1. Pertemuan 5
Inferences about a Mean Vector and
Comparison Of Several Multivariate Means
Dosen Pengampu : Rani Nooraeni, S.ST., M.Stat..

2. The Plausability of μ0 as a Value for a Normal
• Review Univariate
H0 : μ=μ0
H1 : μ ≠ μ0
Jika Xi~N(μ,σ2) dengan asumsi σ2 tidak
diketahui
Statistik Uji :
dimana dan

n
j
Xj
n
x
1
1
 

 22
)(
1
1
XX
n
s j
• Statistik Uji tersebut mempunyai distribusi t dengan
derajat bebas n-1.
• H0 ditolak apabila |t| ≥ tα/2,n-1, dimana tα/2,n-1 adalah nilai
kritis yang diperoleh dar tabel t
• Menolak H0 ketika |t| yang besar sama dengan menolak
H0 pada saat t2 (Pers 5-1)
• Variabel t2 merupakan kuadrat jarak dari rata-rata sampel
ke nilai uji μ0
• Jarak tersebut menunjukkan ekspresi dari atau
estimasi dari standar deviasi dari
Selanjutnya bentuk karakteristik ini akan analog dengan
statitik -T2 pada kasus multivariate
Created by: Dwi Raharjo

3. • Jika H0 tidak ditolak, dapat disimpulkan
bahwa μ0 merupakan nilai dari rata-rata
populasi yang berdistribusi normal.
• Sehingga diperoleh Selang kepercayaan
pada persamaan (5-3)
𝒙 − 𝒕 𝒏−𝟏
𝜶
𝟐
−
𝒔
𝒏
≤ 𝝁 𝟎 ≤ 𝒙 + 𝒕 𝒏−𝟏
𝜶
𝟐
−
𝒔
𝒏
Kasus Multivariate
• H0 :
• Bentuk umum dari jarak kuadrat
persamaan (5-1) pada kasus
multivariate analog dengan
yang disebut dengan persamaan
Hotelling (Harold Hotelling).
)()()()
1
()( 0
1'
00
1'
0
2
  
XSXnXS
n
XT
Created by: Dwi Raharjo

4. • Jika jarak observasi statistik T2 > maka H0 akan ditolak.
• Jika X1,X2,...,Xn merupakan sampel acak berdistribusi Np(μ,∑) maka :
)(
)(
)1(
, pnpF
pn
pn











  )(
)(
)1(
.
2
 pnpF
pn
pn
Tp








 

)(
)(
)1(
)()'( ,
1
 pnpF
pn
pn
xSxnP
For further information
Created by: Dwi Raharjo

5. Contoh
Hitunglah nilai T2
Solusi :











38
610
96
X


























6
8
3
369
3
8106
2
1
x
x
x


















93
34
9
2
)63()66()69(
3
2
)63)(88()66)(810()69)(86(
4
2
)88()810()86(
222
22
12
222
11
S
s
s
s


















27
4
9
1
9
1
3
1
43
39
)3)(3()9)(4(
1
41
S
9
7
27
1
9
2
]1,1[3
56
98
27
4
9
1
9
1
3
1
]56,98[32






























T
Created by: Dwi Raharjo

6. Inferensia Vektor Rata-Rata 2 Populasi
∑ diketahui.
Hipotesis :
𝐻 𝑜: 𝜇 = 𝜇0
𝐻 𝑜: 𝜇 ≠ 𝜇0
Statistik Uji :
𝑍2
= 𝑥 − 𝜇0 ′
1
𝑛
Σ
−1
𝑥 − 𝜇0
Tolak H0 jika Z2 > 𝒳 𝛼,𝑝
2
∑ tidak diketahui.
1. Asumsi : XI ~ Np ( μI , ΣI )
XII ~ Np ( μII , ΣII )
Hipotesis Statistik: Ho: μI – μII = δo
H1: μI – μII ≠ δo
Σ = Sg =
𝑛1 − 1 𝑆1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
Sg : matriks ragam-peragam sampel gabungan
(pooled) dari kedua populasi
SI dan SII : matriks ragam peragam sampel dari
populasi I dan populasi II
Created by: Prawesty Dian U.

7. 2. Asumsi : ΣI ≠ ΣII dan tidak diketahui nilainya
Gunakan ukuran contoh besar : (nI – p) dan (nII – p) besar
*) Statistik Uji :
Tolak Ho , terima H1 : μI – μII ≠ δo jika : nilai statistik uji > χ2
α ;p
Apabila Ho tidak ditolak, dapat diartikan bahwa pada tingkat kepercayaan sebesar
(1- α)100% vektor (μI – μII) = δo berada dalam wilayah ellipse.
Created by: Prawesty Dian U.

8. x x x x
Created by: Prawesty Dian U.

9. Hotelling’s dan Likelihood ratio test
• Statistik 𝑇2 dapat diturunkan sebagai Likelihood ratio test untuk H0: µ = µo
• Likelihood ratio test memiliki beberapa sifat optimal untuk sampel yang
cukup besar dan cocok untuk hipotesis yang dirumuskan dalam parameter
normal multivariat
• Maksimum dari multivariate normal likelihood sebagai μ dan ∑ bervariasi
berdasarkan nilai yang mungkin diberikan oleh
dimana dan
• Pada hipotesis Ho: µ = µo, normal likelihood menjadi
Created by: Roza Ramdani

10. Hotelling’s dan Likelihood ratio test
• Exponent pada L( µo, ∑) dapat ditulis sebagai
•
•
Dimana
Aplikasikan Result 4.10 (R.A. Johnson halaman 170)
Kombinasikan 5-11
dengan 5-10
menjadi
Dimana
Dan
(5-11)
(5-10)
Disebut Wilk’s Lamda
Created by: Roza Ramdani

11. Hotelling’s dan Likelihood ratio test
• likelihood ratio test pada H0: µ=µo dengan H1: µ≠µo akan tolak H0 saat:
• Anggap 𝑋1, 𝑋2, . . , 𝑋 𝑛 adalah random sample dari 𝑁𝑝 (µ, ∑) populasi.
Kemudian uji ekuivalen dengan likelihood ratio
test pada H0: µ=µo dengan H1: µ≠µo karena Λ2/𝑛 = (1 +
𝑇2
𝑛−1
)−1
(Pembuktian dapat dilihat pada buku R.A. Johnson halaman 218)
• 𝑇2dapat dihitung melalui
Dimana
𝐶 𝛼 merupakan lower ( lOO𝛼 )th percentile
dari distribusi Λ
Created by: Roza Ramdani

12. General Likelihood Ratio Method
• Anggap L(𝜃) merupakan fungsi likelihood diperoleh dengan evaluasi joint
density dari 𝑋1, 𝑋2, . . , 𝑋 𝑛 dengan nilai observasi 𝑥1, 𝑥2,. . . , 𝑥 𝑛.
Parameter vektor 𝜃 mendapat nilainya dari set parameter Θ. Maka
Likelihood ratio test pada H0: 𝜃 ∈ Θ dengan H1: 𝜃 ∉ Θ akan tolak H0 jika
• ketika ukuran sampel n besar, di bawah hipotesis nol H0
kira-kira adalah variabel acak 𝜒 𝑣−𝑣𝑜
2
.
Derajat kebebasan adalah 𝑣 − 𝑣0 = 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓Θ − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓Θ0.
Untuk lebih jelas dapat dilihat pada buku R.A. Johnson halaman 219
Created by: Roza RamdaniFurther Information

13. Multivariat
𝑅 𝑋 = 𝑥 ± 𝑇 𝜆 ∙ 𝑒
Jika diketahui:
Eigen Value: sumbu ellipsoid
= 𝑥 ±
𝑝 𝑛 − 1
𝑛(𝑛 − 𝑝)
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼) 𝜆𝑖 ∙ 𝑒𝑖
Matriks varians-covarians: sumbu ellipsoid
= 𝑥 ±
𝑝 𝑛 − 1
𝑛(𝑛 − 𝑝)
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
Confidence Regions
Wilayah Kepercayaan [R(X)] adalah wilayah
ellipsoid yang menyatakan nilai θ dan ditentukan oleh
data suatu populasi. Dimana :
θ : vektor dari parameter suatu populasi
Wilayah kepercayaan untuk μ dan Σ tidak diketahui:
Dengan 𝑋 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 ( 𝑛 −
Selang Kepercayaan (Confidence Interval)
Univariat
𝐶𝐼 = 𝑥 ± 𝑧 𝛼/2
𝜎
𝑛
𝐶𝐼 = 𝑥 ± 𝑡 𝛼/2
𝑠
𝑛
𝑷 𝒏( 𝑿 − 𝝁)′𝑺−𝟏
( 𝑿 − 𝝁) ≤
𝒏−𝟏 𝒑
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑,𝒏−𝒑(𝜶) = 𝟏 − 𝜶
Created by: Aninditya Yuniar

14. 𝑥1
𝑥2
𝜇1
𝜇2 • Sumbu Major:
• Sumbu Minor:
Catatan:
Panjang sumbu = setengah panjang diagonal
𝜆1
𝑝 𝑛 − 1
𝑛 𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝜆2
𝑝 𝑛 − 1
𝑛 𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
Created by: Aninditya Yuniar

15. Metode Bonferroni: Multiple Comparison
Dengan interval individu t:
𝑥𝑖 ± 𝑡 𝑛−1
𝛼𝑖
2
𝑠𝑖𝑖
𝑛
𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝛼𝑖 =
𝛼
𝑚
dan
𝑃 𝑋𝑖 ± 𝑡 𝑛−1
𝛼𝑖
2
𝑠𝑖𝑖
𝑛
𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝜇𝑖 ≥ 1 −
𝛼
𝑚
+
𝛼
𝑚
+ ⋯ +
𝛼
𝑚
maka
𝑥1 − 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠11
𝑛
≤ 𝜇1 ≤ 𝑥1 + 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠11
𝑛
𝑥2 − 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠22
𝑛
≤ 𝜇2 ≤ 𝑥2 + 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠22
𝑛
⋮
𝑥 𝑝 − 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
≤ 𝜇 𝑝 ≤ 𝑥 𝑝 + 𝑡 𝑛−1
𝛼
2𝑝
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
Created by: Aninditya Yuniar

16. Metode Bonferroni: Multiple Comparison
Interval Bonferroni untuk kombinasi linier 𝑙′ 𝜇:
(sampel kecil)
(sampel besar)
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝐵𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛𝑖
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑇2
=
𝑡 𝑛−1(𝛼/2𝑚)
𝑝(𝑛 − 1)
𝑛 − 𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝(𝛼)
𝒍′ 𝑿 ± 𝒕 𝒑,𝒏−𝟏;𝜶/𝟐
𝒍′ 𝑺𝒍
𝒏
𝒍′
𝑿 ± 𝒛 𝜶/𝟐𝒑
𝒍′ 𝑺𝒍
𝒏
Created by: Aninditya Yuniar

17. LARGE SAMPLE INFERENCE
Ketika sampel yang diambil besar:
Uji hipotesis dan penentuan confidence
interval dari 𝜇 bisa dibentuk tanpa
mengasumsikan populasinya normal (Masalah
kenormalan dapat diatasi dengan memperbesar
sampel).
Inferensia sampel besar dari 𝜇 didasarkan pada
ditribusi 𝝌 𝟐
.
Uji Hipotesis
• 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 =>
𝜇1
:
:
𝜇 𝑝
=
𝜇01
:
:
𝜇0𝑝
• 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 =>
𝜇1
:
:
𝜇 𝑝
≠
𝜇01
:
:
𝜇0𝑝
Statistik uji
𝜒2
= 𝑛( 𝑥 − 𝜇0)′ (𝑆)−1
( 𝑥 − 𝜇0)′
Daerah kritis:
Tolak H0 jika 𝜒2
> 𝜒 𝛼 𝑝
2
Untuk lebih detailnya, bukalah buku Applied
Multivariate Statistical Analysis Richard A Johnson
ed 6 halaman 235 result 5.4.
Created by: Baiq Liana

18. Wilayah Kepercayaan Simultan
𝑥𝑖 ± 𝜒 𝑝
2
(𝛼)
𝑠 𝑖𝑖
𝑛
terdapat 𝜇𝑖
Atau
𝑥𝑖 − 𝜒 𝑝
2
(𝛼)
𝑠 𝑖𝑖
𝑛
≤ 𝜇𝑖 ≤ 𝑥𝑖 + 𝜒 𝑝
2
(𝛼)
𝑠 𝑖𝑖
𝑛
Untuk lebih detailnya, bukalah buku Applied
Multivariate Statistical Analysis Richard A
Johnson ed 6 halaman 235 result 5.5.
Wilayah kepercayaan one-at-a-time individual
means, bonferroni, dan 𝑇2
Kesimpulannya, dalam kasus contoh soal yang
sama pada slide sebelumnya, menentukan wil.
kepercayaan dengan menggunakan one-at-a-time
individual means dengan 𝑧 𝛼
2
, bonferroni 𝑧 𝛼
2𝑝
, dan 𝑇2
(
𝜒 𝑝
2 (𝛼) ), menghasilkan interval yang lebih sempit
daripada menggunakan one-at-a-time individual
means dengan 𝑡 𝛼
2
, bonferroni 𝑡 𝑛−1(
𝛼
2𝑝
) , dan 𝑇2 (
𝐹𝑝, 𝑛−𝑝 (𝛼) ),
Created by: Baiq Liana

19. Contoh soal 5.7.
(Menentukan wil. kepercayaan simultan dalam sampel besar) Sebuah pendidik musik menguji
ribuan siswa Finlandia terhadap kemampuan bermusik di daerahnya untuk mengatur norma secara
nasional di Finlandia n=96 Finnish 12th-graders. Berikut summary statistiknya:
Untuk lebih detailnya, bukalah buku Applied Multivariate Statistical Analysis Richard A Johnson ed 6
halaman 236-237. Karena tidak deijelaskan mengenai pengujian hipotesis, maka pengujian H0 dapat
dikerjakan sendiri ya…
Tabel 5.5 Musical Aptitude Profile Means and Standard Deviation for 96
of 12th Grade Finnish Students Participating in a Standarization Program.
variable
Raw Score
mean
Standard deviation ( 𝑠𝑖𝑖
)
X1: melody
X2: harmony
X3: tempo
X4: meter
X5: phrasing
X6: balance
X7: style
28.1
26.6
35.4
34.2
23.6
22.0
22.7
5.76
5.85
3.82
5.12
3.76
3.93
4.03
𝜇0 =
31
27
34
31
23
22
22
Created by: Baiq Liana

20. PAIRED COMPARISON
DESIGN
Paired comparisons design adalah
sebuah desain dimana dua perlakuan
(treatment) yang berbeda diaplikasikan
pada suatu unit sampel untuk
meyakinkan apakah perbedaan
perlakuan tersebut berdampak signifikan
terhadap sampel.
Contoh :
Mengukur penjulan suatu produk dalam
pasar sebelum dan sesudah adanya
promosi (iklan)
Paired Comparison ketika variabel = 1
Dalam kasus univariat, misalkan Xj1 dan Xj2
menunjukkan respon terhadap treatment 1 dan 2
untuk percobaan ke-j.
Dimana terdapat n differences yang menunjukkan
efek dari treatment yang diterapkan ;
Dj = X1j – X2j, J= 1, 2,..., n.
Jika D ~ N maka :
Created by: Dyah Nur Isnaini

21. Persamaan tersebut berdistribusi t dengan
derajat bebas (n-1), sehingga uji hipotesis
pada tingkat signifikansi α adalah :
Ho : δ = 0 (tidak ada perbedaan efek
dari treatment)
Hi : δ ≠ 0
Selang kepercayaan 100(1- α)% untuk
δ = E(X1j – X2j) adalah :
Paired Comparison ketika variabel > 1
X1j1 = variabel 1 dengan treatment 1
X1j2 = variabel 2 dengan treatment 1
...
X1jp = variabel p dengan treatment 1
X2j1 = variabel 1 dengan treatment 2
X2j2 = variabel 2 dengan treatment 2
...
X2jp = variabel p dengan treatment 2
Created by: Dyah Nur Isnaini

22. p paired-differences random
variabel : Apabila D1, D2,..., Dn adalah random vektor
yang independen, kesimpulan tentang vector of mean
differences (δ) dapat dinyatakan dalam bentuk statistik
T².
D1, D2,..., Dn ~
Jika n dan (n-p) kedua nilainya besar, T² dapat
didekati dengan distribusi chi-square ( )
Created by: Dyah Nur Isnaini

23. REPEATED MEASURES
DESIGN
Desain lain untuk t-statistics univariat
berpasangan terjadi dalam situasi di
mana q treatment dibandingkan dengan
variabel respon tunggal. Setiap subjek
atau unit eksperimen menerima setiap
perawatan sekali selama periode waktu
tertentu.
Dimana Xji merupakan respon terhadap
treatment ke-i pada unit ke-j. Repeated
measure mengandung maksud bahwa
treatment diberikan untuk setiap unit.
Asumsi : X ~
q = banyaknya perlakuan
Hipotesis : Ho : Cµ = 0
Hi : Cµ ≠ 0
Dimana C merupakan matriks kontras.
Statistik uji :
Tolak Ho apabila
Dengan
Created by: Dyah Nur Isnaini

24. Dalam kasus tertentu, Ho akan ditolak pada uji hipotesis Ho : δ = 0 vs Hi : δ ≠ 0
dengan tingkat signifikansi α apabila :
Apabila gagal tolak Ho, dapat diambil kesimpulan bahwa treatment yang
dilakukan tidak memberikan pengaruh terhadap p variabel.
Daerah kepercayaan :
Created by: Dyah Nur Isnaini

25. SUMMARY INFERENSIA
VEKTOR RATA-RATA
Created by: Prawesty Dian
1 populasi
X ∿ Np (µ ,∑)
Ho : µ = µ0
H1 : minimal ada satu µ ≠ µ0
2 Populasi
Dependen
D ∿ Np (𝛿 ,∑d)
Independen
∑ diketahui
∑ tidak diketahui
∑≠∑
∑=∑

26. LATIHAN SOAL

27. 1. Test Ho : µ’= (6,11) dengan menggunakan data :