Matemáticas 1

1. La obra Matemáticas 1 fue elaborada por la Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V. Dirección Editorial: Tomás García Cerezo Gerencia Editorial Textos: Javier Anaya González Edición: Salvador Méndez Alvarado Corrección de estilo: Luis Soriano Bello Diseño de interiores: Braulio Morales Diagramación y formación: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. Diseño de portada: Eligge Consultores Foto: dados Latin Stock México Ilustración: Ricardo Cabello, Alberto Morales, Alfredo Chavarría y Rodrigo Lopezdelara Fotografía: © Ablestock y sus cedentes de la licencia. Reservados todos los derechos. Matemáticas 1 D.R. © 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V. Londres 247, Col. Juárez, Delegación Cuauhtémoc C.P. 06600, México, D.F. escolar@larousse.com.mx Primera edición Esta obra no puede ser reproducida, total o parcialmente, sin autorización escrita del editor. ISBN: 970-22-1620-6 Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A. Impreso en México Printed in Mexico

2. Presentación Maestra, maestro: La propuesta didáctica de Matemáticas 1 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial de muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educación matemática de vanguardia. Aquí encontrará múltiples actividades de estudio que relacionan a las matemáticas con la vida cotidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicación, uso de las tecnologías de la información y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente diseñadas para que despierten el interés de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar en equipo, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos que validen los resultados, a comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus hallazgos, en un ambiente de confianza y de respeto por las ideas de los demás. Las actividades de Matemáticas 1 están agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con entradas a doble página que muestran los propósitos que se esperan logren desarrollar los estudiantes y los relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas. El desarrollo de cada uno de los 38 subtemas está organizado en lecciones que corresponden a tres momentos metodológicos fundamentales que se relacionan entre sí y se reciclan continuamente. • ¿Qué sabemos de... Plantea situaciones problemáticas iniciales vinculadas con algún con- texto que motive el interés de los estudiantes para ser trabajadas en equipo. • Para saber más de... Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplíen los conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a través de secuencias problemáticas e información matemática básica. Al final de esta sección se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los estudiantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su caso, los corrijan o resuelvan.

3. • Por tu cuenta... En este momento se plantean preguntas y problemas matemáticos que sintetizan los conocimientos y habilidades adquiridas en las actividades previas, además de que propicia que los estudiantes los apliquen en diversos contextos. También se plantean pequeñas investi- gaciones de aplicación de las matemáticas para que los estudiantes consulten información en la biblioteca escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios. Al finalizar cada subtema se presenta la sección Historietas matemáticas en las que varios personajes ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicación de las matemáticas en diversas situaciones; aquí mismo se invita a los alumnos a que reflexionen y, en algunos casos, evalúen las soluciones expuestas en cada historieta. Al finalizar cada bloque encontrará sugerencias prácticas para implementar la Feria de las mate- máticas que bajo su coordinación los alumnos irán preparando con materiales, actividades, juegos, etcétera, que puede servir para exponer al final del curso. Esperamos que con esta propuesta pedagógica se cumpla el propósito de que sus estudiantes efecti- vamente construyan sus propios conocimientos, que les permita enfrentar y dar respuesta a problemas de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. ¡Ojalá cumpla su cometido! Los autores

4. Bloque 1 Presentación 3 Presentación al alumno 9 Índice de contenido 1.1 Números naturales. El sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración 12 Lección 1 ¿Qué sabemos del sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración? 12 Lección 2 Para saber más del sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración 13 Lección 3 Sistemas de numeración egipcio, babilónico y romano 15 Lección 4 Uno de los sistemas de numeración mayas y sistema de numeración azteca 20 Lección 5 Actividades de trabajo individual 23 Historieta matemática del subtema 1.1 24 1.2 Números fraccionarios y decimales. Números fraccionarios y decimales en la recta numérica 25 Lección 6 ¿Qué sabemos de los números fraccionarios y decimales en la recta numérica? 25 Lección 7 Para saber más de números fraccionarios y decimales en la recta numérica 26 Lección 8 Números decimales en la recta numérica 30 Lección 9 Actividades de trabajo individual 33 Historieta matemática del subtema 1.2 34 1.3 Patrones y fórmulas. Sucesiones y expresiones generales 35 Lección 10 ¿Qué sabemos de sucesiones y expresiones generales? 35 Lección 11 Para saber más de sucesiones y expresiones generales 36 Lección 12 Actividades de trabajo individual 39 Historieta matemática del subtema 1.3 40 1.4 Patrones y fórmulas. Fórmulas geométricas 41 Lección 13 ¿Qué sabemos de fórmulas geométricas? 41 Lección 14 Para saber más de fórmulas geométricas 43 Historieta matemática del subtema 1.4 45 1.5 Movimientos en el plano. Figuras simétricas 46 Lección 15 ¿Qué sabemos de figuras simétricas? 46 Lección 16 Para saber más de figuras simétricas 48 Lección 17 Actividades de trabajo en equipo 51 Lección 18 Actividades de trabajo individual 54 Historieta matemática del subtema 1.5 56 1.6 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa 57 Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad directa? 57 Lección 20 Para saber más de proporcionalidad directa 58 Lección 21 Actividades de trabajo individual 61 Historieta matemática del subtema 1.6 63 1.7 Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional 64 Lección 22 ¿Qué sabemos de reparto proporcional? 64 Lección 23 Para saber más de reparto proporcional 65 Lección 24 Actividades de trabajo individual 67 Historieta matemática del subtema 1.7 68 1.8 Diagramas y tablas. Problemas de conteo 69 Lección 25 ¿Qué sabemos de problemas de conteo? 69 Lección 26 Para saber más de problemas de conteo 70 Lección 27 Actividades de trabajo individual 72 Historieta matemática del subtema 1.8 73 Feria de las matemáticas. Juguemos con el sistema binario de numeración 74

5. Bloque 2 2.1 Problemas aditivos. Problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales 78 Lección 1 ¿Qué sabemos de problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales? 78 Lección 2 Actividades de trabajo en equipo 81 Lección 3 Para saber más de problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales 81 Lección 4 Actividades de trabajo en equipo 85 Historieta matemática del subtema 2.1 87 2.2 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplica- ción y división con números fraccionarios 88 Lección 5 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación con números fraccionarios? 88 Lección 6 Para saber más de problemas de multiplicación con números fraccionarios 90 Lección 7 Actividades de trabajo en equipo 91 Lección 8 Para saber más de problemas de división con números fraccionarios 93 Lección 9 Actividades de trabajo individual 96 Historieta matemática del subtema 2.2 97 2.3 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplicación de números decimales 98 Lección 10 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación de números decimales? 98 Lección 11 Para saber más de problemas de multiplicación de números decimales 99 Lección 12 Actividades de trabajo individual 101 Historieta matemática del subtema 2.3 102 2.4 Rectas y ángulos. Mediatriz y bisectriz 103 Lección 13 ¿Qué sabemos de mediatriz y bisectriz? 103 Lección 14 Para saber más de mediatriz y bisectriz 106 Lección 15 Actividades de trabajo individual 108 Historieta matemática del subtema 2.4 109 2.5 Figuras planas. Construcción de polígonos regulares 110 Lección 16 ¿Qué sabemos de construcción de polígonos regulares? 110 Lección 17 Construcción de polígonos regulares con com- pás, regla y transportador 113 Lección 18 Para saber más de construcción de polígonos regulares 115 Lección 19 Actividades de trabajo individual 116 Historieta matemática del subtema 2.5 118 2.6 Justificación de fórmulas. Perímetro y área de polígonos 119 Lección 20 ¿Qué sabemos de perímetro y área de polígonos? 119 Lección 21 Para saber más de perímetro y área de polígonos 120 Lección 22 Fórmulas del área de cuadrados, rectángulos y romboides 123 Lección 23 Fórmulas del área de rombos y triángulos 126 Lección 24 Fórmula del área de polígonos regulares 127 Historieta matemática del subtema 2.6 129 2.7 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales 130 Lección 25 ¿Qué sabemos de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales? 130 Lección 26 Para saber más de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales 131 Lección 27 Actividades de trabajo individual 133 Historieta matemática del subtema 2.7 134 2.8 Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad 135 Lección 28 ¿Qué sabemos de la aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad? 135 Lección 29 Para saber más de la aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad 137 Lección 30 Actividades de trabajo individual 140 Historieta matemática del subtema 2.8 141 Feria de las matemáticas. El maravilloso mundo de los rompecabezas 142 Bloque 3 3.1 Problemas multiplicativos. División de números decimales 146 Lección 1 ¿Qué sabemos de división de números decimales? 146 Lección 2 Para saber más de división de números decimales 147 Lección 3 Actividades de trabajo individual 151 Historieta matemática del subtema 3.1 152

6. 3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 153 Lección 4 ¿Qué sabemos de ecuaciones de primer grado? 153 Lección 5 Para saber más de ecuaciones de primer grado 154 Lección 6 Actividades de trabajo en equipo 155 Lección 7 Actividades de trabajo individual 158 Historieta matemática del subtema 3.2 159 3.3 Figuras planas. Construcción de triángulos y cuadriláteros 160 Lección 8 ¿Qué sabemos de construcción de triángulos y cuadriláteros? 160 Lección 9 Para saber más de construcción de triángulos y cuadriláteros 163 Lección 10 Actividades de trabajo en equipo 166 Lección 11 Actividades de trabajo individual 168 Historieta matemática del subtema 3.3 170 3.4 Estimar, medir y calcular. Áreas de triángulos y cuadriláteros 171 Lección 12 ¿Qué sabemos de áreas de triángulos y cuadriláteros? 171 Lección 13 Para saber más de áreas de triángulos y cuadriláteros 173 Lección 14 Actividades de trabajo en equipo 175 Lección 15 Actividades de trabajo individual 178 Historieta matemática del subtema 3.4 180 3.5 Relaciones de proporcionalidad. Procedimientos expertos 181 Lección 16 ¿Qué sabemos de procedimientos expertos? 181 Lección 17 Para saber más de procedimientos expertos 183 Lección 18 Actividades de trabajo individual 187 Historieta matemática del subtema 3.5 189 3.6 Porcentajes. Cálculo de porcentajes 190 Lección 19 ¿Qué sabemos de cálculo de porcentajes? 190 Lección 20 Para saber más de cálculo de porcentajes 192 Lección 21 Actividades de trabajo individual 194 Historieta matemática del subtema 3.6 196 3.7 Diagramas y tablas. Interpretar información 197 Lección 22 ¿Qué sabemos de interpretar información? 197 Lección 23 Para saber más de interpretar información 199 Lección 24 Actividades de trabajo individual 201 Historieta matemática del subtema 3.7 204 3.8 Gráficas. Interpretar información en gráficas de barras y circulares 205 Lección 25 ¿Qué sabemos de interpretar información en gráficas de barras y circulares? 205 Lección 26 Para saber más de interpretar información en gráficas de barras y circulares 207 Lección 27 Actividades de trabajo individual 210 Historieta matemática del subtema 3.8 211 3.9 Nociones de probabilidad. Escala de probabilidad entre 0 y 1 212 Lección 28 ¿Qué sabemos de escala de probabilidad entre 0 y 1? 212 Lección 29 Para saber más de escala de probabilidad entre 0 y 1 213 Lección 30 Actividades de trabajo en equipo 215 Lección 31 Actividades de trabajo individual 217 Historieta matemática del subtema 3.9 219 Feria de las matemáticas. Los crucigramas 220 Bloque 4 4.1 Números con signo. Utilización de números con signo 224 Lección 1 ¿Qué sabemos de utilización de números con signo? 224 Lección 2 Para saber más de utilización de números con signo 226 Lección 3 Actividades de trabajo individual 229 Historieta matemática del subtema 4.1 232 4.2 Potenciación y radicación. Raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales 233 Lección 4 ¿Qué sabemos de raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales? 233 Lección 5 Para saber más de raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales 236 Lección 6 Actividades de trabajo individual 240 Historieta matemática del subtema 4.2 243 4.3 Relación funcional. Relación de proporcionalidad y = kx 244 Lección 7 ¿Qué sabemos de la relación de proporcionalidad y = kx? 244 Lección 8 Para saber más de la relación de proporcionalidad y = kx 246 Lección 9 Actividades de trabajo individual 249 Historieta matemática del subtema 4.3 251

7. Bibliografía 326 Bloque 5 5.1 Problemas aditivos. Adición y sustracción de números con signo 282 Lección 1 ¿Qué sabemos de adición y sustracción de números con signo? 282 Lección 2 Para saber más de adición y sustracción de números con signo 286 Lección 3 Actividades de trabajo individual 288 Historieta matemática del subtema 5.1 289 5.2 Relación funcional. Representación de proporcionalidad directa 290 Lección 4 ¿Qué sabemos de representaciones de proporcionalidad directa? 290 Lección 5 Para saber más de representaciones de proporcionalidad directa 293 Lección 6 Actividades de trabajo individual 295 Historieta matemática del subtema 5.2 299 5.3 Estimar, medir y calcular. Cálculo de áreas de figuras planas 300 Lección 7 ¿Qué sabemos de cálculo de áreas de figuras planas? 300 Lección 8 Para saber más de cálculo de áreas de figuras planas 301 Lección 9 Actividades de trabajo individual 303 Historieta matemática del subtema 5.3 304 5.4 Nociones de probabilidad. Resultados equiprobables y no equiprobables 305 Lección 10 ¿Qué sabemos de resultados equiprobables y no equiprobables? 305 Lección 11 Para saber más de resultados equiprobables y no equiprobables 306 Lección 12 Actividades de trabajo individual 308 Historieta matemática del subtema 5.4 309 5.5 Relaciones de proporcionalidad. Variación proporcional inversa 310 Lección 13 ¿Qué sabemos de variación proporcional inversa? 310 Lección 14 Para saber más de variación proporcional inversa 312 Lección 15 Actividades de trabajo individual 315 Historieta matemática del subtema 5.5 317 5.6 Medidas de tendencia central y de dispersión. Medidas de tendencia central 318 Lección 16 ¿Qué sabemos de medidas de tendencia central? 318 Lección 17 Para saber más de medidas de tendencia central 320 Lección 18 Actividades de trabajo individual 322 Historieta matemática del subtema 5.6 323 Feria de las matemáticas. Obra de teatro “Pepito preguntón” 324 4.4 Figuras planas. Construcción de círculos 252 Lección 10 ¿Qué sabemos de construcción de círculos? 252 Lección 11 Para saber más de construcción de círculos 253 Lección 12 Actividades de trabajo individual 257 Historieta matemática del subtema 4.4 258 4.5 Justificación de fórmulas. Perímetro y área del círculo 259 Lección 13 ¿Qué sabemos de perímetro y área del círculo? 259 Lección 14 Para saber más de perímetro y área del círculo 260 Lección 15 Actividades de trabajo individual 263 Historieta matemática del subtema 4.5 264 4.6 Estimar, medir y calcular. Cálculo del área y el perímetro del círculo 265 Lección 16 ¿Qué sabemos de cálculo del área y el perímetro del círculo? 265 Lección 17 Para saber más de cálculo del área y el perímetro del círculo 266 Lección 18 Actividades de trabajo individual 268 Historieta matemática del subtema 4.6 269 4.7 Gráficas. Proporcionalidad y plano cartesiano 270 Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad y plano cartesiano? 270 Lección 20 Para saber más de proporcionalidad y plano cartesiano 271 Lección 21 Actividades de trabajo individual 276 Historieta matemática del subtema 4.7 277 Feria de las matemáticas. Construyamos cuadrados mágicos 278

8. Presentación al alumno Hola amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe, y como todos ustedes, también trataremos de aprender matemáticas en este nuestro primer año de secundaria. ¡Qué emoción! Los acompañaremos en todo el curso y compartiremos la emoción de aprender matemáticas. Seguramente se identificarán con nosotros. Les platicaremos sobre algunas situaciones cotidianas y demás cosas que probablemente a ustedes también les pasaron al estudiar las Mates, ya sea en el salón de clases, en el recreo, en su casa o en la calle. ¡Nos divertiremos! Aquí encontrarán para qué sirven las matemáticas, en dónde se aplican, cómo podemos divertirnos jugando con ellas, a realizar experimentos matemáticos y hacer diseños geomé- tricos; aprenderemos muchas cosas más... Estamos seguros, porque ustedes podrán comparar lo que han aprendido con lo que hemos aprendido nosotros a través de nuestras Historietas matemáticas. Además al final de cada bloque encontrarán algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo de su maestro o maestra, los materiales, juegos y actividades para la Feria de las matemáticas en donde podrán mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemáticas que desarrollaron en todo el año. Bueno, pues ¡a trabajar!

10. Aprendizajes esperados En este bloque: i Conocerás las características del sistema de numeración decimal (base,valor posicional,número de símbolos) y establecerás analogías o diferencias con otros sistemas posicionales y no posicionales. i Compararás y ordenarás números expresados como fracciones y en forma decimal,mediante la búsqueda de expresiones equivalentes,la recta numérica,los productos cruzados,así como otros recursos. i Representarás sucesiones —numéricamente o con figuras— a partir de una regla dada y viceversa,esto es,establecerás la regla de formación de una sucesión a partir de una representación de ésta. i Construirás figuras simétricas respecto a un eje e identificarás qué propiedades de la figura original se conservan en su simétrica. i Resolverás problemas de conteo apoyándote en representaciones gráficas. Bloque1 11

11. Lección 1 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Si el número 1 lo representan con el cubito pequeño,el número 10 con una tira de 10 cubitos,el número 100 con una placa de 10 tiras y el número 1000 con 10 placas, determinen el número que se representa con el total de las siguientes figuras y anótenlo en la línea. 2 Escriban el nombre del número representado con los modelos geométricos anteriores. 3 De acuerdo con el número que determinaron,completen lo siguiente y comparen sus respuestas con las de los demás equipos. El dígito ______ representa los millares y su valor posicional es ______  1 000  ______ El dígito ______ está en el lugar de las centenas y su valor posicional es ______  100  ______ Números naturales El sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración Conocimientos y habilidades Identificarás las propiedades del sistema de numeración decimal y las contrastarás con las de otros sistemas de numeración posicionales y no posicionales. ¿Qué sabemos de… el sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración? Matemáticas 112 1.1

12. El dígito ______ representa las decenas y su valor posicional es ______ 3 10 5 ______ El dígito ______ representa las unidades y su valor posicional es ______ 3 1 5 ______ 4 Utilizando los modelos geométricos anteriores (cubo grande,placa,tira y cubito),representen en su cuaderno los siguientes números. 1011 1101 1110 5 Si desagrupan las placas de cubitos siguientes en tiras de cubitos,¿cuántas tiras obtienen? 5 placas 5 _______ tiras 7 placas 5_______ tiras 13 placas 5_______ tiras 6 Si agrupan las tiras de cubitos siguientes en cubos más grandes o placas de cubos,¿cuántas obtienen? 437 tiras 5 _______ cubos,_______ placas,_______ tiras 503 tiras 5 _______ cubos,_______ placas,_______ tiras 3008 tiras 5 _______ cubos,_______ placas,_______ tiras 7 Anoten los siguientes números usando nuestros símbolos dígitos. Quince mil trescientos veintiuno ______________________________ Noventa y cinco mil setecientos ochenta y tres ______________________________ Quinientos treinta y siete mil seiscientos cuarenta y dos ______________________________ Treinta y dos millones dos mil quinientos dieciséis ______________________________ Mil setecientos sesenta y siete billones dos mil seis ______________________________ 8 Escriban en español los nombres de los siguientes números. 916 ____________________________________________________________________________ 13 214 __________________________________________________________________________ 318 599 _________________________________________________________________________ 100 151 001 ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 11 123 615 900 070 502 ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Para saber más de… el sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración Lección 2 T r a b a j a e n e q u i p o Los números naturales,la recta numérica y el sistema de numeración decimal A los números que utilizamos para contar objetos o ideas de determinada colección,cero,uno,dos, tres, …, cien, …, se les conoce como números cardinales. Los números ordinales describen un orden o posición, por ejemplo primero, segundo, tercero, cuarto… BLOQUE 1 Matemáticas 1 13Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

13. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, … se denominan números naturales. Observen que en este conjunto numérico no existe el cero (0), aunque cabe aclarar que algunos matemáticos sí lo aceptan como número natural. Esta manera de escribirlos, con los puntos suspensivos, se usa para indicar que continúan indefinidamente; es decir, hay una infinidad de números naturales. Se pueden representar geométricamente en una recta numérica. 0 1 2 3 4 5 6 7 Para representar números naturales disponemos de diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Observen que en este sistema decimal el cero (0) sí existe; no como elemento de los naturales, sino como símbolo, por lo cual se recurre a él para representar, por ejemplo, el número diez (10). El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. 1 Usen una unidad adecuada para representar en la recta numérica los números 10, 100 y 1 000. ¿Cómo lo hicieron? Coméntenlo. 2 Los puntosA,B,C y D representan cuatro números naturales.¿Qué números podrían ser? Com- paren sus respuestas con las de sus compañeras y compañeros. 0 A B C D 70 3 ¿Qué números naturales podrían estar representados entre los puntos A y B? _________________ ¿Y entre C y D? ________________________________________________________________ Coméntenlo con sus compañeras y compañeros de otros equipos. Numeraciones visuales o figuradas La manera elemental más comúnmente utilizada por grupos humanos para contar consistió en hacer trazos o marcas sobre objetos duros, tantos como objetos individuales tuviese la colección que se necesitara contar. Se trataba de representaciones visuales o figuradas. La representación de los números ha evolucionado hasta nuestra actual forma escrita y nuestra expresión oral. Otra idea básica que facilita el conteo de objetos es la de agrupar en bloques los trazos que representan la cantidad total, con igual número de elementos cada bloque, constituyendo este número la base del sistema de numeración que se emplee. 4 ¿Cuáles creen que sean las agrupaciones de marcas que se muestran en la figura de la derecha? Matemáticas 114 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

14. Diversos grupos sociales, a lo largo de la histo- ria, han elegido como base de numeración una acorde a sus necesidades. Además del sistema de numeración de base 10, se han utilizado otros. En realidad cualquier número natural mayor que 1 puede servir de base de un sistema de numeración posicional. En la tabla de la izquierda pueden ver los nombres de algunos de estos sistemas. 5 Den un ejemplo de utilización de contar en agrupaciones de 60 en 60 en la actualidad. Expliquen su ejemplo por escrito. 6 Formen grupos de cinco rayas y luego formen grupos de cinco grupos. 7 Ahora imaginen que sólo disponen de los siguientes símbolos para representar el número de rayas que hay en la figura anterior: /  1 #  5 %  25  125 ¿Cómo escribirían la cantidad de trazos usando los símbolos /, # y % anteriores? ________________________________________________________________________________ ¿Qué características tiene este sistema de numeración? Explíquenlo en su cuaderno. Lección 3 T r a b a j a e n e q u i p o Un sistema de numeración egipcio La civilización egipcia antigua duró alrededor de cuatro mil años. Hacia el año 3500 a. n. e. (antes de nuestra era), los egipcios poseían un sistema de numeración completamente desarrollado para contar cantidades grandes. El sistema de numeración egipcio,era aditivo —todos sus cálculos se basaban en sumas solamente— y decimal —su base era diez. Representaban el uno y las primeras seis potencias de diez mediante siete signos jeroglíficos.No tenían una conceptualización del cero ni una representación para este número. 1 10 2 3 4 5 6 710 10 10 10 10 10 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 Base Nombre 2 binario 5 quinario 8 octal 10 decimal 12 duodecimal 16 hexadecimal 20 vigesimal 60 sexagesimal Caracteres o símbolos egipcios BLOQUE 1 Matemáticas 1 15EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

15. Un número se describía utilizando cada carácter hasta nueve veces y por lo general se anotaban de derecha a izquierda,de mayor a menor valor numérico.A veces los escribían de izquierda a derecha, volteando los símbolos para indicar dónde iniciaba la lectura del número. 1 En la figura siguiente aparece representado el número 276. ¿Pueden explicar por qué? 2 A la derecha se muestra otro ejemplo de la notación del sistema de nume- ración egipcio. ¿Qué número representa en el sistema decimal? 3 Escriban el año actual y la cantidad de alumnos que hay en su grupo empleando símbolos egipcios. año actual: __________________________________________ número de alumnos: __________________________________________ Comparen sus anotaciones con las de sus compañeras y compañeros. 4 Escriban con notación del sistema de numeración egipcio los siguientes números. 74 ____________ 139 ____________ 1 075 ____________ 307 876 ____________ 5 ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? Enciérrenlo. o 6 Intenten hacer en su cuaderno la multiplicación 27  87 con símbolos egipcios y comenten las ventajas o desventajas al realizarla. 7 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración egipcio al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos. Sistema de numeración babilónico Fuelacivilizaciónsumerialaqueinventóyutilizóunsistemadenumeraciónsexagesimal,elejemplo más antiguo que se conoce de una numeración en la que se utiliza el valor posicional. 8 ¿Qué entienden por valor posicional? Coméntenlo con sus compañeros de equipo. 9 Lean con cuidado el texto de la página siguiente y discútanlo en equipo. Matemáticas 116 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

16. Para su sistema de numeración posicional los babilonios utilizaban dos símbolos,una cuña y un gancho.A este tipo de escritura se le denomina cuneiforme. La cuña ( ) representaba unidades y el gancho ( ) múltiplos de diez, como se muestra a continuación. Numerales en la escritura cuneiforme de los acadios. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 30 50 60 80 130 Nota: observa que el 1 y el 60 se escribían igual. Hacía falta la invención del cero para denotar un grupo de 60 y 0 unidades; más tarde se haría, en el periodo seléucida. Este sistema posicional consistía en que los valores de los símbolos cuneiformes se multiplicaban por potencias de 60, de derecha a izquierda, empezando por las unidades e incrementando el exponente de la potencia de base 60. Durante el periodo de los babilonios conocido como seléucida, que va del siglo III a. n. e. hasta el inicio de nuestra era, se introdujo un símbolo para denotar que en un lugar no había un determinado valor de posición. Así, por ejemplo, los números 3609 y 86 425 se representaban como se muestra en la figura siguiente. Grupos de 3 600 Grupos de 60 Unidades sueltas Grupos de 3 600 Grupos de 60 Unidades sueltas (1  602 )  (0  60)  9 (24  602 )  (0  60)  25 Entonces, la notación del sistema de numeración babilónico era posicional, de base sexagesimal, y en el periodo seléucida se utilizaba un símbolo para indicar la ausencia de número en medio de los demás símbolos y nunca como último. En esta primera oportunidad el cero no tiene la entidad de número, sino simplemente de un signo arbitrario para indicar la ausencia de cantidad de un orden determinado. BLOQUE 1 Matemáticas 1 17EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

17. 10 Escriban con notación del sistema de numeración babilónico los siguientes números: 147 __________________________ 1 500 __________________________ 269 __________________________ 3 601 __________________________ 11 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración babilónico al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo en su cuaderno basándose en ejemplos. Sistema de numeración romano Lo que conocemos como numerales romanos, en realidad fueron inventados por otras culturas siglos antes de que la civilización romana existiera. Según se muestra a continuación, pareciera que los numerales romanos se modelaron con base en letras del abecedario latino. No se tiene reportado que hayan conceptualizado el número cero ni una representación para este número. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000 Las inscripciones conocidas más antiguas en las que aparecen estos numerales datan del siglo i a.n.e. Los numerales romanos se escriben de izquierda a derecha uno junto al otro,primero los de mayor valor y luego los de menor valor. Los símbolos I, X, C y M se pueden escribir a lo más tres veces consecutivamente, y no está permitido repetir los símbolos V, L y D. 12 El número 278 se representa así CCLXXVIII. ¿Por qué? ¿Qué número representa MMDCLXXXVI?__________ Como habrán observado, los numerales romanos siguen una notación aditiva.Además, los romanos ampliaron este sistema bajo la regla de que si un símbolo se anota a la izquierda de otro símbolo de mayor valor numérico, el valor del primero se tiene que restar del valor del segundo. Esto es, su notación también es sustractiva. 13 Completen las equivalencias. IV  5  1  4 IX  10  1  9 XL  50  10  XC  100  10  CD  CM  Matemáticas 118 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

18. Ante la necesidad de tener que representar cantidades grandes, se introdujo en el sistema de nume- ración romano una barra horizontal sobre los símbolos para representar 1 000 veces el valor del número (esta barra horizontal,igual que los demás símbolos,se puede repetir en un mismo numeral hasta tres veces). Esto es, su notación también es multiplicativa. 14 El numeral romano V es igual a 5 000. ¿Por qué? 15 ¿Qué número representa IX? 16 Escriban en el sistema decimal los siguientes numerales romanos. CCLXII ___________________________________________________________________________ MXXIV ____________________________________________________________________________ MCMXC __________________________________________________________________________ CDCLIX __________________________________________________________________________ DVIIICMLXVI _____________________________________________________________________ 17 Representen con numerales romanos los siguientes números. 59 _______________________________________________________________________________ 379 ______________________________________________________________________________ 1 998 _____________________________________________________________________________ 345 273 ____________________________________________________________________________ 7 985 799 __________________________________________________________________________ 18 Intenten hacer la siguiente suma con numerales romanos y comenten las ventajas o dificultades para realizarla. CCXXXII  CDXIII  MCCXXXI  MDCCCLII  _____________ 19 ¿Qué ventajas y desventajas identifican en el sistema de numeración romano al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos. BLOQUE 1 Matemáticas 1 19EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

19. Lección 4 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego resuelvan las actividades que vienen a continuación. Uno de los dos sistemas de numeración mayas En su sistema de numeración,los mayasagrupabandecincoencin- cohastaveinte,deveinteenveinte hasta cien, de cien en cien hasta cuatrocientos, de cuatrocientos en cuatrocientos hasta ocho mil. Así, sus cuentas conceptualmen- te se podían extender indefinidamente: continuaban luego contando veinte veces ocho mil, nuevamente veinte veces cien- to sesenta mil, etc. Basaban sus cuentas en el número de dedos de las manos y de los pies; es decir,su sistema era vigesimal; además, era posicional. El valor posicional de sus numerales era vertical,“como crecen las plantas”.A continuación se muestra el valor posicional vertical y los nombres posicionales del sistema común de contar de los mayas. 1 280 000 000  207 : hablat 64 000 000  206 : alau 3 200 000  205 : kinchil 160 000  204 : calab 8 000  203 : pic 400  202 : bak 20 : kal 1 : hun Los números mayas se construyen a partir de veinte numerales, los cuales a su vez se forman con únicamente tres símbolos básicos: un punto, una barra horizontal y una concha o caracol. 1 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Algunos autores mencionan que el sistema numérico de los mayas es irregular. En el tercer nivel el número es 360 y no 400 porque el año maya tenía 360 días. Matemáticas 120 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

20. El 1 se representaba con un punto; dos,tres y cuatro puntos servían respectivamente para representar el 2, el 3 y el 4; el 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 o 9; para el 10 se usaban dos rayas y para el 15 tres rayas. El número 25, por ejemplo, se escribe como se muestra a la derecha: En el sistema de numeración vigesimal de los mayas sobresale la creación social del concepto de cero y de un símbolo para representarlo. Es posible que haya sido la primera civilización en el mundo entero en utilizar el concepto de cero en su notación posicional. 20 21 41 61 122 400 401 8 000 2 Representen en el sistema maya los siguientes números. Consideren dos casos: uno cuando el sistema es de base 20 en todas sus posiciones y el otro caso cuando la tercera posición es 360 y no 400. 27  306  2 006  48 003  169  6 927  2 420  1 000 000  Comenten sobre las consecuencias que puede tener un sistema de numeración con una irregulari- dad, como en este segundo caso. 3 Intenten hacer la siguiente operación en el sistema maya y comenten las ventajas o dificultades para realizarla.   4 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración maya al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Expliquen en su cuaderno. 1  20  20 5 Para algunos autores este número representa a 360 y no 400. BLOQUE 1 Matemáticas 1 21EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

21. 5 ¿Saben cómo era el sistema de numeración azteca y que aún se usa en su forma hablada en algunos lugares? Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo. El sistema de numeración azteca El sistema de numeración azteca es sencillo. El número cinco (macuilli) se representa con el signo jeroglífico que es la mano del hombre. Es aditivo; por ejemplo, el seis (chicuace) es cinco (chicua es “mano” o “cinco dedos”) más uno (ce). Diez en náhuatl, el idioma de los aztecas, se dice matlactli; quince, caxtolli, y veinte, cempohualli. Por ejemplo, catorce es matlactli (diez) on (y) nahui (cuatro), esto es, matlactlionnahui. Pohualli es “cuenta”, por lo que cempohualli es una cuenta de los dedos de las manos y los pies: 20. Así que el sistema de numeración náhuatl es vigesimal, o sea, su base es 20 aunque con irregulari- dades como es el hecho de que 80 tiene un símbolo propio. Un rasgo característico de este sistema de numeración es que es partitivo, lo cual consiste en que la mitad de un símbolo numérico representa la mitad de su valor, y la cuarta parte del símbolo, la cuarta parte de su valor numérico. En la figura siguiente se muestran los símbolos que usaban los aztecas para representar números. 1 5 10 15 20 80 400 8 000 Principio aditivo en la notación numérica de los aztecas Principio partitivo en la notación numérica de los aztecas 6 Escriban en nuestro sistema decimal actual los siguientes números expresados en notación azteca. Matemáticas 122 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

22. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. 7 Escriban en notación azteca los siguientes números. 87 _____________________________________________________________ 436 ____________________________________________________________ 1999 ___________________________________________________________ 12507 __________________________________________________________ 8 Intenten hacer en su cuaderno la resta 375 – 87 con símbolos de la notación numérica azteca y comenten las ventajas o dificultades al realizarla. 9 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración azteca al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Explíquenlo en su cuaderno basándose en ejemplos. Por tu cuenta Lección 5 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Localiza en un mapa de la República Mexicana las regiones donde se desarrollaron las culturas maya y azteca. 2 ¿Conocesalgunaotraculturaquesehayadesarrolladoennuestropaísconsupropiosistemadenumeración?_____ ¿Cuál? _____________________________________________________________________________________ ¿En qué región se desarrolló? ___________________________________________________________________ 3 Consigue un mapa, pégalo en tu cuaderno y dibuja la ubicación de esa cultura.Anota cómo era su sistema de numeración. 4 Comenta nuevamente con tus compañeras y compañeros de clases tus hallazgos sobre cómo cuentan algunos grupos culturales de nuestro país y elabora una monografía sobre uno de esos grupos. 5 Elabora una monografía sobre el sistema de numeración romano y el babilónico. Resalta sus características y los usos que de ellos permanecen en la actualidad. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. BLOQUE 1 Matemáticas 1 23EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

23. Y tú, ¿qué opinas sobre los aportes de distintos grupos culturales para construir el actual sistema de numeración decimal? ¿Cómo ha inﬂuido en el mundo actual? Y tú, ¿qué opinas sobre los aportes de distintos grupos culturales para construir el actual sistema de numeración decimal? ¿Cómo ha inﬂuido en el mundo actual? Matemáticas 124

24. Lección 6 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Los puntos rojos representan la distancia recorrida por 4 personas en un tramo de 1 km. Anoten la fracción de 1 km que corresponde a los puntos señalados. 0 1 km 0 1 km 0 1 km km km km km0 1 km 2 Determinen cinco fracciones que estén entre las fracciones correspondientes a los puntos marcados. 0 1 2 0 2 3 3 ¿Qué fracción se encuentra en el punto medio entre 1 — 2 y 7 — 12 ? _________________ ¿Cómo la encontraron? Comparen su respuesta con las de sus compañeros. Números fraccionarios y decimales Números fraccionarios y decimales en la recta numérica Conocimientos y habilidades Representarás números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas infor- maciones,analizando las convenciones de esta representación. ¿Qué sabemos de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica? Matemáticas 1 25 1.2 EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

25. 4 ¿Entre qué enteros consecutivos están las fracciones 3 — 4 y 7 — 10 ? ________________ ¿Cómo los encontraron? 5 En los siguientes ejemplos, ubiquen en una recta numérica cada par de cantidades expresadas en forma decimal.Trabajen en su cuaderno. a) Ayer,la temperatura máxima en Cuernavaca fue de 23.6° C y la de Cuautla de 23.5° C. b) En un maratón,un atleta logró recorrer 22.25 km y otro 22.20 km. c) El promedio de las calificaciones en la asignatura de matemáticas en un grupo es de 6.9 y en otro de 7.0. 6 En cada uno de los tres ejemplos anteriores,determinen en la recta numérica un tercer número decimal que se encuentre entre cada par dado de números decimales. Luego, expliquen a los compañeros de su grupo cómo lo lograron. Para saber más de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica Lección 7 Trabaja en equipo Las fracciones como punto en la recta numérica 1 Consigan un dominó de puntos. Si consideran que las fichas representan una fracción de la forma a — b , con b diferente de cero y a menor o igual que b, ¿cuál o cuáles fichas no representan una fracción? ________________________________________ ¿Porqué?__________________________________________________________________________ ¿Cuálesfichasrepresentanunamismafracción?__________________________________________ ________________________________________________________________________________ Coloquen, de forma ordenada, las fichas en un segmento unidad. Por ejemplo las fichas , y las ubicarían en el punto medio del segmento unidad. ¿Por qué? _________________________________________________________________________ Matemáticas 126 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

26. Las fracciones numéricas también se pueden representar con puntos en una recta numérica. Para ello, se requiere primero asignar el 0 a un punto de la recta y determinar una unidad. Por ejemplo, 6 5 0 1 2 U 5 5 0 5 6 5  1  1 5 ; por lo que es mayor que 1, lo cual se escribe así: 6 5 1 Además, 6 5 es menor que 10 5  2, lo cual se escribe así: 6 5 2 o 2 6 5 Luego, el hecho de que la fracción 6 5 sea mayor que 1 y menor que 2, esto es, que 6 5 esté entre los números enteros 1 y 2, se puede escribir así: 1 6 5 2 o 2 6 5 1 2 Recorten una tira de papel y considérenla como una unidad. ¿Cómo hacen para representar 13 4 usando esta tira de papel varias veces? ¿Entre qué números enteros consecutivos se encuentra la fracción 13 4 ? Expliquen a sus compañeros cómo lo hicieron. 3 En la siguiente recta numérica representen la fracción 13 4 y escriban con símbolos matemáticos entre qué números enteros consecutivos se encuentra. 4 Escriban las fracciones correspondientes (en tercios o cuartos) a los puntos marcados en la figura siguiente. 0 1 0 2 1 2 0 3 1 3 0 4 1 4 BLOQUE 1 Matemáticas 1 27EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

27. 5 Determinencincofraccionesqueesténentre 1 – 3 y 1 – 4 yquedividanestesegmentoenseccionesiguales. Luego expliquen cómo las determinaron. Comparación de fracciones Dadas dos fracciones, se puede determinar si son equivalentes o si una es mayor que la otra. Si dos fracciones dadas tienen igual denominador, es muy fácil determinar cuál es la mayor. 6 ¿Cómo hacerlo? Expliquen en su equipo. 7 Maríacaminó 2 3 kmyJulia 3 4 km.¿Quiéncaminómás?_______________¿Cómolosupieron?Arturo menciona que si las dos fracciones dadas tienen distinto denominador, para compararlas conviene determinar fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. ¿Es correcto o inco- rrecto el procedimiento de Arturo? _________________ Tenemos que 2 3  2  4 3  4  8 12 y 3 4  3  3 4  3  9 12 Localicen estas dos fracciones en la recta numérica del ejercicio 4. Compárenlas. ¿ 2 3 es mayor o es menor que 3 4 ? _______________ 8 El papel cuadriculado es muy útil para representar números en una recta numérica, pues permite elegir una unidad adecuada y ubicar partes de la unidad sin necesidad de plegar el papel o usar una regla graduada.¿Cómo convendría dividir la unidad para representar 3 4 y 7 10 en una recta numérica? Expliquen. 0 11 20 1 10 1 4 7 10 3 4 14 20 15 20 9 Sin utilizar la recta numérica, ¿podrían establecer qué relación hay entre las siguientes fracciones? 3 — 5 4 — 7 17 — 10 7 — 4 5 — 6 7 — 9 ¿Qué procedimiento siguieron? 10 Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego contesten la pregunta 11. Un procedimiento para establecer la relación entre dos fracciones dadas, según vimos antes, consiste en convertirlas a fracciones equivalentes con un mismo denominador. Otro procedimiento consiste en obtener el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Matemáticas 128 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

28. Por ejemplo, dadas 7 — 11 y 8 — 12 , como 7 — 11 8 — 12 7  12  84 y 11  8  88 Se tiene que 7 — 11 es menor que 8 — 12 ya que 84 es menor que 88. Esto es, a partir de que 7  12  84 11  8  88 se concluye que 7 — 11 8 — 12 Otro procedimiento consiste en expresar las fracciones dadas en notación decimal. Por ejemplo, 3 — 4  3  25 ——— 4  25  75 —— 100  0.75 y 7 — 10  0.7 Como 0.75 0.70, se tiene que 3 — 4 7 — 10 . Como habrás observado en este ejemplo, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 se puede representar usando el punto decimal.Así, 7 — 10 , siete décimos, se representa anotando el 7 después del punto decimal, 0.7; y 75 —— 100 , setenta y cinco centésimos, se representa como 0.75. Después del punto decimal, el primer lugar corresponde a los décimos; el segundo, a los centé- simos; el tercero, a los milésimos; luego los diezmilésimos, cienmilésimos, millonésimos, etcétera. Si utilizamos este mismo procedimiento para comparar las fracciones 7 — 11 y 8 — 12 , tenemos que 7 — 11  0.6363636363… y 8 — 12  0.6666666666… . Así que 7 — 11 8 — 12 . Cuando al expresar un número en notación decimal después del punto decimal aparece un periodo de cifras que se repiten, en lugar de los puntos suspensivos, se acostumbra denotarlas con una barra horizontal sobre las cifras que se repiten indefinidamente.Así, 7 — 11  0. — 63 y 8 — 12  0. – 6 11 ¿Cómo comparan ustedes dos fracciones? ¿Cuál de estas distintas formas de comparar fracciones les parece la mejor? ¿Por qué? Coméntenlo en equipo. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. BLOQUE 1 Matemáticas 1 29EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

29. Para saber más de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica Lección 8 T r a b a j a e n e q u i p o Números decimales en la recta numérica 1 Ubiquen los números 0.1,0.2,0.3,0.4,…; 0.9 en la recta numérica auxiliándose del papel milimétrico. 0 0.01 0.02 10.1 0.2 Ubiquen los números 0.01,0.02,...,0.09 en la recta numérica de arriba. 2 Ubiquen los números 0.001,0.002,0.003,…,0.009 en la recta numérica de arriba.¿Cómo lo hicieron? 3 Representen el número 2.7 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se encuentra? 4 Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y localicen el número 3.21 en ella. 3 4 ¿Cómo harían para representar el número 3.211? Coméntenlo en equipo. 5 Representen el número 3.75 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se encuentra?______________________ 3.7 3.8 Matemáticas 130 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

30. 6 Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y localicen el número 1.25 en ella. 1 2 7 En la primera vuelta de una carrera de Fórmula 1, las posiciones de seis automóviles son las que se muestran en la siguiente tabla. Representen los números decimales correspondientes en las rectas numéricas. Núm.de auto Posición 1 3 — 4 vuelta 2 2 — 3 vuelta 3 3 — 5 vuelta 4 2 — 5 vuelta 5 4 — 6 vuelta 6 1 — 3 vuelta 0 0 0 0 0 0 Auto 1 Auto 2 Auto 3 Auto 4 Auto 5 Auto 6 1 1 1 1 1 1 ¿Quiénes ocupaban los tres primeros lugares? _______________________________________ 8 Lean con atención el siguiente texto y discutan en equipo cuándo un decimal es periódico. Luego resuelvan el problema 9. Al hacer la división del numerador de una fracción entre su denominador, se obtiene la expresión de la fracción en notación decimal o, simplemente dicho, un número decimal, el cual consta de dos partes separadas por un punto decimal. La parte a la izquierda del punto decimal es la parte entera del número y la de la derecha es su parte o fracción decimal propia. Por ejemplo, 2 5  4 10  0.4, tiene 0 unidades enteras y 4 décimos; BLOQUE 1 Matemáticas 1 31EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

31. 33 20  165 100  1.65, tiene 1 entero y 65 centésimos (6 décimos y 5 centésimos). Es posible que al hacer la división del numerador entre el denominador de una fracción se obtenga un cociente exacto (siendo el residuo igual a cero), o bien puede ocurrir que se obtenga como cociente de la división un número en el que se repita indefinidamente un grupo o periodo de cifras. Los números de este segundo tipo se llaman decimales periódicos. Como ejemplo del primer caso, tenemos, para 3 5 , que 0.6 5 3.0 Así, 3 5  0.6 Como ejemplo del segundo caso, tenemos, para 2 3 , que 0.6666... 3 2.0 20 20 20 0.6 3 2.0 Así, 2 3  0.6 – Por otra parte, dado un número decimal que no sea periódico, para expresarlo como fracción (con numerador y denominador) sólo se escribe como numerador el mismo número dado pero sin el punto decimal y como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga después del punto decimal el número dado. Por ejemplo, 7.5  75 10 y 0.87  87 100 9 Escriban tres números decimales que se encuentren entre 1 3 y 2 3 y ubíquenlos en la siguiente recta numérica. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Matemáticas 132 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

32. Por tu cuenta Lección 9 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Completa la siguiente tabla y describe el procedimiento que seguiste. Número menor Números entre ambos Número mayor 3 5 3  2 5  3  5 8 2 3 3 5 3  5 5  8  8 13 5 8 3 5 8 13 Procedimiento: _____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2 Ubica las fracciones anteriores en la siguiente recta numérica. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. 0.62 0.63 0.64 0.650.61 0.6 0.666 ¿Hacia cuál punto se concentran? BLOQUE 1 Matemáticas 1 33EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

33. De acuerdo con la historieta, ¿es cierto que siete décimos de metro se encuentran entre 3 5 y 3 4 de metro? ¿Qué otras fracciones cumplen esta condición? ¿Cómo crees que Mary pudo resolverlo? Matemáticas 134

34. Patrones y fórmulas Sucesiones y expresiones generales Conocimientos y habilidades Construirás sucesiones de números a partir de una regla dada y determinarás expresiones generales que definan reglas para formar sucesiones numéricas y figurativas. ¿Qué sabemos de… sucesiones y expresiones generales? 1  3  5  9 1a 2a 3a 1 En el siguiente dibujo aparece un cuadro formado con más gimnastas. Consideren la disposición de los gimnastas y contesten las siguientes preguntas. ¿Cuántos gimnastas hay entre la tercera y la cuarta L? __________________________________ ¿Y entre la cuarta y la quinta? ________ ¿Y entre la quinta y la sexta? ________ ¿Observan alguna particularidad en los números que han encontrado? ¿Cuál? __________________________________ __________________________________ Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple ésta para los gimnastas comprendidos por dos letras L? __________________________________ 1a 2a 3a 4a 5a 6a Lección 10 T r a b a j a e n e q u i p o Enestafigurasemuestrannuevegimnastascolocadosformandouncuadrado.En el piso se tienen marcas semejantes a las letras L.En la región entre la segunda y la tercera L hay cinco gimnastas,y la cantidad de gimnastas hasta la tercera letra L es de nueve. Matemáticas 1 35 1.3 EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

35. 2 ¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la cuarta letra L? ________ ¿Y hasta la quinta L? ________ ¿Y hasta la sexta? ________ ¿Observan alguna particularidad en los números que han encontrado? ¿Cuál? Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple ésta para el total de gimnastas encerrados por las otras letras L? ________ 3 ¿Podrían determinar sin necesidad de hacer algún dibujo o diagrama cuántos gimnastas hay entre la letra L número 24 y la 25? ________ ¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la letra L número 25? ________ 4 Describan cómo se puede calcular cuántos gimnastas hay hasta una letra L sea cual fuere el número de ésta. Para saber más de… sucesiones y expresiones generales Lección 11 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Observen cómo están colocados los siguientes grupos de puntos y contesten. Primer Segundo Tercer Cuarto término término término término ¿Qué patrón numérico identifican en estos dibujos? ¿Por qué piensan que es así? Agreguen un término más a esta sucesión. ¿Cuántos puntos tendrá? ¿Cómo describirían el procedimiento utilizado?Anótenlo en su cuaderno. Matemáticas 136 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS LITERALES

36. ¿Existe un único procedimiento o hay varios? Descríbanlo(s). ¿Cuál es la regla que sigue este patrón? Descríbanla. Si tuvieron dificultades para contestar las preguntas anteriores, seguramente las siguientes actividades les ayudarán a responderlas. 2 Representen en una tabla los valores numéricos que corresponden a los términos de la sucesión (para ello, conviene construir una tabla de dos filas).En la primera fila de la tabla anoten el número correspondiente al orden del término en la sucesión, y en la segunda el valor de ese término. Así, se tiene la siguiente tabla. Complétenla. Orden del término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de puntos 3 7 11 15 ¿Cuántos puntos le corresponden al término 20? ¿Cómo lo calcularon? ¿Cuántos puntos le corresponden al término 50? ¿Cómo lo calcularon? ¿Qué operaciones deben hacer para calcular el número de puntos que corresponden al término 100? Si a un término le corresponde el número n, ¿cómo expresarían el número de puntos que le corresponde? 3 A partir de la tabla anterior, ¿cuál de las siguientes reglas genera la secuencia anterior al sustituir los números 1, 2, 3, 4, 5,… en la expresión que escogieron? 3n 4n – 1 4n + 3 Expliquen cómo pueden obtener la secuencia 3, 7, 11, 15,… a partir de la expresión que escogieron. Comparen, en equipo, los distintos procedimientos que siguieron los otros equipos. Como habrán notado, hay varias relaciones que pueden describir determinado patrón. 4 Una manera de expresar una secuencia es con ayuda de la letra n. Así por ejemplo para expresar la secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8,… es 2n, donde n representa los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,… ¿Cómo expresan la secuencia de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,…? ____________________ La determinación de una ley general para resolver este tipo de problemas permite proponer un procedimiento alterno más sencillo. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado y no apresurarse: por BLOQUE 1 Matemáticas 1 37EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

37. ejemplo,sabiendo que 3 es un número primo,5 es un número primo,7 es un número primo, se podría afirmar que 9 es un número primo. Sin embargo, 9  3  3 y por lo tanto 9 no es primo. 5 ¿Pueden dar otro ejemplo en donde se haga una aseveración general de manera incorrecta? 6 En la siguiente figura se muestran arreglos de puntos en forma triangular. Al contar la cantidad de puntos en el perímetro de cada triángulo, vemos que sucesivamente hay 3, 6, 9, etcétera, puntos en el perímetro de cada uno; es decir, sin contar los puntos interiores. ¿Cuántos puntos tendrá el perímetro del vigésimo trián- gulo?_________________________ ¿Cuántos tendrá el quincuagésimo triángulo?_________ ________________ 7 Traten de plantear una fórmula que sirva para calcular el valor de cualquier arreglo triangular como los anteriores. Es decir, dado el número ordinal que corresponda a un arreglo triangular, el primero, el segundo, …, el décimo, …, el centésimo, …, y, en general, el n-ésimo, calculen mediante la fórmula que planteen cuál es el valor de ese arreglo triangular. Esto es, el primero es 3, el segundo es 6, …, el décimo es 30, …, el centésimo es 300 …, el n-ésimo es Arreglo triangular 1 2 3 10 100 1000 n Puntos en el perímetro (sin considerar los puntos interiores) 3 6 9 30 300 8 Escriban la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones. a) 3, 8, 13, 18, 23, 28 Regla: ________________________________________________ b) 7, 11, 15, 19, 23, 27 Regla: ________________________________________________ c) 8, 11, 14, 17, 20, 23 Regla: ________________________________________________ 9 A continuación se describen reglas generales para generar sucesiones. Complétenlas. REGLAS 4n3: 7, 11, 3n2: 1, 4, 5n2: 7n1: Matemáticas 138 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS LITERALES

38. Por tu cuenta Lección 12 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Observa el siguiente barandal hecho de varillas de fierro. ... ¿Cuántas varillas de fierro se necesitan para construir cuatro triángulos? __________ ¿Y cinco? __________ ¿Y diez? __________ 2 ¿Qué se te ocurre hacer para determinar cuántas varillas de fierro se necesitan para construir 100 triángulos? (Trata de plantear una fórmula para hacer este cálculo fácilmente.) Número de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de varillas 3 5 7 9 11 3 Explica el procedimiento matemático que seguiste. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. BLOQUE 1 Matemáticas 1 39EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

39. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan? ¿Cómo expresarías la regla general para esta sucesión de tapetes? ¿Te gustaría inventar otra sucesión de tapetes con cuadritos? Matemáticas 140

40. Patrones y fórmulas Fórmulas geométricas Conocimientos y habilidades Explicarás en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar. ¿Qué sabemos de… fórmulas geométricas? Lección 13 T r a b a j a e n e q u i p o Situación 1 8 cm a) Si el lado de un cuadrado mide 8 cm,¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ b) Si el lado de un cuadrado mide el doble que el del inciso a),¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ c) Si el lado de un cuadrado mide la mitad de lo que mide el lado del cuadrado del inciso a), ¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ Situación 2 Un terreno rectangular que tiene 10 metros de ancho y 25 metros de largo, se cercará con tres vueltas de alambre.¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercarlo? _____________ a) En caso de que se quisiera cercar el mismo terreno con cuatro vueltas de alambre,¿cuántos metros de alambre se necesitarían? _____________ Matemáticas 1 41 1.4 EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

41. b) Un agricultor desea comprar un terreno rectangular para sembrar hortalizas,y quiere cercarlo con dos vueltas de alambre.¿Cuántos metros de alambre necesitaría para cada uno de los siguientes terrenos? Un terreno rectangular de 28 m de largo y 20 m de ancho _____________ Un terreno rectangular de 35 m de largo y 24 m de ancho _____________ Un terreno rectangular de 40 m de largo y 15 m de ancho _____________ c) Planteen una fórmula que permita calcular la cantidad de alambre en metros necesaria para cercar cualquiera de los terrenos según quiere hacerlo el agricultor del que se habla en el inciso b). d) Verifiquen la fórmula que plantearon en el inciso c) utilizando los datos de cada uno de los terrenos del inciso b). Situación 3 Observen la siguiente secuencia de figuras. 1 Para completar la siguiente tabla,consideren que el lado de cada triángulo equilátero tiene medida b. Polígono interior Perímetro del polígono interior Perímetro de la figura Triángulo equilátero 3b 6b Cuadrado Pentágono regular Hexágono regular 2 De acuerdo con la tabla,determinen la relación que existe entre el perímetro del polígono interior (triángulo, cuadrado,pentágono y hexágono,respectivamente) y el perímetro de la figura. 3 Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del inciso 1,si el polígono interior es un octágono regular _______________________________ 4 Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del ejercicio 1,si el polígono interior es un decágono regular _______________________________ 5 Si la expresión que representa el perímetro de la figura es 24b, ¿cuántos lados tiene el polígono interior? _______________________________ Matemáticas 142 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS LITERALES

42. 6 Completen la siguiente tabla si la medida del lado del triángulo equilátero es de 4 cm. Polígono interior Perímetro del polígono interior Perímetro de la figura Triángulo equilátero 12 cm 24 cm Cuadrado Pentágono regular Hexágono regular Octágono regular Decágono regular Para saber más de… fórmulas geométricas Lección 14 T r a b a j a e n p a r e j a 1 Calculen el perímetro de cada una de las siguientes figuras. P a a b cd d c P x x x x y y y y P A un segmento de línea recta que va de un vértice a otro no consecutivo de un polígono se le denomina diagonal. Así, al trazar una diagonal de un rectángulo, éste queda dividido en dos triángulos. A este tipo de triángulos se les llama triángulos rectángulos, pues se obtienen a partir de un rec- tángulo. Luego, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. a b c d e f g h i El perímetro (P) de un triángulo es la suma de las medidas de sus tres lados. 2 Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un triángulo culquiera cuyos lados son a, b, c: P  __________________________________ BLOQUE 1 Matemáticas 1 43EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

43. 3 ¿Cómo se puede calcular el perímetro de un triángulo que tenga todos sus lados iguales a x? Escri- ban una fórmula para calcular el perímetro de este triángulo. 4 Un octágono regular es un polígono de ocho lados iguales y ocho ángulos iguales.Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un octágono regular. P  __________________________________ 5 Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un hexágono regular. P  ______________________________________________________________________________ Perímetros y áreas El perímetro (P) de una figura cerrada en un plano es la medida de la longitud de su contorno, y su área (A) es la extensión de la superficie que limita en el plano en que se encuentra. 6 El perímetro de una cierta figura se calcula sumando las medidas de sus cuatro lados. Si cada lado de la figura mide a, su perímetro es P  a  a  a  a, o bien P  4  a, o simplemente P  4a. ¿De qué figura se trata? ____________________________________________________________ ¿Las tres expresiones anteriores producen el mismo resultado?____________________________ 7 El área de una cierta figura se calcula multiplicando la medida de un lado por sí misma. Si el lado mide a, su área es A  a  a, o bien A  a2 . ¿De cuál figura se trata? ____________________________________________________________ 8 Carlos afirma que el perímetro de una figura es P  2a  2b y Rosa afirma que es P  2(a  b). ¿De qué figura se trata? _______________________________ ¿Las dos expresiones anteriores producen el mismo resultado? ____________________________ Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. l Matemáticas 144 TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS LITERALES

44. Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías tú, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el perímetro y el área de una sección triangular? ¿Cuál sería la expresión general que las representa? Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías tú, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el perímetro y el área de una sección triangular? ¿Cuál sería la expresión general que las representa? Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías tú, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el perímetro y el área de una sección triangular? ¿Cuál sería la expresión general que las representa? Matemáticas 1 45EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

45. Movimientos en el plano Figuras simétricas ¿Qué sabemos de… figuras simétricas? Lección 15 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Tracen el eje o los ejes de simetría de las siguientes figuras. 2 Completen cada una de las siguientes figuras usando su eje de simetría. Eje de simetría 3 Las siguientes letras tienen ejes de simetría.Dibujen en su cuaderno otras figuras que tengan uno o varios ejes de simetría. Conocimientos y habilidades Construirás figuras simétricas respecto a un eje,analizarás y harás explícitas las propiedades que se conservan bajo simetría en figuras tales como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos. Matemáticas 146 1.11.11.11.5

46. 4 Construyan el  A’B’C’ simétrico del triángulo isósceles ABC con respecto al eje r y contesten las siguientes preguntas. C B A r ¿Cómo son entre sí las longitudes de los siguientes pares de segmentos? AB y A’B’ ___________________ BC y B’C’ ___________________ CA y C’A’ ___________________ AC y A’C’ ___________________ 5 En los triángulos ABC y A’B’C’,midan con un transportador las amplitudes de los pares de ángulos A y A’,B y B’,C y C’. ¿Cómo son? 6 De acuerdo con lo que realizaron en las actividades 4 y 5 enlisten en su cuaderno las propiedades que hayan descubierto. 7 Tracen la simétrica de cada una de las figuras siguientes. Observen la ubicación de los ejes de simetría correspondientes.Después midan las longitudes de los lados y de los ángulos de las figuras que hayan trazado. Finalmente completen la tabla de la siguiente página. A B C r C D B A m BLOQUE 1 Matemáticas 1 47EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

47. C D B A n C D B A p Figura Figura simétrica ¿Hay la misma distancia de dos puntos simétricos al eje de simetría? ¿Tienen la misma longitud los lados de la figura simétrica que los de la original? ¿Tienen la misma amplitud los ángulos de la figura simétrica que los de la original? Triángulo isósceles ABC A’B’C’ Rombo ABCD A’B’C’D’ Cuadrado ABCD A’B’C’D’ Rectángulo ABCD A’B’C’D’ Para saber más de… figuras simétricas Lección 16 T r a b a j a e n p a r e j a 1 Realicen las siguientes actividades: a) Doblen una hoja de papel tamaño carta a la mitad por su largo; en el doblez anoten EJE DE SIMETRÍA. b) En una mitad de la hoja tracen un triángulo escaleno y denoten sus vértices como A, B y C respectivamente. Coloreen el interior del triángulo. Eje de simetría Matemáticas 148 TEMA:TRANSFORMACIONES

48. c) Doblen nuevamente la hoja por el EJE DE SIMETRÍA y con la punta de un lápiz perforen los vértices de modo que se marquen en la otra mitad de la hoja.A los puntos marcados en esta mitad de la hoja denótenles respectivamente como A,B y C,de modo que A corresponda al vértice A,B a B,y C a C. d) Desdoblen la hoja y tracen el triángulo de vértices A, B y C. e) Ahora con una regla tracen los segmentos rectilíneos, de preferencia con color rojo, que van del punto A al punto A, de B a B, y de C a C (cada uno de estos segmentos rectilíneos se denota como AA, BB y CC). A las parejas de puntos A y A, B y B y C y C se les llama puntos simétricos respecto al EJE DE SIMETRÍA marcado por el doblez de la hoja, y se dice que los triángulos ABC y ABC son simé- tricos. (Se acostumbra usar el signo  para denotar el término “triángulo”. Así, el  ABC y el  ABC son simétricos.) BLOQUE 1 Matemáticas 1 49EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

49. 2 Consideren esta ilustración para constestar las siguientes preguntas. eje eje A C C’ A’ B B’ ¿Qué ángulos forman los segmentos rectilíneos AA,BBy CCcon el eje de simetría? Denoten los puntos de intersección de AA, BB y CC con el eje de simetría como D, E y F respectivamente. Midan la distancia entre A y D y entre A y D. ¿Qué notan? Midan la distancia entre B y E y entre B y E. ¿Qué notan? Midan la distancia entre C y F y entre C y F. ¿Qué notan? Hagan una lista de las propiedades que se conservan al reflejar una figura con respecto a un eje de simetría. 3 Fíjense en las figuras y contesten en su cuaderno las preguntas que siguen. ¿Son simétricas F y F respecto a r? ¿Cómo pueden verificarlo? ¿Son simétricas G y G respecto a p? ¿Cómo pueden verificarlo? a) r F F´ G G´ P a) b) Matemáticas 150 TEMA:TRANSFORMACIONES

50. 4 ¿Cuáles de las siguientes figuras son simétricas con respecto a la recta roja? ______________________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________ a) b) c) Lección 17 T r a b a j a e n e q u i p o Realicen las siguientes actividades. Actividad 1 Ahora tracen la figura simétrica en el siguiente dibujo respecto al eje de simetría dado. A BC D G H E F eje de simetría ¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más alejado del eje de simetría? _____________________ ¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más alejado del eje de simetría? __________________ ¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más cercano al eje de simetría? ______________________ 1 BLOQUE 1 Matemáticas 1 51EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

51. ¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más cercano al eje de simetría? ____________ ¿Es el lado AB paralelo al eje de simetría? ________________________________________ ¿Es el lado A’B’ paralelo al eje de simetría? ______________________________________ Se denomina perpendiculares a dos rectas que forman ángulo recto entre sí. ¿Qué lados de la figura ABCDEF son perpendiculares al eje de simetría? ¿Qué lados de la figura A’B’C’D’E’F’ son perpendiculares al eje de simetría? Al reflejar la figura con respecto a un eje de simetría se conservan: Las medidas de sus lados y de sus ángulos. El paralelismo y perpendicularidad de sus lados. Actividad 2 En la siguiente figura está trazada la recta l y marcado un punto P exterior a ella. Sigan estos pasos para determinar el simétrico del punto P respecto a la recta dada l usando escuadra y compás. l P a) Por el punto P, tracen una perpendicular m a la recta dada l. l P m A Matemáticas 152 TEMA:TRANSFORMACIONES

52. b) Denoten con A al punto donde m y l se intersectan (este punto A se denomina pie de la perpendicular m). Luego prolonguen la recta m hacia el otro lado de l. l P m A c) Con el compás, tracen una circunferencia con centro en A y radio AP. Denoten con P’ el otro punto de intersección de esta circunferencia con la recta trazada m. l P m 90° P’ A El punto P’ es el que se requería encontrar. l P m 90° P’ A d) ¿Cómo sabemos que PA  AP’ en la figura anterior? Coméntenlo en su equipo. La palabra “eje” proviene de la palabra latina axis; por eso, cuando se hace referencia a la simetría con respecto a un eje, simplemente se dice simetría axial. La actividad anterior nos ayudará a definir lo que es una simetría axial. BLOQUE 1 Matemáticas 1 53EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

53. P m P‘ Q S‘ R R‘ S Q‘ P m Q RS Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Por tu cuenta Lección 18 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Completa la simétrica de la siguiente figura, sabiendo que A’ es el simétrico de A. (Primero determina el eje de simetría.) A A‘ Un punto P’ es el simétrico de P respecto a la recta l —o viceversa, P es el simétrico de P’ respecto a la recta l— si se cumplen las siguientes dos condiciones: el segmento rectilíneo PP’ es perpendicular a la recta l, y la longitud de PA es igual a la de AP’. Estoes,dospuntosPyP’sonsimétricosconrespectoaunejelsielsegmentorectilíneoPP’esperpendicular a la recta l y su punto de intersección es el punto medio del segmento PP’. e) ¿Cuál es el simétrico de un punto L que esté en el eje de simetría l? __________________ Actividad 3 En la figura siguiente pueden darse cuenta de que la recta m no es eje de simetría de PQRS.¿Por qué? Matemáticas 154 TEMA:TRANSFORMACIONES

54. 2 Describe el procedimiento que seguiste para trazar la figura simétrica,dada la figura y un punto simétrico de ésta. 3 Traza los ejes de simetría de los siguientes polígonos regulares y luego completa la tabla de abajo. Número de lados del polígono regular 3 4 5 6 7 8 9 10 LÍNEA Nombre del polígono regular Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono I Número de ejes de simetría que van de un lado a otro del polígono II Número de ejes de simetría que van de un vértice a un lado del polígono III Número de ejes de simetría que van de un vértice a otro del polígono IV Número total de ejes de simetría del polígono 4 ¿Qué patrón de comportamiento has observado en cuanto al número de ejes de simetría de los polígonos regulares? Describe por escrito tus observaciones. Hazlo en tu cuaderno. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. BLOQUE 1 Matemáticas 1 55EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

55. ¿A qué propiedades se reﬁere Lupe? ¿Qué propiedades se conservan bajo simetría en ﬁguras como triángulos isósceles, equiláteros y rombos, por ejemplo? Matemáticas 156

56. Relaciones de proporcionalidad Proporcionalidad directa Conocimientos y habilidades Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos,utilizando de manera flexible diversos procedimientos. ¿Qué sabemos de… proporcionalidad directa? Lección 19 T r a b a j a e n e q u i p o 1 Completen la siguiente tabla sabiendo que en un supermercado se venden paquetes de 12 huevos cada uno. Cantidad de paquetes 1 2 7 20 100 300 500 Cantidad de huevos 12 36 48 2 Enunmercadosevendenbolsasde3kg(kilogramos)denaranjascadauna.Eldueñodeunrestaurantenecesita 15 kg diarios para los desayunos que ofrece en su negocio. ¿Cuántas bolsas de naranjas tendrá que comprar en una semana? ______________ ¿Y en un mes? ______________ Completen la siguiente tabla. Cantidad de días 1 2 3 4 5 6 7 30 Cantidad de bolsas de naranjas 3 Para hacer crema de chocolate para 6 personas se necesitan 108 g (gramos) de chocolate,6 cucharadas de azúcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras, entre otros ingredientes. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se necesita para preparar crema de chocolate para 9 personas? Chocolate:__________Azúcar:__________ Huevo:__________Almendra:__________ 4 Si 6 L (litros) de leche cuestan $54.00,¿cuánto cuestan 11 L de leche? ______________ ¿Cuánto cuesta 1 L de leche? ______________ Matemáticas 1 57 1.6 EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

57. El Porvenir ¿Cuánto cuestan 3 L de leche? ¿Y 4 L? 5 La familia Macías va en un autobús rumbo aAcapulco a una velocidad constante de 90 km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorre el autobús en 3 horas? ¿Y en media hora? ¿Y en 15 minutos? 6 Si un automóvil tarda 3 horas en recorrer 315 km, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si continúa desplazándose a la misma velocidad? ¿Y en una hora? Para saber más de… proporcionalidad directa Lección 20 T r a b a j a e n e q u i p o 1 María trata de explicar a su mamá cómo gastó el dinero en el supermercado. Si bien pagó $171.70 (redondeando$171.71),nosabecómoseobtuvieronlostresprimerosvaloresdeesasuma,cantidades que están encerradas en el comprobante de pago. ¿Podrían ayudarle a María a dar su explicación? MUCHAS GRACIAS POR SU COMPRA 2 kg jamón de pavo 1 kg/48.00 96.00 0.500 kg queso panela 1 kg/36.00 18.00 0.250 kg queso amarillo 1 kg/80.00 20.00 medialuna po. 11.20 bollito de queso 10.90 SUBTTL 156.10 TOTAL 171.71 EFCTVO 200.00 CAMBIO 29.29 Completen lo siguiente. Si 1 kg de jamón de pavo cuesta $48.00, 2 kg cuestan: _____________________________________ Matemáticas 158 TEMA:ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

58. Si 1 kg de queso panela cuesta $36.00, ¿cuánto cuestan 0.500 kg ( 1 2 kg)? Si 1 kg de queso amarillo cuesta $80.00, ¿cuánto cuestan 0.250 kg ( 1 4 kg)? En cuanto al jamón de pavo, se ha elaborado la siguiente tabla.Verifiquen las cantidades utilizando una calculadora. Observen que hay un número que, si se multiplica por el número correspondiente a la cantidad de jamón, se obtiene como resultado la cantidad total de dinero que se tiene que pagar. Al duplicar, triplicar, reducir a la mitad, etc., la cantidad de jamón, se duplica, triplica, se reduce a la mitad, etc., el costo correspondiente. Diremos que la cantidad de jamón comprado y el precio pagado son directamente proporcionales. El número por el que se multiplica la cantidad de jamón recibe el nombre de factor constante de proporcionalidad. 2 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de cierta cantidad de queso panela. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________ 3 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de determinada cantidad de queso amarillo. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________ Cualquiera que sea la cantidad de mercancía, el costo total puede obtenerse multiplicando dicha cantidad por el precio de una unidad, al cual llamaremos precio unitario. Cualquiera sea el costo de la mercancía, la cantidad de mercancía puede determinarse divi- diendo dicho costo entre el precio unitario correspondiente. Por ejemplo, para encontrar la cantidad de queso amarillo comprado sabiendo que se pagaron $60 y que el precio unitario de 1 kg es $80 hacemos la división: 60 80 5 6 8 5 3 4 La cantidad de queso amarillo comprado fue de 3 4 kg. En nuestros ejemplos, el precio unitario respectivo es constante. Se le denomina constante de proporcionalidad. Para el caso del jamón de pavo, observen lo siguiente: Cantidad de jamón en kg 1 2 5 6 0.500 0.250 0.125 Precio en pesos ($) 48 96 240 288 24 12 6 3 48 4 48 Cantidad de queso panela en kg 0.125 0.250 0.500 1 2 3 4 5 Precio en pesos ($) Cantidad de queso amarillo en kg 1 ¾ ½ 1/4 Precio en pesos ($) BLOQUE 1 Matemáticas 1 59Eje: Manejo de la información

59. 48 1  96 2  144 3  192 4  240 5  …  6 0.125  48. Así, en este caso la constante de proporcionalidad es igual a 48. Éste es un procedimiento útil para decidir si una tabla corresponde o no a una proporcionalidad. 4 ¿En cuáles de las siguientes tablas se tiene una proporcionalidad directa? Escriban SÍ o NO en la casilla correspondiente. Justifiquen la respuesta en su cuaderno. TABLA D TABLA E TABLA A TABLA B TABLA C TABLA D TABLA E ¿Se tiene una proporcionalidad directa? Número de entradas 3 10 15 28 Precio en pesos ($) 37 125 187 TABLA A Temperatura en Hora del día grados Celsius 9:00 21 12:00 28 15:00 32 18:00 27 21:00 22 24:00 18 9:00 21 12:00 28 15:00 32 18:00 27 21:00 22 24:00 18 Tiempo Distancia transcurrido en h recorrida en km 1 120 2 240 3 360 3 ½ 420 5 600 5 ¼ 630 1020 Distancia Distancia en real en km el mapa en cm 40 1 1 3 180 6 450 15 540 18 2121 Edad en años Altura en m 7 1.10 8 1.15 9 1.22 10 1.28 11 TABLA B TABLA C Matemáticas 160 TEMA:ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

60. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en las tablas anteriores que identificaron como proporcionales? 5 Veamos la siguiente tabla. Cantidad de paletas 1 2 3 4 5 6 9 Precio en pesos ($) 8.50 17.00 25.50 34.00 42.50 51.00 76.50 Si de la primera línea suman el 2 y el 4, se obtiene que 2 1 4 5 6. En la segunda línea, al 2 corresponde 17.00 y al 4 corresponde 34.00. Al sumar los valores correspondientes,se tiene que 17.00 1 34.00 5 51.00.La cantidad 51.00 en la segunda línea corresponde al 6 en la primera, que fue el resultado de 2 1 4. Si restan 17.00 a 42.50, ¿qué obtienen? ____________ En la primera línea, a 17.00 corresponde 2 y a 42.50 corresponde 5.Al restar los valores correspondientes, se obtiene ____________. ¿Qué pueden concluir de la suma o resta? ____________ 6 Determinen cuánto se pagaría por 11 paletas utilizando el anterior procedimiento. 7 Determinen cuánto se pagaría por 17 paletas. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Por tu cuenta Lección 21 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 De las siguientes parejas de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? Utiliza tabulación para dar tu respuesta y subraya la correcta. a) Lado (l) del cuadrado y su superficie (A). b) Lado del cuadrado (l) y su perímetro (P). c) Edad (años) y altura de las personas (cm). l P b) l A a) Años cm c) BLOQUE 1 Matemáticas 1 61Eje: Manejo de la información

61. 2 ¿Cuáles de las siguientes tablas contienen datos que estén en proporción directa? Coloréalas. TABLA A TABLA B TABLA C ¿Se tiene una proporcionalidad directa? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? TABLAA A 1 2 3 4 5 B 7 14 21 28 35 TABLA B L 4 8 12 16 20 S 36 72 108 144 176 TABLA C T 1 2 3 4 5 E 100 200 300 400 500 3 Completa esta tabla sabiendo que los datos de una línea están en proporción directa con los de la otra línea. Distancia que recorre un autobús en km 45 km 450 495 Tiempo que tarda en recorrer la distancia en h ½ 1 ½ 3 4 Describe dos ejemplos de cómo se utiliza la proporcionalidad directa en algunos ámbitos de tu comunidad. a) ____________________________________________________________________________________ b) ____________________________________________________________________________________ Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. Matemáticas 162 TEMA:ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

62. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de María? ¿Cuántos kilogramos de carne podrías comprar si el kilogramo costara $55? Matemáticas 1 63EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

63. Relaciones de proporcionalidad Reparto proporcional Conocimientos y habilidades Elaborarás y utilizarás procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional. ¿Qué sabemos de… reparto proporcional? Lección 22 T r a b a j a e n e q u i p o Discutan en equipo cómo entienden los siguientes problemas.Diseñen un plan para resolverlos.Decidan cuál podría ser la mejor estrategia para resolverlos. Por último, comparen sus procedimientos y resultados con los de los demás equipos. 1 Tres amigos obtuvieron un premio de $1 200.00 en una rifa de su comunidad. Alberto colaboró con $2.00, Mónica aportó $3.00 y Javier cooperó con $5.00. ¿Cómo deben repartir el premio según lo que aportó cada uno? Alberto __________________ Mónica __________________ Javier ___________________ 2 El señor Jiménez,dueño de una empresa,quiere repartir $8 700.00 en partes proporcionales entre cuatro de sus trabajadoras, de acuerdo con el tiempo que llevan laborando. Leticia lleva 8 años trabajando en la empresa;Olga,12 años;Perla 9,y María 16.¿Cuánto le corresponde a cada trabajadora? Leticia _______________ Perla _________________ Olga _________________ María _________________ 3 Se van a repartir $19 500.00 entre tres personas de acuerdo con las siguientes condiciones: Juan debe recibir el doble de lo que reciba Judith y ella debe recibir el triple de lo que reciba Carlos.¿Cuánto recibirá cada uno? Juan __________________ Judith _________________ Carlos ________________ Matemáticas 164 1.7

64. Nota: Consideren que si la cantidad a repartir fuera igual para todos,para que el reparto fuera justo bastaría dividir entre el número de personas. Como no es la misma cantidad, una manera de lograr que el reparto sea justo es que las cantidades que se dan sean proporcionales a lo que aportó cada uno; es decir, si una persona aportó el doble, el triple o n veces más que otro, entonces es justo que reciba una cantidad que sea ese número de veces mayor que la cantidad del otro. Para saber más de… reparto proporcional Lección 23 T r a b a j a e n p a r e j a 1 Pepe planteó a Juan el siguiente problema. “Tres telefonistas van a recibir $60 000.00 en partes directamente proporcionales al tiempo que llevan trabajando en una empresa. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos si el de más antigüedad lleva 21 años, el segundo 20 y el tercero 19?” Juan lo resolvió de la siguiente manera: Sumó el número de años que llevan trabajando los tres trabajadores. 21 años  20 años  19 años  60 años Por tanto, los $60 000.00 deben repartirse con base en un total de 60 años. Y luego dividió los $60 000.00 entre el número total de años. 60 000 60  1000 Y concluyó que a cada telefonista le corresponden $1 000.00 por cada año trabajado. Por lo que multiplicando el número de años que cada telefonista lleva laborando en la empresa por la cantidad de dinero correspondiente a un año, obtuvo que: 21  1 000  21 000 20  1 000  20 000 19  1 000  19 000 ¿Qué opinan del procedimiento que utilizó Juan? ¿Habría algún otro procedimiento? ¿Cuál? ¿Ha resuelto el problema correctamente o lo ha hecho incorrectamente? BLOQUE 1 Matemáticas 1 65EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

65. Resuelvan los siguientes problemas: 2 Tres hermanos quieren comprar un terreno de 6 000 m2 para sembrar árboles frutales.El terreno les cuesta $400 000.00. Uno de los hermanos se quiere quedar con 1 500 m2 ,el segundo con 2 000 m2 y el tercero con 2 500 m2 . ¿Cuánto debe aportar proporcionalmente cada hermano? Hermano 1: _______________________________ Hermano 2: _______________________________ Hermano 3: _______________________________ 3 Supongan ahora que el primer hermano quiere quedarse con una quinta parte del terreno y los otros dos hermanos se reparten el resto en partes iguales. ¿Qué cantidad debe aportar cada uno para comprar el terreno? Hermano 1: _______________________________ Hermano 2: _______________________________ Hermano 3: _______________________________ Matemáticas 166 TEMA:ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

66. Por tu cuenta Lección 24 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Investiga cómo han resuelto el problema de reparto proporcional en tu comunidad o bien plantea un problema en el que hayas resuelto un problema de reparto proporcional y descríbelo aquí. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. BLOQUE 1 Matemáticas 1 67EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

67. ¿Estás de acuerdo con la solución que dimos? ¿Cómo resolverías tú este problema? Matemáticas 168

68. Diagramas y tablas Problemas de conteo Conocimientos y habilidades Resolverás problemas de conteo utilizando diversos recursos, como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales. ¿Qué sabemos de… problemas de conteo? Lección 25 T r a b a j a e n e q u i p o 1 ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse cuatro personas en cuatro sillas? 2 ¿Cuántos saludos ocurren entre seis amigos si todos se saludan entre sí? Si intervienen siete amigos en lugar de seis,¿cuántos saludos habrá en total? ¿Y si son ocho? Expliquen brevemente cómo resolvieron estos problemas: 3 Cuatro amigos van al cine y todos quieren sentarse en una misma fila.¿De cuántas formas pueden hacerlo si dos de ellos no quieren sentarse juntos? Matemáticas 1 69 1.8 EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

69. Para saber más de… problemas de conteo Lección 26 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e Imagina que para vestirte cuentas con 4 pantalones y 3 camisas,¿de cuántas maneras distintas podrías vestirte? 1 Para resolverlo, Pepe se apoyó en el siguiente diagrama: Camisa 3Camisa 1 Camisa 2 Camisa 3Camisa 1 Camisa 2 Camisa 3Camisa 1 Camisa 2 Camisa 3Camisa 1 Camisa 2 PANTALÓN 1 PANTALÓN 2 PANTALÓN 3 PANTALÓN 4 a) Entonces, ¿cuántas combinaciones puedes realizar?__________ b) ¿Cómo lo hubieras resuelto tú? Coméntalo con tus compañeros. 2 Imagina que ahora cuentas con 7 pantalones y 9 camisas. ¿Podrías hacer un diagrama como el que hizo Pepe o emplearías otro procedimiento? Coméntalo con tus compañeros. 4 De nueve candidatos se quiere elegir al presidente yalsecretariodelasociedaddealumnos.Cadauno puede ser presidente o secretario,pero no ocupar ambos cargos a la vez.¿Cuántas parejas diferentes podríamos formar? Matemáticas 170 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

70. Empiezan con 1 Terminan en 5 Empiezan con 1 y terminan en 5 Son pares Son múltiplos de 5 Son mayores que 30 4 Determina cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra AMOR, sin repetición de letras, aunque éstas no tengan significado en español. Luego determina cuántas de esas palabras cumplen las siguientes condiciones. 3 Determina cuántos números de dos cifras,sin repetición de cifras,pueden escribirse con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. Luego determina cuántos de esos números cumplen las siguientes condiciones: Terminan en A Empiezan con M Empiezan con R y terminan en A Empiezan con vocal Tienen vocal y consonante alternadas Si te sirve de algo, apóyate en el siguiente diagrama: A M O R O R 5 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? ___________ 6 Cinco jueces de clavados disponen de una cartulina que tiene un 1 en un lado y un 0 en el otro. ¿Cuántas combinaciones de ceros y unos pueden hacer los cinco jueces? ____________________ El método de tabulación también puede ayudarlos a identificar alguna regularidad en los procedimientos de resolución del tipo de problemas de combinaciones de dos en dos, y así lograr plantear generalizaciones. Por ejemplo, si se quiere contar el total de saludos de tres amigos que se saludan entre sí en una reunión, hagamos lo siguiente. Llamemos A, B y C a cada uno de los amigos que se saludan entre sí, y formemos una tabla en la que aparezcan todas las parejas posibles de las letras A, B y C, aunque se repitan. A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC BLOQUE 1 Matemáticas 1 71EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

71. Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. Por tu cuenta Lección 27 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e 1 Determina cuántos saludos ocurren entre el siguiente número de personas si todas se saludan una a la otra:5,6,7 y 8.Generaliza tus resultados para cualquier número n de personas. 2 Investiga cómo se organiza un torneo de baloncesto, voleibol o futbol en tu localidad y elabora un informe en tu cuaderno.Puedes mostrar el número de juegos con tablas o diagramas. Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente. Nota lo siguiente: Las parejasAA, BB y CC no cuentan como saludo (no se considera que alguien se salude a sí mismo). Cada pareja de dos letras, como AB, sí representan un saludo, aunque como saludo es la misma que BA. Así que los pares de las mismas letras en distinto orden cuentan como un solo saludo. Luego, los saludos posibles son AB,AC y BC. Esto es, hay tres saludos entre tres personas. Matemáticas 172 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

72. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de María? ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer si Lupe tiene 3 pares de calcetas además de las prendas anteriores? ¿Estás de acuerdo con la respuesta de María? ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer si Lupe tiene 3 pares de calcetas además de las prendas anteriores? ¿Estás de acuerdo con la respuesta de María? ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer si Lupe tiene 3 pares de calcetas además de las prendas anteriores? Matemáticas 1 73EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

73. ¡Ahora es tiempo de divertirse con un truco muy sencillo! Sólo sigue las instrucciones. 1. Pide a uno de tus compañeros o compañeras que piense en un número del 1 al 15. 2. Después, muéstrale las siguientes cuatro columnas y pídele que señale aquellas columnas en las que aparece el número que pensó. 1 – 9 2 - 10 4 - 12 8 - 12 3 – 11 3 - 11 5 - 13 9 - 13 5 – 13 6 - 14 6 - 14 10 - 14 7 – 15 7 - 15 7 - 15 11 - 15 Para adivinar el número sólo tendrás que sumar los números marcados en rojo de las columnas que señalan. 1 – 9 2 - 10 4 - 12 8 - 12 3 – 11 3 - 11 5 - 13 9 - 13 5 – 13 6 - 14 6 - 14 10 - 14 7 – 15 7 - 15 7 - 15 11 - 15 Ejemplo: si ha pensado en el número 7, deberá señalar las tres primeras columnas. Por tanto, si sumas los tres números rojos correspondientes a esas columnas, tendrás 1 + 2 + 4 = 7. ¿Te gustaría elaborar tus propias tablas y adivinar números más grandes y explicar por qué funciona este truco? ¡Adelante con tu proyecto! Construcción de los tableros Investiga en la biblioteca escolar, con tu profesor o en internet cómo construir 7 tableros para que puedas adivinar números entre 1 al 127. Nota: considera que el primer número de cada tablero es el resultado de elevar la base 2 a una potencia, es decir: 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 . . . y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 69 es la suma de 64, 4 y 1. Ello quiere decir que este número lo debes colocar en cualquier casilla de los tableros 1, 3 y 7. Un ejemplo más con el número 35. Este número es la suma de 32 + 2 + 1, lo que significa que debes colocar el 35 en los tableros 1, 2 y 6. Juguemos con el Sistema Binario de Numeración 74

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