Ensayo sobre Relaciones Binarias

1. U.T.S Antonio José de Sucre
2015
Relaciones Binarias
Ricardo Santaella C.I: 26.343.797

2. Relaciones Binarias
Sean Y, y X dos conjuntos. Una relación de X en Y es un subconjunto R del producto cartesiano X
x Y. El conjunto X es llamado conjunto de partida de la relación R; e Y es el conjunto de llegada.
En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en X, diremos que R es una
relación en X.
Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R, en lugar de escribir (x, y) Î
R, escribiremos X R Y, y leeremos: "X está relacionado con Y", según la relación R".
Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.
Ejemplos:
1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
2. La siguiente relación S de R en R S = {(X, Y) Î R x R / X £ Y} es la relación "menor o igual" en
R. En este caso X S Y Û X £ Y
3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P (U) es la relación
R = {(A, B) Î P (U) x P (U) / A Ì B}
Dominio y Rango
Definición: Sea R una relación de X en Y
El Dominio de R es el conjunto
Dom(R) = {xÎ X / (x, y) Î R, para algún y Î Y}
El Rango o imagen de R es el conjunto
Rang(R) = {y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X}
En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los primeros y
segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación.
Ejemplo:
La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a, b, c}
y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los pares
ordenados y 1,2,4,5 están en el segundo componente de cada par.

3. Representación grafica de Relaciones
Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las más usuales son las siguientes:
Representación Cartesiana, Matricial y Sagitaria.
Representación Cartesiana
Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los elementos
del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares
ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor importancia cuando el
conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.
Ejemplo 1
Si X= {a, b, c, d} e Y= {1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y
R= {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
La representación cartesiana es el diagrama adjunto.
Representación Sagital
La representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta, igual que la matricial, se
usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación sagital se obtiene
representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego,
con flechas, los elementos relacionados. Así, la representación sagital de la relación del ejemplo 1 es
el siguiente diagrama:
Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn y las flechas se
representan interiormente. Así, el diagrama siguiente representa a la siguiente relación en X= {a, b,
c, d}
S= {(a, b), (b, b), (a, d), (b, c), (d, d)}

4. Matriz Binaria
La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de llegada de la relación son
conjuntos finitos con pocos elementos. Para obtener tal representación, se asigna a cada elemento del
conjunto de llegada una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila.
Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con la columna que
corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. La configuración rectangular de
ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de la relación.
Así, la matriz de la relación. R= {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
Relación Inversa
Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por:
R-1 = {(y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}
O sea, Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verifica que:
Dom(R-1) = rang(R) 2. Rang(R-1) = Dom(R)
Ejemplo
Si X = {a, b, c} Y= {1, 2, 3, 4} y R Ì X x Y es dado por
R = {(a, 3), (a, 1), (b, 1), (c, 4)}
R-1 = {(3, a), (1, a), (1, b), (4, c)}
Además domR-1 = {1, 3, 4} = rang(R)
Rang(R-1) = {a, b, c} = Dom(R)
El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma relación.
Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R
Demostración
X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa
Û X R Y
Luego, (R-1)-1 = R

5. Composición de Relaciones
Sea R una relación de X a Y, y S una relación de Y en Z. Se llama composición de R con S a la
siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z
Observación
En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al conjunto de
partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto de llegada de R
esté contenido en el conjunto de partida de S.
Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso al orden
en que se dan R y S.
Ejemplo
Sean X= {2, 3, 5}, Y= {a, b, c, d} y Z= {1, 4, 9}
Si R y S son las relaciones de X en Y, y de Y en Z respectivamente, dadas por
R= {(2, a), (2, d), (3, c), (5, a)},
S= {(a, 9), (b, 1), (d, 4)}
Entonces:
SoR = {(2, 9), (2, 4), (5, 9)}
Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es una relación de Z en
W, entonces:
T o (S o R) = (T o S) o R

6. Demostración
X (T o (S o R) W Û $ z Î Z, x(S o R) z Ù z T w Û $ z Î Z, ($ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T w
Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w) $ y Î Y, x R y Ù y (T o S) w
Û x ( (T o S) o R) w
Luego, T o (S o R) = (T o S) o R
Teorema: Si R es una relación de X en Y, y S en una relación de Y en Z, entonces (S o R)-1 = R-1 o
S-1
Demostración
z (S o R)-1 x Û x (S o R) z
Û $ y Î Y, x R y Ù y S z
Û $ y Î Y, y R-1 x Ù z S-1 y
Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x
Û z(R-1 o S-1) x
Luego, (S o R)-1 = R-1 o S-1