ALGEBRA 2º

EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
EDWIN RONALD CRUZ RUIZESTUDIANTE en EDWIN RONALD CRUZ RUIZ
PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.


Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.


Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.




                                                                       La Dirección




4to Año    Razonamiento Matemático         2
ALGEBRA  2º
ALGEBRA


                            I Bimestre

    POTENCIAS Y RADICALES EN                                                                                                   an
                                                                                       4.- a n                am                                 an     m

                                                                                                                                am
                                                                                       5.- am .an                  am       n

                  POTENCIACIÓN
                       Y                                                               En radicación n 2 , n 
                      RADICACIÓN                                                                          1
                                                                                       n
                                     Son
                                                                                            a         a n . Propiedades:
                                                                                                                   n
                                                                                                m
              OPERACIONES INVERSAS                                                     1.-          an            am
                                                                                                m                                 m
                       Que           consisten en                                      2.-          a n .b p .c q ....                a n .m b p .m c q .......
                                                                                                    a n m .b p m .c q m .....

Dados dos números base                           Dados dos números                     3.-      m                           a         m
                                                                                                                                            a        a1 m
                                                                                                    a         b      m

y exponente, determinar                          radicando e índice,                                                        b         m
                                                                                                                                            b        b1 m
un tercer número llamado                         determinar un tercer                                                                                   1
potencia                                         número llamado raíz                            m n p                       m.n. p ....u
                                                                                       4.-                .....u a                         a a ( m.n. p....u )
                                                                                       Eejmplos:

                  an b                   n
                                             b a                                       1.    3        4
                                                                                                          x        24
                                                                                                                         x
               Potenciación y Radicación

                                                                                       2.       4 3
                                                                                                      10          3 4
                                                                                                                         10           12
                                                                                                                                           10

                                                                                       3. Reducir: M                               2 3 4 5
                                                                                                                                                     x120
    En potenciación n 1 , n  .se tiene:                                                     Solución:
    Propiedades:                                                                                           2 3 4 5                         2.3.4.5
                                                                                                M                        x120                        x120
    1.- Dados a , n               , se tiene: a             0
                                                                    1                                     120
                                                                                                    x 2.3.4.5          x.       M            x
    2.- Dados a , n               ,a        0 , se tiene:                                                                                                  2. 2
                                                                                       4.- Calcular: M                                 2. 2. 2
                                                                  1
     a n .a   n
                      a n .a n           1       a    n
                                                                     3.-               Solución
                                                                  an                   La expresión dada es:
                           z .....   f
                       y                                                                                                                         2. 2                      4
                  x
              a                              a x. y . z ..... f                                            M             2. 2. 2                                 2. 2. 2
                                                                                                                                       2
                                                                                                                   2. 2. 2                           2. 2.2
                                                                                                                   4.2 2.2 4
                                             n
                                                                                                                  M 4
    3.- a p .b q .......x m                           a p .n .b q .n ......x m.n




      4to Año                  Razonamiento Matemático                             2
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                 TAREA DE CLASE
1.   Simplificar:
          7
     3          . 38 . 315
                                                       8. Si:   6
                                                                    8        n
                                                                                  2n
          319 . 3           14

                                                           Hallar:           n        1


     Rpta.                                                 Rpta.


                3
2. Si n 10              5
                               n4 n      p
                                                       9. Simplificar:
     Hallar            P         1
                                                           K            6         3 3 3........

                                                       10. Indicar el exponente final del número 2
     Rpta.
                                                               23 . 4 2           2
                                                                                          24


                                                           Rpta.
3. Reducir
                 3 3                         323
     10
                5 2                      5
          4                    10
                                     4
                                                       11. Reducir:
                                                           3 . 22n 1              2 . 32n        2
                                                                                                     n   Q
     Rpta.                                                      6 22n             32n      1




4. Reducir                                                 Rpta.
          1 n        2n 3                1
     x             .x            .x
     x2       5n
                   .x      3
                               . x 1 2n

5. Reducir:                                            12. Simplificar:
   214 4 5                                                                    6
                                                                                      5
                                                                                                     1
                                                                                                 1
   210 82                                                           3    5   10            . 7

                                                                                                         0
                                                            1 2 3                     4    5     6 7
     Rpta.
                                                       13. Hallar el valor de “M + 3”, si:
                                                           M            7 7 7........

6. Reducir:
                                      16
                                                           Rpta.
                    2 2 2



     Rpta.                                             14. Indicar el valor de “K” si:
                                                           K            20            5 5 5.....

                                                                8 8 8....
7. Luego de reducir:
     n
          2 n 3n
           2n


     Rpta.
                                                   3
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”


Aprendiendo a resolver…..resolviendo
                                                                    9. Luego de reducir el radical, indicar el
1. Simplificar:                                                        valor de M + 2:
   5 8 . 5 9 . 516
                                                                                64
     520 . 5 15                                                        M
                                                                                 64
         a) 5
                  10
                                   b) 5
                                             15
                                                    c) 5
                                                          12
                                                                                 64
         d) 513                    e) 515                                         
2. Si:                                                                              
              2
         K   35        5
                           K5K          Q
                                             , hallar Q + 3             a) 2            b) 4          c) 6
                                                                        d) 8            e) 10
         a) 3                      b) 4             c) 5
         d) 6                      e) 7                             10. Reducir:

3. Efectuar:
          4 4                          525                                                5 . 32K 1   3 . 52K   2

12       6 2                       6
     9                 12
                               9                                                            15 32K    52K 1
         a) 5                      b) 6             c) 7                a) 1        b) 2         c) 1/2
         d) 8                      e) 11                                d) 1/3      e) 15
4. Reducir:
   a 1 2x . a 4 x 3 . a 1
    a 1 4 x . a . a 1 2x                                               EXPRESIONES ALGEBRAICAS
                  –1                         -2            -5
         a) A                      b) A             c) A
         d) A-6                    e) A-7                                                EXPRESIÓN ALGEBRAICA
5. Reducir:
                                                                                                es    un
         217       46                                                               CONJUNTO DE TÉRMINOS
         213       44                                                               QUE REPRESENTA UNA
                                                                                    CANTIDAD
         a) 12                 b) 14              c) 16
         d) 18                 e) 20                                                        CONSTITUIDA
                                                                                              POR
6. Reducir:
                                             8

                       3 3 3
                                                                                 VARIABLES            CONSTANTES


         a) 9                  b) 1               c) 27                 representada por              dadas por
         d) 3                           1
                               e)
                                        3                                        LETRAS
                                                                                                       NÚMEROS

7. Simplificar:

         Q             4           5 5 5.....                                         OPERACIONES
                                                                                     MATEMÁTICAS
                                                                                     ELEMENTALES
         a) 1                  b) 2               c) 3
         d) 4                  e) 5

8. Indicar el exponente final del número 3. en                      TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
             34 4 3        3
                               35                                   Definición.- Es la mínima parte de una expresión
                                                                    algebraica, en el no existen operaciones de
                                                                    adición o sustracción.
         a) 21/16                  b) 31/15         c) 31/17
         d) 11/16                  e) 31/16


                                                                4
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                            3                                 2            1                                      3
                                    3 xy        2                        3x           x              ;3         x
                                                                                                                    3; 3 x             x                5; 28; x 2   4x   1
Ejem: 5 x 2 y;   7x     2
                            y6 ;
                                       z                                 Solución
Todo termino algebraico presenta tres partes, las                        Son expresiones algebraicas:
cuales son:                                             Exponentes       3x 2         x    1
                                                                                                     ; 3x   3
                                                                                                                     x            5; 28

                                                                         2.- Si los términos : 4 x a                     3
                                                                                                                             yb   1
                                                                                                                                           x5   a
                                                                                                                                                    y 2b
                                5       3 7
                      7x            y                                    Son semejantes; calcular a.b
                                                     Variables           Solución
                        Coeficiente                                      Podemos plantear:
TÉRMINOS SEMEJANTE                                                       4 xa     3
                                                                                      yb   1
                                                                                                x5    a
                                                                                                           y 2b
Definición.- Son aquellos términos que presentan                                       a        3     5        a             2a       8             a       4
las mismas variables e iguales exponentes                                Donde: b 1                   2b                b         1        b            1
respecto a la Variable común.                                                                  a.b         4

Ejem: 7 xy 5          4 xy 5 son semejantes
                                                                         GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
                                                                                                GRADO DE UNA EXPRESIÓN
           ALGEBRAICAS                                                                               ALGEBRAICA

A.- Según su Naturaleza
1.- Expresión Algebraica Racional.                                                                             es        un
                                                                                           EXPONENTE QUE CARACTERIZA A
    Es aquella expresión en donde los                                                        LA EXPRESION ALGEBRAICA
exponentes de las variables son números enteros.
Estas a su vez se dividen en:
                                                                              RELATIVO                                                     ABSOLUTO
1.A Expresión Algebraica Racional Entera                                     SI SE REFIERE A UNA                                      SI SE REFIERE A
                                                                                SOLA VARIABLE                                         TODAS LAS VARIABLE
        Ejem: 7 xy 4            4 x2 y              4x      2y   1

2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
        Ejem: 7 xy 2                        2
                                5 xy                    1
                                            x                                         SÓLO UN                                                   TODA LA
                                                                                      TÉRMINO                                                   EXPRESIÓN
2.- Expresión Algebraica Irracional
   Es aquella expresión en donde existe al menos
una variable afectada de algún signo radical o                           VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
exponente fraccionario.                                                                         ALGEBRAICAS

                            5x2 y
                                                                         Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
        Ejem: 2 xy                                  x       3
                 2x   1 4
                            y       3xy         4
                                                        3x1 5    2       reemplazar las variables por constantes o

B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS                                          variables y efectuar dichas operaciones.

        Monomio……………….1 término                                          Ejem: Sea P( x)                    5x       3 . Hallar:

        Binomio…………………2 términos                                         P(0); P(1); P( x                  3)

        Trinomio…………………3 términos                                        Solución
        …………………………………….                                                  si :
                                                                         x        0        P (0)       5(0)             3        3
        Polinomio………………más de 3 términos
                                                                         x        1        P (1)      5(1)          3        8
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE                                        x        x    3         P( x          3)        5( x         3)        3       5x      18
               y
Ejem: 2 xy 5 x              5x          3
                                                                         VALORES NUMERICOS NOTABLES
      2 x senx              cos 2 x
                                                                         Si P( x) es un polinomio, se cumple:
Ejercicios resueltos
                                                                         P(0) = término independiente
1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
                                                                     5
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
P(1) = suma de coeficientes

Ejem: Si P( x              3)          5x 16                                                          P( x, y )     9x4 y         x3 y 2       4x2   10 xy    y2

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes                                                     Propiedad

Solucion                                                                                              En todo polinomio completo y de una sola variable,

    Se pide P(0) + P(1)                                                                               el número de términos es equivalente al grado
                                                                                                      aumentado en uno.
P(0) :         i) x 3 0                         x           -3 . Reemplazando
                                                                                                      Es decir: número de términos = Grado + 1
en:
                                                                                                      4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las
P( 3 3)             5( 3)              16        1
                                                                                                      mismas variables son idénticos si tienen el mismo
P(0) 1
                                                                                                      valor numérico para cualquier valor o valores
P(1) : i) x           3 1                  x        -2 . Reemplazando en:                             asignados a sus variables.
P( 2        3)      5( 2) 16                        6                                                 Ejemplos: P( x)            (x   2) 2      Q( x)    x2   2x   8
P(1)       6
                                                                                                      P( x, y)      x3     y3    Q( x, y)        x   y   x2   xy   y2
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
                                                                                                      5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas
               VARIABLE X
                                                                                                      expresiones que son equivalentes a cero. Estando
P( x)      a0 x n         a1 x n   1
                                           a2 x n       2
                                                                ...................     an 1 x   an
                                                                                                      reducidas se cumple que cada coeficiente es igual

Donde:                                                                                                a cero. Notación: P( x)              0
n      ; n           grado del polinomio
                                                                                                                               TAREA DE CLASE
a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes
tales que:
                                                                                                      1. Si P(x+1) = 3x – 2
a0       0 : Coeficiente Principal (C.P)                                                                 Calcular: P(2)

an : Término Independiente (T.I)
                                                                                                          Rpta.
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio
que tiene todos sus términos el mismo grado.
                                                                                                      2. Si P(x) = 2x – 2x – 1
Ejem: P( x, y )              x3        3x 2 y               4 xy 2       y3                              Calcular
2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que                                                           P(1) + P(2) + P(3)
esta ordenado con respecto a una variable
llamada ordenatriz, donde los exponentes de la                                                            Rpta.
mencionada variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplos:                                                                                             3. Calcular (a – b) si el monomio:
                                                                                                                     2a + b a + 2b
                                                                                                         M(x;y) = 5x       y
P( x, y )        9 x5 y            2 x3 y 3             4x2 y 2          3y4
                                                                                                          Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8
                      4                3                    2   2          3        4
P( x, y )        9x              2x y            4x y                 xy        y

Q( x )      5 x17         2 x12            x6       x           1                                         Rpta.
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el
que el grado de todos sus términos van desde un
máximo valor hasta el de exponente cero (término                                                      4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio
                                                                                                         es homogéneo
independiente)
                                                                                                         P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb +
Ejem: P( x)               9 x5             2x4          4 x3         3x 2       x       5                      2m        x+2
                                                                                                          +x        .y
                                                                                                  6
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                       11. Sea P(x) = 4x + 1
    Rpta.                                             P1 P 2
                                           Hallar E
                                                      P 3 P 0


5. Sea                                     Rpta.
            90    88  2
   P(x) = 3x – 27x +3x – 4x
    Halar P(3)

                                       12. Sea P(x – 5) = 5x + 5
    Rpta                                          P 1 P 0
6. Sea: R(x) = 4x + 3                      Hallar
        N(x) = 2x – 5                             P 1 P 2

    Hallar R(N(3))
                                           Rpta

    Rpta.


                                       Aprendiendo a resolver…..resolviendo
7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3              1. Si P(x – 1) = 5x – 3
       P(x) = 4x – 1                      Hallar P(3)
    Hallar P(F(2))
                                           a) 16         b) 17        c) 18
                                           d) 20         e) 4
    Rpta.



                                       2. Si P(x) = 3x + 1 + 3x – 2
8. El siguiente es un polinomio                             1         2
   ordenado y completo de grado           Calcular P 0        P1        P2
                                                            3         9
   3:
   P(x) = xa – b + 4xa – 7xb + 5
    Hallar a2 + b2                            111           101            112
                                           a)            b)           c)
                                               9             9              9
                                              113           114
    Rpta.                                  d)            e)
                                               9             9


                                       3. Calcular (a – b), si el monomio
                                          M(x;y) = 8x3a + b . ya + 3b
9. Sabiendo que:
          x 1            2
                                           Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10
   A(x) =      y B(x) = x +
           2
   x–1
                                           a) –1         b) –2        c) –3
    Halar el valor de A(B(2))              d) –4         e) –5
                                       4. Sea:
                                                     a–8 6  a–11 5   a–13 20
                                          P(x;y) = 3x y + 4x . y + 7x . y
    Rpta.
                     2                     Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A.
10. Si P(x + 1) = x .
    Hallar: P(P(P(2)))
                                           a) –1         b) –2        c) –3
                                           d) –4         e) –5
    Rpta.


                                       5. Sea

                                   7
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                100           99         2
   P(x) = 5x          – 25x        + 6x – 3x                 PRODUCTOS NOTABLES

   Hallar P(5)
                                                                                   PRODUCTOS
                                                                                     NOTABLES
   a) 125           b) 115          c) 135
   d) 145           e) 160
                                                                                                      son
                                                                     RESULTADOS DE DETERMINADAS
                                                                     MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
6. Sea R(x) = 3x + 4                                                  SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN
        N(x) = 5x – 1
                                                     Por ejemplo
   Hallar R(N(2))

                                                        BINOMIO SUMA
                                                                                                         2
   a) 30            b) 31           c) 32               AL CUADRADO                          a b                  a 2 2ab b2
   d) 33            e) 34

                                                        BINOMIO DIFERENCIA                                         2
                                                                                                     a b                 a 2 2ab b2
                                                            AL CUADRADO
7. Sabiendo que:
            x       1                2
   A(x) =                y B(x) = x – x + 1              BINOMIO SUMA
                3                                           AL CUBO                              3
                                                                                        a b                  a3 3a 2b 3ab2 b3
   Hallar el valor de B(A(2))

                                                         BINOMIO DIFERENCIA                                   3
                                                               AL CUBO
                                                                                                 a b                   a3 3a 2b 3ab2 b3
        1                3               5
   a)               b)              c)
        9                9               9
        7                11
   d)               e)
        9                9
8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4                            Definición.- Se denominan así a todas aquellas
           P 2 P 0                                   multiplicaciones o potenciaciones cuyos
   Hallar
                       5
          P 1 P                                      resultados:
                       4
                                                     Productos o potencias, tienen una frecuencia que
                                                     las hace reconocibles en una inspección.
   a) 0               b) –1              c) 2
   d) 3               e) 5                           Algunos resultados mas:
                                                     1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
                                                         a b a b              a2 b2
                                                         a m bn      a m bn            a 2m b2n
9. Si: P(x) = 3x + 2
   Hallar P(P(–2))                                   2.- TRINOMIO AL CUADRADO
                                                                          2
                                                         a   b       c         a2        b2          c2           2 ab       ac   bc
   a) –8              b) –6              c) –7                            2
   d) –110            e) –2                              a   b       c         a2        b2          c2           2ab       2ac   2bc
                                                                          2        2         2           2
10. Sea: M(x) = x+ 7                                     a   b       c         a         b           c            2ab       2ac   2bc
         N(M(x)) = 3x + 2                                a   b       c
                                                                          2
                                                                               a2        b2          c2           2ab       2ac   2bc
   Hallar N(7)
                                                     3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
                                                                 3
                                                         a b             a3   3a 2b 3ab 2                    b3
   a) 1             b) 2            c) 3                         3
   d) 5             e) 1                                 a b             a3   3a 2b 3ab 2                    b3




                                                 8
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
               TAREA DE CLASE                          Rpta.
1. Simplificar:
    3x 1 2 3 x 1 2
         3x 2 1
                                                   8. Efectuar:
                                                                     2                2
                                                       2 3       1           3    1       22 3    1   3    1
   Rpta.


                                                   9. Si se cumple que:
                                                       x    2y
2. Si se cumple que: a2 +b2 = 3ab. Reducir:                      2
                                                      2y     x
    a b2 a b2
    a b2 a b2                                                                     8
                                                                             x
                                                       Calcular
                                                                             y
   Rpta.

                                                       Rpta.
                                                   10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1
3. Reducir:                                            Calcular: (x + y)
                                                                         2

    8
        2 5 3 52 32 54             34     38

   Rpta.                                               Rpta.



4. Efectuar:
                                                   11. Reducir:
    4
      3 1 3 1          4
                           3 1
                                                                 m 2 m 2                    9
                                                       N
                                                                   m2 5
   Rpta.
                                                       Rpta.


5. Siendo:                                                                                                1
                                                                         1
    X      2   3           2       3               12. Si: x                     5 ; hallar x 3
                                                                         x                                x3
   Hallar x2
                                                       Rpta.

   Rpta.                                           13. Si: m + n = 2; m . n = 1
                                                       Hallar m3 + n3
6. Reducir “M”:
        x 2a 2             2x       a 2
   M
        x a x              a       2a 2                Rpta.


                                                   14. Si: n2 = n + 1
   Rpta.                                               Hallar

                                                       P     8
                                                                 n n2            1 n4      1 n8       1    1


7. Efectuar:
                                                       Rpta.
     3    2        3           2
     3    2        3           2




                                               9
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”


Aprendiendo a resolver…..resolviendo                                 7. Efectuar:
                                                                              5          3       5           3
1. Simplificar:                                                         M
                                                                              5          3       5           3
         5x 1 2 5 x                          12
   N
                5x 2 1
                                                                         a) 2        b) 4            c) 5
                                                                         d) 6        e) 8
   a) 2               b) 4                        c) 6
   d) 7               e) 8                                           8. Efectuar:
                                                                                         2               2               2
                                                                         Q    3 5    1           5   2           1 2 5

                                                                         a) 33       b) 44           c) 55
                                                                         d) 66       e) 77
2. Si se cumple que: x 2 + y2 + 4xy
   Reducir:
                                                                     9. Si se cumple que:
          x      y   2
                             x       y       2
    R                                                                    a    3b
          x      y   2
                             x       y       2
                                                                                   2
                                                                        3b     a
                                                                                             3
                                                                                     a
                                                                         Calcular:
   a) 0,2             b) 0,3                      c) 0,4                             b
   d) 0,5             e) 0,6

                                                                         a) 7            b) 17               c) 27
                                                                         d) 37           e) 47
3. Reducir:                                                          10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4
    N    8   3.11 . 7    2
                                 4 7 2       4
                                                  4   4
                                                           48            Calcular (x – y)2

   a) 7               b) 8                        c) 9
   d) 10              e) 4                                               a) 16       b) 12           c) 10
                                                                         d) 8        e) 6

4. Efectuar:
   Q 85 1                5 1             8
                                             5 1      4
                                                          5 1

   a) 1               b) 2                        c) 3
   d) 4               e) 5
5. Siendo:
    x        3       5           3           5

    Hallar x2


   a) 12             b) 11                   c) 10
   d) 9              e) 8




6. Reducir:
        x 3a 2                   3x           a 2
   Z
        x a x                    a           2a 2


   a) 5              b) 10                   c) 15
   d) 20             e) 25



                                                                10
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”




                                                                        ALGEBRA

                II Bimestre
             DIVISIÓN ALGEBRAICA

   Definición.- Operación que se realiza entre                    completado, con signo contrario salvo el
   polinomios       que     consiste   en   hallar   dos           primero.
   polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO,                      3. Coeficientes del cociente que se obtienen de
   conociendo otros dos polinomios denominados                     dividir la suma de los elementos de cada
   DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra                            columna entre el primer coeficiente del divisor.
   ligados por la relación:                                        Cada coeficiente del cociente se multiplica por
                                                                   los demás coeficientes del divisor para colocar
                                                                   dichos resultados a partir de la siguiente
                . D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
                                                                   columna en forma horizontal.
   Donde:
   D(x) : Dividendo                                             4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de
   d(x) : Divisor                                               sumar
   Q(x) : Cociente                                                la columnas finales una vez obtenidos todos los
   R(x) : Residuo o Resto                                         coeficientes.


   Propiedades de la División
   Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x))                  Gdo.
   (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))


   Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))


   Además:                  Máximo Gdo. (R(x)) =
   Gdo. (d(x)) – 1


   PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN


   MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
   Pasos a seguir:
1. Coeficiente        del       dividendo     ordenado            OBSERVACIÓN:

    decrecientemente en una variable completo o                   LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
                                                                  TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
    completado.                                                   DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
2.- Coeficiente del divisor ordenado
   decrecientemente en una variable, completo o
                                                           11
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                               OBSERVACIÓN:
     MÉTODO DE PAOLO RUFFINI                                   DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
     Pasos a seguir:                                           COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

                                                               OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.
      1.-Coeficientes del dividendo ordenado
          decrecientemente, completo o completado,
 con
       respecto a una variable.                                                  TAREA DE CLASE
      2.- Valor que se obtiene para la variable
cuando el                                                     1. Indicar el residuo de la siguiente división
                                                                  2x 7 4x 6 2x 3
        divisor se iguala a cero                                         x 2
     3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
       sumar cada columna, luego que el coeficiente               Rpta.
       anterior se ha multiplicado por (2), y colocado
     en                                                       2. Efectuar la siguiente división
                                                                 Indicar el residuo
      la siguiente columna.
     4.- Resto de la división que se obtiene de sumar             6x 3    5x 2       4x       4
                                                                           x     1
la
      última columna

                                                                  Rpta.
                                                              3. Indicar el término independiente del resto
                                                                 de la siguiente división
                                                                  6x 3 x 2 2x 6
                                                                    3x 2 2x 1




                                                                  Rpta.
      OBSERVACIÓN:                                            4. Indicar la suma de coeficientes del
                                                                 cociente luego de efectuar:
      SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES                  2x 4 x3 3x2 20x 10
      DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE                               2x2 3x 1

      OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE                   5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
      VALOR.                                                      2x 3 nx 2 4x            n
                                                                       2x n


     TEOREMA DEL RESTO

     Se utiliza para obtener el resto de una división.            Rpta.
     Consiste en igualar a cero al divisor y despejar         6. Al    dividir   x4    –          2x2   –   6   entre
     la mayor potencia de la variable, para que sea              x + 3, el residuo es:
     reemplazada en el dividendo.


                                                                  Rpta.


                                                         12
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
7. Hallar el cociente en:                                    Rpta.
    x   5
            6x   2x
                 4   3
                       x     1
            x 3 3x 2 1

                                                         15. Hallar el cociente aplicando Horner
    Rpta.                                                    6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3 entre 3x3 – 5x2
                                                             +3




8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que        Aprendiendo a resolver…..resolviendo
   al dividir 4x 5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2, el
   residuo sea cero
                                                         1. Indicar el residuo en la siguiente división:
9. El cociente de la siguiente división:                     2x 3       x2    3
   x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es:                           x    1

                                                             a) 1             b) –1           c) 0
    Rpta.                                                    d) 2             e) –2

                                                         2. Efectuar la siguiente división:
                                                             6x 2 x 2
10. Hallar el residuo en                                       2x 1
    2x 4 5x 3 3x 6
                                                             E indicar el cociente
            x 2
                                                             a) x+1           b) 3x–2         c) 3x+2
                                                             d) 2x+3          e) 2x–3
    Rpta.
                                                         3. Indicar el término independiente del resto
                                                            en la siguiente división
                                                             6x 2     9x 27
11. Hallar el cociente en:                                          3x 9
    38x 4 65x 3 27
       2x 2 5x 3                                             a) 1             b) 2            c) –2
                                                             d) 3             e) 0

                                                         4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,
                                                            después de efectuar.
    Rpta.
                                                             x2      15x 56
12. Hallar el coeficiente        del    término
    cuadrático en:                                                  x 8
2x 4 x 3 7x 3                                                a) 5            b) –5          c) 6
      2x 3                                                   d) –6           e) 7
                                                         5. Calcular “n” si el resto de la división es cero
13. Hallar el cociente aplicando Horner                      2x 3 11x 2           18x   n
    x 5 27x x 4 7x 2 10                                                 x     4
             x2 x 5
                                                             a) 12           b) 36          c) 42
                                                             d) 6            e) 24
    Rpta.
                                                         6. Al dividir:
                                                             x 6 7x 3 12
                                                                x3 3
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini
     4     3
    x – 3x + 5x – 8 entre x + 2                              El residuo es:

                                                             a) x3–4 b) X3+4 c) x2–5

                                                    13
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
    d) x2–3 e) 2x3+1                                 14. Dividir e indicar la suma de coeficientes
                                                         del residuo
7. Hallar el cociente en:
   x3 10 x2 14 x 9                                       11x 3    3x 5 46x 2          32
       x 2 4x 3                                                  8 3x 2 6x

    a) x+1             b) x–1          c) x+6            a) 1            b) 5              c) 0
    d) x–6             e) x+7                            d) 4            e) 6
8. Dividir usando Horner                             15. Efectuar la división
    5y 5       9 y 4 3y 6 10 y 3 3y 4 8y 2
                                           e
                    3y 3 2 y 2 5 y 4
    indicar la suma de coeficientes del                  x 4 2x 2 6
    cociente                                                x 3
    a) 0               b) 1            c) –1             e indicar el resto
    d) 2               e) 3
9. Dividir usando Ruffini                                a) 69           b) 62             c) 59
   2x3 – 11x2 + 18x – 24 entre                           d) 57           e) 54
   x- 4
                                                     16. Al efectuar la división
    e indicar el término
                                                         x 5 2x 4 x 2 3
    independiente del cociente
                                                            x 2 2x 1
    a) 1           b) 3           c) 6
    d) 9           e) –3                                 Indicar la suma de coeficientes del
10. Dividir usando Horner                                residuo
    31x 2 x 6 8x 5x 5                   21               a) 3            b) 4              c) 5
             x 3 7 2x                                    d) 6            e) 7
    e indicar el coeficiente del                     17. Efectuar la división e indicar el
    término cúbico                                       término    independiente      del
    a) 0           b) 1           c) –1                  residuo
    d) 2           e) –2                                  2x 4 x 3 4x 2 x 5 1
11. Dividir e indicar la suma de coeficientes                   2x 2 x 1
    del residuo                                          Indicar el término
                                                         independiente del resto
    11x    3
                3x 5
                     46x      2
                                  32
               8 3x 2 6x
                                                         a) 1           b) 2          c) 3
                                                         d) 4           e) 5
    a) 1               b) 5            c) 0
    d) 4               e) 6
                                                     18. Utilizando el Método de Horner,
12. Efectuar la división                                 efectuar la división
                                                         6x 5    7x 4    18x 3     10x 2    7x       9
    x 4 2x 2 6
                                                                        3x   3
                                                                                 x2
                                                                                     2
       x 3                                               Indicar el coeficiente del
    e indicar el resto                                   término lineal del cociente

    a) 69              b) 62           c) 59
    d) 57              e) 54                             a) 1           b) 2          c) 3
                                                         d) 4           e) 5
13. Al efectuar la división
                                                     19. Aplicando el Método de Horner,
    x 5 2x 4 x 2 3                                       efectuar la división e indicar
       x 2 2x 1                                          coeficiente del el término
                                                         cúbico del cociente
    Indicar la suma de coeficientes del                  5x 4    2x 4 5x 3 6x 2            6x    1
    residuo                                                         4x 2 2x 1

    a) 3               b) 4            c) 5              a) 1           b) 2          c) 3
                                                         d) 4           e) 5
    d) 6               e) 7

                                                14
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”


              COCIENTES NOTABLES                                                                     CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
                                                                                                     PARA OBTENER UN C.N.
     Definición.- Son aquellos cocientes que se
                                                                                                          xm        yn                  m                n
     pueden obtener en forma directa sin necesidad                                                 De:                 se debe cumplir:                       r;r      Z+
                                                                                                          xp        yq                  p                q
     de efectuar la operación de división.
                                                                                                   FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN
                                                                  xm          ym
     Condiciones que debe cumplir:                                                                 C.N.
                                                                   x          y
                                                                                                     Es una fórmula que nos permite encontrar un
     Donde
                                                                                                     término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,
     x; a bases iguales                                                                              sin necesidad de conocer los demás.

     m Z +; m    2                                                                                                                xn     yn
                                                                                                     De la división:
                                                                                                                                   x     y
     CASOS
                                                                                                              a)           Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 .
                              xm       yn
1. Si: R = 0                                       q x                     cociente
                               x       y

     entero o exacto (C.N.)                                                                              b)                 Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
                               xm       yn                           R x                                     Donde:
2. Si: R = 0                                               q x
                                x       y                            x y
                                                                                                         tk        término del lugar k
     cociente completo
                                                                                                         x         1er. término del divisor.

     También según la combinación de signos se                                                           y         2do. término del divisor.
     puede analizar 4 casos.
                                                                                                         n         número de términos de q(x)
     DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
                                                                                                         Ejemplos:
DIVISIÓN         COCIENTES                             n       Z+
                                                                                                          x5        y5
                                                                                                                            x4    x 3y      x 2y 2     xy 3   y 4 (C.N.)
INDICADA
                                                                                                           x        y

xn    yn
                 =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+;                            n (C.N.)                        x4        y4                                        2y 4
 x    y                                                                                                                      x3    x 2y       xy 2     y3
                                                                                                           x        y                                         x   y
                                                                 2y n                                    (Cociente Completo)
xn    yn         =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+                             ;    n
                                                                 x    y
 x    y                                                                                                   x 12      y 12
                 (cociente completo)                                                                                         x6    x 6y 3     x 3y 6     y8   (C.N.)
                                                                                                          x3        y3
                xn   1
                         x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.
xn    yn                                                                                                                       TAREA DE CLASE
                                                            2y n
 x    y         xn       x n 2y x n 3y 2 ... y n                 ; n par cociente completo
                     1                                 1

                                                            x y
                                                                                                   1. Efectuar
                                                                                                         x 5 32
                                                                                                                   y hallar la suma de coeficientes
                xn   1
                         x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N.                                             x 2
xn    yn
                                                           2y n                                          del resultado
 x    y         xn   1
                         x n 2y x n 3y 2 ... y n   1

                                                           x y
                                                                ; n impar cociente completo



                                                                                                         Rpta.



                                                                                              15
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                9. Hallar el valor de “P” para que:
                                                   xP 4 y6
2. Calcular el tercer término de:                              , sea C.N
                                                   x4 yP 4
    84x 4 1
     3x 1
                                                    Rpta.

   Rpta.
                                                10. Efectuar:
                                                    x 6 64y 6
                                                              e indicar el cuarto término
                                                      x 2y
3. Calcular el segundo término de
    125x 3 27                                       Rpta.
      5x 3


   Rpta.                                        11. Cual es el tercer término en el cociente
4. Desarrollar                                      x 10 32y 5
           x 23       8
                                                      x 2 2y
    E
             x                                  12. Hallar el número de términos            del
                                                    siguiente cociente notable:
5. Desarrollar
                                                    x 63 . y n
        x 3 4 16
   N                                                 xn . y7
            x 1


   Rpta.                                            Rpta.




6. Si:                                          13. Efectuar:
   xm 1     ym   1                                  x 3 64
                     , es C.. Hallar “m”             x 4
      x3    y2
                                                    Y dar la suma de los coeficientes del
                                                    cociente.
   Rpta.

                                                    Rpta.


7. Hallar el término de lugar 34 en
   x 48 y 48
                                                14. Hallar el cuarto término de:
     x y
                                                    x7 y7
                                                     x y
   Rpta
8. Hallar el valor de “n” para que:                 Rpta.
   xn 5 yn 2
                 sea Cociente Notable
     x3 y2


                                                15. Hallar el tercer término de:
   Rpta.
                                                     x 4 4 16
                                                        x 2


                                           16
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”


Aprendiendo a resolver…..resolviendo                  a) 5           b) 6            c) 8
                                                      d) 9           e) 7
1. El número de términos que tendrá el
   siguiente cociente notable:
    m 4 a 12 n 4 a 3
                     ; es:
     ma 8 n a 9                                   6. Hallar el tercer término de:
                                                      x 155 y 93
                                                       x5 y3
    a) 10                  b) 12     c) 25
    d) 15                  e) 18

                                                      a) x6y140 b) x40y6             c) x140y6
                                                             140 8          140 10
                                                      d) x     y     e) x     y

2. Efectuar:                                      7. Hallar el término central de:
    64x   6
                   y   6
                                                      x 100     y 100
     2x           y                                    x4       y4

    y dar la suma de los coeficientes del
    cociente                                          a) x48y46         b) x46y48       c) x48y48
                                                      d) x6y48          e) x24y24

    a) 13                  b) 21     c) 31        8. Al efectuar la división:
    d) 41                  e) 51                       x    2 20 1
                                                           x 3
                                                      El término independiente del cociente es:

3. Hallar el tercer término de:
    81x 4 1                                           a) 10             b) 2            c) 1
     3x 1                                             d) 4              e) 5
                                                  9. En el cociente notable:
              2                 4
                                                      xn      ym
    a) 2x                  b) 3x     c) 3x
                                                      x3      y4
    d) x4                  e) 4x4
                                                      Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El
4. hallar el cuarto término de:                       valor de (m + n) es:
     x    5   5
                       32
         x        3
                                                      a) 56          b) 42           c) 84
                                                      d) 89          e) 98

    a) 8x – 40                b) 8x + 40
    c) 8x – 20                d) 8x + 50
    e) 8x – 30                                    10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado
                                                      absoluto igual a 101 en el desarrollo de:
                                                      x 180 z 80
                                                       x9 z4

5. Hallar el valor de “P” para que:
                                                      a) 11          b) 13           c) 15
    x p 5 a 11                                        d) 17          e) 19
     x ap 5

    Sea cociente notable
                                             17
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                                 El menor exponente de x es 2                el factor
                                                                             2
                                                                 común es 3x
                FACTORIZACIÓN
                                                                 Luego
                                                                 3x2 (2x – 5)
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación
por medio del cual una expresión algebraica
                                                            3. Factorizar:
racional entera es presentada como el productos                3x2y + 6xy2 – 3x2y2
de dos o más factores algebraicos.

   Factor Divisor: Un polinomio no constante es
   factor de otro cuando lo divide exactamente,          2. Factor Común Polinomio
                                                            El factor común es un polinomio.
   por lo cual también es llamado divisor.

   Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel           Método de Agrupación
   polinomio que no se puede descomponer en              Se usa este método cuando el polinomio posee un
   otros factores. Racionales dentro del mismo           factor común de 2 a mas términos por lo general
   campo.                                                se encuentran luego de agrupar.
   Ejemplo:                                              Ejemplos:

   El proceso
                                                            1.       ax + bx         +      ay + by
                            2
          (x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab

                es una multiplicación.                                         agrupando

   En cambio el proceso
                                                                             x(a+b) + y(a+b)
    2
   x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

                 es una factorización                                                                    factor común

   Donde:
                                                                 Factorizando:
   (x + a), (x + b), son factores primos.                                                (a+b)(x+y)

   MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
                                                            2.       6ax + 3a + 1 + 2x
   Factor Común Monomio
                                                                     3a(2x + 1) + 1 + 2x
1. Común Monomio
   Se determina el MCD de los coeficientes y se
   toma la variable común con el menor                                                                   Factor
   exponente.                                                                                        común


   Ejemplos:                                                     Factorizando:
   1. Factorizar:                                                                        (2x + 1)(3a + 1)




                     3       2
   2. Factorizar 6x – 15x                                                2           2           2       2
                                                            3)       xy       + xz        + yz        + xy
        Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3




                                                    18
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                  2        2         2        2                            2
             xy + yz + xz + x y                          =       y(xy + z ) +                                 TAREA DE CLASE
    2
x(z + xy)
=       (xy + z2)(y + x)                                                                     1. Factorizar:
                                                                                                7x + 7y

Método de las Identidades
                                                                                                 Rpta.
        a)            Trinomio Cuadrado Perfecto

                       2                  2                                     2
                      a + 2ab +b                         =            (a + b)                2. El factor común de x 2 – x2y es:
                       2                  2                                     2
                      a - 2ab +b                         =            (a - b)
                                                                                                 Rpta.
Ejemplo:


             1. Factorizar
                                                                                             3. Factorizar
                           16x2 +                 40x        +       25                         24x3 – 16x2 + 8x


             Raíz              4x         2(4x)(5)                    5             =            Rpta.
                           2
             (4x + 5)                                                                        4. Factorizar:
                                                                                                18x3 + 6x2y + 4xy2 – 10xy


                                                                                                 Rpta.
             Doble producto                   Si es T.C.P.


        b)            Diferencia de Cuadrados
                                                                                             5. Al factorizar
                                                                                             16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se obtiene
                      a2 – b2 = (a + b)(a -b)                                                6. Factorizar:
Ejemplo:                                                                                        1      1
                                                                                                  x
                                                                                                5      5

             1.            Factorizar
                                                                                                 Rpta.
                                4             2
                                x - 4b


                  2                   4            2             2         2
Raíz          x            2b        x – 4b             = (x + 2b)(x – 2b)                   7. Factorizar:
                                                                                                –a – b + 2(a + b)

Método del Aspa Simple
                                                                                                 Rpta.

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:


                                                                                             8. Si: x – y = 5 y     m = 4. Hallar mx + my
                                 2
                               ax + bx + c
                                                                                                 Rpta.



                                                                                        19
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                       Uno de los factores primos es:
9. Factorizar cada una de las expresiones:
   a. 8x2 – 16x = ______________
                                                       a) x+2         b) x–c          c) x–2
   b. x3 + 3x2 – 5x =____________                      d) c–x         e) 2–x
   c. m5 + x4 – m3 = ____________
   d. 6y4 + y3 – 12y2 = __________                3. Hallar la suma de los         términos
              2     3
   e. 3x – 6x + 9x =___________                      independientes de los factores primos
   f. 4x y – 2x + 6x3y2 = _______
         4      5                                    de:
                                                     2yz + 7y – 2z – 7

10. Factorizar cada uno de los polinomios:
    a. 2(a+b)+x(a+b) = __________                      a) 7           b) 8            c) 5
    b. x2(a–1)–y2(a–1) = _________                     d) 6           e) 1
    c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________                   4. ¿Cuántos factores primos tiene:
    d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____                     mx – m – x + 1
    e. x2+y2–5y(x2+y2) = ________

                                                       a) 1           b) 3            c) 2
                                                       d) 4           e) 5
11. Factorizar:                                   5. Al factorizar la siguiente expresión:
    xz + yz + x + y                                  mx – m – x + 1
                                                       Uno de los factores primos es:
12. Factorizar:                                        a) (x+1)       b) (m+1) c) (2x+1)
    ab + bx + ay + xy                                  d) (x–1)       e) (2m+1)
                                                  6. La suma de los coeficientes de uno de los
                                                     factores primos de:
    Rpta.
                                                     3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:


13. Factorizar
    a2b3 – a2 + 2b3 – 2                                a) 1         b) 2          c) 3
                                                       d) 4         e) 5
                                                  7. El factor primo de mayor grado de:
    Rpta.
                                                     2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es:
                                                       a) x2 + x + 1       b) a2 + a + 1
                                                       c) x2 + 1           d) a2 + 1
14. Factorizar:                                        e) a3 + 1
      2 2     2   2
    6b x – 3x + 4b – 2                            8. Hallar el producto de los términos
                                                     independientes de los factores primos de:
                                                            1
                                                      x2       3x 1
                                                           3x
    Rpta.
                                                       a) 2             1         c) 3
                                                                    b)
                                                                       3
Aprendiendo a resolver…..resolviendo                        2       e) 1
                                                       d)
                                                             3
1. Factorizar
   (a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)                  9. Uno de los factores primos de:
                                                       2n + 1      n+1    n+3    n    3
                                                     x        + 3x     +x     – x + 3x - 3
    (x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)
    Uno de los factores es:
                           2
                                                       a) (xn+1–3) b) (xn–3)          c) (x4+3)
    a) x(a + b)       b) x (a + b)                     d) (xn+1) e) (xn–1)
    c) x(a + b)2      d) –y(a2 + b2)
    e) x(a2 – b2)                                 10. ¿Cuál es el factor primo de
                                                      mayor grado de:
2. Al factorizar la expresión:                        P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)
   x2 – 2x + cx – 2x

                                             20
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                                       a) (x + y)                        b) (y – x)
                     2               2               2
     a) (x–8) b) (x–6)                   c) (x–4)                      c) (a + b + c)                    d) (a – b - c)
     d) (x–3)2 e) x3
                                                                       e) (a – b + c)
11. Uno de los factores primos de:
    xm+a – xm . yb + xa . yn – yn+b – xazp + zpyb
                                                                     18. Después de factorizar señale el factor
     Es:
            a    b         a    b           b    a                       común de 2do grado.
     a) (x +y ) b) (x –y ) c) (x +y )
     d) (x+y) e) (x–y)
                                                                       N = kx2 – ky2 + px2 + py2
12. Señale un factor de:
                                                                            2           2                       2        2
                                                                       a) (x + y )                         b) (y – x )
                                                                            2       2                           2        2
        P = ax + bx – ay - by                                          c) (x - y )                         d) (p + k )
        a) a – b         b) x + y c) a + b           d) 1              e) (p2 – k2)
        e) 2
     13. Señale un factor de:                                        19. Factorizar:
        (x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)
                                                                                    4                6
                                                                       N = 36x – 16y
        a) (x + 1)                  b) (x - 1)                         Hallar la suma de sus factores primos:
        c) (y - 2)                  d) (y + 2)           e) 1
                                                                       a) 10x2                             b) 12x2
     14. Señalar un factor de:                                         c) 6x2                              d) 8y3
        nx + ny + x + y                                                e) 12y3


        a) (n - 1)       b) (x - y) c) (x + y)           d) x        20. Hallar             la       diferencia          de   los   factores
        e) y                                                             mínimos de:
     15. Factorizar y señalar uno de los factores
                                                                           4 6                   6
           de:                                                         64x y – 36z
        xy + wz – wy + xz
                                                                       a) 12x2 y2                          b) 12z3
                                                                                2                                    3
        a) (x + w)                  b) (w - x)                         c) 12x                              d) 12y
        c) (y + z)                  d) (y - z)                         e) 12 x3y2
        e) (z - y)
     16. Señalar uno de los factores de:                             21. Al factorizar la expresión, uno de los
        xm – xp + xn + my – py + ny                                      factores es:
                                                                                2 2                            2 2
                                                                       P = (a x + 2abxy + b y )
        a) (m - n + p)         b) (m – n - p)
                                                                                             2
        c) (m + n - p)         d) (x - y)                              a) (ax + by)                       b) (ax + by)
        e) (m + n)                                                     c) (ax - by)                        d) (ay - bx)
                                                                       e) (ax - bx)
     17. Después de factorizar. señalar uno de los                   22. Factorizar e indicar uno de los factores de:
           factores:                                                   N = x2 – 5x – 24
                                                                       a) (x + 8)                          b) (2x + 3)
        ax – ay – bx + by – cx + cy                                    c) (x - 8)                          d) (x - 3)
                                                                       e) (x - 1)
                                                                21
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”




                                                                ALGEBRA


         III Bimestre
    MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO
    COMÚN DIVISOR                                             Solución

    MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
                                                              72        96      120     2
                                                              36        48       60     2
    Para calcular el M.C.D de dos o más
    expresiones, se factorizan estas y el M.C.D               18        24       30     2

    estará formado por los factores comunes,                    9       12       15     2
    elevados a su menor exponente,                              9        6       15     2


                                                                9        3       15     3
    Ejemplo 1:

                                                                3        1         5    3
    Hallar el M.C.D de:     24a2b    ; 18a3bx   ;
    30a4bx2
                                                                1        1         5    5
                                                                1        1         1
    Resolución:
                                                                                M.C.M = 25 . 32 . 5 = 1440
                                                              M.C.M = 1440 x4 y5 z7
    24            18   30     2

    12            9    15     3
                                                                         TAREA DE CLASE
    4             3    5      2.3=6                      1. Hallar el M.C.D. de:
                                                            P(x) = x2 + 7x + 12
    Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b
                                                            Q(x) = x2 + x – 6

    MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M)
    Para calcular el M.C.M de dos o más                     Rpta.
    expresiones se factorizan estas y el M.C.M
    se formará con los factores comunes y no
    comunes con su mayor exponente.

                                                         2. Hallar el M.C.D. de:
                                                                    2
    Ejemplo 1:                                              P(x) = x + 4
                                                                    3
                            3 4 4    2 2 3
    Hallar el M.C.M de 72x y z ; 96x y x ;                  Q(x) = x – 8
    120x4y5z7

                                                    22
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
                                                        3       2
    Rpta.                                   R(x) = x + 4x + 5x + 2


                                        Rpta.

3. Hallar el M.C.D. de:                 9. Hallar el M.C.M. de:
             4    4                        P(x) = x3 – 1
   P(x,y) = x – y
                                                            2
                                            Q(x) = ax + ax + a
    Q(x,y) = 2x 2 – xy – y2
                                            R(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2


    Rpta.                                   Rpta.




4. Hallar el M.C.D. de:                 10. Hallar el M.C.D. de:
                                            P(x) = x3 – x2 + x – 1
   P(x,y,z) = xz + yz + x + y
                2
                                            Q(x) = (x4 – 1)
    Q(x,y,z) = x + xy + zy + xy

                                            Rpta.
   Rpta.
5. Hallar el M.C.M. de:
   P(x) = x2 + 7x + 10
                                        11. Hallar el M.C.M. de:
    Q(x) = x2 + 6x + 5                      A = z2x2 – 2x2 – 3z2 + 6
                                            B = (z4 – 4) (x4 – 6x2 + 9)
    Rpta.
                                            Rpta.
                                        12. Hallar el M.C.D. de:
                                            A = m3 + p3
6. Hallar el M.C.M. de:
                                            B = m2 + 2mp + p2
   P(x) = x3 – 64
                                                    2
                                            C = m + mp + mq + pq
    Q(x) = x2 – 16
                                        13. Hallar el M.C.M. de:
                                            P = x2 – 2x – 15
    Rpta.                                   Q = x2 – 25
                                            R = 4ax2 + 40ax + 100a


7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:            Rpta.
                4 2 3
   P(x,y,z) = 2x y z
    Q(x,y,z)= 8x 2y6
                    5 7 4               14. Hallar el M.C.D. de:
    R(x,y,z) = 6x y z                               3    2
                                            P(x) = x + x – 4x – 4
                                            Q(x) = x3 + 3x2 + 2x
    Rpta.

                                            Rpta.


8. Hallar el M.C.D. de:
           3     2
   P(x) = x + 3x + 3x + 1
                                        15. Hallar el M.C.D.:
    Q(x) = x2 + x2 – x – 1                  P(x) = x3 – 1

                                   23
COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
    Q(x) = x4 + x2 + 1                                    P(x,y,z) = 12x y z
                                                                                  5 3 4


                                                          Q(x,y,z) = 4x4y2
                                                                              6        4    3
Aprendiendo a resolver…..resolviendo                      Q(x,y,z) = 6x . y . z

1. Hallar el M.C.D. de:
           2
   P(x) = x + 5x – 24                                      a)   4x4y3; 12x6y4z4
                                                                  3 4     4 6 4
              2
    Q(x) = x + 4x – 21                                     b)   4x y ; 12x y z
                                                                   2     5 6
                                                           c)   4xy ; 12x y .z
                                                           d)   4x5y3; 12x6y3z2
    a) x + 8          b) x + 7     c) x – 3               e)    4xy; 12xyz
    d) x + 3          e) x + 1                         8. Hallar el M.C.D. de:
                                                          P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8

2. Hallar el M.C.D. de:                                   Q(x) = x3 + 2x2 – x – 2
           2
   P(x) = x – 9                                                     3
                                                          R(x) = x + 4x + 5x + 2
                                                                                  2


    Q(x) = x3 – 27                                         a) x – 2          b) x – 1            c) x + 3
    a) x + 3          b) x – 3     c) x – 92               d) x + 2          e) x + 6
    d) x + 9          e) 1
                                                       9. Hallar el M.C.D. de:
                                                                  3    3
3. Hallar el M.C.D. de:                                   P(x) = x – a
   A(x,y) = x6 – y6                                       Q(x) = pz2 + pax + pa2
    B(x,y) = x3 – y3                                       a) x2 + ax + a2 b) x2 – ax + a2
                                                           c) x2 + 2ax + a3 d) x2 + bx + 2
                                                       10. Hallar el M.C.D. de:
    a) x + y               b) x2 + x – y                   P(x) = x3 + x2 – x – 1
    c) x – y               d) x + 2y                                    4
                                                          Q(x) = (x – 1)
    e) y – x
                                                           a) x + 1         b) x – 1 c) x4 + 1
                                                           d) x4            e) x2 – 1
4. Hallar el M.C.D. de:
   P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y
                                                                 FRACCIONES ALGEBRAICAS
    Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y
                                                       Fracción algebraica.- Es toda expresión de la
                                                       forma:
    a) x – y          b) y + z     c) x + y
    d) z + y          e) z + 1
                                                                      P     (X )
                                                                                                  Numerador
5. Hallar el M.C.M. de:
                                                                      Q     (X )
                                                                                                  Denominador
   P(x) = x2 + 4x + 3
              2
    Q(x) = x + 6x + 9                                  Donde Q(x) ≠ 0
          3       2
    a)   x + 7x + 15x + 9
          3      2
    b)   x + 7x + 15x + 1                              Simplificación de Fracciones algebraicas
          3    2
    c)   x +x +3
    d)   x3 + 1
    e)   x–1                                           Una fracción algebraica es reducible (se puede
                                                       simplificar) si su numerador y su denominador se
6. Hallar el M.C.M. de:                                pueden dividir por un mismo factor.
   P(x) = x3 – 125
    Q(x) = x2 – 25                                     Ejemplo: 1
    Dar como respuesta la suma de coeficientes:
    a) 744        b) 644         c) –744                        36 x 3 y 6            3x12 x.x 2 y 6     3x 2   3x 2
    d) –644       e) 125                                         24 xy 8              2 x12 xy 6 . y 2   2 y2   2 y2

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
                                                  24
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
ALGEBRA  2º
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ALGEBRA 2º

  • 1. PRESENTACIÓN El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico- Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del país. Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible. Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la calidad en servicios educativos, está asegurada. La Dirección 4to Año Razonamiento Matemático 2
  • 3. ALGEBRA I Bimestre POTENCIAS Y RADICALES EN  an 4.- a n am an m am 5.- am .an am n POTENCIACIÓN Y En radicación n 2 , n  RADICACIÓN 1 n Son a a n . Propiedades: n m OPERACIONES INVERSAS 1.- an am m m Que consisten en 2.- a n .b p .c q .... a n .m b p .m c q ....... a n m .b p m .c q m ..... Dados dos números base Dados dos números 3.- m a m a a1 m a b m y exponente, determinar radicando e índice, b m b b1 m un tercer número llamado determinar un tercer 1 potencia número llamado raíz m n p m.n. p ....u 4.- .....u a a a ( m.n. p....u ) Eejmplos: an b n b a 1. 3 4 x 24 x Potenciación y Radicación 2. 4 3 10 3 4 10 12 10 3. Reducir: M 2 3 4 5 x120 En potenciación n 1 , n  .se tiene: Solución: Propiedades: 2 3 4 5 2.3.4.5 M x120 x120 1.- Dados a , n  , se tiene: a 0 1 120 x 2.3.4.5 x. M x 2.- Dados a , n  ,a 0 , se tiene: 2. 2 4.- Calcular: M 2. 2. 2 1 a n .a n a n .a n 1 a n 3.- Solución an La expresión dada es: z ..... f y 2. 2 4 x a a x. y . z ..... f M 2. 2. 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2. 2.2 4.2 2.2 4 n M 4 3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n 4to Año Razonamiento Matemático 2
  • 4. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” TAREA DE CLASE 1. Simplificar: 7 3 . 38 . 315 8. Si: 6 8 n 2n 319 . 3 14 Hallar: n 1 Rpta. Rpta. 3 2. Si n 10 5 n4 n p 9. Simplificar: Hallar P 1 K 6 3 3 3........ 10. Indicar el exponente final del número 2 Rpta. 23 . 4 2 2 24 Rpta. 3. Reducir 3 3 323 10 5 2 5 4 10 4 11. Reducir: 3 . 22n 1 2 . 32n 2 n Q Rpta. 6 22n 32n 1 4. Reducir Rpta. 1 n 2n 3 1 x .x .x x2 5n .x 3 . x 1 2n 5. Reducir: 12. Simplificar: 214 4 5 6 5 1 1 210 82 3 5 10 . 7 0 1 2 3 4 5 6 7 Rpta. 13. Hallar el valor de “M + 3”, si: M 7 7 7........ 6. Reducir: 16 Rpta. 2 2 2 Rpta. 14. Indicar el valor de “K” si: K 20 5 5 5..... 8 8 8.... 7. Luego de reducir: n 2 n 3n 2n Rpta. 3
  • 5. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” Aprendiendo a resolver…..resolviendo 9. Luego de reducir el radical, indicar el 1. Simplificar: valor de M + 2: 5 8 . 5 9 . 516 64 520 . 5 15 M 64 a) 5 10 b) 5 15 c) 5 12 64 d) 513 e) 515  2. Si:  2 K 35 5 K5K Q , hallar Q + 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10. Reducir: 3. Efectuar: 4 4 525 5 . 32K 1 3 . 52K 2 12 6 2 6 9 12 9 15 32K 52K 1 a) 5 b) 6 c) 7 a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 8 e) 11 d) 1/3 e) 15 4. Reducir: a 1 2x . a 4 x 3 . a 1 a 1 4 x . a . a 1 2x EXPRESIONES ALGEBRAICAS –1 -2 -5 a) A b) A c) A d) A-6 e) A-7 EXPRESIÓN ALGEBRAICA 5. Reducir: es un 217 46 CONJUNTO DE TÉRMINOS 213 44 QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 CONSTITUIDA POR 6. Reducir: 8 3 3 3 VARIABLES CONSTANTES a) 9 b) 1 c) 27 representada por dadas por d) 3 1 e) 3 LETRAS NÚMEROS 7. Simplificar: Q 4 5 5 5..... OPERACIONES MATEMÁTICAS ELEMENTALES a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Indicar el exponente final del número 3. en TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio) 34 4 3 3 35 Definición.- Es la mínima parte de una expresión algebraica, en el no existen operaciones de adición o sustracción. a) 21/16 b) 31/15 c) 31/17 d) 11/16 e) 31/16 4
  • 6. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 3 2 1 3 3 xy 2 3x x ;3 x 3; 3 x x 5; 28; x 2 4x 1 Ejem: 5 x 2 y; 7x 2 y6 ; z Solución Todo termino algebraico presenta tres partes, las Son expresiones algebraicas: cuales son: Exponentes 3x 2 x 1 ; 3x 3 x 5; 28 2.- Si los términos : 4 x a 3 yb 1 x5 a y 2b 5 3 7 7x y Son semejantes; calcular a.b Variables Solución Coeficiente Podemos plantear: TÉRMINOS SEMEJANTE 4 xa 3 yb 1  x5 a y 2b Definición.- Son aquellos términos que presentan a 3 5 a 2a 8 a 4 las mismas variables e iguales exponentes Donde: b 1 2b b 1 b 1 respecto a la Variable común. a.b 4 Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICAS ALGEBRAICA A.- Según su Naturaleza 1.- Expresión Algebraica Racional. es un EXPONENTE QUE CARACTERIZA A Es aquella expresión en donde los LA EXPRESION ALGEBRAICA exponentes de las variables son números enteros. Estas a su vez se dividen en: RELATIVO ABSOLUTO 1.A Expresión Algebraica Racional Entera SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE Ejem: 7 xy 4 4 x2 y 4x 2y 1 2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria Ejem: 7 xy 2 2 5 xy 1 x SÓLO UN TODA LA TÉRMINO EXPRESIÓN 2.- Expresión Algebraica Irracional Es aquella expresión en donde existe al menos una variable afectada de algún signo radical o VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES exponente fraccionario. ALGEBRAICAS 5x2 y Definición.- Es aquel valor que se obtiene al Ejem: 2 xy x 3 2x 1 4 y 3xy 4 3x1 5 2 reemplazar las variables por constantes o B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS variables y efectuar dichas operaciones. Monomio……………….1 término Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar: Binomio…………………2 términos P(0); P(1); P( x 3) Trinomio…………………3 términos Solución ……………………………………. si : x 0 P (0) 5(0) 3 3 Polinomio………………más de 3 términos x 1 P (1) 5(1) 3 8 EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18 y Ejem: 2 xy 5 x 5x 3 VALORES NUMERICOS NOTABLES 2 x senx cos 2 x Si P( x) es un polinomio, se cumple: Ejercicios resueltos P(0) = término independiente 1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas? 5
  • 7. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” P(1) = suma de coeficientes Ejem: Si P( x 3) 5x 16 P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2 Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes Propiedad Solucion En todo polinomio completo y de una sola variable, Se pide P(0) + P(1) el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando Es decir: número de términos = Grado + 1 en: 4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las P( 3 3) 5( 3) 16 1 mismas variables son idénticos si tienen el mismo P(0) 1 valor numérico para cualquier valor o valores P(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en: asignados a sus variables. P( 2 3) 5( 2) 16 6 Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8 P(1) 6 P( x, y) x3 y3 Q( x, y) x y x2 xy y2 FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE 5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas VARIABLE X expresiones que son equivalentes a cero. Estando P( x) a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ................... an 1 x an reducidas se cumple que cada coeficiente es igual Donde: a cero. Notación: P( x) 0 n  ; n grado del polinomio TAREA DE CLASE a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes tales que: 1. Si P(x+1) = 3x – 2 a0 0 : Coeficiente Principal (C.P) Calcular: P(2) an : Término Independiente (T.I) Rpta. POLINOMIOS ESPECIALES 1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio que tiene todos sus términos el mismo grado. 2. Si P(x) = 2x – 2x – 1 Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y3 Calcular 2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que P(1) + P(2) + P(3) esta ordenado con respecto a una variable llamada ordenatriz, donde los exponentes de la Rpta. mencionada variable van aumentando o disminuyendo. Ejemplos: 3. Calcular (a – b) si el monomio: 2a + b a + 2b M(x;y) = 5x y P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4 Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8 4 3 2 2 3 4 P( x, y ) 9x 2x y 4x y xy y Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1 Rpta. 3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el que el grado de todos sus términos van desde un máximo valor hasta el de exponente cero (término 4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio es homogéneo independiente) P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5 2m x+2 +x .y 6
  • 8. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 11. Sea P(x) = 4x + 1 Rpta. P1 P 2 Hallar E P 3 P 0 5. Sea Rpta. 90 88 2 P(x) = 3x – 27x +3x – 4x Halar P(3) 12. Sea P(x – 5) = 5x + 5 Rpta P 1 P 0 6. Sea: R(x) = 4x + 3 Hallar N(x) = 2x – 5 P 1 P 2 Hallar R(N(3)) Rpta Rpta. Aprendiendo a resolver…..resolviendo 7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3 1. Si P(x – 1) = 5x – 3 P(x) = 4x – 1 Hallar P(3) Hallar P(F(2)) a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 4 Rpta. 2. Si P(x) = 3x + 1 + 3x – 2 8. El siguiente es un polinomio 1 2 ordenado y completo de grado Calcular P 0 P1 P2 3 9 3: P(x) = xa – b + 4xa – 7xb + 5 Hallar a2 + b2 111 101 112 a) b) c) 9 9 9 113 114 Rpta. d) e) 9 9 3. Calcular (a – b), si el monomio M(x;y) = 8x3a + b . ya + 3b 9. Sabiendo que: x 1 2 Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10 A(x) = y B(x) = x + 2 x–1 a) –1 b) –2 c) –3 Halar el valor de A(B(2)) d) –4 e) –5 4. Sea: a–8 6 a–11 5 a–13 20 P(x;y) = 3x y + 4x . y + 7x . y Rpta. 2 Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A. 10. Si P(x + 1) = x . Hallar: P(P(P(2))) a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5 Rpta. 5. Sea 7
  • 9. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 100 99 2 P(x) = 5x – 25x + 6x – 3x PRODUCTOS NOTABLES Hallar P(5) PRODUCTOS NOTABLES a) 125 b) 115 c) 135 d) 145 e) 160 son RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS 6. Sea R(x) = 3x + 4 SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN N(x) = 5x – 1 Por ejemplo Hallar R(N(2)) BINOMIO SUMA 2 a) 30 b) 31 c) 32 AL CUADRADO a b a 2 2ab b2 d) 33 e) 34 BINOMIO DIFERENCIA 2 a b a 2 2ab b2 AL CUADRADO 7. Sabiendo que: x 1 2 A(x) = y B(x) = x – x + 1 BINOMIO SUMA 3 AL CUBO 3 a b a3 3a 2b 3ab2 b3 Hallar el valor de B(A(2)) BINOMIO DIFERENCIA 3 AL CUBO a b a3 3a 2b 3ab2 b3 1 3 5 a) b) c) 9 9 9 7 11 d) e) 9 9 8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4 Definición.- Se denominan así a todas aquellas P 2 P 0 multiplicaciones o potenciaciones cuyos Hallar 5 P 1 P resultados: 4 Productos o potencias, tienen una frecuencia que las hace reconocibles en una inspección. a) 0 b) –1 c) 2 d) 3 e) 5 Algunos resultados mas: 1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS a b a b a2 b2 a m bn a m bn a 2m b2n 9. Si: P(x) = 3x + 2 Hallar P(P(–2)) 2.- TRINOMIO AL CUADRADO 2 a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc a) –8 b) –6 c) –7 2 d) –110 e) –2 a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 2 2 2 10. Sea: M(x) = x+ 7 a b c a b c 2ab 2ac 2bc N(M(x)) = 3x + 2 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc Hallar N(7) 3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 3 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3 a) 1 b) 2 c) 3 3 d) 5 e) 1 a b a3 3a 2b 3ab 2 b3 8
  • 10. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” TAREA DE CLASE Rpta. 1. Simplificar: 3x 1 2 3 x 1 2 3x 2 1 8. Efectuar: 2 2 2 3 1 3 1 22 3 1 3 1 Rpta. 9. Si se cumple que: x 2y 2. Si se cumple que: a2 +b2 = 3ab. Reducir: 2 2y x a b2 a b2 a b2 a b2 8 x Calcular y Rpta. Rpta. 10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1 3. Reducir: Calcular: (x + y) 2 8 2 5 3 52 32 54 34 38 Rpta. Rpta. 4. Efectuar: 11. Reducir: 4 3 1 3 1 4 3 1 m 2 m 2 9 N m2 5 Rpta. Rpta. 5. Siendo: 1 1 X 2 3 2 3 12. Si: x 5 ; hallar x 3 x x3 Hallar x2 Rpta. Rpta. 13. Si: m + n = 2; m . n = 1 Hallar m3 + n3 6. Reducir “M”: x 2a 2 2x a 2 M x a x a 2a 2 Rpta. 14. Si: n2 = n + 1 Rpta. Hallar P 8 n n2 1 n4 1 n8 1 1 7. Efectuar: Rpta. 3 2 3 2 3 2 3 2 9
  • 11. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” Aprendiendo a resolver…..resolviendo 7. Efectuar: 5 3 5 3 1. Simplificar: M 5 3 5 3 5x 1 2 5 x 12 N 5x 2 1 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 8. Efectuar: 2 2 2 Q 3 5 1 5 2 1 2 5 a) 33 b) 44 c) 55 d) 66 e) 77 2. Si se cumple que: x 2 + y2 + 4xy Reducir: 9. Si se cumple que: x y 2 x y 2 R a 3b x y 2 x y 2 2 3b a 3 a Calcular: a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 b d) 0,5 e) 0,6 a) 7 b) 17 c) 27 d) 37 e) 47 3. Reducir: 10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4 N 8 3.11 . 7 2 4 7 2 4 4 4 48 Calcular (x – y)2 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 4 a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 4. Efectuar: Q 85 1 5 1 8 5 1 4 5 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Siendo: x 3 5 3 5 Hallar x2 a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 6. Reducir: x 3a 2 3x a 2 Z x a x a 2a 2 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 10
  • 12. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” ALGEBRA II Bimestre DIVISIÓN ALGEBRAICA Definición.- Operación que se realiza entre completado, con signo contrario salvo el polinomios que consiste en hallar dos primero. polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de conociendo otros dos polinomios denominados dividir la suma de los elementos de cada DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra columna entre el primer coeficiente del divisor. ligados por la relación: Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente . D(x) = d(x) Q(x) + R(x) . columna en forma horizontal. Donde: D(x) : Dividendo 4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de d(x) : Divisor sumar Q(x) : Cociente la columnas finales una vez obtenidos todos los R(x) : Residuo o Resto coeficientes. Propiedades de la División Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x)) Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x)) Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1 PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER Pasos a seguir: 1. Coeficiente del dividendo ordenado OBSERVACIÓN: decrecientemente en una variable completo o LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL completado. DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR: 2.- Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o 11
  • 13. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” OBSERVACIÓN: MÉTODO DE PAOLO RUFFINI DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE Pasos a seguir: COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR. 1.-Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable. TAREA DE CLASE 2.- Valor que se obtiene para la variable cuando el 1. Indicar el residuo de la siguiente división 2x 7 4x 6 2x 3 divisor se iguala a cero x 2 3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente Rpta. anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en 2. Efectuar la siguiente división Indicar el residuo la siguiente columna. 4.- Resto de la división que se obtiene de sumar 6x 3 5x 2 4x 4 x 1 la última columna Rpta. 3. Indicar el término independiente del resto de la siguiente división 6x 3 x 2 2x 6 3x 2 2x 1 Rpta. OBSERVACIÓN: 4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar: SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES 2x 4 x3 3x2 20x 10 DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE 2x2 3x 1 OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE 5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15 VALOR. 2x 3 nx 2 4x n 2x n TEOREMA DEL RESTO Se utiliza para obtener el resto de una división. Rpta. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar 6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entre la mayor potencia de la variable, para que sea x + 3, el residuo es: reemplazada en el dividendo. Rpta. 12
  • 14. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 7. Hallar el cociente en: Rpta. x 5 6x 2x 4 3 x 1 x 3 3x 2 1 15. Hallar el cociente aplicando Horner Rpta. 6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3 entre 3x3 – 5x2 +3 8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que Aprendiendo a resolver…..resolviendo al dividir 4x 5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2, el residuo sea cero 1. Indicar el residuo en la siguiente división: 9. El cociente de la siguiente división: 2x 3 x2 3 x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: x 1 a) 1 b) –1 c) 0 Rpta. d) 2 e) –2 2. Efectuar la siguiente división: 6x 2 x 2 10. Hallar el residuo en 2x 1 2x 4 5x 3 3x 6 E indicar el cociente x 2 a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2 d) 2x+3 e) 2x–3 Rpta. 3. Indicar el término independiente del resto en la siguiente división 6x 2 9x 27 11. Hallar el cociente en: 3x 9 38x 4 65x 3 27 2x 2 5x 3 a) 1 b) 2 c) –2 d) 3 e) 0 4. Calcular la suma de coeficientes del cociente, después de efectuar. Rpta. x2 15x 56 12. Hallar el coeficiente del término cuadrático en: x 8 2x 4 x 3 7x 3 a) 5 b) –5 c) 6 2x 3 d) –6 e) 7 5. Calcular “n” si el resto de la división es cero 13. Hallar el cociente aplicando Horner 2x 3 11x 2 18x n x 5 27x x 4 7x 2 10 x 4 x2 x 5 a) 12 b) 36 c) 42 d) 6 e) 24 Rpta. 6. Al dividir: x 6 7x 3 12 x3 3 14. Hallar el cociente aplicando Ruffini 4 3 x – 3x + 5x – 8 entre x + 2 El residuo es: a) x3–4 b) X3+4 c) x2–5 13
  • 15. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” d) x2–3 e) 2x3+1 14. Dividir e indicar la suma de coeficientes del residuo 7. Hallar el cociente en: x3 10 x2 14 x 9 11x 3 3x 5 46x 2 32 x 2 4x 3 8 3x 2 6x a) x+1 b) x–1 c) x+6 a) 1 b) 5 c) 0 d) x–6 e) x+7 d) 4 e) 6 8. Dividir usando Horner 15. Efectuar la división 5y 5 9 y 4 3y 6 10 y 3 3y 4 8y 2 e 3y 3 2 y 2 5 y 4 indicar la suma de coeficientes del x 4 2x 2 6 cociente x 3 a) 0 b) 1 c) –1 e indicar el resto d) 2 e) 3 9. Dividir usando Ruffini a) 69 b) 62 c) 59 2x3 – 11x2 + 18x – 24 entre d) 57 e) 54 x- 4 16. Al efectuar la división e indicar el término x 5 2x 4 x 2 3 independiente del cociente x 2 2x 1 a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) –3 Indicar la suma de coeficientes del 10. Dividir usando Horner residuo 31x 2 x 6 8x 5x 5 21 a) 3 b) 4 c) 5 x 3 7 2x d) 6 e) 7 e indicar el coeficiente del 17. Efectuar la división e indicar el término cúbico término independiente del a) 0 b) 1 c) –1 residuo d) 2 e) –2 2x 4 x 3 4x 2 x 5 1 11. Dividir e indicar la suma de coeficientes 2x 2 x 1 del residuo Indicar el término independiente del resto 11x 3 3x 5 46x 2 32 8 3x 2 6x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 1 b) 5 c) 0 d) 4 e) 6 18. Utilizando el Método de Horner, 12. Efectuar la división efectuar la división 6x 5 7x 4 18x 3 10x 2 7x 9 x 4 2x 2 6 3x 3 x2 2 x 3 Indicar el coeficiente del e indicar el resto término lineal del cociente a) 69 b) 62 c) 59 d) 57 e) 54 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Al efectuar la división 19. Aplicando el Método de Horner, x 5 2x 4 x 2 3 efectuar la división e indicar x 2 2x 1 coeficiente del el término cúbico del cociente Indicar la suma de coeficientes del 5x 4 2x 4 5x 3 6x 2 6x 1 residuo 4x 2 2x 1 a) 3 b) 4 c) 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 d) 6 e) 7 14
  • 16. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” COCIENTES NOTABLES CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N. Definición.- Son aquellos cocientes que se xm yn m n pueden obtener en forma directa sin necesidad De: se debe cumplir: r;r Z+ xp yq p q de efectuar la operación de división. FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN xm ym Condiciones que debe cumplir: C.N. x y Es una fórmula que nos permite encontrar un Donde término cualquiera en el desarrollo de los C.N., x; a bases iguales sin necesidad de conocer los demás. m Z +; m 2 xn yn De la división: x y CASOS a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 . xm yn 1. Si: R = 0 q x cociente x y entero o exacto (C.N.) b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 . xm yn R x Donde: 2. Si: R = 0 q x x y x y tk término del lugar k cociente completo x 1er. término del divisor. También según la combinación de signos se y 2do. término del divisor. puede analizar 4 casos. n número de términos de q(x) DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES Ejemplos: DIVISIÓN COCIENTES n Z+ x5 y5 x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.) INDICADA x y xn yn =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.) x4 y4 2y 4 x y x3 x 2y xy 2 y3 x y x y 2y n (Cociente Completo) xn yn =xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ ; n x y x y x 12 y 12 (cociente completo) x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.) x3 y3 xn 1 x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N. xn yn TAREA DE CLASE 2y n x y xn x n 2y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo 1 1 x y 1. Efectuar x 5 32 y hallar la suma de coeficientes xn 1 x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N. x 2 xn yn 2y n del resultado x y xn 1 x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 x y ; n impar cociente completo Rpta. 15
  • 17. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 9. Hallar el valor de “P” para que: xP 4 y6 2. Calcular el tercer término de: , sea C.N x4 yP 4 84x 4 1 3x 1 Rpta. Rpta. 10. Efectuar: x 6 64y 6 e indicar el cuarto término x 2y 3. Calcular el segundo término de 125x 3 27 Rpta. 5x 3 Rpta. 11. Cual es el tercer término en el cociente 4. Desarrollar x 10 32y 5 x 23 8 x 2 2y E x 12. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable: 5. Desarrollar x 63 . y n x 3 4 16 N xn . y7 x 1 Rpta. Rpta. 6. Si: 13. Efectuar: xm 1 ym 1 x 3 64 , es C.. Hallar “m” x 4 x3 y2 Y dar la suma de los coeficientes del cociente. Rpta. Rpta. 7. Hallar el término de lugar 34 en x 48 y 48 14. Hallar el cuarto término de: x y x7 y7 x y Rpta 8. Hallar el valor de “n” para que: Rpta. xn 5 yn 2 sea Cociente Notable x3 y2 15. Hallar el tercer término de: Rpta. x 4 4 16 x 2 16
  • 18. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” Aprendiendo a resolver…..resolviendo a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7 1. El número de términos que tendrá el siguiente cociente notable: m 4 a 12 n 4 a 3 ; es: ma 8 n a 9 6. Hallar el tercer término de: x 155 y 93 x5 y3 a) 10 b) 12 c) 25 d) 15 e) 18 a) x6y140 b) x40y6 c) x140y6 140 8 140 10 d) x y e) x y 2. Efectuar: 7. Hallar el término central de: 64x 6 y 6 x 100 y 100 2x y x4 y4 y dar la suma de los coeficientes del cociente a) x48y46 b) x46y48 c) x48y48 d) x6y48 e) x24y24 a) 13 b) 21 c) 31 8. Al efectuar la división: d) 41 e) 51 x 2 20 1 x 3 El término independiente del cociente es: 3. Hallar el tercer término de: 81x 4 1 a) 10 b) 2 c) 1 3x 1 d) 4 e) 5 9. En el cociente notable: 2 4 xn ym a) 2x b) 3x c) 3x x3 y4 d) x4 e) 4x4 Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El 4. hallar el cuarto término de: valor de (m + n) es: x 5 5 32 x 3 a) 56 b) 42 c) 84 d) 89 e) 98 a) 8x – 40 b) 8x + 40 c) 8x – 20 d) 8x + 50 e) 8x – 30 10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto igual a 101 en el desarrollo de: x 180 z 80 x9 z4 5. Hallar el valor de “P” para que: a) 11 b) 13 c) 15 x p 5 a 11 d) 17 e) 19 x ap 5 Sea cociente notable 17
  • 19. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” El menor exponente de x es 2 el factor 2 común es 3x FACTORIZACIÓN Luego 3x2 (2x – 5) Definición.- Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica 3. Factorizar: racional entera es presentada como el productos 3x2y + 6xy2 – 3x2y2 de dos o más factores algebraicos. Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, 2. Factor Común Polinomio El factor común es un polinomio. por lo cual también es llamado divisor. Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel Método de Agrupación polinomio que no se puede descomponer en Se usa este método cuando el polinomio posee un otros factores. Racionales dentro del mismo factor común de 2 a mas términos por lo general campo. se encuentran luego de agrupar. Ejemplo: Ejemplos: El proceso 1. ax + bx + ay + by 2 (x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab es una multiplicación. agrupando En cambio el proceso x(a+b) + y(a+b) 2 x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización factor común Donde: Factorizando: (x + a), (x + b), son factores primos. (a+b)(x+y) MÉTODO DE FACTORIZACIÓN 2. 6ax + 3a + 1 + 2x Factor Común Monomio 3a(2x + 1) + 1 + 2x 1. Común Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor Factor exponente. común Ejemplos: Factorizando: 1. Factorizar: (2x + 1)(3a + 1) 3 2 2. Factorizar 6x – 15x 2 2 2 2 3) xy + xz + yz + xy Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3 18
  • 20. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 2 2 2 2 2 xy + yz + xz + x y = y(xy + z ) + TAREA DE CLASE 2 x(z + xy) = (xy + z2)(y + x) 1. Factorizar: 7x + 7y Método de las Identidades Rpta. a) Trinomio Cuadrado Perfecto 2 2 2 a + 2ab +b = (a + b) 2. El factor común de x 2 – x2y es: 2 2 2 a - 2ab +b = (a - b) Rpta. Ejemplo: 1. Factorizar 3. Factorizar 16x2 + 40x + 25 24x3 – 16x2 + 8x Raíz 4x 2(4x)(5) 5 = Rpta. 2 (4x + 5) 4. Factorizar: 18x3 + 6x2y + 4xy2 – 10xy Rpta. Doble producto Si es T.C.P. b) Diferencia de Cuadrados 5. Al factorizar 16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se obtiene a2 – b2 = (a + b)(a -b) 6. Factorizar: Ejemplo: 1 1 x 5 5 1. Factorizar Rpta. 4 2 x - 4b 2 4 2 2 2 Raíz x 2b x – 4b = (x + 2b)(x – 2b) 7. Factorizar: –a – b + 2(a + b) Método del Aspa Simple Rpta. Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: 8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my 2 ax + bx + c Rpta. 19
  • 21. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” Uno de los factores primos es: 9. Factorizar cada una de las expresiones: a. 8x2 – 16x = ______________ a) x+2 b) x–c c) x–2 b. x3 + 3x2 – 5x =____________ d) c–x e) 2–x c. m5 + x4 – m3 = ____________ d. 6y4 + y3 – 12y2 = __________ 3. Hallar la suma de los términos 2 3 e. 3x – 6x + 9x =___________ independientes de los factores primos f. 4x y – 2x + 6x3y2 = _______ 4 5 de: 2yz + 7y – 2z – 7 10. Factorizar cada uno de los polinomios: a. 2(a+b)+x(a+b) = __________ a) 7 b) 8 c) 5 b. x2(a–1)–y2(a–1) = _________ d) 6 e) 1 c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________ 4. ¿Cuántos factores primos tiene: d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____ mx – m – x + 1 e. x2+y2–5y(x2+y2) = ________ a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 11. Factorizar: 5. Al factorizar la siguiente expresión: xz + yz + x + y mx – m – x + 1 Uno de los factores primos es: 12. Factorizar: a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1) ab + bx + ay + xy d) (x–1) e) (2m+1) 6. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos de: Rpta. 3ax – 3ay – 2bx + 2by; es: 13. Factorizar a2b3 – a2 + 2b3 – 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. El factor primo de mayor grado de: Rpta. 2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es: a) x2 + x + 1 b) a2 + a + 1 c) x2 + 1 d) a2 + 1 14. Factorizar: e) a3 + 1 2 2 2 2 6b x – 3x + 4b – 2 8. Hallar el producto de los términos independientes de los factores primos de: 1 x2 3x 1 3x Rpta. a) 2 1 c) 3 b) 3 Aprendiendo a resolver…..resolviendo 2 e) 1 d) 3 1. Factorizar (a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2) 9. Uno de los factores primos de: 2n + 1 n+1 n+3 n 3 x + 3x +x – x + 3x - 3 (x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x) Uno de los factores es: 2 a) (xn+1–3) b) (xn–3) c) (x4+3) a) x(a + b) b) x (a + b) d) (xn+1) e) (xn–1) c) x(a + b)2 d) –y(a2 + b2) e) x(a2 – b2) 10. ¿Cuál es el factor primo de mayor grado de: 2. Al factorizar la expresión: P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6) x2 – 2x + cx – 2x 20
  • 22. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” a) (x + y) b) (y – x) 2 2 2 a) (x–8) b) (x–6) c) (x–4) c) (a + b + c) d) (a – b - c) d) (x–3)2 e) x3 e) (a – b + c) 11. Uno de los factores primos de: xm+a – xm . yb + xa . yn – yn+b – xazp + zpyb 18. Después de factorizar señale el factor Es: a b a b b a común de 2do grado. a) (x +y ) b) (x –y ) c) (x +y ) d) (x+y) e) (x–y) N = kx2 – ky2 + px2 + py2 12. Señale un factor de: 2 2 2 2 a) (x + y ) b) (y – x ) 2 2 2 2 P = ax + bx – ay - by c) (x - y ) d) (p + k ) a) a – b b) x + y c) a + b d) 1 e) (p2 – k2) e) 2 13. Señale un factor de: 19. Factorizar: (x + 1)(y -2) + 3x(x + 1) 4 6 N = 36x – 16y a) (x + 1) b) (x - 1) Hallar la suma de sus factores primos: c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1 a) 10x2 b) 12x2 14. Señalar un factor de: c) 6x2 d) 8y3 nx + ny + x + y e) 12y3 a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x 20. Hallar la diferencia de los factores e) y mínimos de: 15. Factorizar y señalar uno de los factores 4 6 6 de: 64x y – 36z xy + wz – wy + xz a) 12x2 y2 b) 12z3 2 3 a) (x + w) b) (w - x) c) 12x d) 12y c) (y + z) d) (y - z) e) 12 x3y2 e) (z - y) 16. Señalar uno de los factores de: 21. Al factorizar la expresión, uno de los xm – xp + xn + my – py + ny factores es: 2 2 2 2 P = (a x + 2abxy + b y ) a) (m - n + p) b) (m – n - p) 2 c) (m + n - p) d) (x - y) a) (ax + by) b) (ax + by) e) (m + n) c) (ax - by) d) (ay - bx) e) (ax - bx) 17. Después de factorizar. señalar uno de los 22. Factorizar e indicar uno de los factores de: factores: N = x2 – 5x – 24 a) (x + 8) b) (2x + 3) ax – ay – bx + by – cx + cy c) (x - 8) d) (x - 3) e) (x - 1) 21
  • 23. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” ALGEBRA III Bimestre MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Solución MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) 72 96 120 2 36 48 60 2 Para calcular el M.C.D de dos o más expresiones, se factorizan estas y el M.C.D 18 24 30 2 estará formado por los factores comunes, 9 12 15 2 elevados a su menor exponente, 9 6 15 2 9 3 15 3 Ejemplo 1: 3 1 5 3 Hallar el M.C.D de: 24a2b ; 18a3bx ; 30a4bx2 1 1 5 5 1 1 1 Resolución: M.C.M = 25 . 32 . 5 = 1440 M.C.M = 1440 x4 y5 z7 24 18 30 2 12 9 15 3 TAREA DE CLASE 4 3 5 2.3=6 1. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x2 + 7x + 12 Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b Q(x) = x2 + x – 6 MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M) Para calcular el M.C.M de dos o más Rpta. expresiones se factorizan estas y el M.C.M se formará con los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 2. Hallar el M.C.D. de: 2 Ejemplo 1: P(x) = x + 4 3 3 4 4 2 2 3 Hallar el M.C.M de 72x y z ; 96x y x ; Q(x) = x – 8 120x4y5z7 22
  • 24. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” 3 2 Rpta. R(x) = x + 4x + 5x + 2 Rpta. 3. Hallar el M.C.D. de: 9. Hallar el M.C.M. de: 4 4 P(x) = x3 – 1 P(x,y) = x – y 2 Q(x) = ax + ax + a Q(x,y) = 2x 2 – xy – y2 R(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2 Rpta. Rpta. 4. Hallar el M.C.D. de: 10. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x3 – x2 + x – 1 P(x,y,z) = xz + yz + x + y 2 Q(x) = (x4 – 1) Q(x,y,z) = x + xy + zy + xy Rpta. Rpta. 5. Hallar el M.C.M. de: P(x) = x2 + 7x + 10 11. Hallar el M.C.M. de: Q(x) = x2 + 6x + 5 A = z2x2 – 2x2 – 3z2 + 6 B = (z4 – 4) (x4 – 6x2 + 9) Rpta. Rpta. 12. Hallar el M.C.D. de: A = m3 + p3 6. Hallar el M.C.M. de: B = m2 + 2mp + p2 P(x) = x3 – 64 2 C = m + mp + mq + pq Q(x) = x2 – 16 13. Hallar el M.C.M. de: P = x2 – 2x – 15 Rpta. Q = x2 – 25 R = 4ax2 + 40ax + 100a 7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de: Rpta. 4 2 3 P(x,y,z) = 2x y z Q(x,y,z)= 8x 2y6 5 7 4 14. Hallar el M.C.D. de: R(x,y,z) = 6x y z 3 2 P(x) = x + x – 4x – 4 Q(x) = x3 + 3x2 + 2x Rpta. Rpta. 8. Hallar el M.C.D. de: 3 2 P(x) = x + 3x + 3x + 1 15. Hallar el M.C.D.: Q(x) = x2 + x2 – x – 1 P(x) = x3 – 1 23
  • 25. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia” Q(x) = x4 + x2 + 1 P(x,y,z) = 12x y z 5 3 4 Q(x,y,z) = 4x4y2 6 4 3 Aprendiendo a resolver…..resolviendo Q(x,y,z) = 6x . y . z 1. Hallar el M.C.D. de: 2 P(x) = x + 5x – 24 a) 4x4y3; 12x6y4z4 3 4 4 6 4 2 Q(x) = x + 4x – 21 b) 4x y ; 12x y z 2 5 6 c) 4xy ; 12x y .z d) 4x5y3; 12x6y3z2 a) x + 8 b) x + 7 c) x – 3 e) 4xy; 12xyz d) x + 3 e) x + 1 8. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 2. Hallar el M.C.D. de: Q(x) = x3 + 2x2 – x – 2 2 P(x) = x – 9 3 R(x) = x + 4x + 5x + 2 2 Q(x) = x3 – 27 a) x – 2 b) x – 1 c) x + 3 a) x + 3 b) x – 3 c) x – 92 d) x + 2 e) x + 6 d) x + 9 e) 1 9. Hallar el M.C.D. de: 3 3 3. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x – a A(x,y) = x6 – y6 Q(x) = pz2 + pax + pa2 B(x,y) = x3 – y3 a) x2 + ax + a2 b) x2 – ax + a2 c) x2 + 2ax + a3 d) x2 + bx + 2 10. Hallar el M.C.D. de: a) x + y b) x2 + x – y P(x) = x3 + x2 – x – 1 c) x – y d) x + 2y 4 Q(x) = (x – 1) e) y – x a) x + 1 b) x – 1 c) x4 + 1 d) x4 e) x2 – 1 4. Hallar el M.C.D. de: P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y FRACCIONES ALGEBRAICAS Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y Fracción algebraica.- Es toda expresión de la forma: a) x – y b) y + z c) x + y d) z + y e) z + 1 P (X ) Numerador 5. Hallar el M.C.M. de: Q (X ) Denominador P(x) = x2 + 4x + 3 2 Q(x) = x + 6x + 9 Donde Q(x) ≠ 0 3 2 a) x + 7x + 15x + 9 3 2 b) x + 7x + 15x + 1 Simplificación de Fracciones algebraicas 3 2 c) x +x +3 d) x3 + 1 e) x–1 Una fracción algebraica es reducible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se 6. Hallar el M.C.M. de: pueden dividir por un mismo factor. P(x) = x3 – 125 Q(x) = x2 – 25 Ejemplo: 1 Dar como respuesta la suma de coeficientes: a) 744 b) 644 c) –744 36 x 3 y 6 3x12 x.x 2 y 6 3x 2 3x 2 d) –644 e) 125 24 xy 8 2 x12 xy 6 . y 2 2 y2 2 y2 7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de: 24