Ejercicio Resuelto

1. Sistema binario
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que
los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que
se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por
lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
Pasar de un Decimal a binario
Ejemplo 1.
El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la
siguiente manera:
Entonces se suma los números 64, 16 y 2:
Pasar de un número decimal a binario
Se divide el número entre dos y se divide hasta que se terminen los valores enteros
luego el cociente que sale se divide entre dos y así hasta que el cociente quede con el
resultado de 1. Luego empezando desde abajo se coge ese cociente y todos los restos
que han ido saliendo y se juntan:
Ejemplo 1.
68 2 Tras realizar la división, se coge desde el cociente (1)
0 34 2 y se va subiendo cogiendo los restos y queda entonces
0 17 2 este resultado: 1000100 y así se representa el 68
1 82 en binario. Siempre serán cifras de 1.
042
0 22
01 1000100

2. Otra forma
Ejemplo 2.
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 2
131 dividido por 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido por 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido por 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido por 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1
Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011
Ejemplo 3.
Transformar el número decimal 100 en binario:
100 |_2
0 50 |_2
0 25 |_2
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1 |_2
10 -> (100)10 = (1100100)2
Pasar de un número decimal a octal
Se hace lo mismo que con los binarios solo que dividiéndolos entre ocho:
Ejemplo 1.
68 |_8 Tras realizar la división y hacer el mismo proceso que
4 8 |_8 antes, el número 68 en octal se representa en 104.
01 Siempre serán cifras entre 0 y 7.
104

3. Pasar un número de Binario a octal
Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al
terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111
Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7
3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.
Ejemplos 1.
110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:
111 = 7
110 = 6
Agrupe de izquierda a derecha: 67
11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:
111 = 7
001 = 1
11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3
Agrupe de izquierda a derecha: 317
1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:
011 = 3
000 = 0
1 entonces agregue 001 = 1
Agrupe de izquierda a derecha: 103
Pasar un número decimal a hexadecimal
Se hace lo mismo que con los binarios y octales solo que dividiéndolos entre dieciséis.
Ahora aquí hay que tener una cosa: A partir del 10 (incluyéndose éste), se enumeran los
números con las letras del abecedario por su orden. Entonces quedaría así:

4. 0=0
1=1
2=2
3=3
4=4
5=5
6=6
7=7
8=8
9=9
10 = A;
11 = B;
12 = C;
13 = D;
14 = E;
15 = F
Ejemplo 1.
68 |_16 Queda entonces que el número 68 en hexadecimal se representa
44 con el 44. Siempre serán cifras entre 0 y 14 ( o sea, entre cero y F ).
44
Ejemplo 2.
872139|_16
11 54508|_16
12 3406|_16
14 212|_16
4 13
R// 13 4 14 12 11
D 4 E C B
Prueba del ejercicio.
160 =
11 B 1 X 11 = 11 = 11
161 =
12 C 16 X 12 = 11 = 192
162 = 256 X 14 = 11 =
14 E 3584
163 = 4096 X 4 = 11 = 16384
4 4
164 = 5536 X 13 = 11 = 851968
13 D
892139

5. Tabla del Sistema decimal, Binario, Octal y Hexadecimal
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
Operaciones binarias
Suma de números Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10 (lleva 1)
Ejemplo 1.
10011000
+ 00010101
10101101

6. Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y
después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema
decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10,
entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este quot;1quot; se llama acarreo o
arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y
seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).
Ejemplo 2.
16 8 4 2 1
15 1 1 0 1 1
+12
24
27
26
1111
27
+ 1100
11011
Ejemplo 3.
25
+ 18
43
25 dividido por 2 da 12 y el resto es igual a 1
12 dividido por 2 da 6 y el resto es igual a 0
6 dividido por 2 da 3 y el resto es igual a 0
3 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 1
1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1
Ordenamos los restos, del último al primero: 11001
18 dividido por 2 da 9 y el resto es igual a 0
9 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 1
4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1
Ordenamos los restos, del último al primero: 10010

7. 11001
+ 10010
101011
32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1
40
42
43
Resta de números Binarios
El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación
binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman
minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada
de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema
decimal, 2 - 1 = 1.
Ejemplo 1.
17 00111
- 10 - 01010
7 10001

8. Ejemplo 2.
217 11011001
- 10101011
- 171
—————
46 00101110
Prueba del ejercicio
128 64 32 16 8 4 2 1
0 0 1 0 1 1 1 0
40
44
46
Ejemplo 3.
100100
36
- 110
———
-6
011110
30
Comprobación del ejercicio
32 16 8 4 2 1
0 1 1 1 1 0
24
28
30

9. Multiplicación de números binarios
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se
lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1
es el elemento neutro del producto.
Ejemplo 1.
22
128 64 32 16 8 4 2 1
x9
1 1 0 0 0 1 1 0
198
10110 192
x 1001
196
10110
00000
198
00000
10110
11000110
Ejercicio 2.
12
x4
48 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 0
1100
x 100 48
0000
0000
1100
110000
División de números binarios
La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer
las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.

10. Ejemplo 1.
32 |_2 En binario es 100000 |_10
100000 |_10
16 8 4 2 1
10 10000
1 0 0 0 0
000000
16
16 x 2 = 32
Conversión entre binario y octal
Ejemplos
0010110101101101
8 4 2 1 8 4 21 8 4 2 18 4 2 1
2 12 6 12
13 13
2 13 6 13
R// 2 D 6 D