Pembelajaran Trigonometri dengan peta konsep beserta Lembar kerja siswa

1. TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH
MENENGAH I
“trigonometri”
Oleh
` Dia Marsella (06101408004)
Nurjannah Komariah (06101408019)
R.A. Muslimah (06101408020)
Marhamah Fajriyah N (06101408033)
TAHUN AJARAN 2012-2013
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
KATA PENGANTAR
TRIGONOMETRI 1

2. Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan rahmat dan
karunia-Nya, kami dapat menyelesaikan tugas Statistika Dasar yang berjudul
“Trigonometri” ini.
Kami menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini tidak lepas dari bantuan
berbagai pihak dan yang utama Allah SWT, untuk itu kami menghaturkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan
makalah ini.
Kami juga menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini masih jauh dari
kesempurnaan baik dari isi materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, kami
telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga tugas
ini dapat selesai dengan tepat waktu. Oleh karena itu, kami dengan kerendahan hati akan
menerima masukan dan usul yang bermanfaat untuk penyempurnaan makalah ini.
Akhirnya, kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh
pembaca.
Palembang, 22 Desember 2011
Hormat Kami
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR 1
DAFTAR ISI 2
TRIGONOMETRI 2

3. Trigonometri 4
A.Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku 4-7
B. Aplikasi Trigonometri 7
B.1 Aturan Sinus 7 - 10
B.2 Aturan Kosinus 11 -14
B.3 Luas Segitiga 14 -
15
B.4 Koordinat Kutub 15 - 16
C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Khusus 17
C.1 Sudut 30°, 45°, dan 60° menggunakan segitiga 17 - 18
siku-siku atau segitiga samakaki
C.2 Sudut 0° dan 90° menggunakan koordinat kartesius 18 - 19
C.3 Nilai Trigonometri Sudut di berbagai Kuadran 19 - 23
D. Grafik dan Fungsi Trigonometri 24 - 25
D.1 Grafik y = sin x , 0 ≤ x ≤ 360o 25 -
26
D.2 Grafik y = cos x , 0 ≤ x ≤ 360o 26
D.3 Grafik y = tan x, 0 ≤ x ≤ 360o 27
D.4 Grafik fungsi y = b +a (sin/ cos/ tan) kx 27 -
28
E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 29
E.1 Persamaan trigonometri 29
E.1.1 Persamaan trigonometri sederhana 29 - 30
E.1.2 Persamaan Trigonometri Kompleks 31 - 32
TRIGONOMETRI 3

4. E. 2 Pertidaksamaan Trigonometri 32 - 35
F. Identitas Trigonometri 35 -
37
G. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut 37
G.1 Sin (α ± β) 37 -
38
G.2 Cos (α ± β) 38 - 39
G.3 Tan (α ± β ) 40 - 42
G.4 Rumus –rumus Sudut Ganda 43 - 45
G.5 Rumus Sudut Paruh 45 - 47
G.6 Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri 47 - 49
G.7 Rumus Jumlah dan Selisih Sin dan Cos Fungsi Trigonometri 49 - 50
Daftar Pustaka 51
TRIGONOMETRI 4

5. TRIGONOMETRI 5

6. TRIGONOMETRI 6

7. TRIGONOMETRI
A.Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku
A
= Besar sudut A
• Sinus
Perbandingan sisi Δ :
Δ
= = =
= = = = Sin
• Kosinus
Perbandingan sisi Δ :
Δ
= = =
TRIGONOMETRI 7

8. = = = = Cos
• Tangen
Perbandingan sisi Δ :
Δ
= = =
= = = = Tan
Selain perbandingan di atas, terdapat pula perbandingan trigonometri yang
lain yang merupakan kebalikan dari sinus, kosinus, dan tangen yaitu :
• Cosec =
• sec = Jembatan Keledai
Sin = Cos =
• Cotan = T
Tan =
Contoh Soal :
Sebuah segitiga siku-siku ABC , seperti yang terlihat di gambar :
A
TRIGONOMETRI 8

9. B C
memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm. Hitung Sin , Cos , dan Tan ,
Bila adalah besar sudut C.
Jawab :
AC =
=
=
= =5
Sin =
Cos =
Tan =
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai sin A, cos A, dan tan A pada setiap segitiga berikut ini:
a. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 5 cm, CB= 12 cm, dan AB= 13 cm.
b. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 4 cm, CB= 3 cm, dan AB= 5 cm.
c. Segitiga ABC siku-siku di B, jarak AC= 17 cm, CB= 8 cm, dan AB= 15 cm.
d. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 40 cm, CB= 9 cm, dan AB= 41 cm.
2. Gunakan theorema phytagoras untuk menentukan panjang sisi yang belum diketahui,
kemudian tentukan nilai sinus, kosinus, dan tangent sudut P dan Q segitiga berikut ini:
TRIGONOMETRI 9

10. a. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PQ= 6 cm, RQ= 8 cm.
b. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PR= 3 cm, RQ= 1 cm.
c. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PQ= 61 cm, RQ= 60 cm.
d. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PR= 3 cm, PQ= cm
3. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku cos A = . Jika panjang sisi AB=10
cm, tentukan panjang siisi AB dan BC.
4. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Jika panjang sisi AB =
cm, tentukan panjang sisi AC dan BC.
5. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Tentukan nilai cos A dan tan
A.
6. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku tan A = . Tentukan nilai sin A dan
cos A.
7. Pada segitiga PQR yang siku-siku di Q berlaku sin P = . Tentukan nilai sin R.
8. Pada segitiga PQR yang siku-siku di R berlaku cos P = . Tentukan nilai tan P dan tan
Q.
9. diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 20 cm, QR= 16 cm, dan PR = 24 cm
seperti terlihat pada gambar. Hitunglah cos Q dan tan R! R
P Q
10. Tentukan nilai trigonometri dalam sudut-sudut radian berikut.
a. Sin ᴨ b. Cos ᴨ
c. Tan ᴨ d. Cos ᴨ
TRIGONOMETRI 10

11. 11. Sebuah segitiga siku siku, seperti pada gambar :
C
B A
merupakan besar sudut A, AC = 15 cm dan BC = 12 cm
Hitunglah : Sin , Cos , Tan , Sec , Cosec , Cotan !
B. Aplikasi Trigonometri
B.1 Aturan Sinus
Kita telah mempelajari dan mengetahui cara menghitung unsurS-unsur yang ada
pada segitiga siku-siku. Pada pembelajran berikut ini, kita akan membahas tentang aturan
sinus pada segitiga sembarang.
Misalkan segitiga ABC, dengan panjang AC = 4, < A = 30o, dan < B = 70o. Kita
akan mencari panjang sisi BC. Tentu kita kita tidak dapat menghitung panjang BC secara
langsung dengan perbandingan trigonometri karena segitiga ABC bukan segitiga siku-
siku. Untuk itu kita bagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku, yaitu dengan
menarik garis tinggi CD.
Pada Segitiga siku-siku ACD berlaku :
TRIGONOMETRI 11

12. Atau
CD = (4)
CD = 2
Pada Segitiga siku-siku BCD berlaku :
Atau
Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah di atas, pada segitiga sembarang kita
gunakan aturan sinus. Perhatikan Gambar berikut :
Pada gambar tersebut, segitiga ABC yang ada adalah segitiga lancip dan tumpul.
Pada masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h.
< CAD = 180o – A dan sin < CAD = sin (180o – A ) = sin A.
Untuk kedua segitiga kita dapatkan:
atau h = b sin A
Dan
atau h = a sin B
TRIGONOMETRI 12

13. Sehingga a sin B = b sin A
Dengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B diperoleh :
Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan cara yang sama diperoleh :
Gabungan dari kedua persamaan di atas kita peroleh aturan sinus berikut ini yaitu :
Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C
serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah
a
a,b, dan c berlaku :
Contoh Soal :
Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC jika A = 30o , B = 70o , dan a = 4 .
Penyelesaian :
Sketsa segitiga ABC, dengan menentukan sudut C dengan mudah ditentukan, yaitu
C = 180o – A – B = 180o – 30o – 70o = 80o .
Untuk mencari b, kita gunakan pasangan pertama dan kedua dalan aturan sinus, yaitu :
Atau
TRIGONOMETRI 13

14. Kita gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c,
Atau
Jadi, C = 80o , b = 7,52 , dan c = 7,88 .
Latihan Soal :
1. Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika diketahui hal berikut ini ?
a. A = 110o , C = 20o , b = 6
b. C = 70,5 , b = 30,7 , B = 28,97o
c. A = 12 , b = 5 , B = 24o
d. a+b+c = 100 , A = 42o , B = 106o
e. a+b = 40, C = 68o , A = 75o
2. A dan B merupakan 2 titik yang terletak pada tepian sungai yang lurus dengan jarak A
ke B adalah 50 m . Titik C terletak pada tepian lain sehingga <CAB = 43o dan <CBA = 71o
. Tentukan jarak titik C ke A , jarak titik C ke B, dan lebar sungai ?
B.2 Aturan Kosinus
Misalkan dketahui Segitiga ABC seperti gambar (a) dibawah ini, dapatkah kita
menghitung besarnya A dengan aturan sinus yang telah kita pelajari sebelumnya? dan
pada gambar (b) , Dapatkah kita menghitung panjang sisi a dengan aturan sinus yang telah
kita pelajari sebelumnya?
TRIGONOMETRI 14

15. Ternyata kita tidak dapat menggunakan aturan sinus secara langsung untuk
menjawab kedua masalah diatas, sehingga kita perlu aturan lain yang disebut aturan
kosinus.
Perhatikan Segitiga ABC ini :
Dari titik C kita tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dan
segitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
ADC, maka diperoleh :
atau
AD = AC x cos A = b cos A
Selain itu, berdasarkan teorema Phytagoras, berlaku :
DC2 = AC2 – AD2
= b2 –( b cos A )2
= b2 – b2 cos 2 A
Pada Segitiga siku-siku ABC berlaku :
BC2 = DC2 + BD2
= b2 – b2 cos2 A + ( BA-AD )2
= b2 – b2 cos2 A + ( c-b cos A)2
= b2 – b2 cos2 A + c2 – 2 bc cos A + b2 cos2 A
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
TRIGONOMETRI 15

16. Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus :
b2 = a2 + c2 – 2ac cos A
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Sehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini :
Pada Segitiga ABC dengan sudut-sudutnya
A,B, dan C sera sisi-sisi di hadapan sudut
tersebut berturut-turut adalah a,b, dan c
berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos A
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Contoh Soal :
Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika c = 10, b = 40 , dan A = 120o .
Penyelesaian :
Dengan aturan Kosinus ,
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
= 402 + 102 – 2(40) (10) cos 120o
= 1600 + 100 – 800 (-0,5)
= 2100
a = 45,825 .
Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih mudah jika kita
gunakan aturan sinus . Untuk C kita cari dengan rumus , sehingga
TRIGONOMETRI 16

17. Jadi, C = 10,89o ( sudut C harus lancip karena A sudut tumpul ). Selanjutnya B = 180o – A
– C = 180o – 120o – 10,89o = 49,11o.
Latihan Soal :
1. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC, jika diberikan data
berikut ini ?
a. a = 10, c = 15 , B = 120o
b. a = 20 , b = 40, C = 28o
c. b = 7, c = 13, A = 135o
d. a = 7, b = 4, c = 1
e. a = 15, b = 8, c =16
f. a = 7, b = 8, c = 9
g. a = 10, c = 9, B = 62o
h. a = 5, b = 7, c = 9
i. a = 2, c = 3, B = 60o
j. b = 5, c = 8, A = 40o
2. Sisi –sisi pada segitiga ABC berbanding sebagai 6:5:4 . Tentukan kosinus sudut yang
terbesar dari segitiga tersebut ?
B.3 Luas Segitiga
Kita mengetahui bahwa luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus
½ x a x t . Selanjutnya dari rumus tersebut kita kan menurunkan rumus untuk menghitung
luas segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri. Perhatikan Segitiga lancip
ABC di bawah ini.
TRIGONOMETRI 17

18. Luas Sigitiga ABC tersebut dapat ditulis sebagai
Pada Segitiga siku-siku ADC berlaku atau t = b sin A, sehingga
luas segitiga ABC menjadi .
Pada segitiga siku-siku BDC berlaku atau t = a sin B , sehingga
Luas segitiga ABC menjadi
Selanjutnya dari aturan sinus pada segitiga ABC, yaitu atau
maka persamaan terakhir menjadi
Dari hasil di atas, kita peroleh rumus luas segitiga sebagai berikut :
Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A,B dan
C serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-
t
turut adalah a, b, dan c, maka berlaku :
Contoh Soal :
Diketahui segitiga ABC dengan a = 10, b = 8, dan C = 60o. Tentukan luas segitiga ABC
tersebut ?
Penyelesaian :
Dari rumus L = ½ ab sin C , diperoleh :
Latihan Soal :
1. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui data berikut ini ?
TRIGONOMETRI 18

19. a. a = 5, b = 7, A = 45o
b. a = 5, A = 60o, C = 45o
c. b = 6, c = 8, A = 20o
d. a = 25, b = 12, A = 120o
e. a = 7, b =8, c = 9
f. a = 10, b = 12, c = 14
2. Diketahui luas segitiga ABC adalah 5/2 √15 cm2. Misalnya panjang sisi AC = 5 cm, AB
= 4 cm, dan <BAC lancip. Tentukan panjang BC ?
3. Panjang sisi jajargenjang adalah 8 cm dan 13 cm, serta salah satu sudutnya 120o.
Tentukan luas jajargenjang tersebut ?
4. Diketahui segi empat ABCD dengan <A = 90o, AB = 12 cm, AD = 6√2 cm, CD = 18
cm, dan <BDC = 45o. Tentukan Luas segi empat tersebut ?
B.4 Koordinat Kutub
• Kordinat kartesius suatu titik
Koordinat kartesius dari titik A dinyatakan sebagai titik A(x,y) di mana x disebut
absis yaitu jarak A ke sumbu y dan y disebut ordinat yaitu jarak A ke sumbu x.
• Koordinat kutub suatu titik
Koordinat kutub suatu titik A dinyatakan sebagai A (r, αo).
Dimana: r : OA = jarak A ke titik O (0,0)
αo = sudut yang dibentuk antara OA dengan sumbu x positif.
TRIGONOMETRI 19

20. • Hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius
a. Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat kutub
P (x,y) = P (r,αo)
r = √x2 + y2
tan α = y /x
b. Mengubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius
P (r, αo) = P (x,y)
x = r cos α
y = r sin α
C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Khusus
Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut yang nilai perbandingan
trigonmetrinya dapat ditentukan secara eksak (tepat). Beberapa sudut khusus antara lain
0°, 30°, 45°, 60° dan 90°. Ada beberapa macam cara untuk menentukan besar sudut
khusus, antara lain:
C.1 Sudut 30°, 45°, dan 60° menggunakan segitiga siku-siku atau segitiga samakaki
TRIGONOMETRI 20

21. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30°, 45°, atau 60° dihitung dengan
memperhatikan segitiga khusus yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku samakaki.
A
c b c
B a C a D
Gambar diatas menunjukkan segitiga ABC siku-siku di C, dengan sudut BAC =
30° dan sudut ABC = 60°. Apabila segitiga ABC dicerminkan terhadap sisi AC, maka
diperoleh segitiga ACD. Gabungan segitiga ABC dan segitiga ACD, yaitu segitiga ABD
merupakan segitiga sama sisi denganc =2a. berdasarkan dalil phytagoras, dalam segitiga
ABC berlaku:
c² = a² + b²
(2a) ² = a² + b²
b² = 3a²
b =a
Dengan demikian, dapat diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagau berikut:
 Sin = = sin 30° = =
TRIGONOMETRI 21

22.  Cos = = cos 30° = =
 Tan = = cos 30° = =
 Sin 60° = =
 Cos 60° = =
 Tan 60° = = =
C.2 Sudut 0° dan 90° menggunakan koordinat kartesius
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0° dan 90° dihitung dengan
memperhatikan perbandingan trigonometri dalam koordinat kartesius.
Y
O P(a,0) X
Agar sudut XOP = 0°, maka titik P terletak di sumbu X positif. Misalkan koordinat
titik P adalah (a, 0). Maka x = a, y = 0, r = =a
sin 0° = = = 0 cos 0° = = = 1
tan 0° = = = 0 (coba hitunglah nilai cot 0°, sec 0°, dan csc 0°)
Y
P(0,b)
O X
TRIGONOMETRI 22

23. Agar sudut XOP = 90°, maka titik P terletak di sumbu Y positif. Misalkan
koordinat titik P adalah (0, b). maka x = 0, y = b dan r = b
Sin 90° = = = 1
Cos 90° = = = 0
Tan 90° = = = undefined / ta terdefinisi
(cobalah hitung nilai cot 90°, sec 90°, dan csc 90°)
Dari uraian diatas, kita memperoleh nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut
khusu yang dapat dilihat dalam table berikut.
α 0° 30° 45° 60° 90°
Sin α 0 1
Cos α 1 0
Tan α 0 1 Tak
terdefinisi
C.3 Nilai trigonometri sudut di berbagai kuadran
Y
Kuadran II Kuadran I
O X
Kuadran III Kuadran IV
Bidang koordinat XOY dibagi menjadi empat kuadran adalah sebagai berikut.
TRIGONOMETRI 23

24.  Kuadran I : 0° < α ≤ 90°
 Kuadran II : 90° < α ≤ 180°
 Kuadran III : 180° < α ≤ 270°
 Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°
Kuadran Pertama:
Segitiga OPP’ siku-siku di P’. Y
P(x,y)
r y
O x P’ X
r² = x² + y² cos α =
tan α = sin α =
Kuadran kedua:
Segitiga OPP’ siku-siku di P’
Sin (180° – α) = = sin α P 180° - α
(x,y)
Cos (180° – α) = = - cos α y r
Tan (180° – α) = = -tan α P’ -x O X
TRIGONOMETRI 24

25. Kuadran ketiga: Y
Segitiga OPP’ siku-siku di P’ (x,y)
Sin (180° + α) = = -sin α 180° + α
Cos (180° + α) = = -cos α P’ O X
Tan (180° + α) = = tan α -y r
P
Kuadran keempat: (x,y)
Sin (360° - α) = = - sin α 360° - α
Cos (360° - α) = = cos α O P’ X
Tan (360° - α) = = - tan α r -y
P
Jembatan Keledai
Semua sindikat tangan kosong
(dikuadran pertama semua +,
kuadran kedua sin (+), kuadran
ketiga tan (+), dan kuadran keempat
Contoh Soal
1. Jika P(-5,12) dan sudut XOP = α, maka tentukan nilai dari sin α, cos α, dan tan α
Jawab:
Y
r
TRIGONOMETRI 25

26. X
Sin α = =
Cos α = =
Tan α = =
Latihan Soal
1. Diketahui sin α = dan α berada di kuadran II. Tentukan nilai cos α dan tan α.
2. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP dan:
a. P (8,6)
b. P (-3,-4)
c. P (-8,15)
d. P (12, -5)
3. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika :
a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I,
TRIGONOMETRI 26

27. b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran III,
c. Sin α = dan sudut α terletak di kuadran IV,
d. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II.
4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut ini positif atau negative!
a. Sin 140° e. tan 208° i. cos
b. Cos 240° f. sin 215° j. cos
c. Tan 120° g. sin k. tan
d. Cos 113° h. tan l. sin
5. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP. Nyatakan jawabanya dalam
bentuk akar yang paling sederhana!
a. P (1,1) d. P (-3, -1)
b. P (-2 , -2) E. P (-1,
c. P (-3,3)
6. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika:
a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I,
b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II,
c. Tan α = -2 dan sudut α terletak di kuadran II,
d. Sin α = dan sudut α terletak di kuadram III,
e. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran III.
TRIGONOMETRI 27

28. 7. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut positif atau negative!
a. Cos 640° b. Sin 820°
c. Tan 520° d. Cos 714°
e. Tan 910° f. Sin 1.089°
8. Tentukan letak sudut β jika:
a. Sin β dan cos β bernilai negatif
b. Sin β bernilai negatif dan cos β bernilai positif
c. Sin β dan tan β bernilai negatif
d. Cos β dan tan β bernilai tanda
9. Diketahui tan α = dan α berada dikuadran III. Tentukan nilai sin α dan cos α.
10. Cocokkan trigonometri sudut berikut dengan hasil yang ada di sampingnya
Sin (-150°) 1
Cos 135°
Tan 225°
Cos 300°
Sin 330°
Cos 450° 0
Tan 660° -
Sin 870° -
Sin(-45°) -
Cos (-135°) -
Tan (-390°) - 1
Sin (-1.260°) -
D. Fungsi Trigonometri dan Grafik Fungsi Trigonometri
TRIGONOMETRI 28

29. D.1 Fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri adalah fungsi-fungsi yang berhubungan dengan ilmu
trigonometri, yaitu antara lain :
sin(sudut), mencari nilai sinus sebuah sudut
cos(sudut), mencari nilai cosinus sebuah sudut
tan(sudut), mencari nilai tangen sebuah sudut
Bentuk umum fungsi trigonometri adalah f(x)= sin x, f(x)= cos x, dan f(x)= tan x
Contoh soal :
1. Jika f (x) = siin x tentukan :
a. f( )=
b. f( )=
Jawab :
a. f( )=
b. f( )=
2. Jika f(x) = cos x tentukan f( )
Jawab :
F( )= 1
3. Diketahui sin α = berapakah sin α cos α – 3 cot(90 + α)
Jawab :
1
Sin α cos α- 3 cot α (90 + α)
Sin α cos α + 3 tan α = ( + + (3 x x )
=
TRIGONOMETRI 29

30. Latihan Soal :
1. Tentukan nilai dari f( , jika f(x)=tan x
Tentukan nilai dari
Berdasarkan definisi dari trigonometri dan rumus-rumus trigonometri yang berelasi
dapat digambarkan beberapa grafik yaitu:
A. y = sin x
B. y = cos x
C. y = tan x
Pada pembahasan kali ini untuk memudahkan kita dalam menggambarkan grafik kita
menggunakan lingkaran satuan dengan menggunakan sudut-sudut istemawa yang ada pada
lingkaran yaitu antara –
D.2 Grafik y = sin x , 0 ≤ x ≤ 360o
Langkah langkah membuat gafik fungsi y = sin x antara lain:
1. Buatlah table yang berisikan nilai sudut-sudut istimewa
x 0 Π 2
Sin x 0 1 0 - - - - - - 0
1
2. Buat lingkaran satuan dengan sebuah sumbu koordinat dengan abisisnya X dimana r
= 1 dan untuk setiap sudut X , sin x = = = y
TRIGONOMETRI 30

31. 3. Buat titik-titik pada sumbu x berdasarkan nilai sudut-sudut istimewa nya seperti
yang ada pada table.
4. Buatlah titik-titik ujung jari-jari berdasarkan sudut istimewanya.
5. Jika sepanjang sumbu X diletakkan nilai-nilai sudut istimewa padainterval 0 ≤ x≤ 2π
kemudian dibuat garis-garis vertikal sejajar sumbu-Y kemudian dibuat garis-garis
vertikal sejajar sumbu-Ydiperoleh hasil sebagai berikut
6. Dengan menentukan titik-titik potong antara garis-garis pada langkah1) dan langkah
2) yang bersesuaian, dan melalui titik-titik tersebutdilukis kurva mulus, diperoleh
grafik fungsi sinus pada interval[0, 2π]
Contoh Gambar grafik Fungsi y = sin x dengan lingkaran satuan
D.3 Grafik y = cos x , 0 ≤ x ≤ 360o
1. Buatlah table yang berisikan sudut – sudut istimewa
x 0 π 2
Cos x 1 0 - - - - - 0 1
1
2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti langkah membuat table y = sin x
Contoh gambar grafik fungsi y = cos x menggunakan lingkaran satuan.
TRIGONOMETRI 31

32. D.4 Grafik y= tan x, 0 ≤ x ≤ 360o
1. Buatlah table yang berisikan sudut-sudut istimewa tan x
x 0 π 2
Tan x 0 1 ~ -1 0 - 1 - - 0
2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti pada y = sin x
Contoh gambar y = tan x menggunakan lingkran satuan.
D. 5 Grafik fungsi y = b +a (sin/ cos/ tan) kx
Langkah-langkah membuat grafik :
1. Tentukan nilai max dan min dari fungsi di atas, dengan rumus :
TRIGONOMETRI 32

33. Max = b + ӀaӀ Min = b – ӀaӀ
2. Tentukan nilai 1 perioda dari fuungsi di atas, dengan rumus :
1 perioda =
3. Buat grafik sumbu x dan ya. Pada sumbu x dibagi menjadi beberapa titik dan
setiap titik di tuliskan angka-angka sudut istimewa sedangkan pada sumbu y
dituliskan nilai max dan min.
4. Setiap titik yang di isikan sudut istimewa pada sumbu x dimasukkan nilai dari
sudut istimewa tersebut setelah itu akan di dapatka titik-titik dari nilai sudut,
kemudian titik tersebut kita hubungkan menjadi maka akan terbentuklah sebuah
grafik,
Contoh Soal:
1. Lukislah grafik y = sin x pada interval
Jawab :
2. Gambarlah grafik fungsi y = cos x pada interval ≤x≤
Jawab :
TRIGONOMETRI 33

34. 3. Gambarlah grafik dengan y = 2 + sin 3x pada interval
Jawab :
Latihan Soal :
1. Lukislah setiap grafik fungsi pada interval –π ≤ x ≤ π
a. y = sec θ
b. y = tan θ
2. Lukislah grafik dengan interval 0 ≤ θ ≤ 2π
a. Y = cot θ
b. Y = sec θ
c. Y = cosec θ
3. Lukislah grafik dengan y = tan x pada interval -
4. Lukislah grafik cos x dengan y = 4 – cos 5x
TRIGONOMETRI 34

35. E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
E.1 Persamaan trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi
trigonometri.
Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah :
a. sin x = sin α, maka = α + k. 360
= (180 - α) + k. 360
b. cos x = cos α, maka = ±α + k. 360
c. tan x = tan α, maka x = α + k. 180
E.1.1 Persamaan trigonometri sederhana
Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan trigonometri yang nilainya
mempunyai batasan nilai atau rentang nilai.
Contoh :
Tentukan nilai x dari persamaan sin x = , 0 x 360°
Jawab :
• Dengan menggunakan aljabar
sin x =
sin x = sin α
sin x = sin 30
= α + k. 360
Untuk k = 0 maka
TRIGONOMETRI 35

36. = 15 + 0. 360
= 15
= (180 - α) + k. 360
Untuk k = 0 maka
= (180 - α) + k. 360
= (180 - 30) + k. 360
= 150
HP = { 15, 150}
• Menggunakan grafik trigonometri
Gambar grafik y = sin x, adalah
Dari gambar dapat di lihat bahwa yang memenuhi sin x = adalah
dan atau sama dengan 15 dan 150.
Jadi HP= { 15,150}
E.1.2 Persamaan Trigonometri Kompleks
Persamaan trigonometri kompleks adalah persamaan trigonometri yang nilainya
mempunyai batasan nilai atau rentang nilai.
Contoh:
Tentukan nilai x dari persamaan Sin x = , x R
Jawab :
TRIGONOMETRI 36

37. Gambar grafik fungsi y = sin x untuk x R adalah
Jadi himpunan penyelesaiannya tak terhingga karena kurva bisa di perpanjang.
Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah semua anggota x yang dilewati .
Latihan Soal
Tentukan penyelasaian persamaan di bawah ini untuk 0 360
1. 2 cos 2x = 1
2. Sin x = 1
3. 2 sin x =
4. Cos x = -
5. Sin 2x =
6. Cos x =
7. Tan x = 1
8. Tan 2x =
9. 2cos x + =0
10. tan x + 1 = 0
11.
TRIGONOMETRI 37

38. 12. sin² x + 3 sin x + 2 = 0
13. cos 2x = cos x
14.
15.
Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 2
1.
2.
3.
4. Sin 2x = sin x
5. Sin x =cos x
6.
7. Tan x = cot 20°
8.
9.
10. Sec x = csc x
E. 2 Pertidaksamaan Trigonometri
Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan 2 cara,
yaitu:
1.Cara aljabar
2. Dengan trigonometri/grafik
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x < , 0 x < 180
Jawab :
TRIGONOMETRI 38

39. 1. Cara aljabar
Pembuat nol
Sin 2x =
Sin 2x = sin 30
2x = α + k. 360
2x = 30 + k.360
x = 15 + k.180
untuk k = 0
x = 15
2x = (180 - α) + k. 360
2x = (180 – 30) + k.360
2x = 150 + k.360
x = 75 + k.180
untuk k = 0
x = 75
- + -
0 15 75 180
Jd HP = { 0 x < 15 dan 75 < x 180 }
2. Dengan grafik
Grafik y = sin2x adalah
1
TRIGONOMETRI 39

40. 0 15 45 75 90 135 180
-1 Jadi, HP = 0 x < 15 75 < x 180
Latihan Soal
1. Untuk 0 360
1. 2 cos 2x – 1 0
2. Cos x <
3. Sin 2x < 1
4. Tan x < 1
5. 2 Sin x
6. Cos 2x <
7. Tan 2x >
8. Sin x
9. 2 Cos x >
10. Cos x
2. Untuk 0 360
a. 2 cos 2x = 1
b. Sin x =
c. 2 sin x =
3. Untuk 0 360
a. 2 cos 2x – 1 0
b. Cos x <
TRIGONOMETRI 40

41. c. Sin 2x < 1
F. Identitas Trigonometri
Pada pembelajaran sebelumnya, kita telah memperoleh hubungan dasar dari fungsi
trigonometri berikut ini :
Setiap persamaan di atas desebut identitas trigonometri, yaitu setiap persamaan di
atas bernilai benar untuk setiap θ dengan kedua ruasnya terdefinisi.
Untuk mendapatkan identitas trigonometri yang lain dapat dicari dengan kita
misalkan θ adalah sembarang sudut pada posisi standar dan titik (x,y) terletak pada kaki
sudut θ, maka :
θ
x2 + y2 = r2 ......... (1)
Jika kedua ruas dari persamaan (1) di atas berturut-turut kita bagi dengan r2 , x2 , dan y2 ,
maka diperoleh :
1.
TRIGONOMETRI 41

42. 2.
3.
Jadi identitas trigonometri di atas sebagai identitas trigonometri dasar yang akan
digunakan untuk menyederhanakan pernyataan yang memuat fungsi trigonometri atau
untuk membuktikan identitas trigonometri lainnya.
Contoh Soal :
Buktikan identitas sec θ – tan θ . sin θ = cos θ
Pembuktian :
Karena ruas kiri lebih kompleks, maka kita ubah rus kiri tersebut menjadi ruas kanan .
Sec θ – tan θ . sin θ =
Latihan Soal :
TRIGONOMETRI 42

43. Buktikan identitas berikut ini ?
a. Cot x . tan x = 1
b.
c.
d.
e.
G. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
G.1 Sin (α ± β)
Pada gambar 1.1 disamping, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC,
diketahui BAC = α, ABC = β, ABC = , dan panjang sisi-sisi AB = c, BC = α,
dan AC = b serta jari-jari OA = ½ , α + β ˂ .
Pada ∆ADO siku-siku di D:
OA = ½, AD = , dan AOD =
Maka:
Sin = =
Sin = c
Sehingga dengan cara yang sama diperoleh,sin α= a,sin β
=b.
Pada ∆AEC, EA = b cos α, dan pada ∆BEC, EB = a cos β
EA + EB = c
c = b cos α + a cos β
α+β+ =
Sehingga:
Sin = sin ( ) = sin = c
Sin
1.1
= sin β cos α + sin α cos β
Jadi,
Sin = sin α cos β + cos α sin β
Sedangkan untuk rumus sin (α – β), dapat dilakukan
dengan mensubstitusikan bentuk α – β = α + (-β).
Sin (α – β) = sin [ α + (-β)]
= sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
TRIGONOMETRI 43

44. = sin α cos β – cos α sin β
Jadi,
Sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Rumus sin (α – β) dapat juga diperoleh dari gambar 1.2
berikut :
1.2
G.2
G.2 Cos (α ± β)
1.3
Luas ∆ABC = Luas ∆ADC + Luas ∆BDC
½ab sin (
TRIGONOMETRI 44

45. Jadi,
Cos ( α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Pada gambar 1.4 (i), misalkan titik A(1,0). Jika α dan β menentukan letak
titik B(x1, y1), C(x2,y2) dan D(x 3.y3) pada lingkaran, 0 ˂ β ˂ α ˂ 2 , maka :
3
1.4
X1 = cos β, y1 = sin β
X2 = cos (α – β), y2 = sin (α – β)
X3 = cos α, y3 = sin α
Pada gambar 1.4 (ii), panjang busur AC = panjang busur BD. Sehingga
panjang tali busur AC dan BD sama panjang.
|AC| = |BD|
1+1-2 =1+1-2
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai diperoleh:
Cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Untuk mendapatkan rumus cos ( α + β ), dapat dilakukan dengan mensubstitusikan
TRIGONOMETRI 45

46. α + β = α –(-β).
Cos (α+β) = cos [α – (-β)]
= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)
= cos α cos β + sin α (-sin β),
Cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
G.3 Tan (α ± β )
1
TRIGONOMETRI 46

47. Latihan Soal :
1
.
2
3
4
5
TRIGONOMETRI 47

48. Soal :
2.
3.
4.
5.
6.
TRIGONOMETRI 48

49. G.4 Rumus-Rumus Sudut Ganda
Untuk setiap sudut α berlaku rumus – rumus :
1. Sin 2α = 2 sin α cos α
2. Cos 2α =
=2
= 1-
3. Tan 2α =
Bukti:
1. Sin 2α = sin (α + α)
= sin α cos α + cos α sin α
= 2 sin α cos α
2. Cos 2α = cos (α + α)
= cos α cos α – sin α sin α
=
TRIGONOMETRI 49

50. Dengan menggunakan rumus, dan rumus
maka akan kita peroleh:
=
= =2
Atau
=1-2
3. Tan 2 = tan (
=
=
Contoh Soal :
1
TRIGONOMETRI 50

51. 2
3
G.5 Rumus Sudut Paruh
Rumus untuk Sin θ
Perhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:
TRIGONOMETRI 51

52. cos 2α = 1 - 2 sin²α
2 sin²α = 1 - cos 2α
sin²α =
sin α = ±
Dengan mensubtitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh:
sin θ = ±
Rumus untuk Cos θ
Perhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:
cos 2α = 2cos² α – 1
2cos² α = 1 + cos 2α
cos² α =
Cos α = ±
TRIGONOMETRI 52

53. Dengan mengganti atau mensubstitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh:
Cos θ = ±
Rumus untuk tan θ
Substitusi sin θ = ± dan Cos θ = ± pada tan θ = ± ,
maka diperoleh tan θ = ±
Jadi,
tan θ = ±
Contoh Soal:
Hitunglah nilai eksak dari Sin ?
Jawab:
Sin = Sin =
= =
Jadi, nilainya
TRIGONOMETRI 53

54. Latihan Soal
1. Dengan menggunakan rumus sin θ Cos θ tan θ , hitunglah nilai eksak dari tiap
bentuk berikut.
a. cos
b. Tan
c. Sin
d. Sin 112 °
e. Cos 112 °
f. Tan 112 °
2. Misalkan α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = dan tan β =
hitunglah:
a. sin α
b. Cos α
c. tan α
d. sin β
e. Cos β
f. tan β
G.6 Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri
Untuk setiap sudut α dan β berlaku rumus –rumus berikut :
2 sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α – β ) ... (1)
2 cos α sin β = sin ( α + β ) – sin ( α – β ) ...(2)
2 cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α – β ) ...(3)
TRIGONOMETRI 54

55. 2 sin α sin β = -cos (α + β ) + cos ( α – β) ...(4)
Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan rumus – rumus yang telah
dipelajari.
Perhatikan rumus (1) berikut.
Ruas kanan
Sin ( α + β) + sin ( α - β )
= (sin α . cos β + cos α. Sin β) + ( sin α . cos β – cos α . sin β )
= sin α . cos β + cos α . sin β + sin α . cos β – cos α . sin β
= 2 sin α . cos β
= Ruas kiri
Kegiatan :
Agar lebih memahami rumus (2),(3),(4) di atas, buktikanlah secara berpasangan atau
individual dan bandingkan hasilnya dengan yang lain.
Contoh soal :
TRIGONOMETRI 55

56. Latihan Soal :
1
2
3
G.7 Rumus Jumlah dan Selisih Sin dan Cos Fungsi Trigonometri
TRIGONOMETRI 56

57. Sin x + sin y = 2 sin ½ ( x + y) cos ½(x – y) ... (5)
Sin x – sin y = 2 cos ½ ( x + y ) sin ½ ( x – y ) ... (6)
Cos x + cos y = 2 cos ½( x + y ) cos ½( x – y ) ... (7)
Cos x – cos y = -2 sin ½( x + y ) sin ½ ( x – y) ... (8)
Bukti :
Untuk rumus perkalian (5), misalkan α + β = x dan α – β = y.
α+β=x dan α+β=x
α–β=y + α–β=y +
α = ½(x + y) β = ½( x – y)
Sehingga dari rumus (1),
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin ( α – β)
Kita peroleh,
2 sin ½ ( x + y ) cos ½ ( x – y ) = sin x + sin y
Untuk rumus – rumus (6), (7), dan (8) silahkan buktikan sendiri.
Contoh Soal :
Latihan Soal :
1
.
TRIGONOMETRI 57

58. 3
.
4
.
2
.
DAFTAR PUSTAKA
Johannes, dkk. 2003. Kompetesi matematika. Jakarta: Yudhistira.
Kartini, dkk. 2005. Matematika. Klate: Intan Pariwira.
Narminingsih. 2009. Siap UN matematika. Sukaoharjo: Seti Aji.
Noormandiri, B.K. 2006. Matematika Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Erlangga.
Sembiring, dkk. 2007. Matematika Bilingual. Bandung: Yrama Widya.
Sukino. 2007. Jakarta: Erlangga.
Untoro, joko. 2007. Rumus Lengkap matematika sma. Depok: Wahyu Media.
Wirodikromo. Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta: Erlangga.
TRIGONOMETRI 58