Cuando La Teoría De
Números Se Encuentra Con
La Geometría Algebraica
Una Invitación A La GeometrÍa Aritmética Vía Las Conjeturas De Weil
Dr. J. Rogelio (Yoyontzin) Pérez Buendía
CIMAT - Guanajuato

Pero ¿qué es la Geometría
Algebraica?
Geometría Analítica:
Linea y = mx + b
Círculo x2
+ y2
= r2

y = mx + b
x2
+ y2
= r2
Resolver el sistema:
x2
+ (mx + b)2
= r2
{ x2
+ (2mb)x + (b2
r2
) = 0
x1
x2

Polinomios y su Geometría
En una variable:
Dos variables:
Tres variables:
Atributos:
x3
x + 4
2x5
3xy2
+ y3
x5
y7
+ x2
z8
xyz + 2
• El número de variables,
• Los coeficientes,
• El grado
• …

En general uno puede usar n variables, en
cuyo caso estas son frecuentemente
denotadas: x1, . . . , xn
f(x1, . . . , xn) = f(X)
Funciones polinomiales son el único
tipo de funciones con las que las
computadoras pueden trabajar

Ceros de Polinomios
Ceros de
Ceros de
Ceros comunes:
x2
+ y2
r2
= 0
y mx b = 0
2x2
+ 3y2
z2
7 = 0
z x y = 0
{

Conjuntos Algebraicos
Definición:
Al conjunto de ceros comunes de un sistema de
ecuaciones polinomiales, en cualquier número de
variables lo llamamos Conjunto Algebraico.
A veces también les decimos variedades algebraicas.

¿Geometría en muchas
dimensiones?
Esfera en el espacio de 5 dimensiones:
x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 + x2
5 r2
= 0,
La importancia de la geometría
algebraica se deriva de la notable
interacción entre el álgebra y la
geometría y la frecuencia con la
que esto ocurre.

¡La Mayoría de las formas son
Algebraicas!
Rectas
Planos
Elipses
Hipérbolas
Hiperboloides
Paraboloides
Elipsoides
• Concoide de Durero

No toda figura es algebraica
Se puede describir
con polinomios:
0  x  a y  y  b
• No se puede describir
con polinomios
y = sin(x)

Aproximación Polinomial
sin(x) ' x
1
6
x3
+
1
20
x5 1
540
x7
• Polinomio de Taylor de grado 7:

Teorema de Nash
Teorema:
Toda figura geométrica “razonable” es algebraica si
ignoramos lo que pasa lejos del origen.
• ¿Qué es razonable?
Fracases NO.
Las formas “amables” es lo que se conoce por
manifold (variedad diferenciable)

Códigos y Geometrías Finitas
El cono doble:
x2
+ y2
= z2
• Ternas Pitagóricas
(3, 4, 5) y (5, 12, 13).
x
y
z

Códigos
Pongamos tensión en la paridad de
La ecuación módulo 2 tiene cuatro soluciones:
(0,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)
x2
+ y2
= z2
32
+ 152
y 42
son ambos pares
32
+ 152
⌘ 42
(mod 2)
Fue una sorpresa cuando se descubrió que usando polinomios y sus soluciones módulo 2 es
una excelente -posiblemente la mejor- manera de construir códigos correctores de errores.

Espacios Tridimensionales
3 - Espacio de Fano:
Es el espacio tridimensional sobre
el campo con 2 elementos
tiene 15 puntos,
35 rectas y 15 planos.
Podríamos trabajar módulo cualquier entero: Si trabajando módulo 7,
tenemos 0,1,2,3,4,5,6 como posibles coordenadas, y entonces un
espacio tridimensional módulo 7 tiene 343 puntos.

Puntos Reales vs Puntos Complejos
Los puntos reales de la recta y sus puntos
complejos:

Espacio Proyectivo
Los puntos de
están representados
por (n+1)-ádas de
coordenadas
homogéneas no todas
nulas tal que:.
Pn
C
[x0, x1, . . . , xn] = [ x0, . . . , xn]
Una variedad proyectiva es un subconjunto de
dado por los ceros comunes de polinomios homogéneos.
Pn
C

Variedades e Ideales
Un conjunto algebraico sobre un campo
algebraicamente cerrado (irreducible) es una
variedad (afín).
V (S) := {x 2 Cn
: f(x) = 0, 8 f 2 S}
S ⇢ C[x] = C[x1, . . . , xn]

Ideales y Variedades
Dado un subconjunto cualquiera
le asociamos el conjunto de polinomios que se anulan
simultáneamente en Z:
Z ⇢ Cn
I(Z) := {f 2 C[x] : f(z) = 0 8 z 2 Z}
Si I es un ideal generado por un conjunto de
polinomios S, entonces:
V (I) = V (S)

Tenemos una correspondencia que invierte
inclusiones:
{Ideales} ⌧ {Variedades}
Y tal que:
Z ⇢ V (I(Z))
con igualdad cuando Z es algebraico.
Teorema: (Nullstellensatz): La correspondencia es
biyectiva cuando nos restringimos a ideales radicales.

Problemas Diofantinos
Problema: Muestra que la ecuación:
Problema: Qué podemos decir de:
x2
+ y2
= 7z2
no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales.
x5
+ y5
= 7z5

Solucion:
p = int(raw_input('Ingresa el módulo:
'))
lista = range(0,p)
count = 0
for a in lista:
for b in lista:
for c in lista:
if ((a**n)+(b**n)
-7*(c**n)) % p == 0:
count = count + 1
print count, (a,b,c)
print 'Hay %d soluciones a la ecuaión
a^%d +b^%d = 7c^%d móudlo %d ' %
(count, n,n,n,p)
Encontramos que módulo 7 tiene 49 soluciones, módulo 2 tiene 4, módulo 3 tiene 9,
módulo 11 tiene 51, módulo 13 tiene 169 etc...

Problemas Diofantinos
¿Tiene la ecuación soluciones en el anillo de
polinomios?
A los problemas de encontrar soluciones de
ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama
problemas Diofantínos sobre R.
Con una ecuación particular podemos asociar una
cantidad infinita de problemas Diofantinos, uno para
cada anillo conmutativo R.

La Función z de Riemann
Bernhard Riemann (1826 -1886), Fundó en su
tesis dirigida por Carl Friedrich Gauß, la base
de la geometría Riemanniana. Se interesó
también a la aritmética: Definición la función
zeta:
⇣(s) =
1X
n=1
1
ns

Riemann:
ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s
=1
Verifica una ecuación funcional:
Tiene ceros tribales en los pares negativos.
Hipótesis de Riemann:
Los ceros no triviales tienen parte real igual a 1/2
⇣(s) = 2s
⇡s 1
sin
⇣⇡s
2
⌘
(1 s)⇣(1 s)

Fórmula de Euler
Euler (1707 - 1783):
⇣(s) =
Y
p primo
1
1 p s
La hipótesis de Riemann no ha sido demostrada hasta ahora, y es
considerada uno de los problemas del milenio no resueltos. Uno de los
23 problemas de Hilbert que propuso en el congreso de Paris de 1900 y
es uno de los 7 problemas para los que el Instituto Clay tiene
designado un millón de dórales para quien presente una prueba
correcta.

Las Conjeturas de Weil
En 1923 Emil Artin (1898 - 1962) formula, en su tesis de
habilitación en la universidad de Hamburgo, un análogo a la
hipótesis de Riemann en donde el 1/2 juega un papel importante.
La construcción de base es que hay una fuerte analogía entre el
campo de números racionales ℚ y el campo de funciones
racionales en una variable sobre el campo finito .
Más aún, hay una gran analogía entre los campos que son una
extensión finita de ℚ (los llamados campos numéricos) y las
extensiones finitas de (llamados campos de funciones.)
Fp(t)
Fp
Fp(t)

¿Campos finitos?
Ejemplos de campos finitos son los enteros
módulo un primo: ℤ/pℤ = .
El campo con 9 elementos no es un campo
de congruencias de los enteros.
Fp
F9

Teorema de Galois
Teorema:
Para todo número de la forma con p un número
primo y n entero positivo, existe un campo finito F
con exactamente elementos. Más aún, todo
campo finito tiene exactamente elementos para
un primo p y un entero n>0. Además cualesquiera
dos campos finitos con q elementos son isomorfos.
pn
pn
pn

Teorema:
Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito.
Entonces sólo hay un campo finito con q elementos
en la cerradura algebraica.
si n | m, entones el campo finito con pn
elementos está
contenido en el campo con pm
elementos.
Todo campo finito es un cociente de un anillo de
polinomios en una variable con coeficientes en ℤ/pℤ.

La función Z de una variedad sobre
un campo finito
⇣(X, s) :=
Y
x2X
✓
1
1 q(x) s
◆
Sea X una variedad sobre el campo finito con q elementos:

La función Z
Con un poco de manipulación algebraica, se
puede demostrar que:
⇣(X, s) = exp
1X
k=1
Nk(q s
)k
k
!
En donde NK = |X(Fqk )|

Las Conjeturas de Weil
ζ(X,s) puede ser escrita como ua función
racional en .
Si n = dim(X), y si hacemos t = . Entonces:
Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo
finito . Entonces se debería cumplir que:Fq
q s
q s
⇣(X, s) =
P1(t)P3(t) · · · P2n 1(t)
P0(t)P2(t) · · · P2n(t)
En donde las raíces de Pi son números complejos de norma qi/2

Las raíces de Pi(t) son las mismas que las
raíces de:
Si X es la reducción módulo p de una variedad X’
definida sobre un subcampo de los complejos,
entonces los bi = grad Pi es el i -ésimo número de
Betti de X’ con la topología analítica.
⇣(X, s) =
P1(t)P3(t) · · · P2n 1(t)
P0(t)P2(t) · · · P2n(t)
tdeg P2n i
(1/qn
t).

La función Z del círculo
Calculemos la función z de , para
p un primo de la forma 4s-1.
El círculo es racional a la recta, por lo que:
y entonces:
x2
+ y2
= 1
Nk = qk
+ 1
⇣(X, t) =
1
(1 t)(1 qt)
=
1
(1 q s)(1 q1 s)

Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una
teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil''
para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología
usual con coeficientes racionales para variedades complejas.
Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo
finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo
finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φm (actuando en
todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica).
En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede
calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una
suma alternada de las traces en el grupo de cohomología:
|X(k)| = qdim X
X
i
( 1)i
tr 1
q |Hi
(X, Q`).

La demostración
La racionalidad de la función zeta fue probada
por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos.
La ecuación funcional por Grothendieck en 1965
El análogo a la hipótesis de Riemann por Deligne
en 1974.