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  1. 1. DIRECCION DE EDUCACIÓN DE ESTUDIOS A DISTANCIAGUÍA DE PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS Tercer Semestre Realizado por: Ing. SHIRLEY DEFAZ Marzo de 2007
  2. 2. 1. DATOS INFORMATIVOS FACULTAD: Ciencias de la Computación y Electrónica ESCUELA: Electrónica ASIGNATURA: Probabilidades y Procesos Estocásticos NIVEL: Tercero AUTOR DE LA GUIA: Ing. Shirley Défaz Silva E-MAIL: FECHA DE EDICIÓN: Marzo de 20072. PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURALa Estadística puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea.Su tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad ytransformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla.La Estadística responde a nuevas demandas sociales. Para realizar investigaciones exhaustivassobre temas sociales surgen tres problemas básicos a la hora del trabajo de campo, como el tiempoque tardaríamos en entrevistar a toda la población y el costo económico y de personal de estasentrevistas. Con las técnicas de muestreo se consigue hacer buenas investigaciones sobre unapequeña parte de esa población, obteniendo resultados válidos para toda ella.La Estadística responde a las necesidades del desarrollo científico y tecnológico de la sociedad.Tras la Revolución Industrial se produce un desarrollo de la sociedad en todos sus ámbitos y, enparticular, en el Científico y Tecnológico. Las Comunicaciones, la Industria, la Agricultura, laSalud... se desarrollan rápidamente y se exige el máximo rendimiento y la mejor utilización deestos sectores. Con estudios estadísticos aplicados a la Agricultura y a la Pesca podemos estimarlos rendimientos obtenidos en una cosecha, o encontrar bancos de peces.Por otro lado, el desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de lasaplicaciones de la estadística, de forma que casi cualquier investigación científica requiere de losfundamentos de la Teoría de la Probabilidad para que pueda desarrollarse adecuadamente. Laprobabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir eltipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. En esta asignatura,abarcaremos, tal y como se refleja en los contenidos, los conceptos fundamentales dentro de estecampo. Los Procesos Estocásticos constituyen una parte esencial de la Probabilidad y son muchointerés en la actualidad por la cantidad de situaciones prácticas en los que pueden ser de utilidad.
  3. 3. Son modelos probabilísticos utilizados para representar situaciones de la vida cotidiana, quegeneralmente se desarrollan a lo largo del tiempo, y para hacer predicciones y poder así tomar lasdecisiones más apropiadas al respecto. En esta asignatura estudiaremos los modelos de procesosestocásticos fundamentales: Los recorridos aleatorios y las cadenas de Markov. Con el estudio delos Procesos Estocásticos se puede tener una mejor comprensión de fenómenos decomportamiento aleatorio como meteorología, física nuclear, campañas de seguridad, etc.3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA DE PROBABILIDADES YPROCESOS ESTOCÁSTICOS4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA
  4. 4. • SISTEMA DE CONOCIMIENTOS ESENCIALES POR UNIDADES DIDÁCTICAS PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTADÍSTICA Y FUNCIONES PROCESOS PROBABILIDAD PROBABILÍSTICAS ESTOCÁSTICOS BÁSICA -Estadísticas -Distribución de -Ruido -Tipos de variables probabilidad -Movimiento Browniano -Medidas de tendencia -Distribución binomial -Matriz de transición central -Dist. hipergeométrica -Cadenas de Markov en -Medidas de dispersión -Dist. de Poisson tiempo discreto -Dist. Normal -Cadenas de Markov en tiempo continuo -Probabilidad clásica -Teoría Ergódica -Técnicas de Conteo -Ecuaciones de -Probabilidad Chapman-Kolmogorov Condicional SISTEMA DE HABILIDADES A DESARROLLARAl finalizar el nivel, estudiante va a adquirir las siguientes destrezas y habilidades:
  5. 5. • Distinguir diferentes tipos de procesos estocásticos dependiendo de los instantes de observación y de los resultados observados.• Conocer las propiedades básicas de las cadenas de Markov en tiempo discreto• Modelar mediante cadenas de Markov situaciones que evolucionan aleatoriamente• Describir el comportamiento transitorio de una cadena de Markov mediante la matriz de transición y sus potencias.• Conocer las propiedades y características más relevantes del Proceso de Poisson y de otros procesos en tiempo continuo. 5. ORIENTACIONES SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION DEL APRENDIZAJEPROCESOS DEL APRENDIZAJE EN LA ASIGNATURADesde el contenido de los diferentes capítulos y en la realización de las tareas, se trabajará enaspectos vitales de la formación de la personalidad como la responsabilidad al exigir lapuntualidad en la entrega de tareas así como asistencia, perseverancia al enfrentar la complejidadgradual de los diferentes temas y en la discusión de la solución de problemas. Investigación alpermitir que el alumno evidencie por si solo la importancia de las ciencias físicas en el desarrollode su profesión.Se dará énfasis en el interés por realizar los trabajos extracurriculares y por destacar los valores dela profesión.Al estudiante se le exigirá fundamentar correctamente sus ideas con una adecuada coherencia, asímismo en sus informes escritos deberá presentarlos con una buena redacción.Se resolverán problemas vinculados a aspectos relevantes de la profesión y de la protección delmedio ambiente.Para resolver un problema de una situación real se tiene que: • Formular el problema • Graficar el problema • Modelar el problema • Resolver el modelo matemático del problema
  6. 6. • Interpretar los resultados • Extraer conclusionesORIENTACIONES SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION DEL APRENDIZAJE• En cada unidad didáctica Ud. encuentra un objetivo. Él le indica lo que debe dominar o saberhacer al terminar de estudiar la unidad. Esto es muy importante, no deje de analizarlo y hacer quese cumpla.• Si no está seguro que cumplió el objetivo, vuelva a leer y realizar o revisar los ejerciciosresueltos que el texto guía le presenta hasta que este seguro de haber cumplido con el objetivo.• Las unidades se encuentran en una secuencia progresiva de aprendizaje. Por tal motivo, sesugiere seguir el orden en el cual se presentan, ya que lo estudiado en un tema es base para elsiguiente tema.• Adquiera un cuaderno o una carpeta, en el cual se sugiere anotar los resúmenes de lo que vaestudiando y los ejercicios de las diferentes actividades que se proponen en la presente guía, asícomo la resolución de las autoevaluaciones. Al mismo tiempo debe ir anotando la consulta quenecesita hacer a su tutor, de esta forma llevará su proceso de aprendizaje, organizado y podrá Ud.mismo evidenciar el desarrollo y cambios que se están produciendo.• Cada vez que se disponga a estudiar la materia, escoja el sitio más apropiado y el tiempoapropiado.• Lea el tema y revise los ejercicios resueltos del texto guía las veces que sea necesario con elmejor ánimo de entenderlos. Si algún tema no está claro no pierda tiempo ni se mortifique tratandode entenderlo, no dude en llamar o ponerse en contacto con su tutor inmediatamente parasolucionar sus inquietudes o dudas.• La autoevaluación es en proceso que le indica el avance en su aprendizaje. No se engañe. Nobusque quien le haga los trabajos que Ud. debe realizar, busque a través de sus compañeros o desu tutor la asesoría en aquello que no está claro. 6. INDICADORES DE EVALUACION• Todas las tareas indicadas en cada unidad serán evaluadas sobre diez puntos, de acuerdo ala originalidad, presentación (limpieza, orden, fecha de entrega), cientificidad y el desarrollo en síde cada problema. Es necesario que en cada tarea presentada por Ud. haga constar su propia
  7. 7. autoevaluación entre uno y diez puntos de acuerdo a su dedicación al desarrollo de la misma y alnivel de asimilación logrado.• En cada encuentro se realizarán plenarias, clases talleres, debates, etc.; y, de acuerdo a suparticipación, se asignará una nota entre uno y diez que resultará del promedio entre su propiaautoevaluación, la que le otorgue el grupo y la del profesor.• La resolución de problemas propuestos en el aula, se la realizará utilizando técnicasgrupales y de exposición, a fin de desarrollar las capacidades de expresión oral y pensamientocrítico.• Los indicadores principales serán: la correcta interpretación del problema, la lógica delproblema a resolver, las conclusiones que se obtengan de esta resolución, la responsabilidad y lahonestidad.• El cuaderno de anotaciones será evaluado sobre diez puntos de acuerdo a la presentación( limpieza, orden), el desarrollo de los contenidos y a la forma coherente y sistémica que ha tratadolos temas.• Las tareas integradoras de cada unidad serán evaluadas sobre diez puntos y corresponderáal 50% de la nota a promediarse con la prueba.• La tarea integradora de la asignatura será evaluada sobre diez puntos y corresponderá al50% del examen final.• La asistencia a los encuentros también será considerada en la evaluación general deacuerdo al consenso con el grupo. 7. BIBLIOGRAFIA BASICA Y COMPLEMENTARIATEXTOS BASICOS • CHAO Lincoln. Estadística para las Ciencias Administrativas. Mcgraw-Hill, tercera edición. Bogotá-Colombia, 1998. • GALINDO Edwin. Estadística para la Ingeniería. Quito-Ecuador, 1998.DIRECCIONES DE INTERNET • http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml • http://es.wikipedia.org/wiki/estadistica • http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria • http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central • http://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
  8. 8. • http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Ddistr %20Hipergeometrica.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson • http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf • http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.htm • http://weblogs.udp.cl/pplaza/archivos/(4137)Markov-Discreto.pdf • http://usuarios.lycos.es/paradojaparrondo/cadenas_markov.htm • http://www.omerique.net/calcumat/estocasticas1.htm • http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node23.htm • http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/magister/con fiabilidad/seccion2/distribucion.html ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LAS UNIDADES DIDACTICASLa presente guía está dividida en 3 unidades didácticas. Los temas pertenecientes a cada una de lasunidades se encuentran agrupados por semanas. Cada una de las semanas se encuentra conformadapor: teoría, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases teóricas yadicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Sesugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos.
  9. 9. UNIDAD IESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD BÁSICAObjetivos:• Familiarizarse con los aspectos básicos del Cálculo de Probabilidades y la Estadística y aplicar los procedimientos estadísticos para el análisis de una muestra.• Describir adecuadamente espacios muestrales asociados a ciertos experimentos aleatorios, previamente planteados.• Definir sucesos aleatorios y asignarles sus probabilidades de ocurrencia.• Aplicar los conceptos y reglas fundamentales de probabilidad.• Aplicar correctamente las distribuciones de la media, proporción y varianza muestrales en el cálculo de probabilidades• Determinar el tamaño de muestra representativo y sus elementos, mediante las técnicas de muestreo.• Efectuar estimaciones puntuales de los parámetros de una población: media, proporción y varianza poblacional. ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD ILa unidad 1 se estudiará durante las 7 primeras semanas de clases y comprende temas como: tiposde variables estadísticas, medidas de tendencia central, medidas de dispersión, probabilidad clásicay técnicas de conteo aplicadas al cálculo de probabilidades.Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teoría,ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases teóricas yadicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Sesugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos.SEMANA 1ESTADISTICA“La Estadística es una ciencia matemática que se utiliza para describir, analizar e interpretarciertas características de un conjunto de individuos llamado población”.La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechossujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de losfenómenos". (Yale y Kendal, 1954).
  10. 10. Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica que tiene laestadística, debido al gran campo de aplicación que posee.La Estadística se divide en dos ramas:Estadística Descriptiva:Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos,obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre lasrelaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no soloreferirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sinotambién a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).Estadística Inductiva:Según Berenson y Levine; Estadística Inferencial son procedimientos estadísticos que sirven paradeducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numéricos (población), seleccionando ungrupo menor de ellos (muestra).El objetivo de la inferencia en investigación científica y tecnológica radica en conocer clasesnumerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras relativamente pequeñas compuestas porlos mismos elementos.OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTESPoblación"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común". Cadenas(1974). Ejemplo: La población de ballenas.Según el número de elementos la población puede ser finita o infinita. Cuando el número deelementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una poblacióninfinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos. Una población finita es aquellaque está formada por un limitado número de elementos, por ejemplo; el número de estudiantes dela UNITA.Cuando la población es muy grande, es obvio que la observación de todos los elementos sedificulte en cuanto al trabajo, tiempo y costos necesarios para hacerlo. Para solucionar esteinconveniente se utiliza una muestra estadística.Muestra"Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla". Murria R.Spiegel (1991)."Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las conclusiones que seobtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la población en referencia", Cadenas (1974).
  11. 11. Ejemplo: El estudio realizado a 33 estudiantes de la FCCE de la UNITA.Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacerreferencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia muestra ypoblación son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción osegmento de ese todo.MuestreoEsto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población;el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.Ejemplo:Consideremos como una población a los estudiantes de educación secundaria del Colegio Colón,determinando por lo menos dos caracteres ser estudiados en dicha población: Religión de losestudiantes y Sexo.VARIABLE ESTADÍSTICAVariable es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser medida, adoptandodiferentes valores en cada uno de los casos de un estudio.Clasificación de las variablesEn un estudio científico, podemos clasificar las variables según la escala de medición o lainfluencia que asignemos a unas variables sobre otras. Según la escala de medición:Variables cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, características omodalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la mediciónconsiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser ordinales ynominales. Ejemplo: sexo de una persona (hombre, mujer), color de ojos (cafés, verdes, azules)Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Lasvariables cuantitativas además pueden ser: • Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Un ejemplo es el número de hijos. • Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo el peso o la altura, que solamente limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos cualesquiera.
  12. 12. Ejercicios propuestos1. Clasificar las siguientes variables: • Preferencias políticas (izquierda, derecha o centro). • Marcas de cerveza. • Velocidad en Km/h. • El peso en Kg. • Signo del zodiaco. • Nivel educativo (primario secundario, superior). • Años de estudios completados. • Tipo de enseñanza (privada o pública). • Número de empleados de una empresa. • La temperatura de un enfermo en grados Celsius. • La clase social (baja, media o alta). La presión de un neumático en2. Clasifique las variables que aparecen en el siguiente cuestionario. • ¿Cuál es su edad? • Estado civil: • ¿Cuanto tiempo emplea para desplazarse a su trabajo? • ¿Está afiliado a la seguridad social? • Tamaño de su ciudad: ciudad pequeña (de 50.000 a 100.000 hab.), ciudad grande (más de 100.000 hab.)SEMANA 2MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon un grupo de estadísticos que permiten ver lo dominante, lo típico o la tendencia de unadistribución de datos en el sentido de cuáles son sus valores medios. Las medidas de tendenciacentral más conocidas son: la media aritmética, la mediana y la moda.MediaLa media aritmética o promedio, de una cantidad finita de números, es igual a la suma de todosellos dividida entre el número de sumandos.
  13. 13. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total dela variable distribuida a partes iguales entre cada observación. Por ejemplo, si en una habitaciónhay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo eldinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es unaforma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cadaobservación (persona) tendría la misma cantidad de la variable.También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución,el cual no es necesariamente la mitad. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.Así, dados los números a1,a2, ... , an, la media aritmética será igual a:Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:Media ponderadaA veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia paradeterminado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada sedefine de la siguiente forma:Ejemplo: Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos se registran en lasiguiente tabla: Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2ModaLa moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
  14. 14. Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir,dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas.Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.Ejemplo:En la distribución: 5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.Una distribución puede tener más de una moda si dos o más datos, o clases de datos, tienen lamisma frecuencia y esta es la más alta de la distribución.Moda de datos agrupadosPara calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente fórmula.En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio.SEMANA 3MedianaDentro de la rama de medidas de tendencia central en estadística descriptiva, y considerando los datos de una muestra ordenada en orden creciente (de menor a mayor),definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes ydespués que él. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que lamediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representaránel otro 50% del total de datos de la muestra.Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será laobservación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente odecreciente.
  15. 15. Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observacionescentrales.Observaciones:- La mediana de un conjunto de datos es única.- El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.Ejemplo (sobre la representatividad)Supongamos que hay 19 pobres y un millonario en una habitación. Cada uno pone $5 sobre lamesa pero el millonario aporta un millón. Eso da un total de $1.000.095.Si el dinero se repartiese por partes iguales, eso daría un promedio (media) de $50.004,75, pero lamediana da $5, ya que si uno divide el grupo en 2, se puede decir que 10 personas aportaron $5 omenos, mientras que las otras 10 personas aportaron $5 o más. xi fi Fi 1 2 2 2 2 4 3 4 8 4 5 13 5 8 21 > 19.5 6 9 30 7 3 33 8 4 37 9 2 39En ese sentido, la mediana representa la cantidad típica que cada persona aportó. En contraste, elpromedio es para nada típico, ya que nadie aportó ni cerca de los $50.004.75Ejemplo ( N impar )Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por lasiguiente tabla (debajo): Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2Calculemos la Mediana:
  16. 16. Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 ybasándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas -->Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo,21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejableno olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.Ejemplo ( N par )Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por lasiguiente tabla (debajo): Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2 xi fi Fi 1 2 2 2 2 4 3 4 8 4 5 13Calculemos la Mediana: 5 6 19 = 19 6 9 28 7 4 32 8 4 36 9 2 38Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 ybasándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18< 19 < N19Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen eldecimonoveno y el vigésimo lugar.En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimohasta el vigésimo octavo)
  17. 17. con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o másSEMANA 4MEDIDAS DE DISPERSIONLa dispersión mide cuan alejados están un conjunto de valores respecto a su media aritmética. Asícuanto menos disperso sea el conjunto más cerca del valor medio se encontrarán sus valores.Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendenciacentral, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en sudistribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora dedescribirlos e interpretarlos para la toma de decisiones. Las medidas de dispersión más usadas son:el rango o amplitud, la varianza, la desviación estándar y la covarianza.Ejemplo:Podemos tener un conjunto de átomos de una sustancia con una media de velocidades 0. De ellono cabe concluir que los miembros del sistema están quietos. Ello implicaría que la substancia seencontraría cerca del cero absoluto. Con una media de 0 podemos tener desde un sólidocristalizado hasta un gas muy caliente. La variable que determinará en qué estado de agitacióntérmica se encuentran los átomos del sistema será la dispersión de velocidades.EL RANGO O AMPLITUDEs la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de un conjunto de valores. Puede verseafectada por valores extremos, poco representativos. Además, esta medida al aumentar el númerode valores aumenta o se queda igual pero nunca disminuye. Esta medida presenta problemas que lahacen poco apta para usos estadísticos.VARIANZALa varianza representa la media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado. Siatendemos a la colección completa de datos (la población en su totalidad) obtenemos la varianzapoblacional; y si por el contrario prestamos atención sólo a una muestra de la población,obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresiones de estas medidas son las que aparecena continuación.Expresión de la varianza muestral:
  18. 18. Expresión de la varianza poblacional:DESVIACION ESTANDARLa desviación estándar (DS/DE), también conocida como desviación típica, es una medida dedispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales delpromedio en una distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el promediode la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letrasigma, . Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y unadesviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.Una vez entendida la formulación de la varianza podemos pasar a obtener la desviación estándar,tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza.Expresión de la desviación estándar muestral:Expresión de la desviación estándar poblacional:Ejemplo:Las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Susdesviaciones estándar son 7, 5 y 1, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviaciónmucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.Ejemplo:Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datosrepresentan la edad de los miembros de un grupo de niños. { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }1. Calcular el promedio o media aritmética .
  19. 19. . Este es el promedio.2. Calcular la desviación estándar Esta es la desviación estándar.Ejemplo:Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros: 3,3,4,4,5Solución:Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respectoal cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:La varianza es:siendo la desviación típica su raíz cuadrada:
  20. 20. SEMANA 5TEORIA DE LA PROBABILIDADLa teoría de probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios, éstosdeben contraponerse a los fenómenos determinísticos,Fenómeno determinísticoSon fenómenos en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condicionesdeterminadas, produce un resultado único o previsible. Ejemplo: El agua calentada a 100 gradoscentígrados, a presión normal, se transforma en vapor.Fenómeno aleatorioUn fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismascondiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas. Ejemplo:lanzar un dado o una moneda.Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedecea la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la modelación matemáticade sofisticados fenómenos aleatorios. Actualmente, estos fenómenos encuentran aplicación en lasmás variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar eldesarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelode Black y Scholes para la valuación de acciones).VARIABLE ALEATORIAEn estadística y teoría de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultadonumérico de un experimento aleatorio en el cual dicha variable toma diferentes valores.Matemáticamente, es una función medible que da un valor numérico, del conjuntode los reales, a cada suceso en el espacio Ω del espacio muestral del experimento. El espaciomuestral está conformado por los posibles resultados de un experimento. Al conjunto de losvalores posibles de una variable aleatoria se conoce como rango.Dado una variable aleatoria X se pueden calcular estimadores estadísticos diferentes como lamedia (Media aritmética, Media geométrica, Media ponderada) y valor esperado y varianza de ladistribución de probabilidad de X.Ejemplo
  21. 21. Suponga que lanzamos dos monedas al aire y, sea X la variable aleatoria que identifica el númerode caras obtenidas en el lanzamiento. X: Número de caras obtenidas en el lanzamiento. Ω = { cc, cs, sc, ss } (c identifica una cara, s una cruz) RX = { 0, 1, 2 } (Recorrido de X)Entonces asociando Omega con el Recorrido de X, tenemos que:Tipos de Variables aleatorias• Variable aleatoria discreta: variable que toma un número finito o infinito de valores numerables. Variable aleatoria que puede tomar sólo un número limitado de valores.• Variable aleatoria continua: variable que toma un valor infinito de valores no numerables. Variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado de valores.DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDADLa probabilidad es la característica de un suceso del que existen razones para creer que serealizará. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza elexperimento. La probabilidad pude tomarse como una medida del riesgo de que un evento ocurra.Así, la probabilidad se calcula de la siguiente forma: # casos favorablesP(A) = ------------------------------------ # total de resultados posiblesProbabilidad discretaEste tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son elresultado de la cuenta de alguna característica de interés.Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerablesEjemplo: Sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de Xson x = 0, 1, 2, 3Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da unnúmero de específico de casos y solo nos pueden dar un numero especifico de resultados.
  22. 22. Probabilidad continuaUna variable aleatoria es una funciónque da un valor numérico a cada suceso en Ω.Ejemplos:a) la posibilidad de seleccionar una carta de un mazob) la posibilidad que un producto nuevo tenga aceptación en el mercadoc) la posibilidad de que un estudiante seleccionado al azar en una clase tenga un promedio de BEjemplo:Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas salgan cara?S = { cc, cs, sc, ss }P ( cc ) = 2/4 = 0.5Ejemplo:Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor de 7?S = {1,1; 1,2; 1,3; 1,4; …………… 6,1; 6,2;…. 6,6}Tamaño de S = 36P ( ∑ d > 7 ) = 15 / 36DEFINICIONES BASICASExperimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.Ejemplo:Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }Ejemplo:En el lanzamiento de dos monedas tenemosS = {cc, cs, sc, ss } S = { 4 }Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, elexperimento se denomina aleatorio o al azar.
  23. 23. Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puededescomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara deldado es un evento simple.Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos omás eventos simples.Ejemplos de eventos simples y compuestos:Evento simple: Lanzamiento de un dadoA = {evento que salga un # impar}A = {1, 3, 5}B = {el número sea ≤ 4} = {1, 2, 3, 4}Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedasA = el evento de observar una caraA = {cc, cs, sc, ss}Operaciones de conjuntosEs necesario recordar las operaciones de conjuntos puesto que constituyen el fundamento de lasprobabilidades.• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos de A, de B o de ambos.• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.• Complementos. El complemento de un conjunto A que se denota por A’ son todos los demás elementos que no se encuentran en A.Tipos de eventosEventos Mutuamente excluyentesSi dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En estecaso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.A ∩ B = {Φ}Eventos colectivamente exhaustivosDos eventos son colectivamente exhaustivos si al hacer la unión de los mismos, se obtiene elespacio muestral.A U B = {S}
  24. 24. Reglas Básicas de Probabilidades Para Eventos Simples1. Ley Fundamental de la probabilidadUna probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se diceque su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y suprobabilidad es 1.0 ≤ P(A) ≤ 12. ∑ P(A) = 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles del espaciomuestral es 1.3. Ley del Complemento. Si A’ es el complemento de A, entonces, P (A’) + P (A) = 1Proceso Para Calcular la probabilidad de un Evento1) Haga una lista de todos los eventos contenidos en el espacio muestral.2) Asigne la probabilidad que corresponda a cada evento simple.3) Determine los eventos simples que constituyen el evento de interés.4) Sume las probabilidades de todos los eventos simples que constituyen el evento de interés.Regla de Suma de ProbabilidadesEventos Mutuamente ExcluyentesDos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo.P(A U B) = P(A) + P(B) ssi [ P(A∩B) = 0 ]b. Eventos No Mutuamente ExcluyentesDos eventos A y B son no mutuamente excluyentes si ambos pueden ocurrir simultáneamente.P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A_B)Ejercicio propuesto1. La tabla siguiente muestra el número de hornos microondas vendidos por día en una tienda deventas al detalle del área metropolitana de San Juan# de microhondas (E) # de días 0 15 1 48 2 25 3 22 4 10
  25. 25. Determinar la probabilidad de que el número de microondas que se vendan actualmente sean:a) 3 b) menos de 2 c) más de 1 d) por lo menos 2 e) entre 1 y 3 ambos incluidos f) exactamente 4SEMANA 6TÉCNICAS DE CONTEOEl análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteode los grupos y arreglos de los datos.Principio de MultiplicaciónSi un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, yasí sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será,(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)Ejemplos:1. Lanzar dos dados:(n1) • (n2) = (6) • (6) = 362. Suponga que se desea formar un comité de tres miembros en el cuál se elegirá un presidente, unvicepresidente y un tesorero. Hay dos candidatos para la presidencia, 4 para la vicepresidencia y 3para el tesorero. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?# de formas para escoger presidencia: 2# de formas para escoger vicepresidencia : 4# de formas para escoger el tesorero : 3# formas para escoger las posiciones: 2 • 4 • 3 = 24Muestras OrdenadasPERMUTACIÓN (P)Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datoso todos los datos contenidos en el grupo.NPn = N! / [N – n]!N = # de elementos diferentes disponibles (población)n = # número de elementos tomados de N (muestra)
  26. 26. También se denota como: oNOTADefinición de Factorial.El simbolo n! que se lee “n factorial “ se refiere al producto de todos los enteros desde n hasta 1.n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ( n – 3 ) ……….3.2.1definición: 0 ! = 1 ( cero factorial es 1 )ejemplos; 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 15!=5.4!4!=4.3.2.14!=4.3!3!=3.2.13!=3.2!2!=2.1Ejemplo. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras A, B, C tomándolas todas a la vez?Solución:3P3 = 6 ; P= [ ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB ]Ejemplo:Un examen de candidatura consta de 5 partes que pueden obtenerse de un total de 10 temas. ¿decuántas maneras se pueden escoger las 5 partes?10P5 = 10! / [10 – 5]! = 120Ejemplo:Haga una lista de las permutaciones que pueden formarse con los #s: 1, 2, 3 y 4 tomando dos a lavez.4P2 = 4! = 4 • 3 • 2! = 12(4- 2)! 2 !Muestras no ordenadas sin repetición.
  27. 27. Cuando el orden en que se seleccionan los objetos no importa, tenemos lo que se denomina unaCombinación.COMBINACIONES (C)Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintossin importar el orden (Ej. juego de póker).NCn = N! / n! ( N – n ) !También se denota como: o como: o como:Ejemplo:Se dispone de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comité de 5 personas.¿De cuántas maneras se puede formar el comité si debe incluir 3 hombres y 2 mujeres?NCn = 8C5 = [5C3][3C2 ] = [ 5! / 3! (5-3)! ] [ 3! / 2! (3-2)!]NCn= 8C5 = [10] [3] = 30Las permutaciones están ligadas a las combinaciones mediante la siguiente identidad:Ejercicios resueltos11. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 2, 3, 5, 7, 8, 9?Solución: 6P3 = 1202. Cinco personas entran en un vagón de ferrocarril en que hay 7 asientos. ¿De cuántas manerasdistintas pueden sentarse?Solución: 7P5 = 25203. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los números 1, 3, 5, 6, 8, 0?¿Cuantos de ellos son pares?Ayuda: No hay que considerar los que empiezan con 0, por ejemplo 0135 135, y éste no es unnúmero de 4 cifras.Respuesta: 6P4 – 5P3 = 360 – 60 = 300; pares = 5P3 * 3 – 5P3 = 1201 Tomado de: http://ima.ucv.cl/mapoyo/guias/nat_combinatoria.pdf
  28. 28. 20. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra CUADERNO? ¿Cuántas comenzarán con C y terminarán con O?21. ¿De cuántas maneras 4 hombres y 4 mujeres pueden sentarse alrededor de una mesa redonda, si se intercalan los sexos?
  29. 29. SEMANA 7PROBABILIDAD CONDICIONALEn muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido conotro evento. En este caso tenemos lo que se llama probabilidad condicional.Definición de probabilidad condicionalSe llama probabilidad condicional a la probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndosecumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguientemanera: pB(A) ó p(AB)Dicha probabilidad se calculará de la siguiente forma:La probabilidad condicional de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P(A/B). O sea, esla probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce cierta información relacionada con laocurrencia de otro evento B.P(A/B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido.P(B/A) probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido.P(A/B) = P(A_B) / P(B) probabilidad condicional de AP(B/A) = P(A_B) / P(A) probabilidad condicional de BP(A_B). Es la probabilidad conjunta porque denota la intersección de dos eventos, A y B.P(A) y P(B) se denominan probabilidades marginalesEventos Independientes y DependientesSe dice que dos eventos son independientes si y solo si, P(A/B) = P(A)Se dice que dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia delotro. P(A/B) ≠ P(A)Regla de Multiplicación de probabilidadEsta regla de probabilidad se deriva de la definición de probabilidad condicional y utiliza elconcepto de intersección de eventos para su aplicación.a. Si A y B son eventos independientes, entonces,
  30. 30. P(A_B) = P(A) • P(B)b. Si A y B son eventos dependientes, entonces,P(A_B) = P(B) • P(A/B)P(A_B) = P(A) • P(B/A)Ejemplo de probabilidad condicional 1:Un importador de piñas recibe un cargamento de 500 cajas de la República Dominicana. Los datosde piñas dañadas en cada caja se muestran a continuación. El cálculo de las probabilidadescorrespondientes se muestra en la columna P(E).Evento ( E ) # de cajas P(E)# de piñas dañadas 0 385 385 / 500 = 0.77 1 90 90 / 500 = 0.18 2 14 14 / 500 = 0.028 3 11 11 / 500 = 0.022Ejemplo de probabilidad condicional 2:La tabla a continuación nos presenta el ascenso a catedráticos de los profesores de una institucióndurante los últimos 5 años.Tabla de Ascenso al rango de Catedrático Hombres Mujeres TotalesAscendido A 278 26 304No ascendido A 662 194 856Totales 940 220 1,160En la tabla de las probabilidades las probabilidades conjuntas aparecen en el interior de la tabla ylas probabilidades marginales en los márgenes. Estas últimas se llaman probabilidades marginales.Tabla de Probabilidades Conjunta Hombres Mujeres TotalesA 0.24 0.02 0.26A 0.57 0.17 0.74Totales 0.81 0.19 1.00A- ascendido A- no ascendido¿Cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y fue ascendido?P(H_A) = 278 / 1160 = 0.24
  31. 31. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y no fueascendido?P(H_A) = 662 / 1160 = .57¿Cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) fue ascendido?P(M_A) = 26 / 1160 = .02¿Cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) y no fueascendido?P(M_A) = 194 / 1160 = .17Ejemplo de probabilidad condicional 3:Considerando los datos del ejemplo anterior, calcule:a. Cuál es la probabilidad de que un profesor escogido al azar sea ascendido dado que es hombre(H)?P(A/H) = 278 / 940 = 0.30AlternativamenteP(A_H) = P(H) • P(A/H)P(A/H) = P(A_H)/P(H) = 0.24 / 0.81 = .030b. La probabilidad de que un profesor escogido al azar sea ascendido dado que es hombre (M)P(A/M) = 26 / 220Alternativamente P(A_M) = P(M) • P(A/M)P(A/M) = P(A_M) / P(M)= 0.02 / 0.19 = 0.12Ejercicios de probabilidades propuestos 21. Una urna contiene 10 bolas, 6 blancas y 4 negras. Si se saca una bola al azar, ¿cuál es laprobabilidad de que la bola sea blanca? Respuesta: 0.602. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas:a. la probabilidad de que la carta sea un rey. Respuesta: 0 .071b. la probabilidad que sea un As de corazón rojo. Respuesta: 0.019c. la probabilidad que la carta sea negra. Respuesta: 0 .5d. la probabilidad que la carta sea de espada. Respuesta: 0.253. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas, ¿cuáles la probabilidad de que sea un As o un Rey?Respuesta: 0.15384. Se saca una bola de una urna que contiene 12 bolas, 7 azules y 5 blancas, ¿cuál es laprobabilidad de que sea azul o blanca.2 http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf
  32. 32. 5. Un individuo que entra a una farmacia tiene una probabilidad de comprar pasta dental de 0.45,de comprar desodorante de 0.35 y de comprar ambos de 0.25. Si ese individuo entra a la farmacia,¿cuál es la probabilidad la de que compre pasta dental o desodorante? Respuesta: 0.556. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un As ouna carta roja? Respuesta: 0.5387. En la población de Puerto Rico se ha estimado que la probabilidad de fumar es de 0.65 y la defumar ocasionalmente de 0.20, ¿cuál es la probabilidad de no fumar para esa población?8. En una universidad 40% poseen un diploma en el idioma Francés, 30% poseen un diploma en elidioma Italiano y 10% poseen un diploma en ambos idiomas. Si se escoge un miembro de esacomunidad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que posea un diploma de Francés o Italiano?9. Suponga que un distribuidor de autos recibe 12 nuevos modelos, 8 automáticos y 4 estándares.Si se venden cuatro autos el próximo mes, ¿cuál es la probabilidad de que los autos vendidos seandos automáticos y dos estándares? ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean o automáticos oestándares? Respuesta: 0.33 y 0.143410. La probabilidad de que ocurra el evento A es 0.35, la probabilidad de que ocurra el evento B es0.10. Si A y B son eventos independientes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento[P(A∩B]?11. 55 porciento de las personas de Puerto Rico viven en el área metropolitana de San Juan(SJMA). Además, 70 porciento de esas personas se sienten felices y 40 porciento de todas laspersonas de PR viven en el SJMA y son felices. Demostrar si los eventos vivir en el SJMA y serfelices son eventos dependientes o independientes.12. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes y si P(A) = 0.30 y P(B) = 0.45, determinarP(A B ) y P( A / B)13. El 50% de las personas de una comunidad poseen una cámara digital y una computadora.Además, 30% posee una computadora y 40% una cámara digital. ¿Cuál es la probabilidad que siseleccionamos una persona al azar posea una cámara o una computadora?
  33. 33. UNIDAD IIFUNCIONES PROBABILÍSTICASObjetivos:• Determinar y graficar las funciones de probabilidad y de distribución de una cierta variable aleatoria discreta y continua.• Distinguir una ley de probabilidades de otra mediante sus características ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD IILa unidad 2 se estudia desde la 8va hasta la 11ra semana de clases y comprende temas como:distribución de probabilidad, distribución binomial, distribución hipergeométrica, distribución dePoisson, distribución de Gauss.Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teoría,ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases teóricas yadicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Sesugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos.SEMANA 8DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADLos procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómotirar una moneda o un dado no son procesos aleatorios en sentido estricto, ya que no se reproducenexactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan sino sólo unas pocas. Losprocesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modeloscomplejos donde no se conocen todos los parámetros que intervienen o no son reproducibles suscondiciones iniciales (teoría del caos). Para simplificar, generalmente a este tipo de problemastambién se le considera aleatorio aunque estrictamente hablando no lo sea.La distribución de probabilidad es un modelo teórico que describe la forma en que varían losresultados de un experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con lasprobabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.
  34. 34. Función de densidad de probabilidadLa función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función apartir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en elcaso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variablesaleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la funciónde densidad.Es una función que mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variablealeatoria continua. • Función de probabilidad: función que asigna probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta. • Función de distribución: función que acumula probabilidades asociadas a una variable aleatoria.ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADOEn estadística la esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de laprobabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valoresperado es el beneficio medio.Es el valor de la variable aleatoria para el cual la función de distribución se maximiza. Parafunciones de distribución simétricas con un máximo central el valor esperado coincide con laMedia ponderada. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la mediaaritmética.Definición de la esperanzaPara una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidadesrepresentadas por la función de masa p(xi) la esperanza se calcula conPara una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos losvalores y la función de densidad f(x): oLa esperanza también se suele simbolizar con μ = E[X]
  35. 35. Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantesson los momentos centrados .No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado (por ejemplo la distribución de Cauchy).La esperanza es un operador lineal, ya que ,donde e son variables aleatorias y y dos constantes cualesquieraSEMANA 9DISTRIBUCION BINOMIALSupongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: • En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario (fracaso). • El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. • La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A’ es 1- p y la representamos por q . • El experimento consta de un número n de pruebas.Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribuciónBinomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba delexperimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,4,..n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las manerasposibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (númerocombinatorio n sobre k).La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dichadistribución.Parámetros de la Distribución BinomialFunción de Distribución de la v.a. Binomial
  36. 36. siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que lavariable X tome valores menores o iguales que xi.El cálculo de las F(x) = p( X x) puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas paraalgunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.Ejemplo 1Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezasdefectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.Solución:Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0007) y debemos calcular laprobabilidad p(X=1).Ejemplo 2La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que unavez administrada a 15 pacientes:a) Ninguno sufra la enfermedadb) Todos sufran la enfermedadc) Dos de ellos contraigan la enfermedadSolución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 072)
  37. 37. Ejemplo 3La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100.Hallar:a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000b) La varianza y la desviación típica.Solución:DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICALos experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.Se calcula así: C x * N −a C n −x p( x , n ) = a N CnDonde: p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados C x * N − C n −x = a a muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos C n =δ = todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N N objetos en total = espacio muestralEjemplo:
  38. 38. Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si deseleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?Solución:N = 10 objetos en totala = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra 3! 7! * C2*10 −3 C4 −2 C* C ( 3 − 2 )!2! ( 7 − 2 )!2! p( x = 2, n = 4 ) = 3 = 3 2 7 2 = = 10 C4 10 C4 10! ( 10 − 4 )!4! 3! 7! 3 x 2 x1! 7 x6 x5! * * = 1!2! 5! 2! = 1!2! 5! 2! = 3 x 2 x7 x6 * 4! = 10! 10 x9 x8 x7 x6! 10 x9 x8 x7 2! 2! 6! 4! 6! 4! donde: 3 x 2 x7 x6 = 10 x9 x8 x7 probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes 4! = 2!2! formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuososLuego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería: 3 x 2 x7 x6 4! 252 24 6048 = * = * = = 0.30 10 x9 x8 x7 2! 2! 5040 4 20160Ejemplo:
  39. 39. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en unabotella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de laaduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que elviajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no seaarrestado por posesión de narcóticos?Solución:a) N = 9+6 =15 total de tabletasa = 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcóticoque se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletasp(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadashaya 1 o más tabletas de narcótico) C1* 9 C2 C* C C* C = p( x =1,2ó3tabletas ; n = 3 ) = 6 +6 2 9 1 +6 3 9 0 = 15 C3 15 C3 15 C3 ( 6 )( 36 ) ( 15 )( 9 ) ( 20 )( 1 ) 216 +135 + 20 371 = + + = = = 0.81538 455 455 455 455 455otra forma de resolver;p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletasseleccionadas no haya una sola de narcótico) C0* 9 C3 = 1 − p( x = 0; n = 3 ) = 1 − 6 = 15 C3 ( 1 )( 84 ) =1 − = − .184615 = 0.815385 0 455 a) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos) C0* 9 C3 = p( x = 0; n = 3 ) = 6 = 15 C3 ( 1 )( 84 ) = = 0.184615 455Ejemplo:
  40. 40. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectilesdefectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2no exploten?Solución:a) N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles queexplotan entre la muestra que se dispara C4* 3 C0 ( 35 )( 1 ) 35 p( x = 4; n = 4 ) = 7 = = = 0.16667 10 C4 210 210b) N = 10 proyectiles en totala = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotanp(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) = C2* 7 C2 +3 C3* 7 C1 ( 3 )( 21 ) +( 1 )( 7 ) 63 + 7 70 = 3 = = = = 0.333333 10 C4 210 210 210Ejemplo:Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dosmenores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de loscuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de lasidentificaciones pertenezcan a menores de edad?Solución:a) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad 4 C2 * 5 C3 ( 3 )( 10 ) p( x = 2, n = 5 ) = = = 0.238095 9 C5 126
  41. 41. b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores deedad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad C0* 5 C5 +4 C1* 5 C4 +4 C2* 5 C3 ( 1 )( 1 ) +( 4 )( 5 ) +( 6 )( 10 ) p( x = 0 , ,2; n = 5 ) = 1 4 = = 9 C5 126 1 + 20 + 60 81 = = = 0.64286 126 126Ejercicio propuesto1. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidosantes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y seselecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno,la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, lacaja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículosdefectuosos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuosose regresa para verificación?SEMANA 10DISTRIBUCION DE POISSONEs una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventosocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y sonindependientes del tiempo desde el último evento. Su distribución de probabilidad está dada por:Donde: • e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...), • k! es el factorial de k, • λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.
  42. 42. Ejemplo:Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa,obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tenganencuadernaciones defectuosas.SEMANA 11DISTRIBUCION NORMALLa distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es ladistribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría deprobabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente: • Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. • Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.La función de densidad está dada por:donde μ (Μ) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 es la varianza).Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene formade campana.La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variablesasociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal: • Caracteres morfológicos de individuos • Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco • Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos • Caracteres psicológicos como el cociente intelectual • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes • Valores estadísticos muestrales como la media
  43. 43. Distribución normal estándar. EstandarizaciónCuando μ = 0 y σ = 1, la distribución se conoce con el nombre de normal estándar.Dada una variable aleatoria normal X, con media (también llamada Esperanza matemática) μ ydesviación típica σ, si definimos otra variable aleatoria entonces la variablealeatoria Z tendrá una distribución normal estándar μ = 0 y σ = 1. Se dice que se ha tipificado lavariable X.Ejemplo:Para hallar la probabilidad de la distribución normal, se deben usar tablas predefinidas que nos danestos valores directamente, si bien éstas se calculan para la distribución Normal Tipificada.En el caso de que la distribución no sea estándar, por ejemplo, x=2.6 y N(μ,σ) con μ = 2 y σ = 3,tendremos que tipificar la variable:Obtenemos una variable Z normal, que además está tipificada. Si ahora consultamos en la tabla,
  44. 44. UNIDAD IIIPROCESOS ESTOCÁSTICOSObjetivos:• Introducir al estudiante en la problemática del modelamiento de sistemas estocásticos.• Resolver problemas asociados a las transiciones entre estados• Adquirir los conceptos de irreducibilidad y periodicidad. Clasificar los estados de una cadena de Markov.• Utilizar la clasificación de los estados y la periodicidad de los mismos para conocer el comportamiento a largo plazo de una cadena de Markov. ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD IIILa unidad III se estudiará desde la 12da hasta la 18va semana de clases y comprende temas como:Ruido, movimiento Browniano, cadenas de Harkov en tiempo discreto y continuo, teoría ergódica,para finalmente terminar revisando las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teoría,ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases teóricas yadicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Sesugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos.SEMANA 12PROCESOS GAUSSIANOSRUIDOEl ruido es la suma de múltiples interferencias, de origen desconocido y de naturaleza aleatoria.Origen del ruidoEl ruido se genera de varias formas entre las que tenemos:• La agitación térmica producida en las moléculas del material que forma el conductor, por el choque con los electrones en movimiento.• La irradiación de los cuerpos negros es otro factor importante en el ruido de las comunicaciones por radio, ya que todos los objetos del universo, dependiendo de su temperatura, emiten energía en forma de ondas electromagnéticas.
  45. 45. • El ruido producido por fuentes tales como contactos defectuosos, artefactos eléctricos, radiación por ignición y alumbrado fluorescente.• El ruido errático producido por fenómenos naturales tales como tormentas eléctricas con relámpagos y rayos.La magnitud del ruido generado por un dispositivo electrónico, se puede expresar mediante eldenominado factor de ruido (F), que es el resultado de dividir la relación señal/ruido en la entrada(S/R)ent por la relación señal/ruido en la salida (S/R)sal.El factor de ruido es un parámetro importante en los sistemas de transmisión, ya que mientras elruido externo nunca se podrá eliminar totalmente, la reducción del ruido generado por los equiposdepende del cuidado de su diseño.MOVIMIENTO BROWNIANOObservemos con cuidado la bocanada de humo que lanza al aire un fumador. Veremos que estácompuesta de pequeñísimas partículas que se están moviendo continuamente en todas lasdirecciones, también en zigzag.Se observa que partículas muy pequeñas se hallan inmersas en un fluido, que en éste caso es el airede la atmósfera.El movimiento descrito, que lleva a cabo una partícula muy pequeña que está inmersa en un fluido,se llama movimiento browniano. Este movimiento se caracteriza por ser continuo y muy irregular.La trayectoria que sigue la partícula es en zigzag.El movimiento browniano es de tipo estocástico y su descripción se hace en términos de sudistribución. Además hay que tener en mente que esta fuerza estocástica cambia al transcurrir eltiempo, lo que significa que no sólo hay que decir algo acerca de su distribución en un instantedado de tiempo, sino también algo acerca de cómo están relacionados los valores de las fuerzasestocásticas en distintos instantes.
  46. 46. Langevin formuló la hipótesis, que de hecho es la más sencilla, de que la distribución de la fuerzaestocástica es gaussiana. Por tanto, su determinación se reduce a conocer su promedio y sudesviación estándar.DISTRIBUCION DE RAYLEIGHEsta distribución es usada en trabajos de confiabilidad asociados a problemas en teoría del sonido.Su función de densidad está dada porLa función de distribución acumulada está dada porSi T es una variable aleatoria que sigue esta ley de probabilidad se puede demostrar que suesperanza esSiendo G ( ) la función gamma definida porEjemplo:Se suele presentar cuando un vector bidimensional (por ejemplo, el que representa la velocidad delviento) tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal.Su valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh. Esta distribución también sepuede presentar en el caso de números complejos con componentes real e imaginariaindependientes y siguiendo una distribución normal. Su valor absoluto sigue una distribución deRayleigh.Ejemplo:Interfaz de radio con GSMSi suponemos que el móvil se mueve (como es evidente), añadimos los efectos de la propagaciónterrestre, que está dominada por la influencia más destructiva de todas: los desvanecimientosRayleigh. Dado que las ondas de radio pueden seguir una variedad de caminos hasta el receptormóvil, pueden ocurrir cambios de fase, que son dependientes de la frecuencia. Este tipo dedesvanecimientos ocurren con una distribución estadística llamada distribución Rayleigh. Ladistribución tipo Rayleigh que involucra el voltaje recibido antes de la detección de envolvente, y
  47. 47. la potencia media de la señal recibida antes de la detección de envolvente. La probabilidad de quela envolvente de la señal recibida no exceda un valor especificado R está data por lacorrespondiente función de distribución acumulativaSEMANA 13PROCESOS ESTOCASTICOSDEFINICIONES DE PROCESOS ESTOCASTICOSPalabra proveniente del griego: στοχαστικός, hábil en conjeturar. Significa "perteneciente orelativo al azar" según el diccionario.Se denomina estocástico a aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar. Las leyes de causa-efecto no explican cómo actúa el sistema (y de modo reducido el fenómeno) de maneradeterminista, sino en función de probabilidades.En Matemáticas y en concreto en Estadística y Teoría de la Probabilidad un proceso aleatorio oproceso estocástico (o probabilístico) es un concepto matemático que sirve para caracterizar yestudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con eltiempo.Ejemplo:El índice de la bolsa es un ejemplo de proceso estocástico de tipo no estacionario, por eso no sepuede predecir.Los siguientes son ejemplos de procesos estocásticos dentro del amplio grupo de las seriestemporales: o Señales de telecomunicación o Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc...) o Señales sísmicas o El número de manchas solares año tras año o El índice de la bolsa segundo a segundo o La evolución de la población de un municipio año tras año • El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla • El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, temperatura, etc.) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.
  48. 48. Definición matemáticaUn proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes: • Como un conjunto de variables aleatorias Xk indexadas por un índice k, que puede ser continuo o discreto • Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.Las variables aleatorias Xk toman valores en un conjunto que se denomina espacio de estadosCADENAS DE MARKOVUna cadena de Markov, propuesta por el matemático ruso Andrei Markov en 1907, es una seriede eventos (X1, X2, …,Xn), en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del eventoinmediato anterior. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es elestado del proceso en el tiempo n. Las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el últimoevento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del eventoanterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar unamoneda al aire o un dado.Ejemplo:En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra delos deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo deequipo. Todos estos procesos se caracterizan porque su estado presente resume toda la informaciónrelevante para describir en probabilidad su estado futuro.Ejemplo:Escogemos 4 estudiantes al azar en una clase formada por 10 chicos y 5 chicas. ¿Cuál es laprobabilidad de que hayan sido elegidos chico, chica, chica, chica en ese orden?Solución:Nótese que éstos sucesos son dependientes pero NO son estocásticos ya que por ejemplo laocurrencia del último evento no de pende solo del inmediatamente anterior, sino de todos losanteriores puesto que existe un orden predefinido.P(O1∩A2∩A3∩A4)=P(O1).P(A2/O1).P(A3/O1∩A2).P(A4/O1∩A2∩A3)= 10 5 4 3 . . . = 0.0183 15 14 13 12Ejemplo:
  49. 49. Sea el experimento de tirar dardos 4 veces sobre una diana con probabilidad de acertar cada vezigual a 0.4.Solución:Otra vez es una sucesión de 4 pruebas y cada una de ellas tiene dos acontecimientos posibles:acertar o errar. Pero ahora las pruebas son independientes y, por lo tanto, la probabilidad de queocurra un suceso determinado en una de las pruebas es independiente del resultado de lasanteriores.Por ejemplo la probabilidad de que hayan ocurrido acierto, error, error, error en ese orden sería:P(A1∩E2∩E3∩E4)=P(A1).P(E2).P(E3).P(E4)= (0.4).(0.6).(0.6).(0.6)= 0.0864Este es un proceso probabilística que NO es estocástico.Ejemplo:Durante las cuatro horas a la semana que tienen los alumnos de Estadística se reparten entre dosaulas: o van al aula de Informática, o trabajan en clase. Nunca van a los ordenadores dos díasseguidos pero si un día trabaja en clase es igualmente probable que el día siguiente realicecualquiera de las dos tareas. El lunes, el profesor tira una moneda para decidir a dónde van.Solución:Una vez más el experimento consta de cuatro pruebas con dos sucesos en cada una de ellas (ir alaula de informática o no ir). A diferencia de los experimentos anteriores, la probabilidad de queen cada una de las pruebas ocurra un acontecimiento depende únicamente del resultado dela prueba anterior. Procesos de este tipo SI son estocásticos.La probabilidad de ir al aula de informática sólo el primer día: (I :"ir al aula de informática"; C="trabaja en clase").P( I1∩C2∩C3∩C4)= P(I1).P(C2/I1).P(C3/C2).P(C4/C3)= 1 1 1 .1. . = 0.125 2 2 2Ejemplo:Calcule la probabilidad de ir al aula de informática el tercer día. p1(2).Solución:(Aquí hay que tener en cuenta las probabilidades iniciales p1(0) y p2(0)) , entonces:p1(2)=p11(2).p1(0)+ p21(2).p2(0)=0.375 )Ejercicios propuestosConsidere que los posibles estados del experimento anterior son:a1="ir al aula de Informática" p11=probabilidad de ir del estado a1 al estado
  50. 50. a1=0 p12=probabilidad de ir del estado a1 al estadoa2= "trabaja en clase" a2=1 p21=probabilidad de ir del estado a2 al estadop1(0)=probabilidad inicial de ir al estado a1=1/2a1=1/2 p22=probabilidad de ir del estado a2 al estado a2=1/2 (0)p2 =probabilidad inicial de ir al estado Se llaman probabilidades de transición entrea2=1/2 estados de la cadenaAhora, escriba los valores de las probabilidades de la matriz de transición del problema anterior alo largo de cuatro días seguidos (n=3 pasos) ¿Qué ocurrirá?1. Observe los caminos que hay para ir de a 1(primer día) a a1 el cuarto día (en n=3 pasos). Laescena te da la probabilidad que será llamada p11(3). Compruebe que te da lo mismo que laprobabilidad de ir al aula de informática en tres pasos (el cuarto día) sabiendo que también fueronel primer día.2. Lo mismo para ir de a1 a a2 en tres pasos. p12(3).3. ¿Y de a2 a a1 en tres pasos? p21(3).4. Lo mismo de a2 a a2 en tres pasos. p22(3)..5. Observe que tiene que ocurrir que p1(0)+ p2(0)=16. Observe que tiene que ocurrir que p11+ p12=1 p21+ p22=1Calcule ahora las siguientes probabilidades para el problema anterior:7. Calcule la probabilidad de ir al aula de informática en tres pasos (el cuarto día): p1(3).¿Qué diferencia observas entre la cuestión 1ª y esta?¿Qué probabilidades intervienen?SEMANA 14CADENAS FINITAS DE MARKOVUn proceso estocástico finito en el que se verifica que el resultado de una prueba determinadadepende como máximo de la prueba inmediatamente anterior y no de ninguno de los resultadoprevios , recibe el nombre de Cadena finita de Markov.En una cadena de Markov hay: • Un espacio de estados E={a1,a2,a3,.... an } (Cada estado son todos los resultados posibles de cada una de las pruebas).
  51. 51. Cuando el resultado de la prueba r es ai decimos que el proceso está en el estado ai en el paso r-ésimo. • Para cada dos estados ai y aj , la probabilidad de que el estado aj ocurra inmediatamente después que el estado ai, que llamaremos probabilidad de transición del estado ai al estado aj , y que designaremos por Pij. • Si ordenamos todas las probabilidades de transición Pij en una matriz nxn obtenemos la matriz de transición del proceso:  P11 P12 ....... P1n     P21 P22 ....... P2 n  P = ..... ..... ....... .....    P   n1 Pn 2 ....... Pnn Ejemplo:El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compraun producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo comprenun mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron elproducto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses ?SoluciónPara entender el problema, se recomienda realizar un gráfico del mismo.Así, la matriz de probabilidades de transición es: Compra el producto No compra el producto Al estado
  52. 52. 0,80 0,30 Compra el producto 0,20 0,70 No compra el productoLa matriz es estocástica (P) porque sumando todas sus columnas, el resultado es 1.Ahora formamos la matriz de estado con los datos del problema (le llamaremos X). Nótese que enX, en la primera fila he puesto las personas que compran el producto 100, en la segunda los que nolo compran 1000-100=900.Ahora para averiguar la nueva matriz de estado en el primer mes se debe multiplicar la matriz deprobabilidades de transición P por la matriz inicial de estado X. Al primer mes, 350 han compradoel producto y 650 no lo han comprado.Para el siguiente mes, vuelvo a multiplicar la matriz de probabilidades de transición por la nuevamatriz de estado obtenida. En este caso, primero se ha asignado a X el producto de P.X, con locual se tiene la nueva matriz de estado al cabo del primer mes. Para el siguiente mes, el proceso serepite, y la matriz obtenida sería la nueva matriz de estado (en el segundo mes de estudio).
  53. 53. Otro procedimiento sería haber dejado la matriz de estado inicial X y para el segundo mes, comose debe multiplicar dos veces por P (por la izquierda), se podría haber efectuado (P2 . X). Elresultado indica que en el segundo mes 475 personas han comprado el producto y 525 no.Vamos a hacer un experimento ya que disponemos de la Classpad que nos ahorra cálculosrepetitivos. ¿Qué pasará en los meses siguientes suponiendo que no cambia la matriz deprobabilidades de transición?
  54. 54. Nótese que en este tipo de problemas, el producto Pn . X tiende a un estado estacionario, el cual esindependiente de la matriz de estado inicial X.MATRIZ ESTOCÁSTICA O DE PROBABILIDADES DE TRANSICIÓNEn esta matriz cada línea contiene las probabilidades de transición de un estado determinado atodos los demás, es decir, las probabilidades de todos los resultados posibles de la próxima prueba.La suma de todas estas probabilidades debe de ser 1 y, por tanto, la suma de los elementos decada fila de la matriz de transición vale 1. Como además todos los elementos de la matriz son≥0 por ser probabilidades, la matriz de transición es una matriz estocástica. • El vector formado por las probabilidades del estado inicial del sistema., llamado vector de probabilidad inicial (0) P (0) =( P1 , P2( 0 ) ,.......,Pn( 0 ) )Obsérvese que la suma de las probabilidades que expresan los elementos del vector debe ser iguala 1 y, por lo tanto, el vector de probabilidad inicial es un vector estocástico.Ejercicios propuestos1. Escriba el espacio de estados y la matriz de transición para el ejemplo de la escena anterior.2. Un alumno acude al Instituto, o bien en bicicleta o andando. Si un día emplea la bicicleta, al díasiguiente utilizará la bicicleta con probabilidad 1/2, y si va andando al día siguiente también lohará con probabilidad 3/4. Calcule el espacio de estados, la matriz de transición del proceso.3. En una región, si un día hay niebla al siguiente llueve pero, si llueve, el día siguiente essoleado. Se tiene observado que las probabilidades de que a un día con sol suceda un día nublado olluvioso son, respectivamente, 0.4 y 0.6. Definir el espacio de estados y la matriz de transición delproceso.4. Una Central de seguridad vial chequea a menudo uno de tres puntos conflictivos A, B y C. Laprobabilidad de que un día controle el mismo lugar que el día anterior es 1/2 y las probabilidadesde que controle uno cualquiera de los otros dos puntos restantes son iguales. Definir el espacio deestados y la matriz de transición del proceso.PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN EN K PASOSEs la probabilidad de que un proceso pase del estado ai al estado aj en k pasos . se escribe (k ) Pij
  55. 55. para i,j=1,2,3,....,n. Estas probabilidades se pueden ordenar en una matriz que se llama matriz detransición en k pasos:  P11 ( k ) P12 (k ) ...... P1n  (k )  (k ) (k ) (k )  P P22 ...... P2 n  P (k ) =  21   ...... ....... ....... .......   P (k ) Pn 2 (k ) ...... Pnn  (k )  n1 Teorema:Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov, entonces la matriz de transición de kpasos es la k-ésima potencia de P P (k ) = P kEjercicios propuestos1. En una ciudad existen dos partidos políticos, uno de derechas y otro de izquierdas. Los alcaldesson elegidos por un período de un año y se ha observado que la probabilidad de que a un alcaldede derechas suceda otro del mismo signo político es 3/5 y que a un alcalde de izquierdas siga otrode izquierdas es 1/2. a) Supongamos que en 2005 hay alcalde de izquierdas. ¿Cuál será laprobabilidad de que en 2008 siga un alcalde de izquierdas al frente del concejo?2. Un hombre conduce su coche o toma el tren para ir a trabajar cada día. Supongamos que nuncatoma el tren dos días seguidos; pero si conduce para ir a trabajar, entonces al día siguiente es tanprobable que conduzca de nuevo como que tome el tren. a) Escribe la matriz de transición delproceso. b) Calcule la probabilidad de que vaya en coche, cuatro días después de haber ido en tren.3. Un ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso (lleno o vacíode ocupantes). El piso en el que termina el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena deMarkov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otrosdos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25 % de las veces finalizaen el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre termina en el bajo.A) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.B) Dibujar su gráfico asociado. Es regular.C) ¿Dónde es más probable que esté el ascensor después de cuatro viajes, si salió del Bajo?
  56. 56. 4. Una familia planifica cada año sus vacaciones de la siguiente manera. Si un año va a la montañaal año siguiente va al mar y al segundo año descansa en la casa. Pero al año siguiente esigualmente probable que se traslade al mar o a la montaña. En 2005 quedarán en casa. ¿Dónde esmás probable que pasen sus vacaciones en el año 2010?SEMANA 15PROBABILIDADES TOTALESLa probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado a i después de k pasos recibe elnombre de probabilidad total o absoluta. (k ) PiA cada paso k le corresponde un vector estocástico formado por todas las probabilidades totales deese paso: (k ) (k ) (k ) P (k ) =(P1 , P2 ,...., Pn )en particular el vector de probabilidad inicial: (0) ( 0) (0) P ( 0 ) = ( P1 , P2 ,...., Pn ) descrito en la primera escena de la página 1, que corresponde a ladistribución de probabilidades de paso 0.El siguiente teorema nos proporciona un método para calcular las probabilidades absolutascorrespondientes a una prueba k del sistema:Teorema:En una cadena de Markov con matriz de transición P se obtiene lo que sigue: P ( 1 ) = P ( 0 ) .P P ( 2 ) = P ( 1 ) .P = P ( 0 ) .P 2 P ( 3 ) = P ( 2 ) .P = P ( 0 ) .P 3 ..... P (k) = P (k −1 ) .P = P ( 0 ) .P kEs decir las distribuciones de probabilidad del paso k se pueden calcular multiplicando el vector deprobabilidad inicial por la potencia correspondiente de la matriz de transiciónEjercicios propuestos1. Dada la matriz de transición
  57. 57.  1 0   P=  1/ 2 1/ 2 con distribución de probabilidad P(0)=(1/3 2/3). Definir y hallar P21 ) , P2( 3 ) , P ( 3 ) (32. En una ciudad existen dos partidos políticos, uno de derecha y otro de izquierda. Los alcaldesson elegidos por un período de un año y se ha observado que la probabilidad de que a un alcaldede derechas suceda otro del mismo signo político es 3/5 y que a un alcalde de izquierdas siga otrode izquierdas es 1/2. ¿Cuál serán las probabilidades de cada partido en el año 2010?3. Un hombre conduce su auto o toma el tren para ir a trabajar cada día. Supongamos que nuncatoma el tren dos días seguidos; pero si conduce para ir a trabajar, entonces al día siguiente es tanprobable que conduzca de nuevo como que tome el tren. Si se sabe que el primer día de trabajo elhombre lanza un dado para decidir que si sale un 6 lleva el coche y si no va en tren. Calcula ladistribución de probabilidad después de cuatro días.4. Un supermercado realiza la experiencia siguiente en relación con las preferencias de susclientes. Se observa que: El 80% de las personas que compran un día el producto A repite al díasiguiente. El 60% de los que no lo compran el producto A un día, lo compran al día siguiente. Siel 50% compró el producto un día determinado, ¿qué podemos predecir para la compra delproducto el segundo día? ¿Y para el tercero?5. Una persona puede escoger entre tres restaurantes para comer diariamente. si un día escoge elrestaurante A, al día siguiente escoge el B y al día siguiente del B siempre el C, pero cuando va aC es igualmente probable que al día siguiente vaya a A o a B. Escribir la matriz de transición delproceso y calculando después la tercera potencia de esa matriz, estimar a) la probabilidad de quevaya a B tres días después de ir a A. b) Las probabilidades absolutas de ir a cada restaurantedespués de cuatro días.CADENAS DE MARKOV REGULARES• Son aquellas en las que es posible pasar a través de todos los estados de la cadena sin que este paso se realice de una forma cíclica. A su correspondiente matriz de transición se le denomina MATRIZ DE TRANSICIÓN REGULAR.• Se prueba que una matriz estocástica es regular si todos los elementos de una potencia Pn son positivos, para un cierto valor de n. Todos los estados son transitorios.• Si una matriz tiene un 1 en la diagonal principal, NO es regular (el estado al que corresponde se dirá estado absorbente)

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