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TEMA 5:
PROBABILIDAD

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ÍNDICE
1. Experimentos aleatorios
2. Sucesos. Tipos de sucesos
2.1. Sucesos elementales
2.2. Suceso seguro
2.3. Suceso imposible
3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos
3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles
3.2. Intersección de sucesos
3.3. Diferencia de sucesos
3.4. Leyes de Morgan
4. Definición Axiomática de probabilidad
5. Regla de La Place
6. Probabilidad condicionada
6.1. Sucesos Dependientes o Independientes
7. Teorema de la Probabilidad total.
8. Teorema de Bayes

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1. Experimentos aleatorios
Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases:
-Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones
iniciales se obtiene igual resultado.
-Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede
predecir el resultado.
Los experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que
pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la
realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama
espacio muestral.
Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, depende
de la suerte y el azar o bajo las mismas condiciones no se puede repetir dos veces.
Ejemplo: lanzar un dado ó extraer una carta.

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2. Sucesos. Tipos de sucesos
Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del
espacio muestral E . Para designar cualquier suceso, también llamado
suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras
mayúsculas.
Si lanzamos dos dados, son subconjuntos de E:
-Salir múltiplo de 5: (5 , 10)
-Salir número primo: (2, 3, 5, 7, 11)
-Salir mayor o igual que 10: (10, 11, 12)

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2.1. Sucesos elementales
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio
muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
2.2. Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral).
Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que
7.
2.3. Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

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3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos
3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles
La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos
los elementos de A y de B.
Dos sucesos, A y B, son compatibles
cuando tienen algún suceso elemental
común.

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3.2. Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A intersección B, es el suceso formado por
todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A intersección B se verifica cuando ocurren
simultáneamente A y B.
A intersección B se lee como "A y B".
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A intersección B = {6}

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3.3. Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los
elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A
y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}

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3.4. Leyes de Morgan

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4. Definición Axiomática de probabilidad
Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un
espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una
función que asocia a cada suceso A un número real, que será su
probabilidad. cumpliéndose las siguientes condiciones:
Ax.1 La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)0
Ax.2 La probabilidad del suceso seguro es 1 P()=1
Ax.3 Dados dos sucesos A y B y tales que A B= Ø, es decir, son
incompatibles, entonces:
P(A U B)=P(A)+P(B)

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De la definición axiomática de probabilidad se tienen las siguientes consecuencias:
1.- Si dos sucesos son complementarios entonces P(Ac)=1-P(A)
De la definición de suceso complementario se tiene que A U Ac = y A Ac = Ø
Por el Ax.3 P(A U Ac)= P(A)+P(Ac) como A U Ac = y P()=1(Ax.2)
1=P(A)+P(Ac) => P(Ac)=1-P(A)
2.- La probabilidad del suceso imposible es 0. P(Ø) = 0
Ø = c, luego P(Ø)=1-P() => P(Ø) = 0
3.- Si un suceso A está contenido en otro B, , entonces,
implica que B = A U (B-A) con A (B-A)= Ø, luego
P(B) = P(A) + P(B-A), por Ax.1 P(B-A)0, entonces
4.- Si tenemos k sucesos A1,A2,...,Ak incompatibles dos a dos Ai Aj= Ø, entonces
P(A1U A2U...U,Ak)=P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak)
5.- Dados dos sucesos cualesquiera se tiene P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(A U B) = P(A-B) + P(B-A) + P(AB)
Por otro lado P(A) = P(A-B) + P(AB) y
P(B) = P(B-A) + P(AB)
P(A-B)=P(A) - P(AB) y P(B-A)=P(B) - P(AB)
y sustituyendo se obtine el resultado deseado
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)

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5. Regla de La Place
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos
elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces
si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Calcular la probabilidad de que al echar
un dado al aire, salga un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.

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6. Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo
que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y
se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede
preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede
causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o
temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden
desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los
eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de
Bayes.

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6.1. Sucesos Dependientes o Independientes
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que
suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que
suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos
dependientes.

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7. Teorema de la Probabilidad total.
i A 1, A 2 ,... , A n son:
-Sucesos incompatibles 2 a 2.
-Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 U A 2 U... U A n = E).
-Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

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8. Teorema de Bayes
Si A 1, A 2 ,... , An son:
-Sucesos incompatibles 2 a 2.
-Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 U A 2 U... U A n = E).
-Y B es otro suceso.
Resulta que:
-Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
-Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
-Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.