APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata 1 Populasi

Rani Nooraeni
Rani Nooraenilecturer en Politeknik Statistika STIS
INFERENSIA VEKTOR
RATA-RATA 1 POPULASI
Kelompok 4 – 3 SK 4
Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Univariat
1 Populasi
Asumsi
Jika 𝑋1, 𝑋1, … , 𝑋1adalah sampel acak dari sebu
ah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata
μ dan varians 𝜎2
maka
𝑋 ~ 𝑁(𝜇 , 𝜎2
)
dan rata-rata sampel X akan berdistribusi
𝑋~ 𝑁 (𝜇,
𝜎2
𝑛
)
Statistik uji dari sampel X apabila 𝝈 𝟐
diketahui
adalah 𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
~ 𝑁(0,1)
sehingga statistik uji dari rata-rata sampel X
apabila 𝝈 𝟐
diketahui adalah
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
Apabila 𝝈 𝟐
tidak diketahui adalah
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝑠/ 𝑛
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑠/ 𝑛
𝐻0: 𝝁 = 𝝁 𝟎
𝐻1: 𝝁 ≠ 𝝁 𝟎
Asumsi
Sumber : Johnson hal. 210-211 (edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Sumber : Lee Bain hal 398-399
Hipotesis
Statistik Uji
untuk n > 30 untuk n < 30
Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Multivariat
1 Populasi
Jika X1,X2,…,Xn adalah random sample dari
𝑁𝑝(𝝁, ) dan populasi kita asumsikan ∑ sudah
diketahui . Maka
𝑿(𝑝×1) =
1
2 𝑗=1
𝑛
𝑿𝑗 = μ dan
𝑆(𝑝×𝑝) =
1
(𝑛−1) 𝑗=1
𝑛
(𝑋𝑗 − 𝑿)(𝑋𝑗 − 𝑋 )’ = ∑.
𝑇2
= 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎
′
𝑺−1
𝑥 − 𝜇0
𝑇2
disebut Hotteling’s 𝑇2
yang merupakan
pendekatan daridistribusi 𝑡2
pada kasus
univariat.
𝐻0 : μ=𝝁 𝟎
𝐻1 : Minimal ada satu variabel yang μ≠𝝁 𝟎 ,
dimana 𝝁0 𝑝×1 =
𝜇10
𝜇20
⋮
𝜇 𝑝0
Sumber: Johnson Hal. 212-213
Amalia D R _16.9001
𝑇2
= 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎
′
𝑺−1
𝑥 − 𝜇0 >
𝑛−1 𝑝
𝑛−𝑝
𝐹𝑝,𝑛−𝑝 𝛼 Maka tolak 𝐻0
Dalam bentuk kuadrat , statistic uji t dalam
univariat dapat ditulis
𝑡2
=
( 𝑋 − 𝜇0)
𝑠2/𝑛
= 𝑛( 𝑋 − 𝜇0)′(𝑠2
)−1
( 𝑋 − 𝜇0)
Jika dianalogikan ke dalam uji multivariate
menjadi
𝑇2
= 𝑛( 𝒙 − 𝝁 𝟎)′(S)−1
( 𝒙 − 𝝁 𝟎)
Asumsi
Hipotesis
Critical Region
T- Hotteling’s
T- Hotteling’s
Contoh :
Latihan
5.1
Evaluasi nilai 𝑇2
dari data matriks berikut , untuk menguji 𝐻0 : 𝜇 = 7 11
𝑋 =
2 12
8 9
6 9
8 10
Jawab :
dan
Maka,
sehingga
memiliki nilai kritis 
Sumber : Johnson hal. 261(edisi 6)
𝐱 =
x1
x2
=
2 + 8 + 6 + 8
4
12 + 9 + 9 + 10
4
=
6
10
s11 =
(2 − 6)2
+ (8 − 6)2
+ (6 − 6)2
+ (8 − 6)2
2
= 12
s12 =
(2−6)(12−10)+(8−6)(9−10)+(6−6)(9−10)+(8−6)(10−10)
2
= −5
s22 =
(12 − 10)2
+ (9 − 10)2
+ (9 − 10)2
+ (10 − 10)2
2
= 3
𝐒 =
12 −5
−5 3
𝐒−1
=
1
(12)(3) − (−5)(−5)
3 5
5 12
=
3
11
5
11
5
11
12
11
T2
= 4 6 − 7 , 10 − 11
3
11
5
11
5
11
12
11
6 − 7
10 − 11
= 4 −1 , −1
−
8
11
−
17
11
=
25
11
2(4 − 1)
(4 − 2)
F2,4−2 = 3F2,2𝑇2
Rizqi Aristya_16.9399
Contoh :
Contoh
5.2
Keringat dari 20 perempuan sehat dianalisa. Terdapat 3 komponen yang diukur,
yaitu X1 = rata-rata keringat, X2 = kandungan sodium, dan X3 = kandungan potassi
um yang kemudian disajikan dalam Sweat Data yang ditampilkan dalam tabel
5.1. Buku Applied Multivariate Statistical Analysis.Uji hipotesis .
dan
Jawab :
dan Ttabel : 8,18
Keputusan
> 8,18 sehingga keputusannya tolak H0 . Artinya terdapat minimal satu
nilai μ yang berbeda dengan nilai μ0.
Sumber : Johnson hal. 214-215 (edisi 6)
𝐻0: 𝛍′
= [ 4, 50 , 10 ]
𝐻1: 𝛍′
≠ [ 4 , 50 , 10 ]
𝛼 = 0.10
𝐱 =
4.640
45.400
9.965
𝐒 =
2.879 10.010 −1.810
10.010 199.788 −5.640
−1.810 −5.640 3.628
𝐒−1
=
0.586 −0.022 0.258
−0.022 0.006 −0.002
0.258 −0.002 0.402
T2
= 20 4.640 − 4 , 45.400 − 50 , 9.965 − 10
0.586 −0.022 0.258
−0.022 0.006 −0.002
0.258 −0.002 0.402
4.640 − 4
45.400 − 50
9.965 − 10
= 20 0.640, −4.600 , −0.035
0.467
−0.042
0.160
= 9.74
𝑇2
= 9.74
Amalia D R _16.9001
Selang Kepercayaan
Multivariat
Wilayah Kepercayaan Multivariat
Univariat
Selang kepercayan univariat
Add Contents Title
Confidence Interval
Confidence Region
𝐵𝐵 < 𝜇𝑖 < 𝐵𝐴
𝑥𝑖 ± critical value . Se
𝝀
𝝀
𝑥
Cindira_16.9055
Confidence Interval Simultan
Add Contents Title
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 merupakan random sample dari suatu populasi 𝑁𝑝(μ, Ʃ) dengan Ʃ merupakan definit positif,
interval simultan :
𝒂′ 𝑿 ± (
𝒑(𝒏−𝟏)
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶) 𝒂′ 𝑺𝒂 )
𝑇2
-intervals dimungkinkan untuk menjadi :
𝒙𝒊 ± (
𝒑(𝒏−𝟏)
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶)
𝑺𝒊𝒊
𝒏
)
Atau
𝓵′ 𝒙 ±
𝒑 𝒏 − 𝟏
𝒏 𝒏 − 𝒑
𝑭 𝜶; 𝒑,𝒏−𝒑 𝓵′
𝐒 𝓵 𝟏/𝟐
Cindira_16.9055
Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)
Confidence Interval Simultan
Add Contents Title
Jika p ≥ 4, menggunakan confidences ellipsoid. Dengan :
𝒙𝒊 ± (
𝒑 𝒏−𝟏
𝒏−𝒑
𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 𝜶 𝜆𝑖 𝒆𝒊)
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛, dimana n – p ⟶ ∾ dengan Ʃ diketahui definit positif :
𝒙𝒊 ± ( 𝝌 𝒑(𝜶)
𝑺 𝒊𝒊
𝒏
) hal:235
Atau
𝓵′
𝒙 ±
𝟏
𝒏
𝓵′
𝐒 𝓵 𝝌 𝜶;𝒑
𝟐 𝟏/𝟐
𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 dimana
i : 1, 2, ..., p
𝜆𝑖 : eigenvalues
𝒆𝒊 : eigenvectors
𝑥𝑖 ± ( 𝜒 𝑝(𝛼) 𝜆𝑖 𝒆𝒊 )
Cindira _16.9055
Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)
Selang Kepercayaan 1 Populasi
Confidence Interval : Poin Estimasi ± Z α/2 Standard Error
Jika Poin Estimasi x lainnya
x ± Z α/2
𝜎
𝑛
Z α/2=-Z 1-α/2
Jika 𝜎2 tidak diketahui and n kecil maka
x ± t 1-α/2
𝑠
𝑛
t 1-α/2= t (n-1)1-α/2
x − Z α/2
𝜎
𝑛
x + Z α/2
𝜎
𝑛
x − t 1-α/2
𝑠
𝑛
x + t 1-α/2
𝑠
𝑛
Ary Vebryan_16.9027
Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365
Metode Bonferroni
If the number m of specified component means μi or linear combinatio
n a’μ= ꭤ1μ1+ ꭤ2μ2 + . . . + ꭤpμp is small,simultaneos confidence interval
can be developed that are short and developed from a probability
inequality
P[all Ci True] = 1 - P[ at least one Ci false ≥ 1 - 𝑖=1
𝑚
𝑃 𝐶𝑖 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒
= 1 − 𝑖=1
𝑚
(1 − 𝑃 𝐶𝑖 𝑡𝑟𝑢𝑒 )
= 1 - (α1+ α2+. . . + αm)
Sumber : Johnson Hal. 232-234 ( edisi 6)
Ary Vebryan_16.9027
Metode Bonferroni
Ci = Confidence statement
xi ± tn-1(
𝛼𝑖
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i=1,2,…,m
Dengan 𝛼𝑖= 𝛼/m. karena P[xi ± tn-1(𝛼/2m)
𝑆𝑖𝑖
𝑛
contains μi = 1- 𝛼/m, i = 1,2, .
. . ,m
P[xi ± tn-1(
𝛼𝑖
2𝑀
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
contains 𝜇𝑖, all i ≥ 1- (
𝛼
𝑀
+
𝛼
𝑀
+ ⋯ +
𝛼
𝑀
)
= 1- 𝛼
x1 − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠11
𝑛
≤ μ1 ≤ x1 + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠11
𝑛
x2 − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠22
𝑛
≤ μ2 ≤ x2 + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠22
𝑛
. .. .. .
xp − tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
≤ μ2 ≤ xp + tn-1(
𝛼
2𝑝
)
𝑠 𝑝𝑝
𝑛
Amalia D R _16.9001
Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365
Daerah Penerimaan T2 VS Bonferroni
Interval Bonferoni untuk kombinasi linear
a’𝝁 dan analogi T2-interval secara umum
a’ 𝐱 ± (critical value)
a′
𝒔a
𝑛
Dimana a1’ = 1 0 0 ... 0; a2’= 0 1 0 ... 0 dst
ap’= 0 0 … 0 1
𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑩𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐𝒏𝒊 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑻 𝟐
−𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
=
𝒕 𝒏− 𝟏( 𝛼
𝟐𝒎
)
𝒑(𝒏−𝟏)
𝑛−𝑝
𝐹 𝑝, 𝑛− 𝑝(𝛼)
Amalia D R _16.9001
Metode Bonferroni
Amalia D R _16.9001
Large Sample Inferences
Add Contents Title
All large sample inferences about μ are based on a 𝟀 𝟐 𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐩. 𝐝. 𝐟 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐮𝐬,
P[n( 𝐱 - μ )’S-1( 𝐱 - μ ) ≤ 𝟀2
p(𝜶)] = 1 - 𝜶
𝟀2
p(𝜶) is the upper (100 𝜶)th percentile of the 𝟀2
p distribution
X1,X2,. . . Xn a random sample from population with mean μ and positive definite covariance
Σ. If n-p is large
a’ 𝐱 ± 𝟀2
p(𝜶)
a′
𝒔a
𝒏
Will contain a’ μ, for every a, with probability approximately 1-𝜶. Consequently, we can make the 100(1 - 𝜶)% simultane
ous confidence statements
𝐱 𝟏 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝟏𝟏
𝒏
contains μ1
𝐱 𝟐 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝟐𝟐
𝒏
contains μ2
. .. .
. .
𝐱 𝒑 ± 𝟀2
p(𝜶)
𝒔 𝒑𝒑
𝒏
contains μp
All pairs (μi, μk) I,k = 1,2,…p. The sample mean centered ellipses
n[ 𝐱 𝒊 - μ, 𝐱 𝒌 - μ]
𝒔𝒊𝒊 𝒔𝒊𝒌
𝒔𝒊𝒌 𝒔 𝒌𝒌
-1
𝐱 𝒊− μi
𝐱 𝒌− μk
≤ 𝟀2
p(𝜶)] contain (μi, μk)
Ary Vebryan_16.9027
Large Sample Inferences
Ketika ukuran sampel besar , selang keprcayaan untuk masin
g masing rata-rata adalah
xi −𝑧(
𝛼
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧(
𝛼
2
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i = 1,2,. . .p
Menggunakan modifikasi persentil 𝑧(
𝛼
2𝑝
)
xi −𝑧(
𝛼
2𝑝
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧(
𝛼
2𝑝
)
𝑠𝑖𝑖
𝑛
i = 1,2,. . .p
Ary Vebryan_16.9027
Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)
PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN
a. Paired Comparisons
Untuk kasus univariate, Misal Xj1 adalah respond unt
uk treatment pertama (sebelum diberi perlakuan) dan Xj2 ada
lah respond untuk treatment kedua (setelah diberi perlakuan)
untuk percobaan ke j. (Xj1, Xj2) adalah measurement recorde
d dari unit ke j atau pasangan ke j dari unit.
Dj= Xj1-Xj2, j=1,2,...,n (6-1)
Wahyu D H_16.9461
Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)
PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN
100(1-α)% confidence region for δ consist of all δsuch that
100(1-α)% simultaneous confidence interval for individual
mean differences δi
Dimana = elemen ke i dari dan adalah elemen diagonal ke i dari
Untuk n-p besar, dan tidak membutuhkan asumsi normalitas
Bonferroni 100(1-α)% simultaneous confidence interval for
individual mean differences δi
Wahyu D H_16.9461
Sumber : Johnson hal.276 (edisi 6)
B . Repeated Measures Design for Comparing Treatments
Add Contents Title
Setiap unit penelitian menerima sekali treatment
pada successive periods of time
j=1,2,...,n
Q = jumlah treatment
Xij = respond pada treatment ke i pada unit ke j.
Uji Kesamaan Perlakuan pada Repeated
Measures Design
Populasi Nq(μ,∑) dengan C adalah matiks konstan.
Hipotesis
Statistik Uji
Wahyu D H_16.9461
Sumber :Johnson hal.279-281(edisi 6)
Dimana
Tolak Ho jika
Confidence region for contrasts Cμ
Simultaneous 100(1-α)% confidence intervals
for single contrasts c’μ
Contoh :
Contoh
6.2
Perbaikan anastesi sering dikembangkan dengan terlebih dahulu mempelajari efe
knya terhadap hewan. Dalam suatu penelitian, 19 anjing diberi pentobarbitol kem
udian diberi CO2 pada masing-masing dari dua tingkat tekanan. Lalu, halothane d
itambahkan, dan diberikan CO2 kembali. Hasil yang dicatat adalah waktu (milllise
conds) detak jantung dari kombinasi empat perlakuan tersebut yang kemudian di
sajikan dalam Sleeping-Dog Data yang ditampilkan dalam tabel 6.2.
Treatment 1 = high CO2 pressure without H
Treatment 2 = low CO2 pressure without H
Treatment 3 = high CO2 pressure with H
Treatment 4 = low CO2 pressure with HAda tiga perlakuan kontras yang menarik
dalam eksperimen tersebut, Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) =
Halothane contrast representing the difference
between the presence and absence of halothane
( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4) =
CO2 contrast representing the difference
between high and low of CO2
( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3) = (H − CO2 pressure "interaction")
Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Berdasarkan data yang ada, diperoleh
Dapat diverifikasi dengan
= 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak
dengan 𝛍′
= 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah
𝐂 =
−1 −1 1 1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
𝐱 =
368.21
404.63
479.26
502.89
dan 𝐒 =
2819.29
3568.42 7963.14
2943.49
2295.35
5303.98
4065.44
6851.32
4499.63 4878.99
𝐂𝐱 =
209.31
−60.05
−12.79
𝐂𝐒𝐂′ =
9432.32 1098.92 927.62
1098.92 5195.84 914.54
927.62 914.54 7557.44
𝑇2
= 𝑛( 𝑪𝒙)′
(𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05
(19 − 1)(4 − 1)
(19 − 4 + 1)
F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94
𝑇2
𝐻0: 𝐂𝛍′
= 0
Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Berdasarkan data yang ada, diperoleh
Dapat diverifikasi dengan
= 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak
dengan 𝛍′
= 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah
𝐂 =
−1 −1 1 1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
𝐱 =
368.21
404.63
479.26
502.89
dan 𝐒 =
2819.29
3568.42 7963.14
2943.49
2295.35
5303.98
4065.44
6851.32
4499.63 4878.99
𝐂𝐱 =
209.31
−60.05
−12.79
𝐂𝐒𝐂′ =
9432.32 1098.92 927.62
1098.92 5195.84 914.54
927.62 914.54 7557.44
𝑇2
= 𝑛( 𝑪𝒙)′
(𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05
(19 − 1)(4 − 1)
(19 − 4 + 1)
F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94
𝑇2
𝐻0: 𝐂𝛍′
= 0
Contoh :
Contoh
6.2
Sumber : Johnson hal. 281-283
(edisi 6)
Rizqi Aristya_16.9399
Untuk melihat kontras mana yang bertanggung jawab atas penolakan H0,
dibentuk interval kepercayaan simultan 95% untuk kontras tersebut, kontras
diestimasi oleh interval
di mana adalah baris pertama dari C. Sama halnya, kontras yang lainnya
diestimasi oleh
𝐜 𝟏
′
𝛍 = ( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) = pengaruh halothane
( 𝑥3 + 𝑥4) − ( 𝑥1 + 𝑥2) ±
18(3)
(16)
𝐹3,16(0.05)
𝐜 𝟏′𝐒𝐜1
19
= 209.31 ± 10.94
9432.32
19
CO2 pressure infuence = ( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4):
= −60.05 ± 54.70
H − CO2 pressure "interaction" = ( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3):
= −12.79 ± 65.97
Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• Consider X ∼ N3 (μ,Σ). An iid sample of size
n = 10 provides:
• 𝑥 =
1
0
2
and 𝑆 =
3 2 1
2 3 1
1 1 4
• Knowing that the eigenvalues of S are integ
ers, describe a 95% confidence region for μ.
• Calculate the simultaneous confidence inter
vals for μ1, μ2 and μ3.
Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
Penyelesaian :
• S − λI = 0
•
3 2 1
2 3 1
1 1 4
−
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
= 0
•
3 − λ 2 1
2 3 − λ 1
1 1 4 − λ
= 0
• (3 − λ)2 (4 − λ) + 2 + 2 - (3 − λ) - (3 − λ) – 4(4 − λ) = 0
• (λ − 6) (λ − 3) (−λ + 1) = 0
Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• 95% Confidence Region :
•
𝑥1
𝑥2
𝑥3
±
𝑝(𝑛−1)
𝑛−𝑝
𝐹𝑝;𝑛−𝑝,1−𝛼. λ𝑖. 𝑒𝑖 
1
0
2
±
3𝑥9
7
. 𝐹3;7,0,95 . λ𝑖. 𝑒𝑖
• 1 ± 100,671.
1 3
1 3
1 3
• 0 ± 50,336.
1 6
1 6
−2 6
• 2 ± 16,779.
−1 2
1 2
0
Latihan
Soal :
Exercise
7.10
Wolfgang Hardle –
Multivariate Statistics
Cindira_16.9055
• Simultaneous confidence intervals untuk μ1,
μ2, dan μ3
• Confidence intervals : 𝑥𝑖 ±
𝑝(𝑛−1)
𝑛−𝑝
𝐹𝑝;𝑛−𝑝,0,95.
s 𝑖𝑖
(𝑛−1)
• −1,364 < 𝜇1 < 3,364
• −2,364 < 𝜇2 < 2,364
• −0,729 < 𝜇3 < 4,730
Thank you
Editor : Amalia D R_16.9001
1 de 27

Recomendados

APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata por
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rataAPG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rataRani Nooraeni
874 vistas29 diapositivas
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rata por
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataAPG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rata
APG Pertemuan 6 : Inferensia Dua Faktor Rata-rataRani Nooraeni
1.2K vistas21 diapositivas
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution por
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal DistributionAPG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal DistributionRani Nooraeni
2.5K vistas31 diapositivas
APG Pertemuan 6 : Mean Vectors From Two Populations por
APG Pertemuan 6 : Mean Vectors From Two PopulationsAPG Pertemuan 6 : Mean Vectors From Two Populations
APG Pertemuan 6 : Mean Vectors From Two PopulationsRani Nooraeni
479 vistas22 diapositivas
Stat matematika II (7) por
Stat matematika II (7)Stat matematika II (7)
Stat matematika II (7)jayamartha
9.7K vistas22 diapositivas
APG Pertemuan 7 : Manova (2) por
APG Pertemuan 7 : Manova (2)APG Pertemuan 7 : Manova (2)
APG Pertemuan 7 : Manova (2)Rani Nooraeni
749 vistas31 diapositivas

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2) por
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)Rani Nooraeni
922 vistas29 diapositivas
03 simple-random-sampling 2019 por
03 simple-random-sampling 201903 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 2019widyareza2
152 vistas21 diapositivas
5. rantai-markov-diskrit por
5. rantai-markov-diskrit5. rantai-markov-diskrit
5. rantai-markov-diskrittsucil
7.6K vistas37 diapositivas
Analisis Komponen Utama (1) por
Analisis Komponen Utama (1)Analisis Komponen Utama (1)
Analisis Komponen Utama (1)Rani Nooraeni
627 vistas32 diapositivas
Akt 4-anuitas-hidup por
Akt 4-anuitas-hidupAkt 4-anuitas-hidup
Akt 4-anuitas-hidupFaisyal Rufenclonndrecturr
26.9K vistas37 diapositivas
PENDUGAAN PARAMETER por
PENDUGAAN PARAMETERPENDUGAAN PARAMETER
PENDUGAAN PARAMETERRepository Ipb
8.8K vistas31 diapositivas

La actualidad más candente(20)

APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2) por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI  AND RANDOM SAMPLING (2)
APG Pertemuan 3 : SAMPLE GEOMETRI AND RANDOM SAMPLING (2)
Rani Nooraeni922 vistas
03 simple-random-sampling 2019 por widyareza2
03 simple-random-sampling 201903 simple-random-sampling 2019
03 simple-random-sampling 2019
widyareza2152 vistas
5. rantai-markov-diskrit por tsucil
5. rantai-markov-diskrit5. rantai-markov-diskrit
5. rantai-markov-diskrit
tsucil7.6K vistas
Analisis Komponen Utama (1) por Rani Nooraeni
Analisis Komponen Utama (1)Analisis Komponen Utama (1)
Analisis Komponen Utama (1)
Rani Nooraeni627 vistas
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif por Cabii
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik DeskriptifBab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif
Bab 3. Ukuran-Ukuran Numerik Statistik Deskriptif
Cabii10.4K vistas
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu... por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...
APG Pertemuan 5 : Inferences about a Mean Vector and Comparison of Several Mu...
Rani Nooraeni892 vistas
Distribusi multinomial por MarwaElshi
Distribusi multinomialDistribusi multinomial
Distribusi multinomial
MarwaElshi28.6K vistas
Stat matematika II (9) por jayamartha
Stat matematika II (9)Stat matematika II (9)
Stat matematika II (9)
jayamartha2K vistas
Distribusi Binomial, Poisson dan Normal ppt por Aisyah Turidho
Distribusi Binomial, Poisson dan Normal pptDistribusi Binomial, Poisson dan Normal ppt
Distribusi Binomial, Poisson dan Normal ppt
Aisyah Turidho5.7K vistas
statistika ekonomi 2 DISTRIBUSI TEORITIS por yuniar putri
statistika ekonomi 2 DISTRIBUSI TEORITISstatistika ekonomi 2 DISTRIBUSI TEORITIS
statistika ekonomi 2 DISTRIBUSI TEORITIS
yuniar putri10.1K vistas
Statistika - Distribusi peluang por Yusuf Ahmad
Statistika - Distribusi peluangStatistika - Distribusi peluang
Statistika - Distribusi peluang
Yusuf Ahmad30.5K vistas
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL por Arning Susilawati
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUALANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL
Arning Susilawati25.2K vistas
Ppt korelasi sederhana por Lusi Kurnia
Ppt korelasi sederhanaPpt korelasi sederhana
Ppt korelasi sederhana
Lusi Kurnia10K vistas

Similar a APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata 1 Populasi

Konsep distribusi peluang_kontinu(9) por
Konsep distribusi peluang_kontinu(9)Konsep distribusi peluang_kontinu(9)
Konsep distribusi peluang_kontinu(9)rizka_safa
3.5K vistas7 diapositivas
Momen kemiringan dan_keruncingan(7) por
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)Momen kemiringan dan_keruncingan(7)
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)rizka_safa
107.2K vistas16 diapositivas
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal) por
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)reno sutriono
4K vistas22 diapositivas
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks) por
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)FarHan102
393 vistas44 diapositivas
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1) por
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)Rani Nooraeni
595 vistas28 diapositivas
Distribusi hipergeometrik por
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikAniklestari1997
3.6K vistas6 diapositivas

Similar a APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata 1 Populasi(20)

Konsep distribusi peluang_kontinu(9) por rizka_safa
Konsep distribusi peluang_kontinu(9)Konsep distribusi peluang_kontinu(9)
Konsep distribusi peluang_kontinu(9)
rizka_safa3.5K vistas
Momen kemiringan dan_keruncingan(7) por rizka_safa
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)Momen kemiringan dan_keruncingan(7)
Momen kemiringan dan_keruncingan(7)
rizka_safa107.2K vistas
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal) por reno sutriono
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)
Pertemuan 10 (distribusi binomial, poison, normal)
reno sutriono4K vistas
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks) por FarHan102
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)
Pendiferensialan Kompleks dan Persamaan Cauchy (Fungsi Peubah Kompleks)
FarHan102393 vistas
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1) por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)
APG Pertemuan 3 : Sample Geometry and Random Sampling (1)
Rani Nooraeni595 vistas
Makalah setengah putaran por Nia Matus
Makalah setengah putaranMakalah setengah putaran
Makalah setengah putaran
Nia Matus148.3K vistas
Sisi Lain Distribusi Binomial dan Normal por Agung Anggoro
Sisi Lain Distribusi Binomial dan NormalSisi Lain Distribusi Binomial dan Normal
Sisi Lain Distribusi Binomial dan Normal
Agung Anggoro638 vistas
Latihan Soal Pertemuan 9 Relasi Rekurensi.pdf por HendroGunawan8
Latihan Soal Pertemuan 9 Relasi Rekurensi.pdfLatihan Soal Pertemuan 9 Relasi Rekurensi.pdf
Latihan Soal Pertemuan 9 Relasi Rekurensi.pdf
HendroGunawan86 vistas
pembahasan soal saintek matematika pada seleksi bersama perguruan tinggi negeri por chusnaqumillaila
pembahasan soal saintek matematika pada seleksi bersama perguruan tinggi negeripembahasan soal saintek matematika pada seleksi bersama perguruan tinggi negeri
pembahasan soal saintek matematika pada seleksi bersama perguruan tinggi negeri
chusnaqumillaila647 vistas
Fungsi persamaan dan pertidaksamaan eksponensial por Franxisca Kurniawati
Fungsi persamaan dan pertidaksamaan eksponensialFungsi persamaan dan pertidaksamaan eksponensial
Fungsi persamaan dan pertidaksamaan eksponensial
Franxisca Kurniawati4.4K vistas
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial por Silvia_Al
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan BinomialDistribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial
Silvia_Al89.6K vistas

Más de Rani Nooraeni

Analisis Faktor (2.2) por
Analisis Faktor (2.2)Analisis Faktor (2.2)
Analisis Faktor (2.2)Rani Nooraeni
1.5K vistas41 diapositivas
Analisis Faktor (2.1) por
Analisis Faktor (2.1)Analisis Faktor (2.1)
Analisis Faktor (2.1)Rani Nooraeni
991 vistas47 diapositivas
Analisis Korelasi Kanonik (2) por
Analisis Korelasi Kanonik (2)Analisis Korelasi Kanonik (2)
Analisis Korelasi Kanonik (2)Rani Nooraeni
2.3K vistas52 diapositivas
Analisis Korelasi Kanonik (1) por
Analisis Korelasi Kanonik (1)Analisis Korelasi Kanonik (1)
Analisis Korelasi Kanonik (1)Rani Nooraeni
890 vistas30 diapositivas
Analisis Diskriminan (2) por
Analisis Diskriminan (2)Analisis Diskriminan (2)
Analisis Diskriminan (2)Rani Nooraeni
1.1K vistas26 diapositivas
Analisis Diskriminan (1) por
Analisis Diskriminan (1)Analisis Diskriminan (1)
Analisis Diskriminan (1)Rani Nooraeni
1.3K vistas46 diapositivas

Más de Rani Nooraeni(16)

Analisis Faktor (2.2) por Rani Nooraeni
Analisis Faktor (2.2)Analisis Faktor (2.2)
Analisis Faktor (2.2)
Rani Nooraeni1.5K vistas
Analisis Korelasi Kanonik (2) por Rani Nooraeni
Analisis Korelasi Kanonik (2)Analisis Korelasi Kanonik (2)
Analisis Korelasi Kanonik (2)
Rani Nooraeni2.3K vistas
Analisis Korelasi Kanonik (1) por Rani Nooraeni
Analisis Korelasi Kanonik (1)Analisis Korelasi Kanonik (1)
Analisis Korelasi Kanonik (1)
Rani Nooraeni890 vistas
Analisis Diskriminan (2) por Rani Nooraeni
Analisis Diskriminan (2)Analisis Diskriminan (2)
Analisis Diskriminan (2)
Rani Nooraeni1.1K vistas
Analisis Diskriminan (1) por Rani Nooraeni
Analisis Diskriminan (1)Analisis Diskriminan (1)
Analisis Diskriminan (1)
Rani Nooraeni1.3K vistas
Analisis Komponen Utama (2) por Rani Nooraeni
Analisis Komponen Utama (2)Analisis Komponen Utama (2)
Analisis Komponen Utama (2)
Rani Nooraeni863 vistas
APG Pertemuan 7 : Manova and Repeated Measures por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 7 : Manova and Repeated MeasuresAPG Pertemuan 7 : Manova and Repeated Measures
APG Pertemuan 7 : Manova and Repeated Measures
Rani Nooraeni792 vistas
APG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rata por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rataAPG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rata
APG Pertemuan 5 : Inferensia Satu Vektor Rata-rata
Rani Nooraeni856 vistas
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2) por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)
Rani Nooraeni1.6K vistas
APG Pertemuan 1 dan 2 (3) por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 1 dan 2 (3)APG Pertemuan 1 dan 2 (3)
APG Pertemuan 1 dan 2 (3)
Rani Nooraeni1.4K vistas
APG Pertemuan 1 dan 2 (2) por Rani Nooraeni
APG Pertemuan 1 dan 2 (2)APG Pertemuan 1 dan 2 (2)
APG Pertemuan 1 dan 2 (2)
Rani Nooraeni1.1K vistas

APG Pertemuan 5 : Inferensia Vektor Rata-rata 1 Populasi

  • 1. INFERENSIA VEKTOR RATA-RATA 1 POPULASI Kelompok 4 – 3 SK 4
  • 2. Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Univariat 1 Populasi Asumsi Jika 𝑋1, 𝑋1, … , 𝑋1adalah sampel acak dari sebu ah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians 𝜎2 maka 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 , 𝜎2 ) dan rata-rata sampel X akan berdistribusi 𝑋~ 𝑁 (𝜇, 𝜎2 𝑛 ) Statistik uji dari sampel X apabila 𝝈 𝟐 diketahui adalah 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎 ~ 𝑁(0,1) sehingga statistik uji dari rata-rata sampel X apabila 𝝈 𝟐 diketahui adalah 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝜎/ 𝑛 Apabila 𝝈 𝟐 tidak diketahui adalah 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝑠/ 𝑛 𝑡 = 𝑥 − 𝜇 𝑠/ 𝑛 𝐻0: 𝝁 = 𝝁 𝟎 𝐻1: 𝝁 ≠ 𝝁 𝟎 Asumsi Sumber : Johnson hal. 210-211 (edisi 6) Rizqi Aristya_16.9399 Sumber : Lee Bain hal 398-399 Hipotesis Statistik Uji untuk n > 30 untuk n < 30
  • 3. Uji Hipotesis Vektor Rata-rata Multivariat 1 Populasi Jika X1,X2,…,Xn adalah random sample dari 𝑁𝑝(𝝁, ) dan populasi kita asumsikan ∑ sudah diketahui . Maka 𝑿(𝑝×1) = 1 2 𝑗=1 𝑛 𝑿𝑗 = μ dan 𝑆(𝑝×𝑝) = 1 (𝑛−1) 𝑗=1 𝑛 (𝑋𝑗 − 𝑿)(𝑋𝑗 − 𝑋 )’ = ∑. 𝑇2 = 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎 ′ 𝑺−1 𝑥 − 𝜇0 𝑇2 disebut Hotteling’s 𝑇2 yang merupakan pendekatan daridistribusi 𝑡2 pada kasus univariat. 𝐻0 : μ=𝝁 𝟎 𝐻1 : Minimal ada satu variabel yang μ≠𝝁 𝟎 , dimana 𝝁0 𝑝×1 = 𝜇10 𝜇20 ⋮ 𝜇 𝑝0 Sumber: Johnson Hal. 212-213 Amalia D R _16.9001 𝑇2 = 𝑛 𝒙 − 𝝁 𝟎 ′ 𝑺−1 𝑥 − 𝜇0 > 𝑛−1 𝑝 𝑛−𝑝 𝐹𝑝,𝑛−𝑝 𝛼 Maka tolak 𝐻0 Dalam bentuk kuadrat , statistic uji t dalam univariat dapat ditulis 𝑡2 = ( 𝑋 − 𝜇0) 𝑠2/𝑛 = 𝑛( 𝑋 − 𝜇0)′(𝑠2 )−1 ( 𝑋 − 𝜇0) Jika dianalogikan ke dalam uji multivariate menjadi 𝑇2 = 𝑛( 𝒙 − 𝝁 𝟎)′(S)−1 ( 𝒙 − 𝝁 𝟎) Asumsi Hipotesis Critical Region T- Hotteling’s T- Hotteling’s
  • 4. Contoh : Latihan 5.1 Evaluasi nilai 𝑇2 dari data matriks berikut , untuk menguji 𝐻0 : 𝜇 = 7 11 𝑋 = 2 12 8 9 6 9 8 10 Jawab : dan Maka, sehingga memiliki nilai kritis  Sumber : Johnson hal. 261(edisi 6) 𝐱 = x1 x2 = 2 + 8 + 6 + 8 4 12 + 9 + 9 + 10 4 = 6 10 s11 = (2 − 6)2 + (8 − 6)2 + (6 − 6)2 + (8 − 6)2 2 = 12 s12 = (2−6)(12−10)+(8−6)(9−10)+(6−6)(9−10)+(8−6)(10−10) 2 = −5 s22 = (12 − 10)2 + (9 − 10)2 + (9 − 10)2 + (10 − 10)2 2 = 3 𝐒 = 12 −5 −5 3 𝐒−1 = 1 (12)(3) − (−5)(−5) 3 5 5 12 = 3 11 5 11 5 11 12 11 T2 = 4 6 − 7 , 10 − 11 3 11 5 11 5 11 12 11 6 − 7 10 − 11 = 4 −1 , −1 − 8 11 − 17 11 = 25 11 2(4 − 1) (4 − 2) F2,4−2 = 3F2,2𝑇2 Rizqi Aristya_16.9399
  • 5. Contoh : Contoh 5.2 Keringat dari 20 perempuan sehat dianalisa. Terdapat 3 komponen yang diukur, yaitu X1 = rata-rata keringat, X2 = kandungan sodium, dan X3 = kandungan potassi um yang kemudian disajikan dalam Sweat Data yang ditampilkan dalam tabel 5.1. Buku Applied Multivariate Statistical Analysis.Uji hipotesis . dan Jawab : dan Ttabel : 8,18 Keputusan > 8,18 sehingga keputusannya tolak H0 . Artinya terdapat minimal satu nilai μ yang berbeda dengan nilai μ0. Sumber : Johnson hal. 214-215 (edisi 6) 𝐻0: 𝛍′ = [ 4, 50 , 10 ] 𝐻1: 𝛍′ ≠ [ 4 , 50 , 10 ] 𝛼 = 0.10 𝐱 = 4.640 45.400 9.965 𝐒 = 2.879 10.010 −1.810 10.010 199.788 −5.640 −1.810 −5.640 3.628 𝐒−1 = 0.586 −0.022 0.258 −0.022 0.006 −0.002 0.258 −0.002 0.402 T2 = 20 4.640 − 4 , 45.400 − 50 , 9.965 − 10 0.586 −0.022 0.258 −0.022 0.006 −0.002 0.258 −0.002 0.402 4.640 − 4 45.400 − 50 9.965 − 10 = 20 0.640, −4.600 , −0.035 0.467 −0.042 0.160 = 9.74 𝑇2 = 9.74 Amalia D R _16.9001
  • 6. Selang Kepercayaan Multivariat Wilayah Kepercayaan Multivariat Univariat Selang kepercayan univariat Add Contents Title Confidence Interval Confidence Region 𝐵𝐵 < 𝜇𝑖 < 𝐵𝐴 𝑥𝑖 ± critical value . Se 𝝀 𝝀 𝑥 Cindira_16.9055
  • 7. Confidence Interval Simultan Add Contents Title 𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 merupakan random sample dari suatu populasi 𝑁𝑝(μ, Ʃ) dengan Ʃ merupakan definit positif, interval simultan : 𝒂′ 𝑿 ± ( 𝒑(𝒏−𝟏) 𝒏−𝒑 𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶) 𝒂′ 𝑺𝒂 ) 𝑇2 -intervals dimungkinkan untuk menjadi : 𝒙𝒊 ± ( 𝒑(𝒏−𝟏) 𝒏−𝒑 𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 (𝜶) 𝑺𝒊𝒊 𝒏 ) Atau 𝓵′ 𝒙 ± 𝒑 𝒏 − 𝟏 𝒏 𝒏 − 𝒑 𝑭 𝜶; 𝒑,𝒏−𝒑 𝓵′ 𝐒 𝓵 𝟏/𝟐 Cindira_16.9055 Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)
  • 8. Confidence Interval Simultan Add Contents Title Jika p ≥ 4, menggunakan confidences ellipsoid. Dengan : 𝒙𝒊 ± ( 𝒑 𝒏−𝟏 𝒏−𝒑 𝑭 𝒑, 𝒏−𝒑 𝜶 𝜆𝑖 𝒆𝒊) 𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛, dimana n – p ⟶ ∾ dengan Ʃ diketahui definit positif : 𝒙𝒊 ± ( 𝝌 𝒑(𝜶) 𝑺 𝒊𝒊 𝒏 ) hal:235 Atau 𝓵′ 𝒙 ± 𝟏 𝒏 𝓵′ 𝐒 𝓵 𝝌 𝜶;𝒑 𝟐 𝟏/𝟐 𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋 𝑛 dimana i : 1, 2, ..., p 𝜆𝑖 : eigenvalues 𝒆𝒊 : eigenvectors 𝑥𝑖 ± ( 𝜒 𝑝(𝛼) 𝜆𝑖 𝒆𝒊 ) Cindira _16.9055 Sumber : Johnson Hal.220-221(edisi 6)
  • 9. Selang Kepercayaan 1 Populasi Confidence Interval : Poin Estimasi ± Z α/2 Standard Error Jika Poin Estimasi x lainnya x ± Z α/2 𝜎 𝑛 Z α/2=-Z 1-α/2 Jika 𝜎2 tidak diketahui and n kecil maka x ± t 1-α/2 𝑠 𝑛 t 1-α/2= t (n-1)1-α/2 x − Z α/2 𝜎 𝑛 x + Z α/2 𝜎 𝑛 x − t 1-α/2 𝑠 𝑛 x + t 1-α/2 𝑠 𝑛 Ary Vebryan_16.9027 Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365
  • 10. Metode Bonferroni If the number m of specified component means μi or linear combinatio n a’μ= ꭤ1μ1+ ꭤ2μ2 + . . . + ꭤpμp is small,simultaneos confidence interval can be developed that are short and developed from a probability inequality P[all Ci True] = 1 - P[ at least one Ci false ≥ 1 - 𝑖=1 𝑚 𝑃 𝐶𝑖 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 = 1 − 𝑖=1 𝑚 (1 − 𝑃 𝐶𝑖 𝑡𝑟𝑢𝑒 ) = 1 - (α1+ α2+. . . + αm) Sumber : Johnson Hal. 232-234 ( edisi 6) Ary Vebryan_16.9027
  • 11. Metode Bonferroni Ci = Confidence statement xi ± tn-1( 𝛼𝑖 2 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 i=1,2,…,m Dengan 𝛼𝑖= 𝛼/m. karena P[xi ± tn-1(𝛼/2m) 𝑆𝑖𝑖 𝑛 contains μi = 1- 𝛼/m, i = 1,2, . . . ,m P[xi ± tn-1( 𝛼𝑖 2𝑀 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 contains 𝜇𝑖, all i ≥ 1- ( 𝛼 𝑀 + 𝛼 𝑀 + ⋯ + 𝛼 𝑀 ) = 1- 𝛼 x1 − tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠11 𝑛 ≤ μ1 ≤ x1 + tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠11 𝑛 x2 − tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠22 𝑛 ≤ μ2 ≤ x2 + tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠22 𝑛 . .. .. . xp − tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠 𝑝𝑝 𝑛 ≤ μ2 ≤ xp + tn-1( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠 𝑝𝑝 𝑛 Amalia D R _16.9001 Sumber : Lee Bain hal 362 dan 365
  • 12. Daerah Penerimaan T2 VS Bonferroni Interval Bonferoni untuk kombinasi linear a’𝝁 dan analogi T2-interval secara umum a’ 𝐱 ± (critical value) a′ 𝒔a 𝑛 Dimana a1’ = 1 0 0 ... 0; a2’= 0 1 0 ... 0 dst ap’= 0 0 … 0 1 𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑩𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐𝒏𝒊 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍 𝑳𝒆𝒏𝒈𝒕𝒉 𝒐𝒇 𝑻 𝟐 −𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍 = 𝒕 𝒏− 𝟏( 𝛼 𝟐𝒎 ) 𝒑(𝒏−𝟏) 𝑛−𝑝 𝐹 𝑝, 𝑛− 𝑝(𝛼) Amalia D R _16.9001
  • 14. Large Sample Inferences Add Contents Title All large sample inferences about μ are based on a 𝟀 𝟐 𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐩. 𝐝. 𝐟 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐮𝐬, P[n( 𝐱 - μ )’S-1( 𝐱 - μ ) ≤ 𝟀2 p(𝜶)] = 1 - 𝜶 𝟀2 p(𝜶) is the upper (100 𝜶)th percentile of the 𝟀2 p distribution X1,X2,. . . Xn a random sample from population with mean μ and positive definite covariance Σ. If n-p is large a’ 𝐱 ± 𝟀2 p(𝜶) a′ 𝒔a 𝒏 Will contain a’ μ, for every a, with probability approximately 1-𝜶. Consequently, we can make the 100(1 - 𝜶)% simultane ous confidence statements 𝐱 𝟏 ± 𝟀2 p(𝜶) 𝒔 𝟏𝟏 𝒏 contains μ1 𝐱 𝟐 ± 𝟀2 p(𝜶) 𝒔 𝟐𝟐 𝒏 contains μ2 . .. . . . 𝐱 𝒑 ± 𝟀2 p(𝜶) 𝒔 𝒑𝒑 𝒏 contains μp All pairs (μi, μk) I,k = 1,2,…p. The sample mean centered ellipses n[ 𝐱 𝒊 - μ, 𝐱 𝒌 - μ] 𝒔𝒊𝒊 𝒔𝒊𝒌 𝒔𝒊𝒌 𝒔 𝒌𝒌 -1 𝐱 𝒊− μi 𝐱 𝒌− μk ≤ 𝟀2 p(𝜶)] contain (μi, μk) Ary Vebryan_16.9027
  • 15. Large Sample Inferences Ketika ukuran sampel besar , selang keprcayaan untuk masin g masing rata-rata adalah xi −𝑧( 𝛼 2 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 ≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧( 𝛼 2 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 i = 1,2,. . .p Menggunakan modifikasi persentil 𝑧( 𝛼 2𝑝 ) xi −𝑧( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 ≤ μ𝑖 ≤ xi +𝑧( 𝛼 2𝑝 ) 𝑠𝑖𝑖 𝑛 i = 1,2,. . .p Ary Vebryan_16.9027 Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)
  • 16. PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN a. Paired Comparisons Untuk kasus univariate, Misal Xj1 adalah respond unt uk treatment pertama (sebelum diberi perlakuan) dan Xj2 ada lah respond untuk treatment kedua (setelah diberi perlakuan) untuk percobaan ke j. (Xj1, Xj2) adalah measurement recorde d dari unit ke j atau pasangan ke j dari unit. Dj= Xj1-Xj2, j=1,2,...,n (6-1) Wahyu D H_16.9461 Sumber : Johnson Hal. 232-237 (edisi 6)
  • 17. PAIRED COMPARISONS AND A REPEATED MEASURE DESIGN 100(1-α)% confidence region for δ consist of all δsuch that 100(1-α)% simultaneous confidence interval for individual mean differences δi Dimana = elemen ke i dari dan adalah elemen diagonal ke i dari Untuk n-p besar, dan tidak membutuhkan asumsi normalitas Bonferroni 100(1-α)% simultaneous confidence interval for individual mean differences δi Wahyu D H_16.9461 Sumber : Johnson hal.276 (edisi 6)
  • 18. B . Repeated Measures Design for Comparing Treatments Add Contents Title Setiap unit penelitian menerima sekali treatment pada successive periods of time j=1,2,...,n Q = jumlah treatment Xij = respond pada treatment ke i pada unit ke j. Uji Kesamaan Perlakuan pada Repeated Measures Design Populasi Nq(μ,∑) dengan C adalah matiks konstan. Hipotesis Statistik Uji Wahyu D H_16.9461 Sumber :Johnson hal.279-281(edisi 6) Dimana Tolak Ho jika Confidence region for contrasts Cμ Simultaneous 100(1-α)% confidence intervals for single contrasts c’μ
  • 19. Contoh : Contoh 6.2 Perbaikan anastesi sering dikembangkan dengan terlebih dahulu mempelajari efe knya terhadap hewan. Dalam suatu penelitian, 19 anjing diberi pentobarbitol kem udian diberi CO2 pada masing-masing dari dua tingkat tekanan. Lalu, halothane d itambahkan, dan diberikan CO2 kembali. Hasil yang dicatat adalah waktu (milllise conds) detak jantung dari kombinasi empat perlakuan tersebut yang kemudian di sajikan dalam Sleeping-Dog Data yang ditampilkan dalam tabel 6.2. Treatment 1 = high CO2 pressure without H Treatment 2 = low CO2 pressure without H Treatment 3 = high CO2 pressure with H Treatment 4 = low CO2 pressure with HAda tiga perlakuan kontras yang menarik dalam eksperimen tersebut, Sumber : Johnson hal. 281-283 (edisi 6) Rizqi Aristya_16.9399 ( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) = Halothane contrast representing the difference between the presence and absence of halothane ( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4) = CO2 contrast representing the difference between high and low of CO2 ( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3) = (H − CO2 pressure "interaction")
  • 20. Contoh : Contoh 6.2 Sumber : Johnson hal. 281-283 (edisi 6) Rizqi Aristya_16.9399 Berdasarkan data yang ada, diperoleh Dapat diverifikasi dengan = 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak dengan 𝛍′ = 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah 𝐂 = −1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 𝐱 = 368.21 404.63 479.26 502.89 dan 𝐒 = 2819.29 3568.42 7963.14 2943.49 2295.35 5303.98 4065.44 6851.32 4499.63 4878.99 𝐂𝐱 = 209.31 −60.05 −12.79 𝐂𝐒𝐂′ = 9432.32 1098.92 927.62 1098.92 5195.84 914.54 927.62 914.54 7557.44 𝑇2 = 𝑛( 𝑪𝒙)′ (𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05 (19 − 1)(4 − 1) (19 − 4 + 1) F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94 𝑇2 𝐻0: 𝐂𝛍′ = 0
  • 21. Contoh : Contoh 6.2 Sumber : Johnson hal. 281-283 (edisi 6) Rizqi Aristya_16.9399 Berdasarkan data yang ada, diperoleh Dapat diverifikasi dengan = 116 > 10.94 sehingga keputusannya tolak dengan 𝛍′ = 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, 𝜇4 , matriks kontras C adalah 𝐂 = −1 −1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 𝐱 = 368.21 404.63 479.26 502.89 dan 𝐒 = 2819.29 3568.42 7963.14 2943.49 2295.35 5303.98 4065.44 6851.32 4499.63 4878.99 𝐂𝐱 = 209.31 −60.05 −12.79 𝐂𝐒𝐂′ = 9432.32 1098.92 927.62 1098.92 5195.84 914.54 927.62 914.54 7557.44 𝑇2 = 𝑛( 𝑪𝒙)′ (𝑪𝑺𝑪)−1( 𝑪𝒙) = 19(6.11) = 116 dengan α = 0.05 (19 − 1)(4 − 1) (19 − 4 + 1) F4−1,19−4+1(0.05) = 10.94 𝑇2 𝐻0: 𝐂𝛍′ = 0
  • 22. Contoh : Contoh 6.2 Sumber : Johnson hal. 281-283 (edisi 6) Rizqi Aristya_16.9399 Untuk melihat kontras mana yang bertanggung jawab atas penolakan H0, dibentuk interval kepercayaan simultan 95% untuk kontras tersebut, kontras diestimasi oleh interval di mana adalah baris pertama dari C. Sama halnya, kontras yang lainnya diestimasi oleh 𝐜 𝟏 ′ 𝛍 = ( 𝜇3 + 𝜇4) − ( 𝜇1 + 𝜇2) = pengaruh halothane ( 𝑥3 + 𝑥4) − ( 𝑥1 + 𝑥2) ± 18(3) (16) 𝐹3,16(0.05) 𝐜 𝟏′𝐒𝐜1 19 = 209.31 ± 10.94 9432.32 19 CO2 pressure infuence = ( 𝜇1 + 𝜇3) − ( 𝜇2 + 𝜇4): = −60.05 ± 54.70 H − CO2 pressure "interaction" = ( 𝜇1 + 𝜇4) − ( 𝜇2 + 𝜇3): = −12.79 ± 65.97
  • 23. Latihan Soal : Exercise 7.10 Wolfgang Hardle – Multivariate Statistics Cindira_16.9055 • Consider X ∼ N3 (μ,Σ). An iid sample of size n = 10 provides: • 𝑥 = 1 0 2 and 𝑆 = 3 2 1 2 3 1 1 1 4 • Knowing that the eigenvalues of S are integ ers, describe a 95% confidence region for μ. • Calculate the simultaneous confidence inter vals for μ1, μ2 and μ3.
  • 24. Latihan Soal : Exercise 7.10 Wolfgang Hardle – Multivariate Statistics Cindira_16.9055 Penyelesaian : • S − λI = 0 • 3 2 1 2 3 1 1 1 4 − λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 0 • 3 − λ 2 1 2 3 − λ 1 1 1 4 − λ = 0 • (3 − λ)2 (4 − λ) + 2 + 2 - (3 − λ) - (3 − λ) – 4(4 − λ) = 0 • (λ − 6) (λ − 3) (−λ + 1) = 0
  • 25. Latihan Soal : Exercise 7.10 Wolfgang Hardle – Multivariate Statistics Cindira_16.9055 • 95% Confidence Region : • 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ± 𝑝(𝑛−1) 𝑛−𝑝 𝐹𝑝;𝑛−𝑝,1−𝛼. λ𝑖. 𝑒𝑖  1 0 2 ± 3𝑥9 7 . 𝐹3;7,0,95 . λ𝑖. 𝑒𝑖 • 1 ± 100,671. 1 3 1 3 1 3 • 0 ± 50,336. 1 6 1 6 −2 6 • 2 ± 16,779. −1 2 1 2 0
  • 26. Latihan Soal : Exercise 7.10 Wolfgang Hardle – Multivariate Statistics Cindira_16.9055 • Simultaneous confidence intervals untuk μ1, μ2, dan μ3 • Confidence intervals : 𝑥𝑖 ± 𝑝(𝑛−1) 𝑛−𝑝 𝐹𝑝;𝑛−𝑝,0,95. s 𝑖𝑖 (𝑛−1) • −1,364 < 𝜇1 < 3,364 • −2,364 < 𝜇2 < 2,364 • −0,729 < 𝜇3 < 4,730
  • 27. Thank you Editor : Amalia D R_16.9001