− −
Transformée en z
 Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:
 La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie : N fini) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître des zéros zk et des pôles pk en z = 0.
[ ]1/ 0, 1
( )
0
N k N
g k
ailleurs
 = −
= 

1
0
1
( )
N
k
k
G z z
N
−
−
=
= ∑
N zéros, N−1 pôles en z=0,
1 pôle en z=1
N zéros et 1 pôle
z = 1 est à la fois pôle et zéro
Il reste N−1 zéros
et N−1 pôles en z = 0.

Transformée en z
 La TZ d’un filtre RII (Réponse Impulsionnelle de durée Infinie: n →+∝) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître uniquement le pole a:
1
1
( )
1
z
G z
z aaz−
= =
−−
 Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ:
[ [( ) pour 0;k
g k a k= ∈ +∞
0
( ) k k
k
G z a z
+∞
−
=
= ∑
g(k)
kAttention: Série convergente pour |a| < 1.
 Remarque: Cette TZ correspond à la RI d’une exponentielle.
Pôle en z = a
Zéro en z = 0

Transformée en z
 Exemple:
( ) 0,5. ( 1) 2. ( )y k y k x k= − + 1
( ) 2
( )
( ) 1 0,5.
z
z
Y z
G z
X z z−
= =
−
 La formulation factorisée fait apparaître le pole a = 0,5:
1
2 2
( )
1
z
G z
z aaz−
= =
−−
g(k)
kAttention: Série convergente car |a| < 1.
Pôle en z = a
Zéro en z = 0
 La table donne: ( ) 2.(0,5) . ( )k
g k H k=

Transformée en z
 Exemple:
( ) ( 1) ( 1)y k x k x k= − + + 1 1( )
( )
( )
z
z
Y z
G z z z
X z
− +
= = +
 La transposition dans le domaine de Fourier discrétisé avec z = e+jωTe
donne:
( ) 2cos( )e ej T j T
e eG T e e Tω ω
ω ω− +
= + =
G(ωTe)
ωTeπ/2 π0
0
2
fe/4 fe/20 f
Filtre réjecteur de
fréquence en fc = fe/2

Caractéristique
Fonction
de transfert
Réponse
en fréquence
Réponse
en phase
Stabilité
Complexité
de la structure
Sensibilité
aux erreurs
d'arrondi
Transformée en z
Filtrage numérique: Comparaison
Filtre RIF
Ne contient que des zéros.
Aucune restriction.
Parfaitement linéaire si
nécessaire.
Toujours stables.
Proportionnelle à la longueur
de la réponse impulsionnelle.
Faible, sauf dans le cas d'une
réalisation récursive.
Filtre RII
Contient des pôles
et des zéros.
Les méthodes limitées
aux filtres LP, HP, BP, RB.
Approximation
d’une phase linéaire.
Pôles dans le cercle unité.
Plus faible qu'un filtre FIR
pour la même sélectivité.
Les pôles peuvent passer à
l'extérieur du cercle unité.

5. Filtrage numérique

Transformée en z
Filtrage: Forme générale
 La TF permet de déterminer les spectres et le produit d’un filtre:
 Intérêt de la TF: Signaux continus
x(t)
xf(t)
X(f)
Xf(f)
×∗ g(t) G(f)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TF
TF−1
( ) ( ). ( )fX f G f X f=( ) ( ) ( )fx t g t x t= ∗

Transformée en z
 La FFT permet de déterminer la FT (Fonction de Transfert) d’un filtre discret:
 Intérêt de la FFT: Signaux discrets
x(k)
xf(k)
X(k)
Xf(k)
×∗ g(k) G(k)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
FFT
IFFT
( ) ( ). ( )fX k G k X k=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗

Transformée en z
 La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:
 Intérêt de la TZ: Signaux discrets
x(k)
xf(k)
Xz(z)
Xz,f(z)
×∗ g(k) Gz(z)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TZ
, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
TZ−1

Transformée en z
 Convolution:  Produit de TZ:
0
( ) ( ). ( )
k
f
n
x k g k n x k
=
= −∑soit
Au total, le calcul d'une convolution
sur N points nécessite donc:
n(n+1)/2 additions
et n(n+1)/2+1 multiplications
 Illustration: Convolution d'une
porte rectangle par elle-même:

6. Filtres RII

Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Méthodologie:
 Filtres de type RII:
 Ressemblance avec les filtres analogiques:
 Equation différentielle et fonction de transfert.
 Filtres analogiques ⇔ Filtres numériques RII.
1
1
1
1
(1 )
( ) (0)
(1 )
n
k
k
d
k
k
z z
G z b
p z
−
=
−
=
−
=
−
∏
∏

Transformée en z
 Forme générale:
 Filtres de Butterworth:
 Coefficients:
2
2
1
( ) ( ). ( )
1 n
H H Hω ω ω
ω
= = −
+
 Fonction de transfert:
Pour un filtre de Butterworth, on a :
- Pas d’ondulation dans la bande
passante.
- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés
d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade.
- Pour tout ordre n, G(fc) = −3 dB.

Transformée en z
 Forme générale:
 Filtres de Chebyshev:
 Coefficients:
2 2
1
( )
1 ( )n
H
C
ω
ε ω
=
+
 Fonction de transfert:
2
10( ) 10log (1 )G ω ε∆ = − +
Pour un filtre de Chebyshev, on a :
- Ondulation dans la bande passante.
- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés
d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade.
- Coupure très raide pour f > fc.
- Phase moins linéaire que Butterworth.
Ondulation:

Transformée en z
 Filtres: Comparaison
 Fonctions de transfert:

Transformée en z
 Synthèse des filtres numériques RII:
 Filtres de type RII:
Plan des z Plan des p
Spécifications sur
le cercle unité
Spécifications sur
l'axe imaginaire
Approximation
Synthèse
Fonction de
transfert g(z)
Fonction de
transfert G(p)
Filtre analogiqueFiltre discret
 Méthodes
d’optimisation
numériques

7. Filtres RIF
http://z.oumnad.123.fr/Signal/TNS.pdf

Transformée en z
 Passe-Bas:
 Fonctions de transfert G(f) idéales de 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
fc f
0
1
fc f
0
1
fc1 f
0
1
f
0
1
fc2 fc1 fc2
 Pour les systèmes discrets, on cherche G(z) et non plus G(f).

Transformée en z
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Fenêtres d'apodisation:
Comparaison: [Harris, 1978]
http://www.utdallas.edu/~cpb021000/EE 4361/Great DSP Papers/Harris on Windows.pdf
sin
( ) .
sin
e
f
j
ef
e
f
N
f
W f e
f
f
π
π
π
 
 ÷
 =
 
 ÷
 

Transformée en z
http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function
http://www.bksv.com/doc/Bv0031.pdf
TF
TF−1

Transformée en z
FFT
IFFT

Transformée en z
 Fenêtres d'apodisation: Comparaison
−13,3 dB
−31,5 dB
Rectangle
1
1 si
( ) 2
0 sinon
N
k
w k
−
≤
= 

Hanning
1 2 1
1 cos si
( ) 2 1 2
0 sinon
k N
k
w k N
π   − 
− ≤  ÷ ÷= −   



Transformée en z
−40,6 dB
−31,5 dB
−13,3 dB

Transformée en z
 Le tracé de G(z) n’étant pas parlant, on préfère remplacer z par exp(j2πf/fe)
 Filtre numérique Passe-Bas:
fe/2 f0
1
fc fe
 Réponse impulsionnelle:
G(f)
2 2
( ) sincc c
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
 Spectre discret du filtre Passe-Bas: Périodisation du spectre
g(k)
k
 Cette RI n’est ni finie, ni causale.

Transformée en z
x(k)
xf(k)
Xz(z)
Xz,f(z)
×∗ g(k) Gz(z)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TZ
TZ−1

Transformée en z
 Comme g(k) décroît rapidement, on l’approxime par sa troncature gw(k) :
avec la fenêtre (signal porte):
sin
( )
sin
e
e
f
N
f
W f
f
f
π
π
 
 ÷
 =
 
 ÷
 
g(k)
k
 La FT de cette porte échantillonnée est:
1
1 si
( ) 2
0 sinon
N
k
w k
−
≤
= 

0
1
w(k)
k+(N−1)/2−(N−1)/2
( ) ( ). ( )wg k g k w k=

Transformée en z
 Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:
sin
( ) ( )
sin
e
w
e
f
N
f
G f G f
f
f
π
π
 
 ÷
 = ∗
 
 ÷
 
 La fonction de transfert est alors:
( ) ( ) ( )wG f G f W f= ∗
fe f
ffe
G(f)
Gw(f)
 Ondulation de la fonction de transfert, résultant de la troncature (RIF).
soit
( ) ( ). ( )wg k g k w k=

Transformée en z
 Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
 La réponse impulsionnelle initiale est non causale:
g(k)
k
g(k)
k
 La réponse impulsionnelle initiale est causale:
 Le module de la TF reste inchangé.
2 2
( ) sincc c
w
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
2 2 1
( ) sinc
2
c c
c
e e
f f N
g k k
f f
 − 
= − ÷ ÷
  
1
2
N
k
−
≤si

Transformée en z
 D’après la fonction de transfert de la FT d’un déphaseur, on a:
 Le module de la TF reste inchangé.
sin
( ) ( )
sin
e
w
e
f
N
f
G f G f
f
f
π
π
 
 ÷
 = ∗
 
 ÷
 
( 1)
sin
( ) ( ) .
sin
e
f
j N
e f
wc
e
f
N
f
G f G f e
f
f
π
π
π
− −
  
 ÷ ÷
  ÷= ∗
 ÷ 
 ÷ ÷ ÷
  
 La réponse impulsionnelle initiale est non causale:
 La réponse impulsionnelle initiale est causale:
2 2 1
( ) sinc
2
c c
wc
e e
f f N
g k k
f f
 − 
= − ÷ ÷
  
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
2 2
( ) sincc c
w
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
1
2
N
k
−
≤si

Transformée en z
 Le filtre réalisable Gwc(f) n ’est qu’une approximation du filtre recherché G(f) :
( 1)
sin
( ) ( ) .
sin
e
f
j N
e f
wc
e
f
N
f
G f G f e
f
f
π
π
π
− −
  
 ÷ ÷
  ÷= ∗
 ÷ 
 ÷ ÷ ÷
  
0
1
k
1+δ1
1−δ1
 Ondulation dans la Bande Passante: 2δ1
 Ondulation dans la Bande Coupée: δ2
δ2
 Transition de coupure da Bande: ∆fT
∆fT

Transformée en z
 Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:
 Filtre numérique Passe-Haut:
2 2 1 1
( ) sinc cos
2 2
e c e c
wc
e e
f f f f N N
g k k k
f f
π
 − − −  −    
= − − ÷  ÷ ÷  ÷
     
( )wcg k ( )wcG f
1
2
N
k
−
≤,

Transformée en z
 Filtre numérique Passe-Bande:
,
1
2
N
k
−
≤
( )wcg k ( )wcG f
2 1 2 1 2 11 1
( ) sinc 2cos
2 2
wc
e e e
f f f f f fN N
g k k k
f f f
π
   − − +− −   
= − − ÷  ÷ ÷  ÷
      

Transformée en z
 Filtre numérique Coupe-Bande:
1 2, ( ) , ( )( ) ( ) ( )wc wc LP f wc HP fg k g k g k= +
Passe-Bas
fc = f1
Passe-Haut
fc = f2
( )wcg k ( )wcG f

function h = myfirb(N,f1,f2,fe);
fo=(f1+f2)/fe;
B=(f2-f1)/fe;
N2=(N-1)/2;
n=0:N-1;
h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2));
Transformée en z
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
function h = myfirs(N,f1,f2,fe);
f1=f1/fe;
f2=f2/fe;
N2=(N-1)/2;
B1=2*f1;
B2=1-2*f2;
n=0:N-1;
h= B1 * sinc(B1*(n-N2))
+ B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(%pi*(n-N2));
function h=myfirl(N,fc,fe)
B=2*fc/fe;
n=0:N-1;
h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2));
function h = myfirh(N,fc,fe)
B=1-2*fc/fe;
n=0:N-1;
N2=(N-1)/2;
h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));

Transformée en z
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle linéaire: Fenêtre rectangle  Echelle dB: Fenêtre rectangle

Transformée en z
 Echelle lin.: Fenêtre de Hamming  Echelle dB: Fenêtre de Hamming

Transformée en z
 Echelle lin.: Fenêtre de Blackman  Echelle dB: Fenêtre de Blackman

Transformée en z
 Echelle lin.: Fenêtre de Kaiser  Echelle dB: Fenêtre de Kaiser

Transformée en z
 Echelle lin.: Fenêtre de Hanning  Echelle dB: Fenêtre de Hanning

Transformée en z
 Exemple: Filtre Passe-Bas
 Si la fréquence d'échantillonnage est fe = 8 kHz, déterminer la réponse
impulsionnelle d'un filtre RIF d'ordre N = 21, de fréquence de coupure fc = 1 kHz,
et tracer le module de la fonction de transfert dans les deux cas suivants :
1) Troncature par fenêtre carrée:
2) Troncature par fenêtre de Hamming:

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 1) Troncature par fenêtre carrée:

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 2) Troncature par fenêtre de Hamming:

8. Scripts RII et RIF
www.eeng.dcu.ie/~ee317/Matlab_Clones/signal.pdf

hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03]);
[hzm,fr]=frmag(hz,256);
figure; plot2d(fr',hzm');
Transformée en z
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RII et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
hz=iir(16,'sb','cheb2',[.2 .4],[0.1 .1]);
hz=iir(4,'lp','butt',[.2 0],[0 0]);
figure; plot2d(fr,hzm);
hz=iir(16,'hp','butt',[.2 0],[0 0]);

[h,hm,fr]=wfir('bp',8,[0.2 .3],'kr',[0.2 0.1]);
figure; plot2d(fr,hm);
Transformée en z
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
[h,hm,fr]=wfir('sb',64,[0.1 .3],'kr',[0.2 0.1]);
[h,hm,fr]=wfir('lp',33,[0.2 0],'hm',[0 0]);
t = 0:200;
x = sin(2*%pi*t/20)+sin(2*%pi*t/3);
hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);
yhz=flts(x,hz);
figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');
[h,hm,fr]=wfir('hp',8,[0.1 0],'hn',[0 0]);
t = 0:200;
x = sin(2*%pi*t/40)+sin(2*%pi*t/3);
hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);
yhz=flts(x,hz);
figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

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