REGULO SABRERA ALVARADO
RED DE UNIVERSIDADES DE LA UNASUR
Vol.1

Quinta Edición, Marzo 2023
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
No
2016-0054 (Ley No
26905/D.S. No
017-98-ED)
R.U.C No
20537983542
ISBN : 977-614-4002-11-6
Area : Superior
Diseño de carátula
 Departamento de Edición y Producción ASM
Física III 4000 Problemas Resueltos
Derechos Reservados / Decreto Ley 822
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, su tratamiento
informático la transmisión por ninguna forma ya sea electrónico, me
cánico, por fotocopia, por registro u otros métodos sin permiso previo
y por escrito de los titulares de Copyright. rsabreraa@unmsm.edu.pe

FISICA III
4000
PROBLEMAS RESUELTOS

Colección Tesla
Régulo A. Sabrera Alvarado
Catedrático de Física, Matemática
Computación y SocioFísica
RED DE UNIVERSIDADES
DE LA UNASUR
Vol.1

Dedicatoria
A la juventud estudiosa
y trabajadora, que con
sus ideas y acciones innovadoras
transforman
a diario el mundo

Este libro está dirigido a los estudiantes y profesores que desarrollaran el contenido
del Curso Virtual de Electricidad y Magnetismo, bajo el nuevo esquema conceptual del
aprendizaje mediante la práctica y teoría, con ayuda del hardware y software; la cual viene
sustentada y sostenida por el Método Educativo Vivencial (EDU-VE), en la que el objetivo
principal es la formación de profesionales autodidactas e independientes, característica nue
va que corresponde a los nuevos paradigmas de la educación de nuestro siglo, en la que la hu
manidad esta en una transición en todos los niveles, social, educativo, económico, tecnológi
co, financiero, político, etc....La otra característica principal que debe mencionarse es que en
esta nueva modalidad se maneja gran cantidad de información, la cual, es personalizada.
Dado que la duración del dictado y desarrollo del curso virtual de Electricidad y Mag
netismo en las Universidades Estatales o Privadas es de 16 semanas el contenido de este tex
to se ha distribuido para desarrollarlo en 16 semanas. De otro lado, la obra está dividida en
la forma que el autor cree que es la más conveniente, es decir, los 4000 problemas propues
tos y resueltos que se presentan, se han seleccionado cuidadosamente y organizado de una
manera gradual, según su grado de dificultad. Al final del libro se presenta un apéndice que
contiene equivalencias, constantes físicas, factores de conversión, prefijos del sistema inter
nacional (S.I.), y un formulario completo del curso virtual de Electricidad y Magnetis
mo,...etc.
El objetivo de éste trabajo, que es resultado de la experiencia del autor de haber dicta
do por muchos años en las aulas universitarias, el curso de Electricidad y Magnetismo en las
diferentes Facultades de Ingenierías, tales como: Electrónica, Eléctrica, Sistemas e Informá
tica, Química, Industrial, Robótica y Cibernética, etc, así, como de las Facultades de Cien
cias, es la de servir a la juventud estudiosa, progresista, innovadora y con ansias de supera
ción, que en la actualidad siguen estudios en alguna especialidad de Ciencias ó Ingenierías
en las diferentes Universidades Estatales ó Privadas de la Red de Universidades de la
UNASUR, y que entusiastamente acometen la transformación tecnológica y científica que re
quiere con urgencia nuestras sociedades.
Finalmente, quiero expresar mi mayor agradecimiento a todas aquellas personas que
colaboraron con entusiasmo y dedicación en la edición del presente trabajo, especialmente a
la Srta. Penélope García S., por quién tengo un gran aprecio y estima, se encargo de la digita
ción, diseño y diagramación del texto. Desde ya, me comprometo a superarme y hacer todo
lo necesario para mejorar las futuras ediciones. . rsabreraa@unmsm.edu.pe
 Régulo A Sabrera A
Autor
PROLOGO
964 507 290

Página
Cap.01 problemas de Análisis Vectorial
Cap.02 problemas de Fuerza Eléctrica
Cap.03 problemas de Campo Eléctrico
Cap.04 problemas de Potencial Eléctrico
Apéndice
699
436
412
625
CONTENIDO
040
193
349
533
701

NIKOLA TESLA
EL GENIO DE GENIOS
<<
La ciencia no es sino una perversión
de si misma a menos que tenga como
objetivo final el mejoramiento de la
vida de la humanidad>>
964 507 290

CAP-1
ANALISIS VECTORIAL
 Producto escalar, producto vectorial.
 Productos triples de vectores.
 Proyección y componentes de un vector.
 Operaciones del algebra vectorial.
 Aplicaciones a la Física e Ingeniería

Análisis Vectorial 1
CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
a) Escalar
Es una cantidad cuya determinación sólo
requiere el conocimiento de un número, su
cantidad, respecto de cierta unidad de
medida.
Ejem: 01
La temperatura, la longitud, la masa, el
tiempo, el trabajo, la energía, etc.
b) Vector
1) Definición
Es una cantidad cuya determinación exige
el conocimiento de un módulo, y una di
rección.
Ejem: 02
El desplazamiento, la velocidad, la fuerza,
la aceleración, el ímpetu, etc.
2) Representación de un vector
 Gráfica
Un vector se representa por un segmento
orientado OP la longitud del segmento es
el módulo del vector, siendo los puntos O
y P el origen y extremo del vector, respec
tivamente.
 Analítica
Un vector se representa por una letra con
una flecha encima por ejemplo A , el mó
dulo o magnitud del vector A , se represen
ta como A ó simplemente A .
c) Elementos de un vector
1) Módulo
Indica el valor del vector. Geométricamen
te es el tamaño del vector, así, si Ax, Ay
son las componentes cartesianas del vec
tor A , su módulo se halla así,
2 2 1/ 2
x y
A [A A ]
 
Ejem: 03
En la Figura, el módulo del vector A es,
2 2
A 4 3 5 u
  
2) Dirección
A OP

Es la orientación que tiene el vector, res
pecto al sistema e coordenadas cartesia
nas. En el plano se define mediante el án
P
3
0
A
P Línea
de acción
37o
Y
X
4
ANALISIS
VECTORIAL

0
A
P
CAP-1
O
01

Robótica y Cibernética
2
gulo que forma el vector con el eje X posi
tivo.
d) Tipos de vectores
1) Vectores colineales
Son dos ó más vectores que tienen una
misma línea de acción ó todos ellos están
contenidos en una misma recta.
Los vectores a, b y c son colineales.
2) Vectores paralelos
Son aquellos vectores que tienen sus lí
neas de acción respectivamente paralelos.
Sí, L1 es paralelo con L2, entonces:
a es paralelo con el vector b
a es paralelo con el vector c
3) Vectores opuestos
Dos vectores a y b son opuestos, si y só
lo si, tienen direcciones opuestas, esto es,
el ángulo que forman entre si es de 1800
,
además sus módulos son iguales.
La suma de dos vectores opuestos es igual
al vector nulo.
Si, L1 es paralelo con L2; o son iguales.
4) Vectores iguales
Dos vectores a y b son iguales, si y sólo
si, tienen la misma dirección y el mismo
módulo.
5) Vectores coplanares
Dos o más vectores se denominan coplana
res, cuando todos ellos están contenidos
en un mismo plano.
6) Vectores concurrentes
Si un conjunto de vectores a , b , c ,…
tienen un mismo punto de aplicación o se
intersecan en un mismo punto O, se dice
que son concurrentes.
En la Figura, a, b y c son vectores copla
nares y concurrentes.
SUMA DE VECTORES
a) Vectores colineales
a
b c
a
b
a
b
a b c
1u
1u
a
b
c
+i

L
1
L
2
L
1
L
2
L
1
L
2
a
b
c
O
02

Análisis Vectorial 3
Los vectores sumandos tienen la misma
dirección o dirección opuesta, por lo que,
la suma se realiza algebraicamente tenien
do en consideración los signos, así, si el
vector está a la derecha o hacia arriba se
considera (+), y si esta a la izquierda o ha
cia abajo se considera (-)
Ejem: 04
En los vectores mostrados en la Figura, ha
llar a b
 , y a c
 .
Sol:
 Calculemos los vectores a b
 y a c
 :
ˆ ˆ ˆ
a b 2i 4i 6 i
    
ˆ ˆ ˆ
a c 2i 4( i) 2 ( i)
     
b) Producto de un vector por un esca
lar
El producto de un vector A por un escalar
(m) es otro vector de módulo menor, igual
o mayor que el vector A . Si el escalar (m)
es positivo el vector resultante tiene la mis
ma dirección que A , caso contrario direc
ción opuesta a A así,
A
 es el vector opuesto de A
Ejem: 05
Dado el vector ˆ ˆ
A 3i 4 j
  , y c=2, hallar
el vector cA .
 Sol:
Por propiedad del algebra vectorial, el
vector ccA es:
ˆ ˆ
cA (2)(3i 4 j)
 
ˆ ˆ
cA 6i 8 j
 
c) Método del paralelogramo
1) Procedimiento
Para sumar (ó restar) dos vectores a y b ,
que forman un ángulo  entre sí, se proce
de así:
 Se unen los vectores sumandos a y b por
sus orígenes.
 Se trazan paralelas a los vectores a y b (lí
neas punteadas) formándose el paralelogra
mo.
 Se traza el vector resultante de la suma de
a y b , desde el origen 0 hacia el vértice
opuesto P.
2) Módulo
Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R ,
viene dado por:
2 2 1/ 2
R [a b 2a b cos ]

  
siendo, a, b los módulos de los vectores a
y b , y  el ángulo formado por estos vec
tores, comprendido entre 00
y 1800
.
 Nota:
 La diferencia de dos vectores a y b , no es
una nueva operación, en realidad la dife
rencia es una suma, así, tenemos:
R a b a ( b)
    
Es decir, la diferencia de a y b , es la su
ma de a y b
 .
 Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R , de
la diferencia de a con b , viene dado por:

a
b
0
R
P

Robótica y Cibernética
4
2 2 1/ 2
R [a b 2a.b cos ]

  
Ejem: 06
El módulo de la resultante de dos fuerza
de módulos 10 N y 20 N es de 10 N. ¿En
qué intervalo está comprendido el ángulo
entre estas dos fuerzas?
Sol:
 Grafiquemos el paralelogramo formado
por los vectores

a y

b.
Aplicando la fórmula para la resultante
"R" de la suma de dos vectores:
1/2
2 2
R a b 2abcos
 
  
 
2 2 2
R a b
cos
2ab

 

2 2 2
10 10 20
cos 1
(2)(10)(20)

 
  
Entonces: =180o
ó  
 rad.
Por lo tanto, " "
 está comprendido en el
siguiente intervalo,

3 5
4 4
 

 
d) Método del polígono
 Es un método que nos permite sumar dos
ó más vectores, el procedimiento consiste
en unir el origen del segundo vector con
el extremo del primero, el origen del terce
ro con el extremo del segundo, así sucesi
vamente hasta llegar al último vector.
 Los vectores sumandos a , b , c , ..etc, se
desplazan (mueven) manteniéndose cons
tantes sus módulos y direcciones.
 El vector resultante (R ) de la suma, se ob
tiene uniendo el origen del primero con el
extremo del último vector.
 El modulo del vector resultante (R ) de la
suma, se determina utilizando los métodos
geométricos, ya sea, la ley del ley del seno
coseno, Pitágoras, etc.
Ejem: 07
Hallar el vector resultante de la suma de
a , b y c .
Sol:
 El vector resultante R de la suma de los
vectores a , b y c , se halla así:
Ejem: 08
Hallar el vector resultante de la suma de
los vectores mostrados.
b
a
45o
c
a
b
c
R
R=10N
b=20N
a=10N

a
b
d
c

Análisis Vectorial 5
a) 2( )
 
a b
 b) 2( )
 
a c
 c) 2( )
 
a b

d) 2( )
 
a c
 e) 2( )
 
b c

Sol:
 Con los vectores dados formemos el polí
gono cerrado.
En la Figura, como los vectores forman
un polígono cerrado, se cumple:
a b c d 0
   
a c b d
  
Luego, la expresión del vector resultante
es:
R a c b d
   
R a c a c
   
 R 2(a c)
 
e) Polígono Cerrado
Si el polígono vectorial resulta ser cerra
do, entonces el módulo del vector resultan
te es igual a cero, es decir:
a b c d 0
   
Ejem: 09
En el cuadrado ABCD, hallar el módulo
del vector resultante.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
Sol:
 En la Figura, la resultante de la suma de
los vectores dados y su módulo, son:
R (AB BC CD DA) (AC DB)
     
R 0 (AD DC) (DA AB)
    
R (AD DA) (AB DC)
   
R 2AB R (2) AB
  
 R 4u

f) Ley de Senos
Si los vectores a , b y c forman un trián
gulo cerrado, es decir: a b c 0
  
b
a c



d
c
b
a
a
-b
-d
c
B
2u
2u
A
B C
D
0
B

Robótica y Cibernética
6
Entonces, se cumple la relación entre los
lados a, b y c, y los senos de los ángulos:
a b c
sen sen sen
  
 
Ejem: 10
En la Figura, ¿Cuál deberá ser el coeficien
te de fricción de la barra homogénea con
el piso para que pueda permanecer de la
manera mostrada? La longitud del hilo AB
es igual a la longitud de la barra.
a)1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 2/3 e) 3/4
Sol:
 Representemos las fuerzas que actúan so
bre la barra BC.
En el triángulo CBD, del teorema de Pitá
goras, hallemos el lado CD:
1
2 2 2
5
CD ( / 2)
2
 
  
 
En el triángulo ACD, de la ley de seno,
hallemos el sen , así:
0
sen sen45
/ 2 5 / 2


10
sen
10

 
Luego, como la tg , nos da el coeficiente
de fricción S, entonces:
S
2
sen
tg
1 sen

 

 

S
2 1/2
10 /10
[1 ( 10 /10) ]



 S
1
3
 
g) Ley de coseno
Para el triángulo de lados a, b, c y vértices
A, B, C, se cumple la relación:
2 2 2
c a b 2abcos
  
Ejem: 11
En la circunferencia de radio u
7 , hallar
el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u
d) 9 u e) 11 u
a
b c
A
B

C


A
B
T
R
W
f
C
D

450
B

g
A
B
l
l

Análisis Vectorial 7
Sol:
 La resultante de la suma de los vectores
dados es:
R (a b c) d e
    
R e d e d 2e
    
Ahora, tracemos los vectores

d ,2

e y su
resultante

R .
Luego, el módulo de la resultante R es:
2 2 1/2
1
R [ (2 ) 2( )(2 )( )]
2
  
R 7 ( 7)( 7 u)
 
 R 7u

COMPONENTES RECTANGULA-
RES DE UN VECTOR
a) Componentes rectangulares
Todo vector se puede expresar como la su
ma de dos o más componentes. En el plano
bidimensional, dicho vector se escribe co
mo la suma de dos vectores mutuamente
perpendiculares. Así, las componentes del
vector A , en las direcciones de los ejes X e
Y, son:
x
A Acos
 , y
A Asen

La dirección del vector A , viene dado por
el ángulo " "
 , cuya expresión es:
y
x
A
arc tg( )
A
 
Para determinar la resultante de la suma
de un conjunto de vectores a , b , c …, se
procede del modo siguiente :
1) Cada vector se expresa en sus componen
tes en las direcciones de los ejes X e Y,
respectivamente.
x y
ˆ ˆ
a a i a j
 
x y
ˆ ˆ
b b i b j
 
--------------------
siendo, î , ˆ
j vectores unitarios ortogonales
que definen el sistema de coordenadas
rectangulares X, Y.
2) Se suman las componentes de los vectores
que están en la misma dirección, obtenién
dose las componentes Rx, Ry del vector
resultante en las direcciones de los ejes X
e Y, esto es,
A

X
Y
0

x
A

y
A

a
b
c
d
0
600
e
d
2e
R
600
C
03

Robótica y Cibernética
8
x x x
R a b ...
  
y y y
R a b ...
  
3) El módulo del vector resultante R se halla
aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2 1/ 2
x y
R [R R ]
 
4) La dirección del vector resultante R , res
pecto del eje X, viene dado por:
y
x
R
arc tg( )
R
 
Ejem: 12
En la Figura, en el cuadrado de lado p, M
y N son puntos medios. Hallar el módulo
de la resultante si: a 5
 u, b 2 2
 u
y c 5
 u.
a) 7,1 u b) 7,3 u c) 7,5 u
d) 7,7 u e) 7,9 u
Sol:
 Representemos cada uno de los vectores.
Sean, ,  y  los ángulos que forman los
vectores a , b y c con el lado AD, enton
ces, la resultante y su módulo son :
R a b c
  
ˆ ˆ
R 5cos i 5sen j
ˆ ˆ
2 2 cos i 2 2sen j
ˆ ˆ
5cos i 5sen j
 
 
 
  
 

2 5 5
ˆ ˆ
R ( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
2 2
ˆ ˆ
(2 2)( )i (2 2)( ) j
2 2
5 2 5
ˆ ˆ
( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
  
 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
R 2i 2 j i j 2 i 2 j
     
2 2 1/2
ˆ ˆ
R 5i 5 j R [5 5 ]
    
 R 7,1u

b) Vector unitario
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
a
a a
u
a a

 
 De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por
a
ua
A D
B C
a
b
c
p/2 p/2
p
5 2
p /
5 2
p /
2p

j

i
M
N
A
B C
A D
a
b
c
M
N

Análisis Vectorial 9
el vector unitario que le corresponde, así:
a
ˆ
a a u

Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejem: 13
En la Figura, hallar B
A


 si: A

=5 u y
B

=3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u
d) 6,6 u e) 6,8 u
Sol:
 Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B.
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
A  (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B, así
b 2 2 2 1/2
( 3; 6;6)
û
[( 3) ( 6) 6 ]
 

   
b
1 2 2
û ( ; ; )
3 3 3
  
b
1 2 2
ˆ
B B u (3)( ; ; )
3 3 3
 
 
B ( 1; 2; 2)
  
Luego, la resultante de la suma de A y B,
y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
    
R (2; 6;2)
 
2 2 2 1/2
R [(2) ( 6) (2) ]
   
 R 6,6u

PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m", "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A
   (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C
     (asociativa)
3) m A A m
 (conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n
  (distributiva)
5) (m n) A m A n A
   (distributiva)
6) m (A B) m A m B
   (distributiva)
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
D
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
b
04

Robótica y Cibernética
10
b) Producto escalar
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto es
calar o interno se representa por A B, y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo " "
 que for
man, esto es,
A B A B cos 

0  
 
el resultado de A B es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
 A B B A

 A (B C) A B A C
  
 m(A B) (mA) B A (mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j k k 1
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i j i k j k 0
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifican las siguientes relaciones:
 1 1 2 2 3 3
A B A B A B A B
  
 2 2 2 2
1 2 3
A A A A A A
   
 2 2 2 2
1 2 3
B B B B B B
   
 Si A B 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejem: 14
¿Para qué valor de " "
 los vectores (a +
b
 ) y (a b

 ) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/5
d) 5/3 e) 3/4
Sol:
 Por propiedad, si dos vectores son per
pendiculares entre sí, su producto escalar
es igual a cero así:
(a b) (a b) 0
 
  
2 2 2
a a b b a b 0
  
   
2 2 2
a b 0

 
2
2
2
a a
b
b
 
   

3
5
  
Ejem: 15
Hallar el trabajo realizado por la resultante
de las fuerzas 1
F =(3; -4; 2) (N), 2
F =(2; 3;
-5) (N) y 3
F =(-3; -2; 4) (N), si el punto de
su aplicación se desplaza en un movimien
to rectilíneo de la posición M(5; 3; -7) m a
la posición N(4; -1; -4) m.
a) 11 J b) 13 J c) 15 J
d) 17 J e) 19 J
0
A
B

C

Análisis Vectorial 11
Sol:
 Primero, calculemos la fuerza resultante
de la suma de las tres fuerzas, así:
R 1 2 3
F F F F (2; 3;1)
    
Ahora, calculemos el vector desplazamien
to, así:
d N M ( 1; 4;3)
    
Luego, el trabajo realizado por la fuerza re
sultante es:
R
W F d (2; 3;1).( 1; 4;3)
    
W (2)( 1) ( 3)( 4) (1)(3)
     
W 2 12 3
   
 W 13J

c) Producto vectorial
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo " "
 que for
man, esto es:
ˆ
AxB ABsen u


0  
 
siendo û un vector unitario que indica la
dirección del producto AxB.
Si, A B
 , o bien si A tiene la misma di
rección que B, sen 0
  , con lo que que
da probado AxB 0
 .
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
 AxB BxA
 
 Ax(B C) AxB AxC
  
 m(AxB) (mA)xB Ax(mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixi jxj kxk 0
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixj k ; jxk i ; kxi j
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifica que:
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
i j k
AxB A A A
B B B
 
 
  
 
 
 El módulo de AxB representa el área del
paralelogramo de lados A y B .
 Si AxB 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
Ejem: 16
Hallar el modulo (en N.m) del momento
de la fuerza F=(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
a) 5,8 b) 6,0 c) 6,2
d) 6,4 e) 6,8
A
B
C
u

B

Robótica y Cibernética
12
Sol:
 Calculemos el vector de posición r , así:
r A B (4; 2;3) (3; 2; 1)
     
r (1; 4; 4)
 
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
B
ˆ ˆ ˆ
i j k
M r xF 1 4 4
2 4 5
 
 
  
 
 

 
B
ˆ
M [( 4)(5) ( 4)(4)] i
ˆ
[(1)(5) (2)(4)] j
ˆ
[(1)( 4) (2)( 4)] k
    
 
  
B
ˆ ˆ ˆ
M ( 20 16) i (5 8) j ( 4 8) k
       
B
ˆ ˆ ˆ
M 4 i 3 j 4 k
   
 B
M 6,4 N m

Ejem: 17
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 300
. Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a xb) c.
a) 21 u3
b) 23 u3
c) 25 u3
d) 27 u3
e) 29 u3
Sol:
 En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a xb, así:
a xb a b sen

1
a xb (6)(3)( ) 9
2
 
Representación de los vectores a ,b y c ,
con a ,b contenidos en el plano XY.
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0; 0;1)

a x b (0; 0; 9)

(axb) c (0; 0;9) (0; 0;3)

 3
(axb) c 27u

Ejem: 18
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Sol:
 Primero calculemos el producto a xb:
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 2 1
1 0 1
 
 
  
 
 
a xb (2; 1; 2)
  
D
D
a
c
b
300

k 
j

Análisis Vectorial 13
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a xb y a c . De esto, se deduce
que debe ser colineal al vector (a xb)xc.
ˆ ˆ ˆ
i j k
(a xb)xc 2 1 2
1 1 4
 
 
  
 
 

 
(a xb)xc (6; 6;3)

(a xb)xc (6 ; 6 ; 3)
u
9
(a xb)xc
 

2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3

c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A B)C ; A (BxC) y Ax(BxC)
Se cumplen las siguientes relaciones:
 Ax(BxC) (Ax(B)xC

 A (BxC) B (CxA) C (AxB)
 
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A (BxC) B B B
C C C

Siendo:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
C C i C j C k
  
El producto A (BxC) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
Ax(BxC) se llama triple vectorial.
 Ax(BxC) (AxB)xC

 Ax(BxC) (AxC)B (A B)C
 
(AxB)xC (AxC)B (B C)A
 

(AxB) (CxD) (A C)(B D)
(A D)(B C)
 

(AxB)x(CxD) (A (BxD))C
(A (BxC))D
 

Ax(Bx(CxD)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
 
Ejem: 19
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k  R.
a) 60 u3
b) 62 u3
c) 64 u3
d) 66 u3
e) 68 u3
Sol:
 Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a ,b y c .
X
Z
Y
c
a
b
A

Robótica y Cibernética
14
El producto mixto (a xb) c es igual al vo
lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
4 0 0
V (a xb) c 0 4 0
0 k 4
 
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
  
 

 3
V 64u

d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r", " "
 y " "
 , siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, " "
 el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y " "

el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
x rsen cos
 
 ; y rsen sen
 

z rcos

Por ejemplo, sean 1 1 1 1
r (r ; ; )
 
 , 2
r 
2 2 2
(r ; ; )
  las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12
 al ángulo
que forman 1
r y 2
r , entonces expresando el
producto escalar 1 2 1 2 12
r r r r cos
 , en fun
ción de î , ˆ
j, k̂ se demuestra que se cum
ple que:
12 1 2 1 2
1 2
cos sen sen cos( )
cos cos
    
 
 
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
1 2 1 2
1 2
cos( ) cos cos
sen sen
   
 
  
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
donde, ,  y  son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.
X
A

Z
Y
 

0
Z
Y
0


X
P
C
05

Análisis Vectorial 15
Ejem: 20
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =1200
y =450
.¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 300
b) 370
c) 450
d) 530
e) 600
Sol:
 Sustituyendo =1200
, =450
, en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo  , así:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 o 2 2 o
cos 120 cos cos 45 1

  
2
1 1 1
cos 1 cos
4 2 2
 
     
 o
1 60
  ó o
2 120
 
Ejem: 21
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u
d) 5,6 u e) 5,8 u
Sol:
 Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 3
3cos 1 cos
3
 
   
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
x y z
M M M M cos 
  
x y z
M M M 3
   
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)

ó M ( 3 ; 3 ; 3)
   
b) Proyección de un vector
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
2
b
a b
Proy a ( )b
b
 , b 0

Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejem: 22
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6) e) (2 ; 6)
Sol:
 Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .

a
b
Proy a
b
B
E
a
b

Pr oy a
b
 

Robótica y Cibernética
16
La proyección del vector a sobre el vector
b , es un vector que tiene la misma direc
ción del vector b , y viene dado por:
b b
b
Proy a Comp a
b

b
a b b
Proy a
b b

b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
Proy a
5 5


b
(3; 4)
Proy a (10) (6;8)
5
 
 b
ˆ ˆ
Proy a 6 i 8 j
 
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
b
a b
Comp a
b
 , b 0

La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
b b
b
Proy a Comp a
b

Ejem: 23
Hallar la componente del vector a =(5; 2;
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Sol:
 En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ("m"), el cual, viene dado por:
b
b
Comp a a cos a cos
b
 
 
b
a b cos a b
Comp a
b b

 
b
(5)(2) (2)( 1) (5)(2)
Comp a
3
  

 b
Comp a 6

d) Distancia de un punto a una recta
P
Y
X
d
L
Q
0
n̂
a
a

b
Comp a
b
C
a
b

m
B

Análisis Vectorial 17
En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el
vec tor a , viene dada por:
(P Q) n
d
a


Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejem: 24
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector ˆ ˆ ˆ
c 4 i j 3 k
   .
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19,5
u d) 19,7 u e) 19,9 u
Sol:
 Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
El vector que va de B hacia A es igual a:
ˆ ˆ ˆ
e A B 7 i j 19 k
    
La ecuación de la recta (L1) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4 1 3
  
 

De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, ˆ ˆ ˆ
c 4i j 3k
   es:
2 2 2 1/2
c [(4) ( 1) (3) ]
   
c 26

La distancia del punto A a la recta L1,
viene dado por:
exc
d
c

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
d 7 1 19
26
4 1 3
  

1 ˆ ˆ ˆ
d 22 i 97 j 3 k
26
   
2 2 2 1/2
[( 22) ( 97) ( 3) ]
d
26
    

9902 99,51
d
5,11
26
 
 d 19,5 u

e) Distancia entre dos rectas
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
L1
L2
n axb

Q
P
d

Z
Y
X
A
B
c


0

k

i

j d
e
L1
C

Robótica y Cibernética
18
(Q P) (a xb)
d
a xb


siendo,n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P", "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L1 y L2,
respectivamente.
Ejem: 25
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L1: (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L2: (x-
1)/-1=(y-1)/2=(z-1)/4.
a) 8,17 u b) 8,37 u c) 8,57 u
d) 8,77 u e) 8,97 u
Sol:
 De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
  
a (2;3;1) y b ( 1; 2:4)
  
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a xb, así:
(Q P) (9; 9; 5)
    
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 3 1
1 2 4
 
 
  
 

 
a xb (10; 9; 7)
  
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
(Q P) (a xb)
d
a xb


2 2 2 1/2
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
d
[( 10) (9) (7) ]
  

  
136
d
230

 d 8,97u

f) Angulo entre dos rectas
El ángulo " "
 formado por las rectas L1,
L2 de pendientes m1=tg 1 y m2=tg 2,
viene dado por;
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




Ejem: 26
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
a) 30,870
b) 32,870
c) 34,870
d) 36,870
e) 38,870
Sol:
 En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2, así:
o
1 1
tg tg(180 )
 
 
o
1
1 o
1
tg180 tg
tg 2
1 tg180 tg




  

L1
L2

0
1
X
2
Y
E

Análisis Vectorial 19
o
2 2
tg tg(180 )
 
 
o
2
1 o
2
tg180 tg 1
tg
2
1 tg180 tg




  

Considerando 2 u los catetos del triángulo
isósceles AOB, tracemos las rectas L 1, L
2 que pasan por las medianas del triángulo
i sosceles, así:
Con esto, a partir de la fórmula de teoría,
calculemos el ángulo entre las rectas, así:
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




( 1/ 2) ( 2) 3
tg
1 ( 1/ 2)( 2) 4

  
 
  
 o
36,87
 
g) Distancia de un punto a un plano
siendo, A, B, C los coeficientes de la ecua
ción de plano; n un vector normal al pla
no.
Ejem: 27
Hallar la distancia del punto A(-3; 6; 12) al
plano que pasa por el punto B(4; 5; -7) y es
perpendicular al vector c = (4; -1; 3).
a) 1,51 u b) 1,53 u c) 1,55 u
d) 1,57 u e) 1,59 u
Sol:
 Representemos la distancia (h) del punto A
al plano que pasa por B.
La distancia "h" de un punto A(a1; a2; a3) a
un plano P, cuya ecuación cartesiana es, a
x + b y + c z = d, viene dado por:
d c A
h
c


siendo c un vector normal al plano.
Para hallar la ecuación del plano, conside
remos un punto D(x; y; z) cualesquiera del
plano, entonces, un vector contenido en
dicho plano es,
e D B (x; y; z) (4;5; 7)
    
e (x 4; y 5; z 7)
   
Como, c es  al plano, entonces, es  al
vector e , esto es, e c 0
 , luego, la e
cuación cartesiana del plano es:
n̂
P
a
Q
Z
Y
0
PLANO
D
B e
A
c

h
X
1
1
1 1
0
Y
X
L1
1
A
L2

2
1 2
B
D

Robótica y Cibernética
20
(x 4; y 5; z 7) (4; 1;3) 0
    
4 x y 3 z 10
    
Así, la distancia del punto A al plano es:
2 2 2 1/2
10 (4; 1; 3) ( 3; 6;12)
h
[(4) ( 1) (3) ]
   

  
8 8
h
5,11
26
 
 h 1,57 u

OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
 Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
 Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente. Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
 El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V=E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
 (f+g)= f+g (Distributiva)
 (f)= f, (linealidad del operador )
 El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
 Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
 La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
 El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
 x (V)=0
D
06

Análisis Vectorial 21
4) Expresión matemática general
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 V 1 V 1 V
ˆ ˆ ˆ
V e e e
h q h q h q
  
   
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q1=, q2=, q3=z, y
h=1, h=, hz=1, con lo que:
V 1 V V
ˆ ˆ ˆ
V z
 
   
  
   
  
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:
ij
j
i
ˆ
g e
x



 

donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
 Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
 El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
v 0
dF F(r v) F(r)
(v) im
dr v

 

dF
(v) ( F) v
dr
 
 Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
 El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
todo v y es una función continua de dicho
vector.
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni
ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
 El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
 En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
 Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.

Robótica y Cibernética
22
E V
 
 Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
 
 Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k T
  
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.
Ejem: 28
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x2
+2x+y2
+y3
+xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Sol:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
F F
ˆ ˆ
F i j
x y
 
  
 
2 2 3
2 2 3
ˆ
F (x 2x y y xy)i
x
ˆ
(x 2x y y xy)j
y

      


   

2 2 3
2 2 3
x 2x y y xy ˆ
F ( )i
x x x x x
x 2x y y xy ˆ
( ) j
y y y y y
    
      
    
    
   
    
2
ˆ
F (2x 2 0 0 y)i
ˆ
(0 0 2y 3y x) j
      
   
2
ˆ ˆ
F (2x y 2)i (2y 3y x) j
      
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
1,1 1,1
ˆ ˆ
F 5i 6 j F 7,8
     
b) Divergencia
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.
 Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
 La integral de volumen de la divergencia
=q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
 Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales,