Limite y continuidad de funciones de varias variables.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I. U. P Santiago Mariño
Sede Barcelona
Ingeniería de Sistemas
Matemática III
Límite y Continuidad de Funciones de
Varias Variables
Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Rafael Brito
C.I: 25.286.285
Barcelona, Agosto 2016

2. Limites de funciones de varias variables
En este apartado se estudia el concepto de limite de una función
de varias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su
calculo. Después, basándose en este concepto, se establece la
definición de función continua y como estudiar la continuidad de
una función de varias variables. En principio se comienza con
campos escalares y después se extiende la definición a los
campos vectoriales.

3. Sea una función de dos variables definida en un disco abierto
centrado en excepto quizás en el punto y sea
L un numero real. Entonces,
si para cada existe un tal que
siempre que Gráficamente, esta
definición de limite implica que para cualquier tipo
En el disco de radio el valor de
Esta entre y
𝑓

4. Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que X se
aproxime a A, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento,
por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí
Límite de una función de una variable. Para funciones de dos
variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos
dejar que (x, y) se aproxime a desde un número
infinito de direcciones y de cualesquiera formas.
La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y
No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite
existe, entonces debe aproximarse a mismo límite, sin
importar la forma en que (x, y) se aproxime a Así pues, si
podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento
a lo largo de las cuales tiene distintos límites, entonces se
concluye que el límite no existe.

5. Si conforme a lo largo de una trayectoria
y conforme a lo largo de una trayectoria
Donde entonces el límite no existe.
Limites de una función de una variable:

6. Ejemplos limites de una función de una variable

7. Propiedades

8. Ejemplo:

9. Continuidad de funciones de varias variables
En este apartado se introduce la definición de función de varias
variables continua en un punto. La forma de definir la
continuidad en este contexto es análoga al ser utilizada para
funciones reales de variable real. Se comienza con la continuidad
de campos escalares y se extiende, de forma natural, para
campos vectoriales.

10. Continuidad
La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de
funciones de una variable real. Diremos que una función f es
continua en un punto x0 cuando x0 ∈ Dom f, existe el límite de f
en x0 (y es finito), y el valor de dicho límite y el de f(x0)
coinciden. El estudio de la continuidad de una función en un
punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y,
en su caso, el valor del límite de la función en el punto. .
Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la
función no tiene saltos repentinos. Cuando tratamos con
subconjuntos de R, solo contamos con dos direcciones mediante
las cuales un punto puede ser aproximado: desde la izquierda o
desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la
situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles
de aproximación.

11. Continuidad de campos escalares
La definición de campo escalar continuo en un punto es la
siguiente.
Definición: Sea el campo escalar de n variables, n > 0 de la
forma:
siendo D abierto, y sea un punto D. Se dice que es
continua en si: si la función no es
continua se denomina discontinua.

12. Continuidad de campos vectoriales

13. Ejemplo 2:

14. Ejemplo 3:

15. Bibliografía
 https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-
ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/VariasVariables02L%EDmites%20y%20conti
nuidad.pdf
 http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/segundo/
Hojas%20de%20ejercicios%20MII/F.%20de%20varias%20varia
bles,%20limites%20y%20continuidad/soluciones/Limites%20y
%20continuidad.pdf
 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Limites_y_c
ontinuidad_de_funciones_de_dos_variables