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BASES MATEMÁTICAS

                              Funções, Sequências e Limites



1. Esboce o gráfico de ( )         (      )    e indique as intersecções com o eixo x
e eixo y, pontos de máximo e mínimo locais, se houver e em quais regiões a função é
crescente, decrescente, positiva e negativa.

i) Esboço do gráfico

Tomando como “função base”              ( )        , temos seu gráfico (em azul) mostrado
abaixo.




                                    Figura 1 – Gráfico de

Realizando uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade obtemos (
 ) (       ) (em azul). Com uma translação vertical em 4 unidades para baixo
obtemos (      )        (     )      (em verde).




            Figura 2 – Gráfico de      (      ) , em azul e   (   )   , em verde

Refletindo, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico em que a coordenada y seja
menor que zero obtemos         (      )         (      )       (em azul). Finalmente,
refletindo, em relação ao eixo x, todo o conjunto dos pontos do gráfico, obtemos
  ( )      (     )       (em verde).
Figura 3 – Gráfico de       (       )       , em azul e ( )                        (   )        , em verde


ii) Intersecções com os eixos

O gráfico intercepta o eixo y se, e somente se,                        .
                            ( )       (     )
Então       (      ).
O gráfico intercepta o eixo x se, e somente se,                        .
                                  ( )       (                  )
                             (       )                         (                   )
                                                    √                          √
Então         (√           )e           ( √               ).

iii) Máximos e mínimos locais

Os pontos de máximo locais são    e    .
O ponto de mínimo local possui como abscissa a média entre as abscissas dos pontos de
intersecção com o eixo x. Então:
                                    √               ( √            )

A ordenada é igual a (          )       (       )       (                  )                        .
Então:        (       ).

iv) Crescimento e Decrescimento

A função é crescente quando             (           √          )           (           √       ).
A função é decrescente quando               ( √                    )           (√              ).

v) Positiva e negativa

A função é negativa             .
2. Esboce o gráfico de ( )                e dê a equação da assíntota.




       Figura 4 – Gráfico de       ⁄ , em azul;         ⁄(     ), em verde e              , em violáceo

Primeiramente desenha-se o gráfico azul ( )                   . Por meio de uma transformação –
translação horizontal de 3 unidades à esquerda – obtém-se (                           )         ( )       (em
verde).
A função f possui uma assíntota vertical de equação                       (ponto de descontinuidade)
e uma assíntota horizontal de equação        (eixo x).


3. Mostre que a sequência                              é crescente.

A sequência       é crescente se, e somente se,                       para todo             .

                               (     )     (      )



Como          , claramente, a proposição                           é verdadeira.




4. Prove que a sequência                 é limitada.

A sequência       é limitada se existir um M tal que                    , para todo               .
Supondo que            , devemos provar que | |              para todo            .

                                   | |
Como necessariamente          , pela definição do domínio de sequência, conclui-se que
para todo n natural a seqüencia     é menor que 2. Ou seja, existe um M tal que
  , quod erat demonstrandum.
5. Prove, utilizando o teorema do confronto, que

                                              ( )

Para qualquer        sabemos que     ( )      [         ].
Então
                                              ( )
Multiplicando todos os termos da desigualdade por                  (pois, certamente é um valor
positivo), temos
                                                  ( )
Considerando que                                             , concluímos pelo teorema do
confronto que
                                                  ( )



6. Mostre, utilizando o teorema do confronto, que



Para qualquer        sabemos que        ( )   [         ].
Então

Multiplicando todos os termos da desigualdade por                        (pois, por ser função
exponencial não assume valores negativos)


A sequência            , ou, equivalentemente,                 , tende a zero para valores muito
grandes de n. Simbolicamente           .
Pelo teorema do Confronto, conclui-se então que (                   )        .


7. Calcule os limites abaixo:

a)

                                    (                          )         (                 )

                                    (                          )         (                )

                                        ( )
b)
                                         (√                 )(√                              )
       (√                )
                                                  (√                     )                                   (√                   )

            (√                   )
                                              (√       (         )       )                       (√      √(           )       )



                 √(          )                     ( √(              )       )                   (√(              )       )



                                                                         √
                             √



c)




                     (               )                          (                        )
             (               )                              (                        )


                 (                                     )



                                 (            )                     (                )



d)

                                              (        )(           )
                                                                                 (               )



Nota: Polinômios, ou seja, expressões do tipo ( )
    podem ser reescritas como          ( )     (                         )(                          )   (        )(            ), onde
             são zeros do polinômio.


8. Sabendo que uma função f é contínua no ponto p quando                                                                  ( )         ( ).
Determine se a função ( )    é contínua em     .
Devemos testar a condição
                                          ( )
Calculando o limite
                                                                             ( )
Portanto, a função f é contínua no ponto (                  ).

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Questões - Bases Matemáticas

  • 1. BASES MATEMÁTICAS Funções, Sequências e Limites 1. Esboce o gráfico de ( ) ( ) e indique as intersecções com o eixo x e eixo y, pontos de máximo e mínimo locais, se houver e em quais regiões a função é crescente, decrescente, positiva e negativa. i) Esboço do gráfico Tomando como “função base” ( ) , temos seu gráfico (em azul) mostrado abaixo. Figura 1 – Gráfico de Realizando uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade obtemos ( ) ( ) (em azul). Com uma translação vertical em 4 unidades para baixo obtemos ( ) ( ) (em verde). Figura 2 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) , em verde Refletindo, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico em que a coordenada y seja menor que zero obtemos ( ) ( ) (em azul). Finalmente, refletindo, em relação ao eixo x, todo o conjunto dos pontos do gráfico, obtemos ( ) ( ) (em verde).
  • 2. Figura 3 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) ( ) , em verde ii) Intersecções com os eixos O gráfico intercepta o eixo y se, e somente se, . ( ) ( ) Então ( ). O gráfico intercepta o eixo x se, e somente se, . ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ Então (√ )e ( √ ). iii) Máximos e mínimos locais Os pontos de máximo locais são e . O ponto de mínimo local possui como abscissa a média entre as abscissas dos pontos de intersecção com o eixo x. Então: √ ( √ ) A ordenada é igual a ( ) ( ) ( ) . Então: ( ). iv) Crescimento e Decrescimento A função é crescente quando ( √ ) ( √ ). A função é decrescente quando ( √ ) (√ ). v) Positiva e negativa A função é negativa .
  • 3. 2. Esboce o gráfico de ( ) e dê a equação da assíntota. Figura 4 – Gráfico de ⁄ , em azul; ⁄( ), em verde e , em violáceo Primeiramente desenha-se o gráfico azul ( ) . Por meio de uma transformação – translação horizontal de 3 unidades à esquerda – obtém-se ( ) ( ) (em verde). A função f possui uma assíntota vertical de equação (ponto de descontinuidade) e uma assíntota horizontal de equação (eixo x). 3. Mostre que a sequência é crescente. A sequência é crescente se, e somente se, para todo . ( ) ( ) Como , claramente, a proposição é verdadeira. 4. Prove que a sequência é limitada. A sequência é limitada se existir um M tal que , para todo . Supondo que , devemos provar que | | para todo . | | Como necessariamente , pela definição do domínio de sequência, conclui-se que para todo n natural a seqüencia é menor que 2. Ou seja, existe um M tal que , quod erat demonstrandum.
  • 4. 5. Prove, utilizando o teorema do confronto, que ( ) Para qualquer sabemos que ( ) [ ]. Então ( ) Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, certamente é um valor positivo), temos ( ) Considerando que , concluímos pelo teorema do confronto que ( ) 6. Mostre, utilizando o teorema do confronto, que Para qualquer sabemos que ( ) [ ]. Então Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, por ser função exponencial não assume valores negativos) A sequência , ou, equivalentemente, , tende a zero para valores muito grandes de n. Simbolicamente . Pelo teorema do Confronto, conclui-se então que ( ) . 7. Calcule os limites abaixo: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 5. b) (√ )(√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ( ) ) (√ √( ) ) √( ) ( √( ) ) (√( ) ) √ √ c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( )( ) ( ) Nota: Polinômios, ou seja, expressões do tipo ( ) podem ser reescritas como ( ) ( )( ) ( )( ), onde são zeros do polinômio. 8. Sabendo que uma função f é contínua no ponto p quando ( ) ( ). Determine se a função ( ) é contínua em . Devemos testar a condição ( ) Calculando o limite ( ) Portanto, a função f é contínua no ponto ( ).