1.
EL AXIOMA DE ELECCIÓN
Por Marcos Molina Sanz
y Lorién Mur Javierre

2.
El poder de este axioma
Imagine que tiene una pelota de tenis y decide aplicar este axioma, bien, si hace
esto tendrá dos pelotas de tenis.

3.
ÍNDICE
1. Explicación del axioma
2. Enunciado
3. Uso
4. Demostraciones constructivas vs no constructivas
5. ¿Por qué se han duplicado las pelotas de tenis?
6. Enunciados equivalentes

4.
Pero… ¿por qué?
Bien, primero comencemos explicando qué hace este axioma.
Supongamos que usted tiene una colección de cajas con diferentes objetos
dentro de ellas. Entonces el axioma dice que es posible elegir un objeto de cada
una de las cajas. Esto se ve claramente si la cantidad de cajas y objetos dentro de
ellas es finita.
Ahora bien, el axioma de elección toma importancia cuando el número de cajas y
de objetos es infinito.

5.
Definición matemática
En un lenguaje más correcto matemáticamente, establece una función que tiene
como dominio una familia A de conjuntos no vacíos. De manera que para todos
los conjuntos B en A, la función de B asigna un elemento de este conjunto (B).
Este axioma se suele agrupar junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de
teoría de conjuntos.

6.
Uso
Este axioma es necesario para poder bien ordenar conjuntos de números reales.
Siendo un conjunto bien ordenado aquel no vacío, de forma que todo subconjunto
no vacío tiene un elemento mínimo.
La utilización de este axioma por parte de la comunidad matemática es un tema
problemático. Esto se debe a que algunos matemáticos no aceptan este axioma
por no seguir una estructura constructiva.

7.
Demostraciones constructivas vs no constructivas
Las demostraciones matemáticas constructivas son aquellas que demuestran la
existencia de un objeto matemático mediante la construcción de tal objeto o de
un método para crear el objeto.
En cambio, las demostraciones no constructivas son aquellas que demuestran la
existencia de un objeto matemático, pero no proporcionan ningún ejemplo de
dicho objeto.

8.
Demostraciones constructivas vs no constructivas
El axioma de elección es controversial en parte porque las demostraciones en las
que se utiliza son no constructivas. Por ejemplo, se puede demostrar con este
axioma que todo espacio vectorial tiene una base, pero la demostración no da
ningún método para encontrar dicha base.
Los matemáticos que aceptan solo las demostraciones constructivas son los
llamados Constructivistas.

9.
Paradoja de Banach-Tarski
Uno de los problemas por el que es tan controversial es que a pesar de que sea
algo que parece intuitivo da lugar a diferentes paradojas. Una de ellas es la de las
pelotas de tenis (paradoja de Banach-Tarski). Al dividir conjuntos en un gran
número de subconjuntos y aplicar este axioma se puede dar lugar a varios objetos
como el inicial, es decir, pasar de tener una pelota de tenis a dos.

10.
Paradoja de Banach-Tarski
De manera más formal: Dada una bola tridimensional, existe una descomposición
de la bola en un número finito de piezas no solapadas que pueden juntarse de
nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original.
Además, el proceso de reensamblaje requiere solo quitar las piezas y rotarlas, sin
cambiar su forma.
Sin embargo, dichas piezas no se pueden visualizar de manera sencilla, ya que
son dispersiones de puntos, los puntos que forman la bola original.

11.
Enunciados equivalentes
Los siguientes enunciados y teoremas son equivalentes al axioma de elección:
● Lema de Zorn: Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que todo
subconjunto totalmente ordenado tiene una cota superior, contiene al menos
un elemento maximal.
● Teorema del buen orden: Todo conjunto puede ser bien ordenado.
● Todo espacio vectorial tiene una base.
● Ley de tricotomía: Dados dos conjuntos cualquiera, o tienen el mismo
cardinal, o uno tiene un cardinal menor que el otro.
● Toda función sobreyectiva tiene inversa por derecha.

12.
Bibliografía
https://pxhere.com/es/photo/1428403
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_bien_ordenado
https://www.publicdomainpictures.net/en/view-
image.php?image=213608&picture=tennis-balls
https://es.wikipedia.org/wiki/Constructivismo_(matem%C3%A1tica)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski