1. DEGESTRU – APRENDIZAJE DE ESTRUCTURAS
APOYADO NEL DIBUJO Y GEOMETRÍA
Maria Bernardete Barison, Universidade Estadual de Londrina (PR), BRASIL
César Ballarotti, Universidade Estadual de Londrina (PR), BRASIL
Marie Claire Ribeiro Póla
RESUMEN: El aprendizaje del Dibujo, Geometría y Sistemas Estructurales en el curso de Arquitectura se hace a
través de una disciplina donde el gran objetivo es identificar por medio de la Geometría y la Física, los fenómenos
que tienen influencia en la Estructura A través de la “Fenomenografia” se investiga la comprensión que el
estudiante tiene de estos fenómenos por y el estudiante. También, forma parte del estudio y utilización de un
“software” de Geometría Dinámica, que es utilizado en la construcción de los “applets”, con los cuales el
estudiante manipula los dibujos a través del Internet en sus estudios a distancia.
PALAVRAS CLAVES: Dibujo, Geometría y Estructuras, “Cabri Geomètre”, Aprendizaje.
1. INTRODUCCION
La pregunta sobre el aprendizaje de la Geometría y Estructuras en el curso de
arquitectura esta directamente relacionada con el Dibujo Geométrico y Proyectivo. Una de las
preguntas focalizadas es el aprendizaje de la Geometría, cuyos elementos básicos son las cargas,
reacciones, fuerzas horizontales, ojo y altura útil. El curso que estamos desenvolviendo con los
estudiantes de arquitectura contextualiza las obras arquitectónicas de algunos periodos
históricos en las obras de la Geometría y del Conocimiento de la Estructura de cada época
(William Blackwell,1991).
La necesidad del estudio de las formas geométricas es el factor determinante para poder
contestar la pregunta "¿Que forma es esa y por que la utilizamos?". Rebello et al. (2006) en su
articulo sobre la métrica de la forma enfatiza la importancia de la Geometría aplicada al Dibujo.
"La expresión grafica de las formas idealizadas mentalmente, conservando
sus bases dimensionales, si es posible por la Geometría, parte de las
matemáticas que estudia las propiedades relativas a los puntos, líneas y
superficies y que aplicadas a los dibujos, le confiere precisión para mantener
sus proporciones” (REBELLO, et al., 2006).

2. Así, se puede decir que la perfecta comprensión por parte de los estudiante de la razón
de ser una estructura, o sea, del arreglo estructural, así como, comprender la armonía entre la
geometría de la sección de la estructura y de los fenómenos físicos asociados.
La “Fenomenografia”, de acuerdo con Ramsden et al (1993) sostiene que las habilidades
y el conocimiento que son asociados a los fenómenos, como relaciones entre fuerza, distancia y
brazo de palanca, podría ser considerada subordinaría a uno determinado por lo cual aquellos
fenómenos son entendidos. Ahora presentamos los contenidos del estudio, la metodología, los
“softwares” utilizados, los resultados y la conclusión.
2. TEORISACION - CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA,
ESCTRURURA Y LA FEOMENOGRAFIA.
Destacamos para nuestro estudio los elementos básicos de la geometría, los cuales
creemos que siendo bien comprendidos van a poder entonces, permitir que el estudiante consiga
comprender cualquier sistema estructural. Ese estudio es apoyado en la “Fenomenografia”,
teoría que adopta una postura experimental del aprendizaje del estudiante cuyo foco se le
denomina "relacional". Eso es muy distinto de una posición empirista donde el conocimiento es
originado directamente de una realidad externa, y de los modelos dualistas de la ciencia
cognitiva y de la psicología constructivista.
¿Porque los arquitectos (y ingenieros) realmente necesitan saber al respecto de la
Geometría y la Estructura? El renombrado arquitecto Mies Van der Rohe (1972) contesta la
cuestión de la siguiente manera:
"Arquitectos y ingenieros necesitan prestar atención a los aspectos relativos
a los sistemas estructurales cuando proyectan una edificación porque todas las
formas (geométricas) que no son determinadas por las necesidades estructurales
necesitan ser evitadas" (Mies Van Der Rohe, 1972).
Con relación a las estructuras el alumno tiene que dominar los conocimientos
relacionados a cinco elementos básicos: la altura útil y el ojo, que son los elementos
geométricos, mientras que la carga, la reacción y los esfuerzos horizontales son considerados

3. elementos físicos. La altura útil es la distancia h que separa las fuerzas horizontales de la
tracción (Ht) de las de comprensión (Hc). El ojo, es la distancia L que separa las reacciones
verticales V y generan el brazo externo de la palanca. La carga P representa la acción sobre la
viga, y las reacciones V la acción de los apoyos sobre la viga que la equilibran verticalmente y
las fuerzas horizontales comprimidas y racionadas (Ht y Hc) de la estructura que genera el brazo
interno de la palanca. La perfecta comprensión de los cinco elementos es de fundamental
importancia para que el estudiante pueda comprender cualquier mecanismo estructural por más
complejo que sea. La figura 1 presenta los símbolos utilizados para representar los cinco
elementos.
FIGURA 1: Simbología de los cinco elementos estructurales.
En la perspectiva “Fenomenografica”, el conocimiento es constituido por las reacciones
internas entre el conocedor (sujeto) y el objetivo del conocimiento, el conocer (el objeto). Los
fenómenos “experienciados” son, lo que nosotros podemos intentar describir en nuestros
estudios de aprendizaje. Los fenómenos en ese estudio es la interpretación del dibujo basado en
sus elementos básicos constitutivos (punto, línea y superficie) de los mecanismos estructurales
básicos basado en el arreglo estructural, equilibrio externo e interno a partir de sus elementos
básicos constitutivos (carga, ojo, reacciones, fuerzas horizontales y altura útil). Del punto de

4. vista del investigador “fenomenografico”, las relaciones que constituyen el conocimiento están
localizadas entre las personas y los fenómenos del mundo alrededor de ellos (Ramsden et al.,
1193).
3. METODOLOGIA
3.1 UTILIZACION DEL “SOFTWARE” “CABRI GEOMÈTRE”.
“Cabri Geomètre” es un “software” que nos permite construir todas las figuras de la
Geometría Elementar que pueden ser trazadas con la ayuda de una regla y de un compás.
Cuando ellas son construidas, las figuras pueden movimentarse conservando las propiedades
que son atribuidas a ellas. Esa posibilidad de deformación permite el acceso rápido y continuo a
todos los casos, constituyendo en una herramienta rica de validación experimental de los actos
geométricos (Lourenço, 2000).
En nuestro caso, el será experimentado en la enseñanza de las Estructuras para los
estudiantes de arquitectura e ingeniería en la construcción de “applets” los cuales serán
disponible en Internet y manipulados para experimentación de las propiedades físicas y
geométricas de los elementos estructurales, auxiliando así en el aprendizaje a la distancia y en la
presentación. Se espera que, los alumnos del primer año, acostumbrados a los “videogames”
sean estimulados a manipular los modelos en el computador en lo que puede levarlos a percibir
los fenómenos asociados a los elementos geométricos y físicos.
3.2 CONSTRUCCION Y MANIPULACION DE LOS “APPLETS”
Para nuestro estudio inicial, consideramos un elemento de la construcción: la viga bi-
apoyada. El objetivo es que el estudiante aprenda como es el funcionamiento de una estructura a
través de la modificación de sus formas y dimensiones y sus efectos físicos asociados.
Sea la viga bi-apoyada de altura útil h (distancia entre Hc y Ht) y ojo L. Sea una carga P
actuando centralmente en la viga, las reacciones de apoyo V y fuerzas horizontales internas de
comprensión Hc, Hc’ y tracción Ht , Ht’ como se puede observar en la Figura 2.

5. FIGURA 2: Viga bi-apoyada y los cinco elementos
Utilizando el programa “Cabri Geomètre”, construimos tres modelos que los
presentamos y explanamos a seguir.
3.2.1 Modelo 1 – Variación de la carga P
Ese modelo permitirá la manipulación dinámica, mostrando lo que sucede con los
elementos L, H, h y V así que se aumenta o disminuye la carga P, lo que se puede observar en la
Figura 3.
FIGURA 3: Modelo de viga bi-apoyada con los cinco elementos y manipulación de la carga P
La construcción del modelo 1 fue ejecutado conforme la siguiente orientación: al mover
el punto 1 para arriba o para bajo, las reacciones de apoyo V y las fuerzas horizontales Hc, Hc’
y Ht, Ht’ se quedan mayores o menores de forma proporcional y linear. En ese caso las

6. variables dependientes son V y H y así la manipulación de la carga P (variable independiente)
hace la variación de aquellas. Los demás elementos permanecen constantes.
3.2.2 Modelo 2 – Variación Del ojo L
Este modelo permite la manipulación dinámica, mostrando lo que sucede con los elementos
P, H, h y V cuando se aumenta o disminuye el ojo L, como la Figura 4.
FIGURA 4: Modelo de viga bi-apoyada con los cinco elementos y manipulación del ojo L.
Al hacer “clic” en un punto de las extremidades de la viga de forma que se pueda aumenta
su ojo y que P continúe en lo centro y, aumentando la viga para los dos lados al mismo tiempo.
En ese caso, V corre junto con las extremidades de la viga para los dos lados. Entonces se
aumenta el ojo, ¿lo que sucede con los otros parámetros de la viga? Como resultado el aluno
vera que apeas Hc, Hc' Ht e Ht' es que aumentan en proporción linear.
3.2.3 Modelo 3 - Variación de la altura h
Este modelo permitirá la manipulación dinámica, mostrando lo que sucede con los
elementos P, H, L e V al aumentar o disminuir la altura útil de la viga.

7. Figura 5: Modelo de la viga bi-apoyada con los cinco elementos y manipulación de la altura h.
Al hacer "clic" en el punto 1 de la forma que sube al mismo tiempo los puntos 2 y 3
como también el Hc e el Hc' mientras que Ht y Ht' permanecen en la base de la viga.
ENTONCES, con esta variación de h, las fuerzas horizontales disminuyen de forma
proporcional y linear.
3.3 APLICACION DEL CUESTIONARIO
Inicialmente fue realizada una pequeña explanación a los estudiantes sobre la viga bi-
apoyada y sus cinco elementos. En seguida los estudiantes acecharán a Internet a la siguiente
dirección: http://www.mat.uel.br/geometrica/ballarotti/tru/tru_1t.php (Barison, 2007).
Los estudiantes leerán atentamente la página, manipularan los modelos (Figura 6),
discutirán entre ellos y después responderán a un cuestionario conteniendo 3 preguntas de
identificación personal y 7 preguntas sobre el contenido de la página, conforme sigue.

8. Figura 6: Los 3 modelos de la viga bi-apoyada con los cinco elementos y manipulación de la
carga P, del ojo L e de la altura h.
Entre 43 estudiantes de arquitectura entrevistados, 28 son mujeres y 15 son hombres, 39
cuentan con menos de 21 anos de edad y 4 cuentan con entre 21 y 30 anos.
La primera pregunta explora como el estudiante define una viga y como ellos la
representan gráficamente. La segunda pregunta pide que el estudiante cite cuales son los cinco
elementos estructurales y defina cada uno de ellos. La tercera pregunta pide al estudiante que
identifique cuales de esos cinco elementos son grandezas físicas o geométricas. Otras tres
preguntas exploran lo que sucede con los elementos, se aumentan o disminuyen la carga P, el
ojo L y la altura h. Finalmente fue solicitado al alumno que realice una breve discusión
conceptual con los demás estudiantes sobre la viga y los 5 elementos estructurales.

9. 4. ANALISIS DE LOS RESULTADOS
Al analizar los datos, hicimos una reflexión teórica relacionando los elementos básicos
de la Geometría y de la Estructura a la luz de la “Fenomenografia”. En el cuestionario
identificamos los elementos que relacionan los preceptos de la “Fenomenografia” con los
fenómenos y conceptos de los alumnos, que fueron categóricamente divididos, con esos datos
recolectados y analizados, considerando una categorización.
4.1. CATEGORIZACION DE LAS RESPUESTAS
Las respuestas del cuestionario fueran categorizadas en el sentido de saber como el
alumno las interpreto.
En la pregunta 1, preguntase, ¿que es una viga? Separamos las respuestas de esta
pregunta en dos partes: "(a) ¿que?" e "(b) ¿como?". Concluimos que el alumno noto que viga es
algo horizontal que sustenta el techo de una edificación.
En la pregunta 2, pidiese ¿cuales son los 5 elementos estructurales? - de la misma forma
clasificamos en "(a) ¿que?" y "(b) ¿como?" Concluimos que el alumno noto cada elemento
separadamente, pero sin hacer ninguna relación entre ellos. Por lo tanto, h no es la altura de la
viga ni la distancia entre los vectores Hc y Ht. Además, el alumno confunde distancia con
largura. Ojo libre (distancia entre las caras internas de los apoyos) y ojo teórico, que es la
distancia entre los puntos de apoyo, o sea, entre los vectores reacción de apoyo. Se observo que
los dibujos fueron reproducidos con bastante precisión por la mayoría de los alumnos.
Las preguntas de la 1 a la 3 son apenas de definición de los 5 elementos.
En la pregunta 4 desease saber lo que pasa con los elementos L, H, h y V al aumentar o
disminuir la carga P. Los alumnos respondieron a esa pregunta conforme las siguientes
categorías: (a) cuadro 1 - respuesta correcta [63%]; (b) cuadro 2 - respuestas erradas [7%] e (c)
cuadro 3 - respuesta cierta, pero incompleta [39%]. Supóngase, per la categoría cuadro 3, que
estos alumnos entendieron parcialmente la relación entre grandezas físicas y geométricas.
Diferentemente de otros estudios, la Geometría Dinámica parece ayudar al alumno a reparar e
interpretar H como variable dependiente de P. Las variaciones en las respuestas encima indican

10. que la absorción del fenómeno esta aconteciendo con bastante consistencia, a partir de lo que el
estudiante tiene previamente en mente con respecto al asunto.
En la pregunta 5 desease saber lo que sucede con los elementos P, H, h y V al aumentar
o disminuir el ojo L. Los alumnos respondieron a esa pregunta conforme estas categorías: (a)
cuadro 1 - respuesta correcta [60%]; (b) cuadro 2 - respuesta errada [33%] e cuadro 3 -
respuesta correcta, pero incompleta [7%]. La grandeza geométrica L ira a afectar solamente H,
una de las grandezas físicas de la viga. De alguna forma estos alumnos repararon eso, muy
probablemente por la Geometría Dinámica, visto que H es un esfuerzo interno de la viga
concebida teóricamente, no visible por el lego (cualquier persona). Observase, en la categoría
cuadro 3, una infinidad de respuestas complementares que denotan que los alumnos están
buscando sentido e un universo todavía poco conocido y explorado por ellos. Muchas veces, la
respuesta dada no es la pedida, pero si aquella que representa la interpretación del alumno sobre
el fenómeno percibido.
En la cuestión 6 desease saber lo que sucede con los elementos P, H, L y V al aumentar
o disminuir la altura h. Los alumnos respondieron a esta pregunta conforme las siguientes
categorías: (a) cuadro 1 - respuesta correcta [73%]; (b) cuadro 2 - respuesta correcta, pero
incompleta [22%] e (c) cuadro 3 - respuesta errada [5%]. En la categoría cuadro 1 la
percepción de estos alumnos la grandeza geométrica h afecta H, una de las grandezas físicas de
la viga no afecta las demás grandezas físicas y geométricas. En la categoría cuadro 3 los
alumnos pudieron notar muy superficialmente el fenómeno y generalizaron la respuesta. De
cualquier forma es importante considerar que el aprendizaje acontece en diferentes niveles de
conciencia y de profundidad, donde una respuesta por más precisa que sea puede no significar
mayor conciencia en la percepción del fenómeno. Un alumno no respondió.
En la cuestión 7 desease saber cual es la relación entre variables físicas y geométricas.
Los alumnos respondieron a esta pregunta conforme muestra las siguientes categorías: (a)
cuadro 1 - respuesta correcta [35%]; (b) cuadro 2 - respuesta errada [19%] e (c) cuadro 3 -
respuesta correcta, pero incompleta [47%]. Observase que las grandezas geométricas (L y h)
afectan solamente H, y son interpretadas diferentemente por los alumnos. Las diferentes formas
de interpretación del fenómeno son complementares. Una de las cuestiones esenciales de este
análisis es que el alumno debería percibir que las grandezas físicas (P, V y H) no afectan las

11. grandezas geométricas en la viga. Por lo tanto las grandezas geométricas (L e h) afectan H, una
de las grandezas físicas de la viga.
4.2 DISCUSIÓN CONCEPTUAL
Con relación a la distancia entre los apoyos, diferentemente de los otros elementos, los
alumnos tuvieron dificultad en definir el nombre apropiado que representase esa entidad
geométrica tan importante en el contexto de las edificaciones e del calculo estructural, que es el
ojo representado por la letra L. Indagados sobre los espacios libres de las edificaciones ellos
concluyeron que el nombre exacto es ojo libre.
Esta dificultad de los alumnos en diferenciar que la largura de la viga del ojo consiste en
la razón de ser de este estudio que desenvolvemos con el profesor de Geometría, Dibujo y
profesor de Sistema Estructural. Todavía en relación a las variables geométricas, como h que
simboliza la distancia entre los vectores Hc y Ht los estudiantes lo confundieron con la altura de
la viga.
Supones que ellos ya están habituados que la letra h simbolice altura de alguna cosa y
eso es comprobado en las indicaciones que los estudiantes hicieron en todos los Dibujos del
cuestionario donde h aparece como la altura de la viga. La gran mayoría (90%) indico en el
Dibujo la "h" como siendo la altura de la viga. La minoría que correspondió al (10%) respondió
correctamente la definición de h y también el Dibujo. Mitad de los alumnos (50%) se equivoco
en la definición de h respondiendo que seria la altura de la viga, la otra parte (40%) respondió
correctamente, sin embrago indico erróneamente en el Dibujo.
5. CONCLUCION
La cuestión esencial de este estudio es investigar la percepción del alumno sobre los 5
elementos estructurales en cuanto el aprende Dibujo en el curso de Geometría. Los alumnos
manipularon los Dibujos dinámicos generados por el “Cabri Geomètre” con el objetivo de
sentirse estimulados a notar las grandezas geométricas y físicas, al responder el cuestionario.
Esperamos como resultado de este estudio que el alumno continúe interactuando con los
modelos didácticos creados en el “Cabri Geomètre” y disponibilizados en Internet y así efectúe

12. relaciones entre cinco elementos en destaque V y H que son variables dependientes de L y h.
Entonces, manipulando los modelos el alumno repare que las variables geométricas L y h
necesitan ser readecuadas conforme la repercusión en la variable física h y que la carga P
mientras la variable independiente ira a afectar o influenciar la reacción vertical V.
Al analizar los resultados obtenidos a través de cuestionarios y de la “Fenomenografia”,
concluimos que todos los alumnos interactuaron con los modelos, y respondieron al
cuestionario, pero sus respuestas variaron conforme sus percepciones y conocimientos previos
sobre el significado de los Dibujos, vectores y distancia. Mas allá de la pregunta esencial de este
estudio llevando al alumno a reparar los 5 elementos fundamentales del mecanismo de la viga,
deberá ser considerado que H son fuerzas internas de mayor complejidad en la percepción y
entendimiento de ellos.
6. REFERÊNCIAS
Barison, M.B. (2007) Geométrica: Desenho, Geometría e Arquitetura On Line. Site:
http://www.mat.uel.br/geometrica. Acessado em 12 de Maio de 2007.
Lourenço, M. L. (2000) Cabri-Géomètre II - Introdução e Atividades. Catanduva: FAFICA,
pp7-8.
Marton, F., Dall'Alba, G. and Beaty, E. (1993) Conceptions of Learning. International Journal
of Educational Research, 19: p277-300.
Mies Van der Rohe (1972) Die Kunst der Struktur. Zürich: Verlag für Architektur Artemis.
Prosser, M. Trigwell, K. Hazel, E. & Waterhouse, F. (2000) Students' experiences of studying
physics concepts: The effects of disintegrated perceptions and approaches. European Journal
of Psychology of Education 15 (1): p61-74.
Ramsden, P., Masters, G., Stephanou, A., Walsh, E., Martin, E., Laurillard, D. and Marton, F.
(1993) Phenomenographic Research and the Measurement of Understanding: an Investigation
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Research, 19: p301-316.
Rebello, Y.; Leite, E.E.; Leite, M.A.A. (2006) A Métrica da Forma. Arquitetura e Urbanismo,
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William Blackwell, A.I.A. (1991) Geometry In Architecture. Berkeley: Key Currículum Press,
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