1. Liceo de Ciencias y Humanidades
Departamento de Matem´atica
Profesor Plinio Dur´an Troncoso
Gu´ıa de actividades
Geometr´ıa anal´ıtica plana
1. Plano cartesiano
Un plano cartesiano est´a compuesto por dos ejes
coordenados. El eje horizontal recibe el nombre de eje
de las abscisas o eje x, y el eje vertical es llamado eje
de las ordenadas o eje y. El plano se puede dividir
en cuatro cuadrantes ubicados en sentido antihorario.
x
y
III
III IV
El plano cartesiano permite asignar a cada punto
del plano un par ordenado de n´umeros reales que lo
identifica de la forma P(x, y).
1.1. Distancia entre dos puntos
Sean P(x1, x2) y Q(x2, y2) dos puntos cualesquie-
ra en el plano cartesiano, la distancia entre ellos est´a
dada por la f´ormula:
d(P, Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
1.2. Punto medio de un segmento
Sean P(x1, x2) y Q(x2, y2) dos puntos cualesquiera
en el plano cartesiano, el punto medio M del segmento
est´a dado por la expresi´on
M =
x2 + x1
2
,
y2 + y1
2
1.3. Pendiente de un segmento
La pendiente de una recta se relaciona al ´angulo
de inclinaci´on que forma la recta respecto al eje de
las abscisas. Para obtener el valor de la pendiente se
hace el cuociente entre la variaci´on vertical (∆y) y la
variaci´on horizontal (∆x).
Dados los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) pertenecien-
tes a una recta, su pendiente m se puede obtener me-
diante la expresi´on:
m =
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1
x
y
P
Q
x2x1
y1
y2
∆x
∆y
1.4. Puntos colineales
Tres o m´as puntos se dicen colineales si pertenecen
a una misma recta. Para verificar que los puntos P, Q
y R son colineales, basta con verificar que:
mP Q = mRQ = mP R
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2. La l´ınea recta
La ecuaci´on general de una recta es de la forma:
Ax + By + C = 0
donde A, B y C son n´umeros reales.
Forma principal
A partir de la forma general se puede obtener la
forma principal de una recta que es de la forma:
y = mx + n
donde:
m es la pendiente de la recta.
n es el coeficiente de posici´on, donde la recta in-
tersecta al eje y en el punto (0, n).
Forma sim´etrica
La forma sim´etrica de una l´ınea recta se puede ob-
tener, igualmente, de su forma general, es de la forma
x
a
+
y
b
= 1
donde:
a es la intersecci´on de la recta con el eje x.
b es la intersecci´on de la recta con el eje y.
2.1. Calcular la ecuaci´on de una recta
Se puede determinar la ecuaci´on de una recta cono-
ciendo el valor de su pendiente y un punto que pase por
dicha recta.
La ecuaci´on de una recta que tiene pendiente m y
pasa por el punto A(x0, y0) queda determinada por:
y − y0 = m(x − x0)
Si se conocen dos puntos por los cuales pasa una
recta, basta determinar la pendiente entre los puntos y
luego aplicar la expresi´on anterior con cualquiera de los
dos puntos conocidos.
2.2. Posiciones relativas de dos rectas
Rectas paralelas
Dos o m´as rectas son paralelas si sus pendientes
tienen el mismo valor.
Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2,
entonces, si:
L1 L2 ⇔ m1 = m2
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de
sus pendientes es −1.
Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2,
entonces, si:
L1 ⊥ L2 ⇔ m1 · m2 = −1
Rectas coincidentes
Dos rectas son coincidentes si tienen la misma pen-
diente y el mismo coeficiente de posici´on.
Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2,
entonces, si:
L1 y L2 son coincidentes m1 = m2 y n1 = n2
Punto de intersecci´on de dos rectas
Si dos rectas no son paralelas, se puede determinar
el punto de intersecci´on de dichas rectas, resolviendo el
sistema de ecuaciones.
3. Pr´actica guiada
1. Si el punto P(2t + 3, 9) pertenece al eje y, ¿cu´al
es el valor de t?
2. El punto Q(3u − 4, 2v + 5) est´a ubicado en el ori-
gen, determinar los valores de u y v.
3. Para cada uno de los pares de puntos, (1) dibu-
jar el segmento determinado por los puntos, (2)
determinar la distancia, (3) determinar las coor-
denadas de punto medio y (4) la pendiente del
segmento.
a) A(−4, 6) y B(−4, 18)
b) P(0, 3) y Q(0, 15)
c) R(−7, −4) y S(1, −4)
d) C(−4, 2) y D(4, 8)
e) E(0, 3) y F(−4, 1)
f ) G(−7, 4) y H(1, −11)
g) X
1
3
,
−1
2
y Y
−1
6
, 0
h) U(−
√
5,
√
3) y V (2
√
5, 2
√
3)
4. Calcular el ´area y per´ımetro del ABC cuyos
v´ertices son los puntos A(−1, 1), B(4, 1) y C(4, 4).
5. Los puntos (1, 0), (6, 1) y (4, 3) son tres v´ertices
consecutivos de un paralel´ogramo. Determinar las
coordenadas del cuarto v´ertice.
6. La distancia entre los puntos A(−3, a) y B(9, 2)
es de 13 unidades. Calcular el valor de a.
7. El punto medio del PD es el punto B(4, 3). Si
P(7, 8), determinar las coordenadas del punto D.
8. Los v´ertices de un tri´angulo corresponden a los
puntos A(1, 2), B(1, 10) y C(4, 6). Determinar el
per´ımetro del tri´angulo.
9. Demostrar que el tri´angulo de v´ertices A(4, −1),
B(−2, 3) y C(−6, −3) es rect´angulo.
10. Demostrar que el tri´angulo de v´ertices P(2, 2),
Q(0, −2) y C(4, 0) corresponde a tri´angulo is´osce-
les.
11. Hallar las coordenadas de los v´ertices de un
tri´angulo sabiendo que los puntos medios de sus
lados son: L(−2, 1), M(5, 2) y N(2, −3).
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12. Dado el PQR de v´ertices P(3, 3), Q(−3, −3) y
R(−3
√
3, 3
√
3):
a) Demostrar que es un tri´angulo equil´atero.
b) Calcular su per´ımetro.
c) Calcular su ´area.
13. Determina si los siguientes puntos son o no coli-
neales.
a) A(−2, 3), B(−6, 1) y C(−10, −1)
b) A(3, 5), B(1, −1) y C(−2, −16)
c) P(0, 4), Q(3, −2) y R(−2, 8)
14. Determina el valor de m para que los puntos sean
colineales.
a) A(4, 6), B(8, m) y C(9, 4)
b) A(2m, 5), B(−3, 4) y C(−1, −2)
15. Determinar si los siguientes puntos pertenecen a
la recta 5x − 3y + 1 = 0
a) (3, 5)
b) (4, −7)
c) (−3, −5)
d) (−2, −3)
16. Determinar si los siguientes puntos pertenecen a
la recta y = 3x − 4
a) (3, 5)
b) (−1, 1)
c) (1, −1)
d) (0, −4)
17. Obtener la ecuaci´on general de la recta que cum-
pla con las condiciones dadas en cada caso:
a) Pasa por los puntos A(−7, −2) y B(−2, −5).
b) Pasa por D(3, −2) y tiene pendiente
−2
5
.
c) Pasa por los puntos P(−4, 1) y K(3, −5).
d) Intersecta al eje y en −2 y tiene pendiente
−3.
e) Pasa por A(1, 5) y tiene pendiente 2.
f ) Pasa por los puntos C(4, 2) y D(−5, 7).
g) Intersecta al eje x en 3 y tiene pendiente
2
3
18. Para cada una de las siguientes rectas realizar un
esbozo de su gr´afica determinando: (1) su pen-
diente y (2) los puntos de intersecci´on con los ejes
coordenados. Escribe la ecuaci´on de la recta en
forma sim´etrica y comprueba los puntos de inter-
secci´on.
a) 2x − 3y − 12 = 0
b) 5x + 12y = 0
c) 4x − y + 1 = 0
d) 3x − 2y + 15 = 0
e) 12 − 5y −
4
3
= 0
f ) 7x − 9y +
3
2
= 0
19. Para cada una de las siguientes rectas, determina
los puntos de intersecci´on con ejes coordenados y
escribe la ecuaci´on de la recta en forma general.
a) x +
y
2
= 1
b)
x
3
−
y
2
= 1
c)
−4x
5
−
2y
7
= 1
d) 5x −
y
4
=
1
3
20. Escribe la ecuaci´on sim´etrica y luego determina
la ecuaci´on principal de la recta en cada caso.
a) Intersecta al eje x en 5 y al eje y en −3.
b) Intersecta al eje x en
1
3
y al eje y en −2.
c) Intersecta al eje x en −3 y al eje y en −1.
d) Intersecta al eje x en
−2
5
y al eje y en
1
3
.
e) Intersecta al eje x en
3
4
y al eje y en
−4
3
.
21. Determina la ecuaci´on general de la recta que
cumpla con las condiciones dadas en cada caso.
a) Pasa por el punto (3, 1) y es perpendicular a
la recta 3x − 4y = 1.
b) Pasa por el punto (3, 1) y es paralela a la rec-
ta que pasa por los puntos (3, −2) y (−6, 5).
c) Es paralela a la recta x − 5y + 11 = 0 y pasa
por el punto (−7, 2).
d) Es perpendicular a la recta 5x + 2y + 3 = 0
y pasa por el punto (−4, 1)
22. Hallar la ecuaci´on de la recta cuya pendiente es
−4 y pasa por el punto donde se intersectan las
rectas L1 : 2x + y − 8 = 0 y L2 : 3x − 2y + 9 = 0.
23. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por las in-
tersecciones de las rectas L1 : 3x + 4y − 1 = 0 y
L2 : 2x + y − 4 = 0 y es perpendicular a la recta
L3 : x − y − 1 = 0
24. Hallar el ´area del tri´angulo rect´angulo formado
por los ejes coordenados y las siguientes rectas:
a) 5x + 4y + 20 = 0.
b) 3x + 0, 02x − 1
1
3
= 0
25. Dado el tri´angulo de v´ertices A(−2, 3), B(4, 1) y
C(1, −3) determinar:
a) La ecuaci´on de la recta del lado
←→
AB.
b) La ecuaci´on de la altura desde el v´ertice C.
c) La ecuaci´on de la transversal de gravedad
desde el v´ertice A.
26. Determinar el valar de k de modo que:
a) 3kx + 5y + k = 0 pase por (−1, 4)
b) 4x − ky − 7 = 0 tenga pendiente 3.
c) kx + (k − 1)y = −18 sea paralela a la recta
4x + 3y + 7 = 0.
d) (k −1)x+(k +1)y −7 = 0 sea perpendicular
a la recta 3x + 5y − 7 = 0
Geometr´ıa anal´ıtica plana 3

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4. Pr´actica individual
1. ¿Qu´e valor debe tener k para que la distancia desde el punto A(k, 7) al punto
B(2, 4) sea igual a 5 unidades?
I) k = −2
II) k = 6
III) k = −6
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
2. Los puntos A(2, 1) y B(2, 4) son los v´ertices consecutivos de un cuadrado.
¿Cu´al(es) de los siguientes puntos podr´ıa(n) corresponder a alguno de los otros
v´ertices?
I) (−2, 4)
II) (−1, 1)
III) (5, 1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) Solo I y III
3. ¿Qu´e valor debe tener k para que la recta (k − 1)x + (2k + 1)y − 1 = 0 pase
por el punto (2, 1)?
A) −2
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 2
4. ¿Cu´al debe ser el valor de k para que los puntos A(0, 1), B(2, 5) y C(k, 3)
pertenezcan a una misma recta?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
5. Si el punto Q(k + 1, k − 3) pertenece a la recta 3x − 2y + 4 = 0, ¿cu´al es el
valor de k?
A) −13
B) −1
C) 1
D) 3
E) 7
6. ¿Cu´al es el valor de la pendiente determinada por los punto A(2, 3) y B(7, 8)?
A) −2
B) −1
C) 0
D) −1
E) 2
7. ¿Cu´al es la pendiente de la recta 3x + 4y − 7 = 0?
A) −
4
3
B) −
3
4
C)
3
4
D)
4
3
E) 7
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5. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
8. ¿A qu´e recta pertenece el punto medio del segmento AB, con A(−1, 5) y
B(3, 7)?
A) 2x + y = 0
B) 2x − y = 0
C) x − 2y = 0
D) 6x + y = 0
E) 73x − y + 3 = 0
9. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (5, 1) y cuya pendiente
es
−1
3
?
A) x − 3y + 15 = 0
B) x + 3y − 2 = 0
C) x + 3y + 2 = 0
D) x + 3y − 15 = 0
E) x + 3y − 8 = 0
10. ¿Cu´al de los siguientes gr´aficos representa mejor la gr´afica de la recta y+x = 0?
A)
x
y
B)
x
y
C)
x
y
D)
x
y
E)
x
y
11. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son los puntos A(−1, 3) y B(2, 5).
¿Cu´al es el ´area del cuadrado?
A) 3
B) 5
C) 13
D) 65
E) 73
12. ¿En qu´e punto la recta
←→
AB de la figura intersecta al eje y?
A) (0, 5)
B) 0,
5
2
C) (0, 3)
D) (3, 0)
E)
5
2
, 2
x
y
B
A
31
2
1
13. ¿Cu´al debe ser el valor de k para que el punto R(k − 1, k − 3) est´e en el eje de
las abscisas?
A) −3
B) −1
C) 1
D) 3
E) 1 ´o 3
14. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta L de la siguiente figura?
A) x − 2y + 1 = 0
B) x + 2y − 1 = 0
C) x − 2y + 2 = 0
D) 2x + y − 2 = 0
E) x + 2y − 2 = 0
x
y
L
2
1
Geometr´ıa anal´ıtica plana 5

6. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
15. El punto P(a, 10) est´a sobre una recta que tiene pendiente 3 y que pasa por el
punto A(7, −2). ¿Cu´al es el valor de la coordenada a?
A) −23
B) −11
C) −7
D) 7
E) 11
16. ¿Cu´al es el ´area de un tri´angulo formado por los ejes coordenados y la recta
2x + 4y = 8?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
17. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que se representa en la figura?
A) 2x + 3y = 0
B) 3x + 2y − 6 = 0
C) 3x + 2y + 6 = 0
D) 2x + 3y + 6 = 0
E) 2x + 3y − 6 = 0
x
y
3
2
18. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el origen del sistema de coorde-
nadas y bisecta los ´angulos del segundo y cuarto cuadrante?
A) x + y = 0
B) x − y = 0
C) x + y = 1
D) x − y = 1
E) x + y = −1
19. ¿Cu´al de los siguientes gr´aficos representa mejor la gr´afica de la recta x−y−3 =
0?
A)
x
y
B)
x
y
C)
x
y
D)
x
y
E)
x
y
20. ¿Cu´al de las siguientes rectas es paralela a la recta 3x − 2y − 1 = 0?
A) 6x + 4y − 1 = 0
B) 2x − 3y − 2 = 0
C) 2x + 3y − 1 = 0
D) 6x − 4y − 5 = 0
E) x − 2y − 3 = 0
21. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto A(1, −3) y es perpendi-
cular a la recta 2y − 3x = 4?
A) 2x − 3y + 7 = 0
B) 2x + 3y − 7 = 0
C) 2x − 3y − 7 = 0
D) 2x + 3y + 7 = 0
E) 3x + 2y − 7 = 0
Geometr´ıa anal´ıtica plana 6

7. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
22. ¿Cu´al de los siguientes gr´aficos representa mejor la gr´afica de la recta y =
mx − n, si m < 0 y n < 0?
A)
x
y
B)
x
y
C)
x
y
D)
x
y
E)
x
y
23. ¿Cu´al debe ser el valor de k para que la recta 4kx + 5y − 1 = 0 sea paralela a
la recta 3x − 2y + 1 = 0?
A)
8
15
B)
−15
8
C)
15
8
D)
3
5
E) 1
24. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a
la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2)?
A) 2x + 4y − 3 = 0
B) x + 6y + 16 = 0
C) x + 6y − 16 = 0
D) x + 4y − 8 = 0
E) x − y − 8 = 0
25. ¿Cu´al debe ser el valor de k para que la recta 5kx−y+8 = 0 sea perpendicular
a la recta 2x + 2y − 1 = 0?
A)
10
3
B)
1
5
C)
−2
15
D)
−10
3
E)
2
15
26. Dadas las rectas L1 : y −2x−3 = 0; L2 : x+2y −3 = 0 y L3 : 2x+4y −6 = 0,
¿cu´al(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) L1 ⊥ L2.
II) L2 coincide con L3.
III) L1 y L2 intersectan al eje y en el mismo punto.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
27. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a
la recta 3x − 2y − 6 = 0?
I) Intersecta al eje x en el punto (0, 2).
II) Intersecta al eje y en el punto (−3, 0).
III) Su pendiente tiene un valor de
3
2
.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Ninguna de ellas
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8. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
28. ¿Cu´al(es) de las siguientes rectas pasa(n) por el origen?
I) x + 2y − 1 = 0
II) 3x + 2y + 2 = 2
III) x − 5y = 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
29. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el origen del sistema de coorde-
nadas y es perpendicular a la recta 5x + y − 2 = 0?
A) 5x − y = 0
B) 5x + y = 0
C) x − 5y = 0
D) x + 5y = 0
E) x + y = 0
30. La recta L1 : y = −x + 1 se intersecta de forma perpendicular a la recta L2 en
el punto (−2, 3). ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta L2?
A) y = x + 1
B) y = −x + 1
C) y = −x + 3
D) y = x + 5
E) y = x + 3
31. ¿Cu´al(es) de las siguientes rectas es (son) paralela(s) a la recta 3y = 6x + 12?
I) y = 6x + 20
II) 2y = 6x + 25
III) y = 2x + 15
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
32. ¿Cu´al(es) de las siguientes rectas es (son) perpendicular(es) a la recta 5y =
20x + 50?
I) y = −4x + 20
II) 2y =
−x
20
x + 22
III) y =
−x
4
+ 22
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
33. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (20, 60) y el origen?
A) y = 3x
B) y = −3x
C) y = 3x − 160
D) y = 3x − 60
E) y = −3x − 60
34. ¿Cu´al de las siguientes rectas es coincidente con 2y = 6x − 2?
A) y = 6x − 2
B) 3y = 12x − 4
C) y = 3x − 2
D) y = 2x − 1
E) 3y + 3 = 9x
35. ¿Cu´al es la ecuaci´on de la recta que pasa por (−1, 2) y (3, −6)?
A) y =
−3x
2
− 2
B) y = 3x − 6
C) y = −2x + 4
D) y = 2x
E) y = −2x
Geometr´ıa anal´ıtica plana 8