Las funciones de varias variables se puede decir que se interpreta como un conjunto de
valores y puntos los cuales definen de manera certera la posición en la cual se encuentra
un punto cualquiera en un espacio euclideo. Aparte de sus diversos usos en la
matemáticas, tienen otras utilidades estas coordenadas cartesianas son muy utilizadas
para localizar sitios en los mapas. Los planos la mayoría de las veces suelen
estar divididos en sectores con ejes horizontales y verticales.

En geometría, un sistema de coordenadas es un
sistema que utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar unívocamente la
posición de un punto u objeto geométrico. El orden
en que se escriben las coordenadas es significativo
y a veces se las identifica por su posición en una
tupla ordenada; también se las puede representar
con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x».

El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite
formular los problemas geométricos de forma "numérica". Existen diferentes tipos de
sistemas de coordenadas como lo son:
• Sistema coordenado lineal.
• Sistemas de coordenadas cartesianas.
• Sistema de coordenadas polares.
• Sistema de coordenadas log-polares.
• Sistema de coordenadas cilíndricas.
• Sistema de coordenadas esféricas.
• Coordenadas geográficas.
• Coordenadas curvilíneas generales.
• Coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares
(sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales
usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica
de una relación matemática (funciones matemáticas y
ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición
en física, caracterizadas por tener como referencia ejes
ortogonales entre sí que
concurren en el punto origen. En las coordenadas
cartesianas se determinan las coordenadas al origen como
la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de
un punto dado sobre cada uno de los ejes.

El punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las
rectas y se conoce como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le
asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los
números reales de las ye ("y").
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el
nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo
cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante
"III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Región
inferior derecha

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica
se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par
ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. el cuadrante tienes 4 puntos negativo y
positivo ya que el lado izquierdo se le llama negativo que es -x, -y y lado derecho es positivo +x,+y.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de
referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano
y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas
cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se
representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se
representa por la y.

Ejemplos de coordenadas
El origen siempre está situado en las coordenadas (0,0). Es decir, está lo más a
la izquierda y abajo posible. O es un punto especial, desde él comienzan los
ejes de coordenadas y está “0 posiciones a la derecha y 0 posiciones arriba”.
Éste es el punto desde el que se empieza a contar. Entonces (0,3) estaría 0
posiciones a la derecha y 3 arriba. Y (5,0) 5 posiciones a la derecha y 0 arriba.
Por ejemplo, un avión azul en las coordenadas (3,2) ¿Dónde se
localizaría?
La primera coordenada nos indica la posición en el eje X. Hay que contar 3
posiciones desde el origen hacia la derecha. Y la segunda coordenada la
posición del eje Y, contar 2 posiciones hacia arriba. Así situamos al avión azul 3
posiciones a la derecha del origen y 2 hacia arriba.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan
problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres
dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la
proyección del radio vector sobre el plano XY.
φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la
proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el
punto P al plano XY.

Este sistema de coordenadas es de gran utilidad en los cálculos matemáticos porque permiten
modelar de una manera más cómoda situaciones, modelos y fenómenos de diversas áreas.
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio
tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la variable z,
x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable
dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella sobre
cuyo eje abre la superficie.

Ejemplo
Las coordenadas cilíndricas tienen aplicaciones en la tecnología. Como ejemplo se tiene el sistema CHS
(Cylinder-Head-Sector) de ubicación de datos en un disco duro, el cual en realidad consiste en varios discos:
– El cilindro o pista corresponde a la coordenada ρ.
– El sector corresponde a la posición φ del disco que gira a elevada velocidad angular.
–La cabeza corresponde a la posición z del cabezal de lectura en el disco correspondiente. Cada byte de
información tiene una dirección precisa en coordenadas cilíndricas (C, S, H).
Ejercicio
Se tienen los puntos P1 de coordenadas cilíndricas ( 3, 120º, -4) y el punto P2 de
coordenadas cilíndricas ( 2, 90º, 5). Hallar la distancia euclidiana entre estos dos puntos. Solución: En primer
lugar, se procede a encontrar las coordenadas cartesianas de cada punto siguiendo la fórmula que se dio
más arriba.
P1 = ( 3* cos 120º, 3* sen 120º, -4 ) = ( -1.5, 2.60, -4 )
P2 = ( 2* cos 90º, 2* sen 90º, 5 ) = ( 0, 2, 5 )
La distancia euclidiana entre P1 y P2 es:
d(P1, P2) = √( (0 – (-1.5))2+(2 – 2.60)2+(5 -(-4))2 ) =√(2.25+0.36+81) = 9.14

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y
se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos
ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres
magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimutal φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90°
(de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimutal,
según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -
180° a
+180° (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Importancia
Aparte de la evidente relación con el sistema de coordenadas
geográficas, aplicables a otros planetas y cuerpos espaciales
con forma esférica y el sistema de localización polar de los
cuerpos estelares en la bóveda celeste, el sistema de
ubicación GPS; desde el punto de vista de la geometría
analítica y la precisión realista de los fenómenos que suceden
en la superficie terrestre, donde la línea recta es apenas un
ideal
geométrico, gana gran importancia para las
ciencias de la naturaleza y las propiedades
espaciales de la trigonometría, especialmente la
trigonometría esférica, donde por solo citar un ejemplo los
triángulos formados por líneas geodésicas no
necesariamente la suma de sus ángulos interiores es 1800.

Relaciones con otros sistemas de coordenadas
Coordenadas geográficas
Pese a la similitud evidente entre la caracterización de un punto según sus coordenadas esféricas y geográficas,
la diferencia fundamental radica en la forma de definir la latitud que si bien en las coordenadas esféricas se define
por el ángulo entre el eje Z y el vector Vector A.gif; en el caso de la latitud geográfica se define mediante el ángulo
formado por el propio vector Vector A.gif y la proyección del mismo sobre el plano XOY.
Coordenadas cartesianas
Las fórmulas de conversión entre los sistemas esféricos y cartesianos son simples. Dada la coordenada esférica
(r,a,b) su equivalente cartesiano (x,y,z) vendría dado por la relación: x=r cos a cos b
y=r sen a cos b
z=r cos b
Coordenadas cilíndricas
Si bien las coordenadas esféricas (r,a,b) y cilíndricas (a,R,z) tiene como elemento común el ángulo longitudinal a
conformado entre el eje X el origen de coordenadas y la proyección del vector A sobre el plano XOY; aunque difiere
en el hecho de que el radio R de la base del cilindro es el módulo del vector proyectado y no como en el sistema
esférico, donde el radio r era la distanciaOA

Ejemplo
Las coordenadas geográficas de Palma de Mallorca (España) son:
Longitud Este 38,847º y Latitud Norte 39,570º. Para determinar las coordenadas esféricas correspondientes a
Palma de Mallorca se aplica la primera de las fórmulas de las fórmulas de la sección previa:
38,847ºE39,570ºN → (r=6371 km, θ=90º-39,570º, φ=38,847º)
Entonces las coordenadas esféricas son:
Palma de Mallorca:(r=6371 km, θ=50,43º, φ=38,85º)
En la respuesta anterior se ha tomado r igual al radio promedio de la Tierra. Ejercicio
Hallar las coordenadas cartesianas de Palma de Mallorca en el sistema de referencia cartesiano XYZ mostrado
en la figura 2.
Solución: Previamente, en el ejemplo 1 se obtuvo las coordenadas esféricas partiendo de las coordenadas
geográficas de Palma de Mallorca. De modo que pueden usarse las fórmulas presentadas más arriba para pasar
de esféricas a cartesianas:
x = 6371 km Sen(50,43º) Cos(38,85º) y =
6371 km Sen(50,43º) Sen(38,85º) z = 6371
km Cos(50,43º)
Realizando los cálculos correspondientes se tiene: Palma de
Mallorca: (x=3825 km, y=3081 km, z=4059)

Transformación de cartesianas a cilíndricas:
Las coordenadas cartesianas están representadas por 3 valores, (X, Y, Z). Cuando se convierten en
coordenadas cilíndricas, los nuevos valores se representarán como (r, θ, z).
.
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cartesianas (3, 4, 5) en sus coordenadas cilíndricas
equivalentes
Esta respuesta se calcula en grados. En
radianes, el valor de θ sería 0,93.

De cartesianas a polares:
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas
resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22,6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x

De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0,921 = 11,98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0,391 = 5,08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

De esféricas a cartesianas:
Las coordenadas esféricas están representadas por 3 valores, (r, θ, φ). Cuando se convierten en
coordenadas cartesianas, los nuevos valores se representarán como (x, y, z).
Ejemplo de Cálculo
Convierta las coordenadas esféricas (12, 20°, 60°) en su coordenada cartesiana equivalente.

De cilíndricas a cartesianas:
Las coordenadas cilíndricas están representadas por 3 valores, (r, φ, Z). Cuando se
convierten en coordenadas cartesianas, los nuevos valores se representarán como (X, Y,
Z).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cilíndricas (3, 10 °, 4) en su coordenada cartesiana equivalente.

De cartesianas a esféricas:
Las coordenadas cartesianas están representadas por 3 valores, (x, y, z). Cuando se convierten en
coordenadas esféricas, los nuevos valores se representarán como (r, θ, φ).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cartesianas (2, 3, 8) en sus coordenadas esféricas equivalentes.

De cilíndricas a esféricas:
Las coordenadas cilíndricas están representadas por 3 valores, (r, φ, Z). Cuando se convierten en
coordenadas esféricas, los nuevos valores se representarán como (r, θ, φ).
Ejemplo de Cálculo
Convertir las coordenadas cilíndricas (3, 20 °, 4) en sus coordenadas esféricas equivalentes.

De esféricas a cilíndricas:
Las coordenadas esféricas están representadas por 3 valores, (r, θ, φ). Cuando se convierten en
coordenadas cilíndricas, los nuevos valores se representarán como (r, φ, z).
Ejemplo de Cálculo
Convierta las coordenadas esféricas (8, 40 °, 20 °) en sus coordenadas cilíndricas equivalentes.

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PUNTO
El punto simétrico A’ de un punto A respecto de otro punto M, será el punto tal que la distancia del punto A al
punto M es igual a la distancia del punto A’ al punto M, es decir, d (A,M)= d (A’,M). Por tanto, podemos decir
que el punto M es el punto medio del segmento AA’.
Ejemplo: Hallar el punto simétrico de A(2,3) respecto al punto (-1,2).
Tenemos que hallar el punto A’ tal que el punto M(-1,2) sea el punto medio de AA’. Recordemos que para
calcular el punto medio entre dos puntos P(a ,b ) y P'(a’ ,b’ ) utilizamos la siguiente fórmula: M=(a+a’/2, b+b’/2),
por tanto tenemos la siguiente igualdad: (-1,2)=(2+a’/2, 3+b’/2).
Igualando coordenada a coordenada hallamos el valor de a’ y el valor de b’, las coordenadas de nuestro punto:
-1= (2+a’)/2 → -2=2+a’ → a’=-4 2 =
(3+b’)/2 →4 = 3+b’→b’=1
Por tanto el punto de simétrico que nos piden es el punto A'(-4,1).

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UN PLANO
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a un plano π es el punto situado
en la recta perpendicular al plano que pasa por P, tal que la distancia del punto
P al plano es la misma que la distancia del punto A’ al plano: d ( π ,P)= d ( π
,P’).
Para hallar el punto simétrico respecto al plano procederemos de la
siguiente manera:
1º) Hallamos la recta perpendicular r perpendicular al plano que pasa por P.
Por tanto, tendrá como vector director el vector normal al plano.
2º) Una vez hallada la ecuación de la recta, calculamos el punto
de intersección entre el plano dado y la recta obtenida en el
primer paso. Este punto será M.
3º) Por último, procedemos igual que en el primer caso, cuando se trataba de
buscar el simétrico de un punto respecto del punto M.

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO UNA RECTA
El punto simétrico P’ de un punto P respecto a una recta r, es el punto que se encuentra situado en la
recta perpendicular a r que pasa por P, tal que la distancia del punto P a la recta es igual a la distancia
del punto P’ a la recta, es decir: d(P, r)=d( P’, r)
Para hallar el punto simétrico respecto a una recta seguimos los siguientes pasos: 1º) Hallamos el
plano perpendicular a r que contiene a P, para hacerlo utilizamos el vector director de la recta, que
será el vector normal del plano.
2º) Hallamos el punto de corte de la recta y el plano calculado en el paso anterior, M.
3º) Por último, repetimos el mismo paso que en el caso anterior.

Dos puntos, P y P', son simétricos respecto a un punto, O, si O es el punto medio del segmento
que determinan los puntos P y P'. El punto O recibe el nombre de centro de simetría y este tipo
de simetría se denomina simetría con respecto a un punto o simetría central.
Simetría de dos puntos respecto a otro punto
Dos puntos A y B son simétricos respecto a un punto M si éste es el punto medio del
segmento de recta que une al punto A con el punto B.

Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición
de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de
una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente
llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo
del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.

Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con
más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas
las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que
permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar
más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve
una función de tres variables es el siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias
superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos,
paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son
funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en
funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar
que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que
no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le
corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.

Ejemplo 1
Evalúe la función f(x,y) = x^2 + y^2 en el punto (3,-1). Entonces sustituimos x por 3 y y por - 1 de la siguiente
forma:
Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias variables, una de
ellas es proyectar la superficie que esta define en cada plano.
Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2, podemos ver su proyección en el plano XZ
tomando y=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(x,0)=x^2+0^2 z=x^2; también podemos ver su
proyección en el plano YZ tomando x=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(0,y)=0^2+y^2 z=y^2.
Sus gráficas
respectivas serán
Finalmente, se completa la superficie uniendo las
curvas trazadas

Los sistemas de coordenadas son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos,
para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de
geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia
ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. La idea de relación es más compleja
puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que
les corresponde un valor de z. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en
función del dominio.El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento.