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Randy fourier1

matematica 4

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Randy fourier1

  1. 1. La Transformada De Fourier Randy Guerrero CI:24.778.102 Ing. Civil
  2. 2.  La transformadadeFourier :es básicamenteelespectro defrecuenciasdeuna función.Un buen ejemplo deesoes lo quehaceel oídohumano,yaquerecibe unaondaauditivayla transformaen unadescomposición en distintas frecuencias(que es loque finalmenteseescucha).El oídohumanova percibiendodistintasfrecuenciasamedida que pasael tiempo,sin embargo,la transformadadeFouriercontiene todaslas frecuenciasdeltiempo duranteel cualexistió la señal;es decir, en la transformadadeFourierseobtieneunsólo espectrodefrecuencias paratodala función.
  3. 3.  Definiciónformal: Seaf unafunciónLebesgue integrable: LatransformadadeFourierde fesla función Estaintegral tienesentido,puesel integrandoesuna funciónintegrable.Una estimativasimple demuestraquela transformadadeFourierF(f) esunafunciónacotada. Ademáspormedio del teoremade convergenciadominada puededemostrarsequeF(f) escontinua.
  4. 4.  La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por: Nótesequela únicadiferencia entrela transformada deFourieryla transformadadeFourierinversa esel signo negativo en el exponentedel integrando.El teoremadeinversión de Fourier formuladoabajo justificael nombredetransformadadeFourierinversa dadoa estatransformada.Elsigno negativoen el exponentedelintegradoindicala traspolaciónde complementosyuxtapuestos.Estoscomplementos pueden seranalizadosatravésdela aplicacióndela varianzapara cadafunción.
  5. 5.  Suspropiedadesbasicas: LatransformadadeFourieresunaaplicaciónlineal: Valen lassiguientes propiedadesparaunafunciónabsolutamenteintegrable f: Cambiodeescala: Traslación: Traslaciónen la variabletransformada:
  6. 6. Transformadadeladerivada: Sify suderivadasonintegrables Derivada dela transformada: Si f y t → f(t)} f(t) son integrables, la transformada deFourier F(f) es diferenciable Estasidentidadessedemuestranporuncambio de variableso integraciónpor partes. Enlo que sigue, definimosla convoluciónde dos funcionesfy gen la rectadela manerasiguiente:
  7. 7. Nuevamente lapresencia del factordelantedela integral simplificael enunciadodelosresultados como el que sigue: Si fyg sonfuncionesabsolutamenteintegrables,laconvolución tambiénes integrable,yvalela igualdad: Tambiénpuedeenunciarseun teoremaanálogoparala convoluciónen lavariable transformada, peroeste exige ciertocuidadoconel dominiodedefinición de latransformadadeFourier.
  8. 8. Algunos ejercicios deFourier: CalcularF(w) para el pulso rectangularf(t) siguientes

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