Topografia+minera 001

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para Ingeniería
Waldo Valencia Cuevas – Académico 1
TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA
Marzo 2008

Capítulo 1 Conceptos y generalidades.
1.1. Definición de topografía.
Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada,
encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la
representación en un plano de una porción de la superficie terrestre.
En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca
todos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y sus
alrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la
topografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B).
1.1.1. Representación de un punto en topografía.
Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los
sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente.
En 3D o sistema cartesiano tridimensional.
Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional.
P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros.
P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros.
Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que las
coordenadas respectivas del punto P son:
XP = 5000 m (coordenada este de P).
YP = 5000 m (coordenada norte de P).
ZP = 500 m (cota o altitud de P).
P(X;Y;Z
P'(X;Y)
X (Este)
Z (Cota o Altitud )
Y(Norte)
XP
YP
ZP
XP : Proyección Este de P.
YP : Proyección Norte de P.
ZP : Cota o altitud de P.

La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a un
plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio del
mar.
En 2D o sistema cartesiano bidimensional.
Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional.
1.1.2. Operaciones topográficas.
En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no se
considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a
la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la
plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en
extensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacar
que se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, el
replanteo y el control.
1.1.2.1. Levantamiento topográfico.
Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de
puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones
incluye:
• Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación,
intersección inversa, perfiles, contorno, etc.)
• Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolito
con mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivel
de ingeniero con mira, etc.)
• Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, red
geodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.)
• Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical,
direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente.
• Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada
(tendencia actual).
Y(Norte)
X(Este)
P(X,Y)
YP
YP: Proyección Norte de P.
XP: Proyección Este de P.
XP

• Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a
desaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico).
• Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y
automatizados ( a través de software topográfico y plotter).
1.1.2.2. Replanteo.
Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano
topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay
que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en
volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente
definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico
(consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir la
distancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación del
instrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteo
altimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivel
sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto a
materializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos,
monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de
ingeniería.
1.1.2.3. Control.
Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el
terreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial no
solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con
sus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios de
curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el
bombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales.
Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición o
amarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, las
correctas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado.
En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades
de georreferenciación, lo que el inspector debe realizar.
1.2. Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias.
La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relaciona
con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las
ciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que ver
desde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyecciones
cartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requieren
para rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos,
como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas de
posicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales.

En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con la
geodesia y la cartografía.
1.2.1. Definición de geodesia.
La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y
dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y
el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra.
Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico.
La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser
uniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuando
imágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles y
montañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestran
grandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposible
expresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelo
razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental
sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física,
que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, pero
que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la
Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm).
Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre no
existiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el
centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el
geoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista un
exceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a esta
desviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunas
zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando
datos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas,
poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamente
un elipsoide con parámetros establecidos.
Elipsoide
Geoide
Ondulación geoidal

Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre la
superficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, en
nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que es
una figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide.
Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de
referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide,
y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide el
elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su
identificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde se
origina.
La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es:
1/// 222222
=++ czbyax si ⇒= 0z 1// 2222
=+ byax , correspondiendo a la
ecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el
semieje menor o polar.
Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( ba, )
o ( fa, ) y e , donde abaf /)( −= “achatamiento” y e = 2
)/(1 ab− = 2
2 ff −
excentricidad”.
1.2.1.1. Representación de un punto en geodesia.
Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas
geográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de
Greenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por medio
de la latitud (ϕ) y longitud (λ).
Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P.
Polo Norte
Polo Sur
Meridiano Greenwich
Ecuador
P(ϕ ,λ)
Hemisferio Norte
Hemisferio Sur
ϕ
λ
Paralelo del punto PMeridiano del punto P

La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal al
elipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado
sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90
grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur.
La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipse
meridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al
punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados
sexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste.
Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide.
1.2.2. Definición de cartografía.
La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficie
terrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas.
1.2.2.1. Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)
Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.
Normal al elipsoide Normal al geoide (Dirección de plomada)
Elipsoide
Superficie terrestre Superficie del mar ≈ geoide
Desviación de la vertical

Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de la
conferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and
Geophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso de
la proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyección
conforme, donde las deformaciones se hacen mínimas.
Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un
cilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el eje
polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra,
de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficie
elipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos.
Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente a
cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el,
se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianos
terrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas y
paralelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie del
cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de
cuadriculado U.T.M.
Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6
grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y están
numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la dirección
Este. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos
centrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensión
en latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuador
correspondientemente.
Figura 7: Tres zonas o Husos de 6° de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.

La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el
Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del Polo
Norte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la dirección
del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso,
asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocen
como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM.
El valor de las abscisas en la proyección UTM (EUTM) aumentan en la
dirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otro
lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelas
a ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculado
UTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman una
serie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que dan
valor a cada una de las líneas que los forman.
1.2.2.2. Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados.
En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno
global:
Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56).
Elipsoide: elipsoide internacional de 1924.
a : 6.378.388,000 m “semieje ecuatorial”
b : 6.356.911,946 m “semieje ecuatorial”
f : ( ba − ) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”
296,999998231 297
2222
/)(: abae − = 0,00672267006118 “primera excentricidad cuadrada
del meridiano de la elipse”
2'
e : 222
/)( bba − = 0,0067681702366 “segunda excentricidad cuadrada
Obs. 1 : La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida al
PSAD-56.
Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud
Sur 43º30’ está referida al PSAD-56.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro
de masa de la tierra (es no geocéntrico).

Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69).
Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia 1969.
f : (a- b) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”
298,250011223 298,25
e2
: (a2
– b2
) /a2
= 0,00669454160387 “primera excentricidad cuadrada
e’2
: (a2
– b2
)/b2
= 0,0067396605417 “segunda excentricidad cuadrada
Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la
ortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69.
Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud
Sur 43º30’ está referida al SAD-69.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro
de masa de la tierra (es no geocéntrico).
Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84).
Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984.
f : (a- b) / a = 1 “achatamiento”
298,257222933
e2
: (a2
– b2
) /a2
= 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadrada
e’2
: (a2
– b2
)/b2
= 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadrada

C2,0 : -484,16685 x 10-6
“Coeficiente normalizado de armónico zonal
de segundo grado de potencial de gravitación”.
W : 7292115 x 10-11
Rad/S “Velocidad angular de la tierra”.
GM : 3986005 x 108
m3
/S2
“Constante de gravitación de la tierra”
(masa de la atmósfera de la tierra incluida).
Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de
1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional
1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde
PSAD-56 a WGS-84 y viceversa.
Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000
NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m.
EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m.
Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen
configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le
agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD-
56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que,
cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve
la configuración al datum WGS-84.
Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de
masa de la tierra (es geocéntrico).
1.3. Tipos de levantamientos.
Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialista
en una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso
contacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía.
Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas
topográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de
propiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea,
terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del
subsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y
proyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre el
tamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logrado
confeccionar planos de la Luna y de los Planetas.

Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de la
ingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor
aplicabilidad en ella.
• Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandes
extensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmente
abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran la
verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y
transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven
como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango
geodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país el
IGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico de
la Armada).
• Levantamientos topográficos: determinan la posición y características de
los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos
que permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera forma
de la Tierra , ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntos
sería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que se
forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas.
• Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea
(ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográfica
ubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno
(fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir de
las fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de los
procesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, proceso
cartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas,
mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de
difícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden
lograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental,
insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (Servicio
Aerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto Geográfico
Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de
levantamientos en nuestro país.
• Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos
urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades
(agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones
que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, los
derechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado
pueda recaudar los impuestos respectivos.

• Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientos
relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos,
embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e
irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental
topográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentos
electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir
desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la
navegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo
oficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimir
diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA.
• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos
antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería,
un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la
configuración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algún
proyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientes
para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto.
Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno
(operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad
para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado
(control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los
estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades
ingenieriles.
• Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos
con tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la
percepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parte
posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas
electromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos
terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener
productos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos de
redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos de
amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales
(GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con sus
respectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posición
tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos
topográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo y
posicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otras
tecnología electrónicas.

1.4. Teoría de errores.
Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos están
afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera
magnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias,
ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En la
práctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas mediciones
acompañados por una cierta incerteza, es decir: l dl±
nlil
n
i
/
1
∑=
= “valor mas probable de la serie de mediciones ”
∑=
−−=
n
i
nnllidl
1
2
))1(/()( = E2Ml “incerteza ” o “error medio de la media o
desviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones”
1.4.1. Clasificación de los errores.
Errores accidentales o aleatorios (se compensan).
Errores sistemáticos (se corrigen).
Errores personales o faltas (se eliminan).
1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la
imperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por la
irregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modo
completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con
signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios de
temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con una
cinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismo
cuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre la
señal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario;
algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos,
desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por
ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyes
de las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de
distribución Normal (para n ≥30) o la T- Student (para n < 30).
1.4.1.2. Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibración
instrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería,
por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de las
cintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempre
constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley
matemática o física.
Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasan
equipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal y
centesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un

teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, es
recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración
(mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles errores
instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbo
vertical (error de índice), para posteriormente realizar las correcciones
pertinentes.
Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como,
la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición,
también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, por
tensión incorrecta y por pandeo o flecha.
1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o
cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala
anotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones.
1.4.2. Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios.
1.4.2.1. Método matemático.
1.4.2.1.1. Principales parámetros estadísticos.
Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o de
posición topográfica, entonces:
nlil
n
i
/
1
∑=
= “valor más probable de la serie de mediciones”
El = ∑=
−
n
i
nlli
1
2
/)( “desviación estándar de la serie de mediciones”
E2l ∑=
−−=
n
i
nlli
1
2
)1/()( σ= “error medio cuadrático de la serie de
mediciones”
E2Ml ))1(/()(
1
2
∑=
−−=
n
i
nnlli “error medio de la media” o
“desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones”
E2Ml = E2l / n “error medio de la media en función del error medio cuadrático y
del número de observaciones realizadas”.
Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias
electrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característica
propia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar:

E2Ml = M.S.El / n “Error medio de la media para instrumental electrónico de
distancia”
Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï
(3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinada
resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con
que se midió dicha distancia.
Solución:
l = 4.589,325 m
n = 5
M.S.El = ï (0,003 + 3/106
l ) m = ï (0,003 + 3/106
4.589,325) m
M.S.El =4.589,325 = ï 0,016767975 m
E2Ml = M.S.El / 5 = ï 0,007498866389 m ≈ 0,0075 m
1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa.
1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topográfica, geodésica o
GPS.
E.R. = E2l / l = 1/ (l /E2l ) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se
ha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira”
E.R. = M.S.El /l = 1 / ( l / M.S.El ) = 1/ Denominador “ cuantifica la precisión
con que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro”
E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con
que se ha medido un vector GPS” ( ver ejercicio en página 66 y grados de
precisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto)
Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al
medir sus bases se dan las siguientes referencias.
i) 1/1.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500
ii) 1/10.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000
iii) E.Rl Bases en Trabajos Geodésicos ≤ 1 /100.000

1.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico o
GPS.
E.R.Polígono = ε/∑=
n
k
k
ji
DH
1
,
= 1/(∑=
n
K
k
ji
DH
1
,
/ε ) = 1/Denominador “cuantifica la precisión
con que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico”
ε = (εN
2
+ εE
2
)(1/2)
“error de cierre lineal “ o “ error de posición al medir un
polígono taquimétrico o electrónico”
εN : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte”
εE : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Este”
∑=
n
k
k
ji
DH
1
,
: “lados o distancias horizontales más probables del polígono” o “ perímetro
del polígono”
Y(Norte)
B
YA A
εN ε
YA
′
A′
C
D
εE
X (Este)
XA
′
XA
Figura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados.
n
E.R.Polígono GPS = 1/ ( ∑i=1 Di3D / d3D) “cuantifica la precisión con que se ha medido
un polígono GPS” (ver páginas 65,66, 162-171 del texto Topografía en Minería
Cielo Abierto de los autores).
Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al
medir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias.

i) 1/1.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500
ii) 1/10.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000
iii) E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000
1.4.2.2. Método diferencial.
1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagación de errores accidentales o
aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente por
medio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores.
Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces la
incerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de errores
aleatoreos por:
dF = [ (δF/δa)2
(da)2
+ (δF/δb)2
(db)2
+..........+(δF/δn)2
(dn)2
](1/2)
donde :
(δF/δa) , (δF/δb),.........(δF/δn) “representan las derivadas parciales de la función F
con respecto a sus variables a, b, c,....., n.
(da), (db),........,(dn) “representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n
,es decir:
E2Ma = da E2Mb = db E2Mc = dc E2Mn = dn
Ejemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estación total o con
distanciómetro son:
DHA-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-B
Si escogemos la primera expresión :
dDHA-B = [ (δDHA-B/δ Di A-B)2
(d Di A-B)2
+ (δDHA-B/δα A-B)2
(dα )2
](1/2)
1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relación
entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puede
determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad,
donde la ecuación general es:
EP = CP σ , donde CP: factor numérico tomado desde la curva.

E50 = ± 0.6745 σ “Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han de
permanecer las mediciones un 50% de las veces”.
E90 = ± 1.6449 σ “Error del 90%”.
E95 = ± 1.9559 σ “Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2σ ) “.
E99.7 = ± 2.567 σ “Error del 99.7 % o error tres sigma (3σ ).
Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal.
1.5. Unidades de medición.
1.5.1. Unidades angulares.
Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros,
estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas,
vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y
centesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en el
sistema de 6400-
milésimas.
1. Sistema sexagesimal (MODE DEG).
1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales.
1° = 60′ (minutos sexagesimales)
1′ = 60″ (segundos sexagesimales)

Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o
restarse por separado, los grados, los minutos y segundos.
Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a
usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este
caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de
mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados
sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales.
Ejemplo: 270° 45′ 52″
- 120° 37′ 13″
150° 8′ 39″
2. Sistema centesimal (MODE GRA).
1 Círculo horizontal o vertical = 400 g
1g
= 100 c
(minutos centesimales)
1c
= 100 cc
(segundos centesimales)
Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el
común de las operaciones usadas en el sistema decimal.
Ejemplo: 215 g
30c
40cc
= 215,3040 g
(grados centesimales)
215,3040 g
+ 28,7227 g
244,0267 g
3. Sistema en radianes (MODE RAD)
En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar
algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas
hasta aquí tratados.
2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal).
2 π radianes = 400 g
(Sistema centesimal).
4. Sistema en milésimas.
En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicas
e instrumentales de artillería.
1 Círculo horizontal = 6400-
(milésimas)
1/4 Círculo horizontal = 1600-
(milésimas)
1/64 Círculo horizontal = 100-
(milésimas)
5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal.

X° = 0,9 X g
X g
= 1/0,9 x°
6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y
centesimal.
x (radianes) = π/180 ° x°
x (radianes) = π/200 g
xg
7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal.
x-
(milésimas) = 1/0,05625 x°
x° = 0,05625 x-
(milésimas)
x-
(milésimas) = 16 x g
x g
= 1/16 x–
(milésimas)
1.5.2. Unidades de longitud.
Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez
según la siguiente tabla:
10-6
10-3
10-2
10-1
1 101
102
103
106
micro mili centi deci metro deca hecto kilo mega
μ m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura
1.5.3. Unidades de superficie.
Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de
cien en cien, según la siguiente tabla:
10-6
10-4
10-2
12
102
104
106
mili2
centi2
dici2
metro2
área hectárea bilom2
mm2
cm2
dcm2
m2
a ha Abreviatura
1 acres (ac) = 4.046,873 m2
1 hectárea = 2,47104 acres
1.5.4. Unidades de volumen.
Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil en
mil, según la tabla:
10-9
10-6
10-3
1 103
106
109
mili3
centi3
deci3
m3
--- --- Kilo3

Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar
solo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicar
solo son aproximaciones a la realidad.
Ejemplo: Volumen Terraplén = 702,3 m3
Volumen Corte = 975,9 m3
1.6. Escalas.
1.6.1. Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano y
la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una
misma unidad de longitud.
E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador
Ejemplo: ¿Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujo
representan 200 m de terreno?
E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/2000
1.6.2. Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en
distancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno.
0,8 cm
Figura 10: Escala gráfica.
¿ A que escala numérica se encuentra la escala gráfica?
E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000

Capítulo 2 Medición de ángulos.
2.1. Medición de ángulos horizontales.
Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto,
respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentido
horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre
dos planos verticales.
HR = Horizontal Right
HL = Horizontal Left
P.V = Plano Vertical
P.H = Plano Horizontal
Figura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H.
A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito.
B : Vértice de calaje u orientación cero – cero grados ( 0,00 g
).
C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical.
θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito.
α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito.
La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del
anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual es
posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados
por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las
mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles
pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.

2.1.1. Medición de ángulos horizontales en directo.
El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del
anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular.
2.1.2. Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito.
El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo
topográfico si se está observando de frente el lente ocular.
En general la condición que debe cumplir la medición de un ángulo
Horizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente:
Teoría: Angulo HorizontalT
– Angulo HorizontalD
≈ R2
Práctica: Angulo HorizontalT
– Angulo HorizontalD
≈ R2 + ∠ε
R = 1 Recto (100 g
grados centesimales o 90° grados sexagesimales).
∠ε : Error de cierre angular obtenido en el origen.
Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo HorizontalD
∠ε Admisible ≤ ± 0,01g
“si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto
centesimal”
“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo
centesimal”
2.1.3. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.
Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. Ajustado
A BD
0,00g
CD
74,81g
74,81g
CT
274,80g
BT
199,99g
Toma de datos de terreno.
A : Punto Estación o de instalación instrumental.
BD
: Punto Observado o de Orientación en Directo.
BT
: Punto Observado o de Orientación en Tránsito.
CD
: Punto de Medición angular en Directo.
CT
: Punto de Medición angular en Tránsito.
Cálculo de registro y ajuste angular.
i) Origen: (0,00g
+ 199,99g
– 200g
)/2= -0,005g
= 399,995g

ii) .HorizAngulo = (74,81g
+274,80g
– 200g
)/2 = 74,805g
iii) .HorizAngulo AJUSTADO = .HorizAngulo + 500,0− g
= 74,81g
.HorizAngulo : Representa el ángulo horizontal promedio.
2.2. Medición de ángulos verticales.
Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto:
1. Zenit (Z)
2. Nadir (N)
3. Horizonte (α)
Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales.
Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del
teodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo
vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit.
Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una línea
perpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la línea
aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical del
instrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte.

Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del
teodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a
la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento
topográfico coincidiría con el punto nadir.
La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puede
realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en
directo-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual es
posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados
por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las
mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles
pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.
Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directo-
tránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculo
vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los
ángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían:
Teoría : ZD
+ ZT
= 4 R
ND
+ NT
= 4 R
αD
+ αT
= 2 R (Para ángulos de elevación)
αD
+ αT
= 6 R (Para ángulos en depresión)
Práctica: ZD
+ ZT
= 4 R + ε∠
ND
+ NT
= 4 R + ε∠
αD
+ αT
= 2 R + ε∠ (Para ángulos de elevación)
αD
+ αT
= 6 R + ε∠ (Para ángulos en depresión)
ε∠ : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse por
desajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado o
calaje.
Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo VerticalD
(εi = ± ε∠ /2 )
εi : Factor de ajuste o compensación.
εi > 0 si ∠ε < 0
εi < 0 si ∠ε > 0
“si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal
y se trata de trabajos topográficos corrientes”
∠ε Admisible ≤ 0,0050g
“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo
centesimal y el trabajo es de 3er
orden geodésico”

2.2.1. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.
Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. Ajustado
A BD
89,14g
89,13g
BT
310,88g
Toma de datos de terreno.
A : Punto Estación o de instalación instrumental.
BD
: Punto Observado en Directo.
BT
: Punto Observado en Tránsito.
Cálculo de registro y ajuste angular.
i) ND
+ NT
= 400g
+ ε∠
400,02g
– 400g
= ε∠
ε∠ = 0,02g
⇒ εi = - 0,02g
/2 = - 0,01g
ND
AJUSTADO = ND
+ εi = 89,13g

Capítulo 3 Medición de distancia.
3.1. Procedimiento taquimétrico.
Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y la
lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y
verticales.
Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira.
I : Punto Estación o de instalación instrumental.
II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.
LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II.
LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II.
hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2.
G : Generador, G= LsII - LiII.
hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.
Z : Angulo vertical de referencia zenital.
N : Angulo vertical de referencia nadiral.
α : Angulo vertical de referencia al horizonte.
DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.
DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.
DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.
K : Constante estadimétrica (K= 100 m).

Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que los
teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesarios
para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado.
DHI-II = KG Cos α2
= KG Sin Z2
= KG Sin N2
DiI-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin N
HI-II = DHI-II tg α = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg N
DNI-II = hiI + HI-II - hmII
TI-II = HI-II - hmII
CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencias de nivel entre estaciones”
CotaII = CotaI + hiI +HI-II – hmII
CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”
3.1.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.
AnguloEstac. hi Pto.
Obs. Horiz.(+) Vert.(Z)
Estadía
Ls Li
hm D.H. D.N. Cota
I 1,32 500,25
II 0,00g
100,32g
3,240 1,000 2,120 223,99 -1,93 498,32
1 102,39g
98,25g
3,080 1,000 2,040 207,84 4,99 505,24
2 223,84g
102,78g
2,272 1,000 1,636 126,96 -5,86 494,39
3 77,20g
99,24g
2,950 1,000 1,975 194,97 1,67 501,92
Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se
han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente
orden:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos
al sistema centesimal.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las
distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.
iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para
completar el registro serían:
DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z2
: DN= 1.32 + DH/Tan Z – hm: Cota= 500.25 + DN
Observación: En Basic Sin Z2
= Sin Z * Sin Z

3.1.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.
Angulo CotaEst. hi Pto
Obs
Horiz.(+) Vert.(Z)
Estadía
Ls Li
hm D.H. T
INST. PTO.
I 1,32 501, 57 500,25
II 0,00g
100,32g
3,240 1,000 2,120 223,99 -3,25
498,32
1 102,39g
98,25g
3,080 1,000 2,040 207,84 3,67
505,24
2 223,84g
102,78g
2,272 1,000 1,636 126,96 -7,18
494,39
3 77,20g
99,24g
2,950 1,000 1,975 194,97 0,35
501,92
El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual
también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las
distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32=
501.75) y las cotas de los puntos.
completar el registro de datos serían:
DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z – hm: Cota= 501.57 + T
Observación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z
3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito.
El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mas
completos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo,
permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales y
verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos
parámetros fundamentales para representar la superficie terrestre.
Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientes
condiciones y requisitos de operación:
1. E.V.R. ⊥ L.F. (P.S.) “se cumple con instalación del equipo”.
2. E.H. (A.T.) ⊥ E.C. (A. T.) “se logra con calibración del equipo”
3. E.H. (A. T.) ⊥ E.V.R. “se logra con calibración del equipo”
E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento.
L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior).

E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico)
E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico).
Figura 14: Teodolito en corte.
3.1.4. Elementos mecánicos del teodolito.
• Movimiento general (plato inferior).
1. Base nivelante.
2. Plato inferior.
3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.
4. Eje vertical del movimiento general (E.V.).
6. Círculo o limbo horizontal.
8. Plomada óptica.
• Movimiento de alidada (plato superior).
5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.
7. Eje vertical de movimiento de alidada.
9. Plato superior o alidada.
10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.)
11. Círculo o limbo vertical.
12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico.
13. Ampolleta tubular del plato superior.
14. Anteojo topográfico.
3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito.
El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presente
tres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca,
clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas en
algunos equipos pueden fusionarse en una sola operación.

1. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el Eje
Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica,
mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular
con las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos
nivelantes.
2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculo
horizontal con el cero del plato superior e inferior.
3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de
coordenadas o dirección conocida.
Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción.
Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidades
europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite
didácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y vertical
descubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permite
convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo
elemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales).

3.2. Procedimiento electrónico.
Este método a diferencia del taquimétrico que utiliza principios de la física
óptica, aquí se utiliza los elementos de la física cuántica para medir distancias, es
decir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagnética
en hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y el
prisma reflectante, de modo que en función del tiempo de recorrido, es posible
determinar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previa
corrección por presión, temperatura y humedad atmosférica.
El distanciómetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue uno
de los primeros instrumentos que incorporó la tecnología de medición de distancia
electrónica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetas
electrónicas y memorias incorporadas para la recolección de datos en terreno. Una
variante de tecnología mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales,
conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, así como
también con la toma automatizada de datos de terreno, también en el último
tiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usar
la metodología convencional del posicionamiento de puntos o el uso de la
tecnología satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilización y eficiencia en el
trabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la información a
través de software de topografía y calidad en el trazado de los planos con el uso
del plotter.
Figura 16: Medición de distancia usando Estación total con jalón y prisma.

I : Punto Estación o de instalación instrumental.
II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.
hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hjII : Lectura de jalón en el punto II, (hmII= hpII = hjII).
hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.
Z : Angulo vertical de referencia zenital.
N : Angulo vertical de referencia nadiral.
α : Angulo vertical de referencia al horizonte.
DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.
DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.
DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.
6.66/108
DiI-II
2
: Factor combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica.
Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que las
Estaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parámetros
necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto
observado.
DHI-II = DiI-II Cos α = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin N
HI-II = DiI-II Sin α = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos N
HI-II = DHI-II Tg α = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg N
Para trabajos topográficos de precisión:
DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108
DiI-II
2
– hmII
TI-II = HI-II + 6.66/108
DiI-II
2
– hmII
CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencia de nivel entre estaciones”
CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”

3.2.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.
AnguloEst. hi Pto.
Obs. Horiz (+) Vert (N)
Di hj DH DN Cota
I 1.30 782,32
II 0,0000g
100,0425g
1502,87 1,45 1502,87 1,00 783,32
1 55,2981g
101,9872g
2891,32 2,60 2889,91 89,49 871,81
2 189,7532g
99,3741g
1125,60 2,60 1125,55 -12,28 770,04
3 202,2734g
98,7890g
525,37 0,05 525,27 -8,72 773,60
Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se
han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente
orden:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos
al sistema centesimal.
ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las
distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.
completar el registro serían:
DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 – hm : Cota= 782.32
+ DN
Observación: En Basic 108
= 10^8 ; Di2
= Di^2
3.2.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.
Angulo CotaEst. hi Pto
Obs
Horiz. (+) Vert.(Z)
Di hj D.H. T
INST. PTO.
I 1,30 783,62 782,32
II 0,0000g
100,0425g
1502,87 1,45 1502,87 -0,30
783,32
1 55,2981g
101,9872g
2891,32 2,60 2889,91 88,19
871,81
2 189,7532g
99,3741g
1125,60 2,60 1125,55 -13,58
770,04
3 202,2734g
98,7890g
525,37 0,05 525,27 -10,02
773,60
El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual
también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:
i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.

ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las
distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30=
783,62) y las cotas de los puntos.
completar el registro de datos serían:
DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + T
Observación: En Basic 108
= 10^8 ; Di2
= Di^2
3.2.3. Mediciones de distancia electrónica en forma automatizada.
Las últimas generaciones de estaciones totales permiten la toma de
información de terreno en forma automática, reemplazando a la recolección
manual de la información. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, el
Instrumento Electrónico de Medición de Distancia (IEMD), un teodolito digital
electrónico y un microprocesador.
Figura 17: Estación Total Geodimeter con característica de toma automatizada de datos en
terreno.
La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter está dividida en dos
archivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area
(archivos de coordenadas conocidas). El número total de archivos está limitado

solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas información sin procesar
exista almacenada en los archivos Job, menos información se podrá almacenar en
los archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad de
memoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzarían a la toma de alrededor de
4000 puntos de terreno, a lo cual habría que descontar la memoria utilizada al
cargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a los
diversos Programas que eventualmente el usuario podría utilizar entre los que se
encuentran:
PRG : PROGRAMAS.
PRG 20 : Establecimiento de la Estación.
PRG 23 : Replanteo por coordenadas.
PRG 24 : Línea de Referencia.
PRG 25 : Cálculo de superficie.
PRG 26 : Distancia entre dos objetivos.
PRG 40 : Creación de UDS (desde PRG 1 a PRG 19).
PRG 41 : Definición de Etiquetas.
PRG 43 : Creación de archivos de tipo Area.
PRG 54 : Transferencia de archivos.
3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG más elementales que
posee la Estación Total Geodimeter 600, para realizar levantamientos
topográficos.
Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), a
continuación veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizar
levantamientos topográficos en forma automatizada.
Una vez instalada la estación total siguiendo procedimiento semejante a la
instalación del teodolito, se sigue el siguiente protocolo:
1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado del
sistema, si no se pulsa ninguna tecla después de 60 segundos desde que se ha
activado, el instrumento automáticamente se desactivará. Si se desea conectar el
instrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecerá la siguiente
leyenda:
Interrupción por el operador
¿Continuar (S/N)?
Si responde “S”, la estación total conserva sus parámetros de instalación.
Si responde “N”, la estación total se restablece perdiendo sus parámetros de
instalación.

2. Calibración del compensador para obtener la precisión máxima de la
inteligencia inherente al sistema, esta operación se logra en forma semejante a la
nivelación de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en la
dirección de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr la
nivelación del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se logra
la nivelación electrónica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M o
ENT, se oirá un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, y
por el cambio en la pantalla:
INIC Comp
Girar: 200
Girar el instrumento en 200 g
(grados centesimales) y la pantalla cambiará:
INIC Comp
Presionar A/M
Un nuevo pito se oirá y la pantalla ahora indicará:
INIC Comp
Esperar
Se espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva a
cambiar automáticamente.
3. Aparece en la pantalla el PΦ, indicador de que el compensador está activado lo
cual permite introducir las siguientes variables:
Temp = 15 ºC (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide con
termómetro).
Presión = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografía, o se
mide con barómetro)
Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en la
pantalla la constante del prisma:
Const = 0.000
Se acepta el valor previa verificación del prisma en el Jalón y se presiona ENT,
solicitándose ahora en la pantalla el ángulo azimutal de referencia:
AHZ : 128.3845
AHZ Ref = ---------------

Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valor
que aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y se
presiona la tecla ENT, el instrumento automáticamente quedará en el modo de
medición STD y con orientación en el sistema de coordenadas locales.
En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar las
mediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene la
medición de distancia con precisión centimétrica), modo Estándar STD ( se
demora un poco más pero se logra precisión milimétrica).
4. Para lograr “Alta resolución de nivelación” en la estación total, se presiona
la tecla del nivel electrónico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar la
nivelación electrónica del equipo, para salir de este proceso se presiona
nuevamente la tecla del nivel electrónico.
En esta etapa la estación total se encuentra habilitado para trabajar como
teodolito y como Instrumento Electrónico de Medición de Distancia, es decir, se
puede medir ángulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas,
distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental,
la altura de jalón en el punto observado, el azimut magnético de la línea base que
se quiere determinar, más la asignación de coordenadas arbitrarias al punto de
instalación, o la determinación de coordenadas aproximadas a través de un
navegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando las
siguientes expresiones:
YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-B
XB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-B
ZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B
^
2 - hjB
Con la obtención de la base topográfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmente
se conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estaría
en condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20:
Teclear PRG 20, ENT, aparece
¿Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT.
10:21 Esta sería la cota de la última Estación de instalación, por lo tanto
Cota = X.XXX se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT.
Sustituir Z?

10:21 Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT.
A1
Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topográfica. Figura 18 B Datos
necesarios para ingresar a Estación Total Geodimeter, después de seleccionar Programa UDS 20.

4. Tipo de direcciones.
En topografía se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geográfica
o verdadera que se obtiene por medio del giróscopo, o realizando observaciones
estelares, amarrándose a la Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la UTM
(Universal Transversal de Mercator) corresponde a una dirección cartográfica que
se puede obtener amarrándose a Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la
dirección magnética se obtiene por medio de brújula, y la arbitraria se logra
por simple arbitrio y se corrige posteriormente.
Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones.
4.1. Rumbo de una línea topográfica.
Corresponde a la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se
indica por el ángulo agudo que la línea forma con el meridiano, se mide a partir del
Norte o Sur, el rumbo puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.
RumboA-B = N θ E “Rumbo directo A-B”
RumboB-A = S β W “Rumbo directo B-A”
“Rumbo inverso A-B”
θ = β
Convención: N,E (+); S,W (-).
Figura 20. Dirección A-B del rumbo directo, dirección B-A del rumbo inverso.

4.2. Azimut de una línea topográfica.
Representa la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica
por el ángulo entre la línea y un extremo del meridiano (para trabajos topográficos
extremo Norte y para trabajos geodésicos extremo Sur), el ángulo se mide en
sentido horario y el azimut puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.
AzimutA-B = θ “Azimut directo A-B”
AzimutB-A = 2R + θ “Azimut directo B-A”
“Azimut inverso A-B”
R = 90 ̊ sistema sexagesimal.
R = 100g
sistema centesimal.
Figura 21. Dirección A-B del azimut directo, dirección B-A del azimut inverso.
4.3. Determinación de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut
(Az) de una línea o base topográfica.
Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topográfica,
además los cuadrantes topográficos de las funciones trigonométricas y la
convención de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemos
obtener los siguientes parámetros:
Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.
Figura 21A. Base topográfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topográficos y
sus funciones trigonométricas S: Seno, C: Coseno.
DHA-B = 22
BABA XY −− Δ+Δ = 22
)()( ABAB XXYY −+− Distancia HorizontalA-B.

Tg BA−θ = BAX −Δ / BAY −Δ = Sen BA−θ /Cos BA−θ
⇒ )/()(()/( ABABBABABA YYXXArctgYXArctg −−=ΔΔ= −−−θ “Interpretar el cuadrante
topográfico”
Cuadrante I. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( ++ = (+)
⇒ RboA-B = N BA−θ E; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = BA−θ ; 0 RAz BA 1≤≤ −
Cuadrante II. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( −+ = (-)
⇒ RboA-B = S BA−θ E; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; R1 RAz BA 2≤≤ −
Cuadrante III. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(-) = (+)
⇒ RboA-B = S BA−θ W 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; 2 R RAz BA 3≤≤ −
Cuadrante IV. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(+)= (-)
⇒ RboA-B = N BA−θ W; 0 R1≤≤ θ
⇒ AzA-B = +R4 BA−θ ; 3 R RAz BA 4≤≤ −
Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topográfica
siguiente:
YA = 4500,830 m
XA = 3820,370 m
YB = 3973,980 m
XB = 3572,250 m
Solución
DHA-B = 22
)830,450098,3973()370,3820250,3572( −+− = 582,353 m
))830,4500980,3973/()370,3820250,3572(( −−=− ArctgBAθ = (-)/(-)=(+) 28,0201g

⇒ III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201g
W; AzA-B = 2R + BA−θ = 228,0201g
=−−=− ))980,3973830,4500/()250,3572370,3820((ArctgABθ (+) 28,0201g
⇒ I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201g
E; AzB-A= AB−θ = 28,0201g
4.4. Relación entre Norte Astronómico y Norte Magnético de una base
topográfica.
Para fines topográficos se considera que las direcciones astronómicas de una
base topográfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lo
hacen las direcciones magnéticas, por lo cual es de suma importancia conocer las
expresión que nos permita calcular las direcciones astronómicas y magnéticas de
una base topográfica.
AzA-B Astronómico Año = AzA-B Magnético Año+ ∂ M Año
∂ M Año: declinación magnética de la base para un año determinado.
∂ M > 0 ⇒ Norte Magnético está al Este del Norte Astronómico.
∂ M < 0 ⇒ Norte Magnético está al Weste del Norte Astronómico.
Figura 22.La declinación magnética M∂ entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico
(en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.
La declinación magnética es el ángulo comprendido entre los meridianos
magnético (en rojo) y astronómico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 se
encuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregándose su valor para
el lugar y año del levantamiento, así como también su variación anual expresada
en minutos sexagesimales y su dirección de cambio, lo que permite evaluar la
declinación correspondiente a unos cuantos años antes o después del año de la
carta topográfica; la declinación magnética como se dijo varía en el tiempo en
cualquier parte del planeta, clasificándose sus variaciones como seculares, diarias,
anuales e irregulares.

Ejemplo: El azimut magnético de una base topográfica A-B para el año 1970 era
de 137,82g
, si la declinación magnética en el lugar para el mismo año era 5̊ 33,8̓
E , con una variación anual de 5.4̓ W. Determine AzA-B Magnético 2004 , AZA-B
Astronómico 2006 , ¿a partir de qué año la M∂ estará al Weste del Norte Astronómico ?.
Datos:
AzA-B Magnético 1970 = 137,82 g
M∂ 1970 = 5̊ 33,8̓ E = 6,18 g
E
Δ Anual = 5,4 ̓ W = - 0,1 g
Δ 34 años = 34 * 0,1 g
= 3,4 g
W
Solución 1 (análisis gráfico).
M∂ 2004 = M∂ 1970 - Δ 34 años = 6,18 g
– 3,4 g
= 2,78 g
AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Magnético 1970 + Δ34 años = 137,82 g
+ 3,4 g
= 141,22 g
Solución 2 (uso de expresión).
AzA-B Astronómico 1970 = AzA-B Magnético 1970+ ∂ M 1970 = 137,82g
+ 6,18 g
AzA-B Astronómico 1970 = 144,00 g
AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Astronómico 1970 - M∂ 2004
=
144,00 g
– 2,78 g
AzA-B Magnético 2004 = 141,22 g
4.5. Relación entre el Norte Astronómico y Norte UTM.
En el Hemisferio Sur y para nuestro país, en los meridianos centrales 69̊ y 75̊ ,
podemos encontrar bases topográficas ubicadas al Este y Weste de dichos
meridianos, en tal caso, es necesario considerar el ángulo de convergencia (c),
comprendido entre el meridiano verdadero o astronómico, y el meridiano UTM,
para determinar la dirección astronómica o UTM de la base topográfica.
Figura 23: Base topográfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur.
4.5.1. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y
Astronómico, a partir de coordenadas geográficas.

C= ((XII) p + (XIII) p3
+ C5)/3600
XII = Sin ϕ 104
XIII = (Sin2
1̎ Sin ϕ Cos2
ϕ )/3 (1+3 e ̍̍ 2
Cos 2
ϕ +2 e̍ 4
Cos4
ϕ ) 1012
C5 = p5
(Sin4
1̎ Sinϕ Cos4
ϕ )/15 (2 – tg2
ϕ ) 1020
P = 0,0001 λΔ
λΔ = λ−MC *3600 ; MC : Meridiano Central.
λΔ = λλ −0 ; 0λ = 69 ̊ ∨ 75 ̊
Observación:
Si λΔ < 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Weste del MC.
Si λΔ > 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Este del MC.
Ejemplo: Determinar el ángulo de convergencia entre meridianos para el punto
que tiene las siguientes coordenadas geográficas, para PSAD-56.
=Pϕ S 29 ̊ 30 ̍ 14,32 ̎ Pλ = W 70 ̊ 27 ̍ 54,25 ̎
e̍ 2
= 0,0067681702366 0λ = 69 ̊
Solución. Reemplazando el valor de ϕ y λ en XII, XIII y C5 se obtiene:
XII = 4924.839836
XIII = 2.96777548
λΔ = 5274.25
P = 0.527425
C5 = 7.134764737E-05
C = 0.8018268972 g
= 0 ̊ 43 ̍ 17.92 ̎
4.5.2. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y
Astronómico, a partir de coordenadas UTM.
C = (XV) q + (XVI) q3
+ F5
XV = (tg ϕ ̍ )/ (r sin 1 ̎ K0 ) 106
XVI = tg ϕ ̍ /(3 r3
Sin 1 ̎ ) (1 + tg2
ϕ ̍ - e ̍ 2
Cos2
ϕ ̍ -2 e ̍ 4
Cos4
ϕ ) (1/K0
3
) 1018
F5 = q5
tg ϕ ̍ /(15 r5
Sin 1 ̎ ) (2 +5 tg2
ϕ ̍ + 3 tg4
ϕ ̍ ) (1/K0
5
) 1030
q = 0.000001 |E ̍ |
E ̍ = 500000 – E
4.6. Cálculo de direcciones por rumbos.
Angulo comprendido
entre alineaciones.
Agregar Primera letra
0 – 1 R 0 Cambia
1 R – 3 R -2 R No cambia
> 3 R - 4 R Cambia

4.7. Cálculo de direcciones por azimutes.
Angulo comprendido entre
alineaciones.
Agregar
> 2 R - 2 R
> 6 R - 6 R
< 2 R + 2 R
4.8. Cálculo de azimutes al radiar puntos desde una base topográfica.
Angulo resultante Agregar
> 4 R - 4 R
< 4 R 0

4.9. Cálculo de coordenadas.
En topografía para determinar las coordenadas rectangulares bi o
tridimensionales de un punto observado, es suficiente con conocer la posición de
un punto estación, desde el cual se debe determinar directa o indirectamente la
DH Pto. Estación- Pto. Observado (directamente con cinta, indirectamente con teodolito y
mira, teodolito con cinta, Estación Total con jalón y prismas, Distanciómetro con
Jalón y prismas) y además debe medirse la dirección entre el punto estación y el
punto observado, es decir, el Azimut Pto. Estación- Pto. Observado o el rumbo Pto. Estación- Pto.
Observado. Luego deben aplicarse las siguientes expresiones para obtener la posición
del punto observado B:
Δ : Estación topográfica de coordenadas
conocidas.
Ο : Punto observado o a determinar sus
coordenadas.
ΘA-B : RumboA-B, en el primer cuadrante
topográfico también representa al
AzimutA-B.
Figura 24: parámetros requeridos para determinar posición del Punto observado B.
XB = XA + ΔXA-B = XA + DHA-B * Sin AzA-B = XA + DHA-B * Sin RboA-B
YB = YA + ΔYA-B = YA + DHA-B * Cos AzA-B = YA + DHA-B * Cos RboA-B
ZB = ZA + DNA-B = ZA + hiA + HA-B + 6.66/10^8 * DiA-B
^
2 - hjB
(XB, YB, ZB): Coordenadas Totales del Punto Observado B.
(ΔXA-B, ΔYA-B, DNA-B) : Coordenadas Parciales A-B
Observación: cuando se utiliza el RboA-B en el cálculo de las coordenadas, debe
recordarse la convención 4.1 N,E (+) , S,W (-), es decir, debe anteponerse el
signo de la primera letra del RboA-B en el caso ΔYA-B , y el signo de la segunda letra
del RboA-B en el caso ΔXA-B. Todo esto se debe a que el Rumbo siempre es un
ángulo agudo, luego las funciones coseno y seno siempre serían positivas, por lo
que los signos de las primeras letras antes indicadas le dan la característica de la
dirección de la línea, tema tratado cuando se analizó el cuadrante donde se ubica
el rumbo de la línea.

4.9.1. Aplicaciones de las coordenadas.
4.9.1.1. Determinación de superficies utilizando coordenadas.
Cuando se conocen las coordenadas bidimensionales del perímetro de un
predio, es posible determinar la superficie del terreno encerrada por dicho
perímetro, para ello se utiliza la expresión del determinante alterado, es decir,
siguiendo la dirección en el sentido horario (+) o antihorario (-) de los puntos que
representan el perímetro del predio, se tabulan los datos ordenándolos en forma
secuencial, y cuando se llega al último punto del contorno del predio, se repite el
primero, luego se multiplican desde arriba y cruzado obteniendo los productos Xi
Yi+1 y después se calcula también desde arriba y cruzado los productos Xi Yi+1 ,
aplicando la expresión en valor absoluto se obtiene lo requerido:
Superficie = 1/2 )11
1
1
(1
2
1 YnXiY
n
i
iXX
n
i
nYiYiX ++∑
−
=
−∑
=
+−
Para el caso de un predio de cuatro puntos el determinante alterado quedaría
tabulado de la siguiente manera:
Y1 X1
Y2 X2
Superficie=1/2 Y3 X3 = ½⏐(Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +Y4X1) – (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 + X4Y1)⏐
Y4 X4
Y1 X1
Observaciones:
1. El valor absoluto del determinante alterado es para preservar el valor positivo
del cálculo de la superficie, dado que, cuando se ordena o tabula el determinante

en la dirección contraria a los punteros del reloj, las superficies dan valores
negativos.
2. El cálculo de superficie se realiza en la proyección horizontal del plano (Y,X) o
(X,Y), sin embargo en el caso de la ingeniería agrícola generalmente se requiere
obtener el cálculo de la superficie de laderas de cerros, es decir, la superficie del
plano inclinado, para ello se sugiere obtenerlo de la siguiente manera:
PV: Plano Vertical.
PH: Plano Horizontal.
PI: Plano inclinado.
α : ángulo de pendiente del
terreno, el cual puede medirse
con el eclímetro de una brújula.
Superficie PI ≈ Superficie PH/ Cosα
Superficie PH =1/2 )141
14
1
(1
4
2
41 YXiY
i
iXX
n
i
YiYiX ++∑
−
=
−∑
=
=
+−
Es evidente que la expresión propuesta se cumple para planos inclinados
perfectos, y para ángulos de pendientes uniformes, situaciones que en la realidad
no suelen ocurrir, pero que pueden aproximarse a ella.
4.9.1.2. Replanteo de puntos, ejes, y arcos a través de coordenadas.
Una vez realizado el levantamiento y obtenido el plano topográfico, viene
generalmente la etapa del diseño de algún proyecto, el cual involucra una serie de
elementos geométricos coordenados tales como puntos, ejes, curvas y arcos que
pueden representar diversos diseños de ingeniería, entre ellos ejes de galerías,
caminos, canales, principios o fin de curvas, esquinas de edificios, centro de
piques, etc. Los cuales deben materializarse en el terreno, para ello se recurre a
las coordenadas de los puntos estaciones desde los cuales se realizó el
levantamiento, o a la creación de nuevos puntos coordenados.
En rigor es necesario, tener una base topográfica desde la cual se pueda
instalar el instrumento en uno de los extremos de la base y se cala u orienta el

instrumento hacia el otro extremo de la base, se mide el ángulo horizontal horario
Ω Estación- Pto. Replanteo y la distancia DH Estación- Pto. Replanteo , se demarca en el terreno a
través de estacas los puntos en terreno, se unen los puntos y se originan los ejes;
las curvas en superficie se replantean con ángulos de deflexiones y cuerdas que a
la vez van generando los respectivos arcos, los cuales a través de estacas también
se van materializando. La situación se complica un poco en el subsuelo donde hay
que realizar apertura del subsuelo por medio de la perforación y tronadura, para
mayores detalles se sugiere revisar los ejercicios resueltos del apunte La
Topografía y sus Aplicaciones en los Laboreos subterráneos del suscrito, el
cual se encuentra disponible en la plataforma moodle del Departamento de
Ingeniería de Minas: www.depminasuls.cl/moodle
Obtención de elementos de replanteo:
DH Estación- Pto. Replanteo = ((XPto Replanteo – X Estación)2
+ (YPto Replanteo – Y Estación)2
)(1/2)
Si el Az Estación- Pto. Replanteo < AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:
Ω Estación- Pto. Replanteo = 4R- (AzBase - Az Estación- Pto. Replanteo)
Si el Az Estación- Pto. Replanteo > AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:
Ω Estación- Pto. Replanteo = Az Estación- Pto. Replanteo - AzBase

5. Métodos de levantamientos topográficos.
Con el avance de la tecnología han surgido también nuevas metodologías para
realizar levantamientos topográficos, como es el caso de la topografía satelital, en
este capítulo se expondrán principalmente los métodos mas clásicos de medición
en terreno, los cuales son aplicables a un sinnúmero de áreas y actividades de la
ingeniería.
5.1. La radiación.
Es un método topográfico que consiste en instalarse en uno de los puntos de
coordenadas conocidas de una base topográfica, o sobre un punto de coordenadas
conocidas (A), y orientándose por el otro punto de la base (B) o de un punto de
dirección conocida (B), se mide la distancia horizontal DHA-P, entre el punto
estación (A) y el punto observado (P) y además se mide el ángulo horizontal
horario θA-P entre las líneas.
Para la medición de distancia se puede utilizar teodolito con mira, teodolito
con cinta de acero, distanciómetro o estación total con jalón y prismas.
5.1.1. Radiación a partir de una base topográfica.
XP = XA + ΔXA-P
YP = YA + Δ YA-P
ZP = ZA + DNA-P
(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.
ΔXA-P = DH A-P Sin AZA-P
ΔYA-P = DH A-P Cos AZA-P
DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108
DiA-P
2
- hjP
(ΔXA-P, ΔYA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.
Figura 25 a: Radiación desde una base topográfica.
Δ : símbolo que representa los puntos trigonométricos de la base topográfica,
cuyas coordenadas son conocidas, en este caso el trío de puntos coordenados de
A(X,Y,Z) y B(X,Y,Z).
Ο : símbolo que representa el vértice al cual se desea conocer las coordenadas (P).
ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.
AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.
AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.
Observación: Cuando se utiliza un teodolito o taquímetro repetidor, debe
verificarse la orientación (cero-cero) cada una cierta cantidad de puntos
levantados, aceptándose como tolerancia máxima la precisión del equipo de
medición.

5.1.2. Radiación a partir de un punto con coordenadas y dirección
conocida.
XP = XA + Δ XA-P
YP = YA + ΔYA-P
ZP = ZA + DNA-P
(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.
Δ XA-P = DH A-P Sin AZA-P
Δ YA-P = DH A-P Cos AZA-P
DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108
DiA-P
2
- hjP
(Δ XA-P, Δ YA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.
Figura 25 b: Radiación desde un punto con coordenadas y dirección conocida.
Δ : símbolo que representa un punto trigonométrico cuyas coordenadas son
conocidas, en este caso representa al trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z).
Ο : símbolo que representa al vértice de orientación (B) y al punto al cual se desea
conocer las coordenadas (P).
ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.
AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.
AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.
5.2 La intersección
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
Inversa
iónTrilaterac
iónTriangulac
Directa
.2
.2
.1
.1
5.2.1.1 La triangulación.
La triangulación topográfica, por su precisión, ha sido uno de los métodos
clásicos más usados en el levantamiento de coordenadas planimétricas de vértices
ubicados a distancias kilométricas; dichos vértices sirven a su vez para ligar
diversos trabajos topográficos.
Este método, consiste básicamente en que a partir de una base
topográfica A-B conocida, se puede determinar la posición de un punto C, para ello
la solución consiste en instalarse con un teodolito en las estaciones topográficas
A, B y C y se miden por reiteración los ángulos horizontales interiores γβα y, ,
además los ángulos verticales A-C, A-B, B-A, B-C, C-A, C-B, las alturas
instrumentales hiA, hiB, hiC , los hilos medios hmA, hmB y hmC.

Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, por
lo que se conocen implícitamente los azimutes
AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B=DHB-A = C.
Ο : Estación creada para determinar su posición.
α , β ,γ : Angulos horizontales horarios promedios
C-A-B, A-B-C y B-C-A respectivamente, resultantes
de una serie de reiteraciones, en el caso de
trabajos de 3er
orden geodésico, es necesario medir
cuatro reiteraciones por cada ángulo.
dα ,d β , dγ : desviación estándar de los valores
más probables, de los ángulos respectivos γβα ,, .
dα ,d β , dγ ≤ ± 0,0017g
, para trabajos de 3er
orden geodésico.
Figura 26: Triangulación desde una base topográfica conocida.
Condición angular de una triangulación.
Teoría : α + β + γ = 2R R= 100g
sistema centesimal.
Práctica: α + β + γ = 2R + ε∠ R = 90º sistema sexagesimal.
ε∠ : error de cierre angular obtenido.
Obs. Para trabajos geodésicos de 3er
orden el ε∠ Admisible ≤ ± 0,0030g
.
Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ compensación εi = ± |ε∠ |/3
α’= α + εi , si ε∠ > 0 ⇒ εi (-), si ε∠ < 0 ⇒ εi (+)
β’ = β + εi
γ’ = γ + εi
Cálculo de lados de una triangulación.
sinγ’/c = sinα’/a = sin β’/b , α’,β’, γ’: ángulos horizontales ajustados.
DHA-B = c “base conocida”
DHB-C = a = sinα’/ sinγ’/c DHA-C = b = sin β’/ sinγ’/c
Cálculo de coordenadas de C (desde la estación A).
XC = XA + ΔXA-C= XA + DHA-C sinAzA-C AzA-C = AzA-B - α’
YC = YA + ΔYA-C = YA + DHA-C cosAzA-C
ZC = ZA + DNA-C= ZA + hiA + HA-C +6.66/108
DiA-C
2
- hmC
HA-C = DHA-C tg α = DHA-C/tgZ = - DHA-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos
al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.
DiA-C= DHA-C/cosα = DHA-C/sinZ= DHA-C/sinN, DHA-C = b “Distancia Horizontal A-C”.

Cálculo de coordenadas de C (desde la estación B).
X’C = XB + ΔXB-C= XB + DHB-C sinAzB-C AzB-C = AzB-A + β’
Y’C = YB + ΔYB-C = YB + DHB-C cosAzB-C
Z’C = ZB + DNB-C= ZB + hiB + HB-C +6.66/108
DiB-C
2
- hmC
HB-C = DHB-C tg α = DHB-C/tgZ = - DHB-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos
al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.
DiB-C= DHB-C/cosα = DHB-C/sinZ= DHB-C/sinN, DHB-C = a “Distancia Horizontal B-C”.
Coordenadas definitivas de C.
XC = (XC + X’C)/2
YC = (YC + Y’C )/2
ZC = (ZC +Z’C )/2
Observaciones:
1. Para triangulaciones de 3er
orden geodésico los ángulos horizontales
interiores γβα y, se miden c/u con cuatro reiteraciones.
2. Los ángulos verticales referidos al α, Z y N, al horizonte, al zenit y al nadir
respectivamente se miden con tres reiteraciones para trabajos geodésicos de 3er
orden, y el error de índice tolerable es ε∠ Admisible ≤ ± 0,0050g
.
3. De los métodos clásicos es el de mayor precisión y el de menor costo.
5.2.1.2 La trilateración.
Δ: Base topográfica de coordenadas conocidas, donde
se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y
la distancia horizontal DHA-B= DHB-A = C.
Ο : Estación creada para determinar su posición.
DHB-C = DHC-B = a (se mide con instrumental electrónico
de distancia en forma recíproca).
DHA-C = DHC-A = b (se mide con instrumental electrónico
de distancia en forma recíproca).
Figura 27: Trilateración desde una base topográfica conocida.
El surgimiento del método topográfico conocido como trilateración se inicia
con la aparición de una amplia gama de distanciómetros electrónicos y de
estaciones totales, las operaciones consisten en medir las longitudes de los

lados de los triángulos, para determinar con ellos por trigonometría los valores de
sus ángulos, es decir, el proceso inverso que se utiliza en la triangulación.
La medición de los lados de los triángulos debe hacerse en forma recíproca y
con a lo menos cuatro mediciones en ambas direcciones. Las mediciones lineales
deben corregirse por presión y por temperatura, ingresándose además la
constante de los prismas, en 0,000 m en el lado de afuera o plano del portaprisma
(of set) o en 0,030 m en el lado interior del portaprisma (in).
Las operaciones en terreno consisten en instalarse en las tres estaciones A,B
y C con el distanciómetro o con una estación total, en los extremos opuestos se
ubican los prismas reflectores, y se miden recíprocamente las distancias A-B, A-C,
B-A, B-C, C-B y C-A, además se deben medir los ángulos verticales con tres
reiteraciones c/u (para lograr trabajos geodésicos entre el 3er
y 4º orden) en las
direcciones A-C, A-B, B-A, B-C, C-A y C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC, así
como también las alturas de jalón hjA, hjB y hjC..
Cálculo de los ángulos α, β y γ de una trilateración.
a2
= b2
+ c2
– 2bc cosα ⇒ α = Arcos (b2
+ c2
- a2
)/2bc)
b2
= a2
+ c2
– 2ac cosβ ⇒ β = Arcos (a2
+ c2
- b2
)/2ac)
c2
= a2
+ b2
– 2ab cosγ ⇒ γ = Arcos (a2
+ b2
- c2
)/2ab)
Condición angular y cálculo de coordenadas de una trilateración.
Idéntico a la triangulación, ver método de la triangulación en 5.2.1.1.
Observaciones:
Por el costo que significan las operaciones topográficas es el método menos
utilizado, además de los costos de los materiales accesorios como los prismas
reflectantes y el requerimiento de uso de radio de comunicaciones dada las
distancias kilométricas entre estaciones.
5.2.2 Intersección inversa o problema de la carta (Pothenot).
La intersección inversa consiste en que a partir de tres puntos de
coordenadas conocidas, un operador se puede instalar con teodolito sobre una
estación creada P y se miden los ángulos horizontales α’ y β, la altura instrumental
hiP, los hilos medios hmA, hmB y hmC, los ángulos verticales P-A, P-B o P-C y
obtener la posición de la estación de instalación P.

Δ : Vértice con coordenadas conocidas.
Ο : Vértice sin coordenadas.
∠ APB = α ’ , ∠ BPC = β
Azimut B-A – Azimut B-C = θ = ∠ BCA
∠ BAP = X , ∠ PCB = Y
∠ BCP = Ω = 2R – ( β + Y)
DHA-B = DHB-A = a , DHB-C = DHC-B = b
DHB-P = DHP-B = d
AzB-P = AzB-C + Ω , AzP-B = AzB-P – 2R
Figura 28: Intersección inversa o problema de la carta.
De la figura ABCP se puede obtener:
i)∑
=
=
∠
4
1
int
n
i
eriores i = 2R(n – 2) = 4R, (n=4)
i) x + θ + y + β + α’ = 4R, R= 100g
o R= 90º
i) x+y = 4R – (α’ + β + θ), si k= 4R – (α’ + β + θ)
1) x = k- y
De la figura 1, triángulo ABP se puede obtener:
sinα’/a = sinx/d ⇒ d= a sinx/sinα’
De la figura 2, triángulo BCP se puede obtener:
sinβ/b = siny/d’ ⇒ d’= b siny/sinβ
Igualando d = d’ ⇒ a sinx/sinα’ = b siny/sinβ
2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ
1) x = k- y
Como 1ª solución con las expresiones 1) y 2) se puede obtener la solución
numérica de una ecuación, utilizando la iteración por el método de Newton,
obteniendo los valores angulares de x e y.

Como 2ª solución se puede trabajar de la siguiente manera:
1) x = k- y / sin (aplicando la función seno a la expresión 1).
sinx = sin(k-y) = sink cosy – siny cosk
1’) sinx = sink cosy – siny cosk
2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ
sink cosy – siny cosk = b sinα’ siny/a sinβ
sink cosy = siny (cosk+ b sinα’/a sin β)
2’) tgy = sink/( cosk+ b sinα’/a sin β) ⇒ y = Arctg(sink/( cosk+ b sinα’/a sin β))
El valor de y se debe interpretar para indicar en que cuadrante se encuentra el
ángulo buscado y, luego se reemplaza en 1) y se obtiene x.
Cálculo de coordenadas de la estación P.
XB = XP + ΔXP-B
YB = YP + ΔYP-B Coordenadas totales del vértice de posición conocida B.
ZB = ZP + DNP-B
Pto. Pto.
Observado Estación
XP = XB - ΔXP-B
YP = YB - ΔYP-B Coordenadas totales de la estación de instalación P.
ZP = ZB - DNP-B
ΔXP-B = DHP-B sin AzP-B =⎯d sin AzP-B ⎯d = (d+d’)/2
ΔYP-B = DHP-B cos AzP-B =⎯d cos AzP-B Coordenadas parciales desde P-B.
DNP-B = hiP + HP-B + 6.66/108
Di2
P-B - hjB
HP-B = DHP-B tgα = DHP-B / tgZ = - DHP-B / tgN (α, Z, N ángulos verticales al
horizonte, zenit y nadir respectivamente).
DiP-B = DHP-B/cosα = DHP-B/sinZ = DHP-B/sinN
AzP-B = AzB-P – 2R , AzB-P = AzB-C + Ω , Ω= 2R – ( β + Y)

5.3 Poligonales.
A partir de un vértice que tiene coordenadas conocidas es posible determinar
la posición de otro punto, si se mide la distancia horizontal entre ellos y su azimut ,
este proceso puede extenderse indefinidamente midiendo cada vez la distancia
horizontal entre la última estación creada y el nuevo punto del polígono, y además
el ángulo horizontal entre las líneas, a todo este proceso se le denomina
poligonación.
Δ : Vértice con coordenadas conocidas.
Ο : Vértice de estación creada.
⎯DHi,j: pueden medirse con teodolito y mira, con
teodolito y huincha, distanciómetro con jalón y
prismas, o estación total con jalón y prismas.
Las DHi,j deben medirse en forma recíproca.
Los Azimutesi,j se obtienen a partir del AzA-B y
los ángulos exteriores αi aplicando la regla de
los azimutes en cada línea.
Los ángulos horizontales αi deben medirse por
reiteración las veces que lo requiera el orden de
precisión del trabajo topográfico.
Figura 29: Proceso de generación de un polígono.
La finalidad de las poligonales es la densificación de puntos coordenados que
permitan realizar operaciones topográficas, tales como, levantamientos de detalles
de sectores específicos, realización de replanteos o materialización de proyectos de
ingeniería, y control de las obras o proyectos de ingeniería.

5.3.1 Variantes de poligonación y condición angular.
1. Poligonales cerradas con ángulos interiores.
Δ: Vértice de inicio y llegada de la poligonal,
sus coordenadas son conocidas.
Ο : Vértice de estación creada.
(-): Sentido de avance antihorario, referencia
a considerar al medir el acimut AzA.B y los
los ángulos interiores αi, las distancias
horizontales DHi,j, las coordenadas parciales
ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j.
Las distancias horizontales DHi,j deben
medirse en forma recíproca.
Los ángulos horizontales αi deben medirse
por reiteración las veces que lo requiera el
orden de precisión del trabajo topográfico.
Figura 30: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas,
midiendo los ángulos interiores horizontales en el sentido antihorario.
Condición angular.
Teoría: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2)
Práctica: ∑=
n
i
i
1
α = 2R (N-2) + ε∠
R= 90º ∨ 100g
según sistema sexagesimal o centesimal respectivo.
ε∠ : error de cierre angular obtenido.
N : Nº de lados o vértices del polígono.
Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.

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